- 654.50 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2016年山东省临沂市临沭县中考数学二模试卷
一、选择题(本大题共14小题,每小题3分,共42分)
1.计算﹣2+6等于( )
A.4 B.8 C.﹣4 D.﹣8
2.在平面直角坐标系中,点P(2,﹣3)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.下列式子中正确的是( )
A.()﹣2=﹣9 B.(﹣2)3=﹣6 C. =﹣2 D.(﹣3)0=1
4.如图是正方体的展开图,则原正方体相对两个面上的数字之和的最大值( )
A.6 B.7 C.8 D.9
5.某人测得南通市今年10月24日6时到11时的PM2.5的1小时均值(单位:)如下:70,74,78,80,74,75,这组数据的中位数和众数分别是( )
A.79和74 B.74.5和74 C.74和74.5 D.74和79
6.不等式3(x﹣2)<7的正整数解有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
7.某种衬衣的价格经过连续两次降价后,由每件150元降至96元,平均每次降价的百分率是( )
A.10% B.20% C.30% D.40%
8.如图,AB∥CD,∠CDE=140°,则∠A的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.140°
9.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,则y=ax﹣bc的图象一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10.如图,某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中,已测得仰角∠CAE=33°,AB=a,BD=b,则下列求旗杆CD长的正确式子是( )
A.CD=b sin33°+a B.CD=b cos33°+a
C.CD=b tan33°+a D.CD=
11.如图,已知点A为⊙O内一点,点B、C均在圆上,∠C=30°,∠A=∠B=45°,线段OA=﹣1,则阴影部分的周长为( )
A. +2 B. +2 C. + D. +
12.南开(融侨)中学组织一批学生前往重庆慕江古剑山变电站参加社会实践活动,活动中男生戴白色安全帽,女生戴红色安全帽,大家发现一个有趣的现象,每位男生看到的白色安全帽比红色多6顶,而每位女生看到的白色安全帽是红色的2倍.设男生有x人,女生有y人,那么下列等量关系成立的是( )
A. B.
C. D.
13.如图,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD.若四边形BEDF是菱形,且EF=AE+FC,则边BC的长为( )
A.2 B.3 C.6 D.
14.如图,边长分别为1和2的两个等边三角形,开始它们在左边重合,大三角形固定不动,然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为x,两个三角形重叠面积为y,则y关于x的函数图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共15分)
15.据2014年南通市统计的全市在籍总人口数约为7700000人,把“7700000”用科学记数法表示应为 .
16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A<∠B,CM是斜边AB的中线,将△ACM沿直线CM折叠,点A落在点D处,如果CD恰好与AB垂直,则∠A= °.
17.如图,点A、B、C在⊙O上,且∠AOB=120°,则∠A+∠B= °.
18.如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则tan∠BAC等于 .
19.如图,在平面直角坐标系中,点A(a,b)为第一象限内一点,且a<b.连结OA,并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA.若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上,则的值等于 .
20.已知an=(n=1,2,3,…),我们又定义b1=2(1﹣a1),b2=2(1﹣a1)(1﹣a2),…,bn=2(1﹣a1)(1﹣a2)…(1﹣an),则通过计算b1,b2…,bn,则b2014= .
三、解答题(本大题共有7小题,共63分)
21.先化简,再求值:÷﹣,其中a=2+.
22.为了让学生了解党的十八大精神,某中学举行了一次“社会主义核心价值观暨八礼四仪知识竞赛”,共有1000名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)进行统计.请你根据下面尚未完成的频数分布表和频数分布直方图,解答下列问题:
频数分布表
分组
频数
频率
50.5~60.5
4
0.08
60.5~70.5
8
0.16
70.5~80.5
a
0.20
80.5~90.5
16
0.32
90.5~100.5
12
b
(1)a= ,b= ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)在该问题中的样本容量是多少?答: .
(4)若成绩在90分以上(不含90分)为优秀,则该校成绩优秀的约为 人?
23.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF.
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系并说明理由.
24.如图,AB为⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,BF⊥AB交AD的延长线于点F,
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,⊙O的半径为5,求BF的长.
25.A、B两座城市之间有一条高速公路,甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入,并始终在高速公路上正常行驶.甲车驶往B城,乙车驶往A城,甲车在行驶过程中速度始终不变.甲车距B城高速公路入口处的距离y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系如图.
(1)求y关于x的表达式;
(2)已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶,设行驶过程中,两车相距的路程为s(千米).请直接写出s关于x的表达式;
(3)当乙车按(2)中的状态行驶与甲车相遇后,速度随即改为a(千米/时)并保持匀速行驶,结果比甲车晚40分钟到达终点,求乙车变化后的速度a.在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y(千米)与行驶时间x(时)之间的函数图象.
26.如图,△ABC和△AED是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点D、E在∠BAC的外部,连结DC,BE.
(1)求证:BE=CD;
(2)若将△AED绕点A旋转,直线CD交直线AB于点G,交直线BE于点K.
①如果AC=8,GA=2,求GC•KG的值;
②当△BED为等腰直角三角形时,请你直接写出AB:BD的值.
27.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(﹣1,0)、点B(3,0)、点C(0,3).
(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)连结AC、CD、BD,试比较∠BCA与∠BDC的大小,并说明理由;
(3)若在x轴上有一动点M,在抛物线y=ax2+bx+c上有一动点N,则M、N、B、C四点是否能构成平行四边形?若存在,请求出所有适合的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2016年山东省临沂市临沭县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共14小题,每小题3分,共42分)
1.计算﹣2+6等于( )
A.4 B.8 C.﹣4 D.﹣8
【考点】有理数的加法.
【分析】根据异号两数相加的法则进行计算即可.
【解答】解:∵6与﹣2符号相反,且|6|>|﹣2|,
∴﹣2+6=4,
故选A.
2.在平面直角坐标系中,点P(2,﹣3)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】点的坐标.
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答.
【解答】解:点P(2,﹣3)在第四象限.
故选D.
3.下列式子中正确的是( )
A.()﹣2=﹣9 B.(﹣2)3=﹣6 C. =﹣2 D.(﹣3)0=1
【考点】二次根式的性质与化简;有理数的乘方;零指数幂;负整数指数幂.
【分析】根据二次根式的性质与化简、有理数的乘方、零指数以及负整数指数幂逐一运算,判断即可.
【解答】解:A、=9,故本项错误;
B、(﹣2)3=﹣8,故本项错误;
C、,故本项错误;
D、(﹣3)0=1,故本项正确,
故选:D.
4.如图是正方体的展开图,则原正方体相对两个面上的数字之和的最大值( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【考点】专题:正方体相对两个面上的文字.
【分析】根据相对的面相隔一个面得到相对的2个数,相加后比较即可.
【解答】解:易得2和6是相对的两个面;3和4是相对两个面;1和5是相对的2个面,
因为2+6=8,3+4=7,1+5=6,
所以原正方体相对两个面上的数字和最大的是8.
故选C.
5.某人测得南通市今年10月24日6时到11时的PM2.5的1小时均值(单位:)如下:70,74,78,80,74,75,这组数据的中位数和众数分别是( )
A.79和74 B.74.5和74 C.74和74.5 D.74和79
【考点】众数;中位数.
【分析】根据众数和中位数的概念求解.
【解答】解:这组数据按照从小到大的顺序排列为:70,74,74,75,78,80,
则中位数为: =74.5,
众数为:74.
故选B.
6.不等式3(x﹣2)<7的正整数解有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【考点】一元一次不等式的整数解.
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式,再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可.
【解答】解:不等式的解集是x<,
故不等式3(x﹣2)<7的正整数解为1,2,3,4,共4个.
故选C.
7.某种衬衣的价格经过连续两次降价后,由每件150元降至96元,平均每次降价的百分率是( )
A.10% B.20% C.30% D.40%
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】如果价格每次降价的百分率为x,降一次后就是降到价格的(1﹣x)倍,连降两次就是降到原来的(1﹣x)2倍.则两次降价后的价格是150×(1﹣x)2,即可列方程求解.
【解答】解:设平均每次降价的百分率为x,由题意得
150×(1﹣x)2=96,
解得:x1=0.2,x2=1.8(不符合题意,舍去).
答:平均每次降价的百分率是20%.
故选:B.
8.如图,AB∥CD,∠CDE=140°,则∠A的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.140°
【考点】平行线的性质.
【分析】首先求得∠CDA的度数,然后根据平行线的性质,即可求解.
【解答】解:∠CDA=180°﹣∠CDE=180°﹣140°=40°,
∵AB∥CD,
∴∠A=∠CDA=40°.
故选A.
9.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,则y=ax﹣bc的图象一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】二次函数图象与系数的关系;一次函数图象与系数的关系.
【分析】由抛物线开口方向得a<0,由抛物线对称轴在y轴的右侧得b>0,由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c<0,则﹣bc>0,然后根据一次函数图象与系数的关系判断直线y=ax﹣bc经过的象限即可.
【解答】解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线对称轴在y轴的右侧,
∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c<0,
∴﹣bc>0,
∴直线y=ax﹣bc经过第一、二、四象限,不经过第三象限.
故选C.
10.如图,某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中,已测得仰角∠CAE=33°,AB=a,BD=b,则下列求旗杆CD长的正确式子是( )
A.CD=b sin33°+a B.CD=b cos33°+a
C.CD=b tan33°+a D.CD=
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
【分析】在直角三角形CAE中,利用BD的长和已知的角的度数,利用正切函数可求得CE的长,再由CD=CE+ED即可求解.
【解答】解:由题意则AE=BD,即AE=b.
在直角△AEC中,∠ACE=33°,
CE=AEtan33°=btan33°.
则CD=CE+ED=btan33°+a.
故选C.
11.如图,已知点A为⊙O内一点,点B、C均在圆上,∠C=30°,∠A=∠B=45°,线段OA=﹣1,则阴影部分的周长为( )
A. +2 B. +2 C. + D. +
【考点】弧长的计算.
【分析】延长AO交BC于点D,连接OB,由∠A=∠ABC=45°,得到AD=BD,∠ADB=90°,即AD⊥BC.根据垂径定理得到BD=CD.在Rt△COD中,设OD=x,∠C=30°,得到OC=2x,CD=x=AD,则OA=AD﹣OD=x﹣x=(﹣1)x=﹣1,解得x=1,则OD=1,OC=2,然后由弧长公式进行解答即可.
【解答】解:延长AO交BC于点D,连接OB.
∵∠A=∠ABC=45°,
∴AD=BD,∠ADB=90°,即AD⊥BC.
∴BD=CD.
在Rt△COD中,设OD=x,
∵∠C=30°,
∴∠COD=60°,OC=2x,CD=x.
∴∠COB=120°,AD=x.
∴OA=AD﹣OD=x﹣x=(﹣1)x.
而OA=﹣1,
∴x=1,即OD=1,OC=2,BC=2CD=2.
∴阴影部分的周长为: +2=+2.
故选:A.
12.南开(融侨)中学组织一批学生前往重庆慕江古剑山变电站参加社会实践活动,活动中男生戴白色安全帽,女生戴红色安全帽,大家发现一个有趣的现象,每位男生看到的白色安全帽比红色多6顶,而每位女生看到的白色安全帽是红色的2倍.设男生有x人,女生有y人,那么下列等量关系成立的是( )
A. B.
C. D.
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组.
【分析】设男生有x人,女生有y人,根据每位男生看到的白色安全帽比红色多6顶,而每位女生看到的白色安全帽是红色的2倍,列方程组即可.
【解答】解:设男生有x人,女生有y人,
由题意得,.
故选D.
13.如图,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD.若四边形BEDF是菱形,且EF=AE+FC,则边BC的长为( )
A.2 B.3 C.6 D.
【考点】矩形的性质;菱形的性质.
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°,AB=BO=3,因为四边形BEDF是菱形,所以BE,AE可求出进而可求出BC的长.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
即BA⊥BF,
∵四边形BEDF是菱形,
∴EF⊥BD,∠EBO=∠DBF,
∵EF=AE+FC,AE=CF,EO=FO
∴AE=EO=CF=FO,
∴AB=BO=3,∠ABE=∠EBO,
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°,
∴BE==2,
∴BF=BE=2,
∴CF=AE=,
∴BC=BF+CF=3,
故选:B.
14.如图,边长分别为1和2的两个等边三角形,开始它们在左边重合,大三角形固定不动,然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为x,两个三角形重叠面积为y,则y关于x的函数图象是( )
A. B. C. D.
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式,根据解析式判断函数的图象的形状.
【解答】解:①x≤1时,两个三角形重叠面积为小三角形的面积,
∴y=×1×=,
②当1<x≤2时,重叠三角形的边长为2﹣x,高为,
y=(2﹣x)×=x2﹣x+,
③当x=2时,两个三角形没有重叠的部分,即重叠面积为0,
故选:B.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共15分)
15.据2014年南通市统计的全市在籍总人口数约为7700000人,把“7700000”用科学记数法表示应为 7.7×106 .
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将7700000用科学记数法表示为:7.7×106.
故答案为:7.7×106.
16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A<∠B,CM是斜边AB的中线,将△ACM沿直线CM折叠,点A落在点D处,如果CD恰好与AB垂直,则∠A= 30 °.
【考点】翻折变换(折叠问题);线段垂直平分线的性质;直角三角形斜边上的中线.
【分析】根据折叠的性质可知,折叠前后的两个三角形全等,则∠D=∠A,∠MCD=∠MCA,从而求得答案.
【解答】解:法一、在Rt△ABC中,∠A<∠B
∵CM是斜边AB上的中线,
∴CM=AM,
∴∠A=∠ACM,
将△ACM沿直线CM折叠,点A落在点D处
设∠A=∠ACM=x度,
∴∠A+∠ACM=∠CMB,
∴∠CMB=2x,
如果CD恰好与AB垂直
在Rt△CMG中,
∠MCG+∠CMB=90°
即3x=90°
x=30°
则得到∠MCD=∠BCD=∠ACM=30°
根据CM=MD,
得到∠D=∠MCD=30°=∠A
∠A等于30°.
法二、∵CM平分∠ACD,
∴∠ACM=∠MCD
∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°
∴∠A=∠BCD
∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°
∴∠A=30°
17.如图,点A、B、C在⊙O上,且∠AOB=120°,则∠A+∠B= 60 °.
【考点】圆周角定理.
【分析】首先连接OC,由圆周角定理可求得∠ACB的度数,然后由等腰三角形的性质,求得∠A+∠B=∠ACB,继而求得答案.
【解答】解:连接OC,
∵OA=OC,OC=OB,
∴∠A=∠ACO,∠B=∠BCO,
∴∠A+∠B=∠ACO+∠BCO=∠ACB,
∵点A、B、C在⊙O上,且∠AOB=120°,
∴∠ACB=∠AOB=60°,
∴∠A+∠B=60°.
故答案为:60.
18.如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则tan∠BAC等于 .
【考点】锐角三角函数的定义;勾股定理;勾股定理的逆定理.
【分析】设小正方形的边长为1,过C作CF⊥AB于F,根据勾股定理求出AB、AC,根据三角形面积公式求出CF,根据勾股定理求出AF,解直角三角形求出即可.
【解答】解:
设小正方形的边长为1,
过C作CF⊥AB于F,
由勾股定理得:AB==2,AC==2,BC=2,
由三角形面积公式得:AB×CF=BC×AE,
2×CF=2×2,
解得:CF=,
在Rt△AFC中,由勾股定理得:AF==
tan∠BAC===,
故答案为:.
19.如图,在平面直角坐标系中,点A(a,b)为第一象限内一点,且a<b.连结OA,并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA.若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上,则的值等于 .
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化-旋转.
【分析】过A作AE⊥x轴,过B作BD⊥AE,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,且AO=AB,利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全等,由确定三角形的对应边相等得到BD=AE=b,AD=OE=a,进而表示出ED及OE+BD的长,即可表示出B坐标;由A与B都在反比例图象上,得到A与B横纵坐标乘积相等,列出关系式,变形后即可求出的值.
【解答】解:过A作AE⊥x轴,过B作BD⊥AE,
∵∠OAB=90°,
∴∠OAE+∠BAD=90°,
∵∠AOE+∠OAE=90°,
∴∠BAD=∠AOE,
在△AOE和△BAD中,
,
∴△AOE≌△BAD(AAS),
∴AE=BD=b,OE=AD=a,
∴DE=AE﹣AD=b﹣a,OE+BD=a+b,
则B(a+b,b﹣a);
∵A与B都在反比例图象上,得到ab=(a+b)(b﹣a),
整理得:b2﹣a2=ab,即()2﹣﹣1=0,
∵△=1+4=5,
∴=,
∵点A(a,b)为第一象限内一点,
∴a>0,b>0,
则=.
故答案为.
20.已知an=(n=1,2,3,…),我们又定义b1=2(1﹣a1),b2=2(1﹣a1)(1﹣a2),…,bn=2(1﹣a1)(1﹣a2)…(1﹣an),则通过计算b1,b2…,bn,则b2014= .
【考点】分式的混合运算.
【分析】根据an=,以及新定义,归纳总结确定出b2014即可.
【解答】解:当n=1时,a1=,b1=2(1﹣a1)=;
n=2时,a2=,b2=2(1﹣a1)(1﹣a2)=;
…;
bn=2(1﹣a1)(1﹣a2)…(1﹣an)=,
则b2014=,
故答案为:
三、解答题(本大题共有7小题,共63分)
21.先化简,再求值:÷﹣,其中a=2+.
【考点】分式的化简求值.
【分析】原式第一项利用除法法则变形,约分后利用同分母分式的减法法则计算,得到最简结果,把a的值代入计算即可求出值.
【解答】解:原式=•﹣=﹣=,
当a=2+时,原式=.
22.为了让学生了解党的十八大精神,某中学举行了一次“社会主义核心价值观暨八礼四仪知识竞赛”,共有1000名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)进行统计.请你根据下面尚未完成的频数分布表和频数分布直方图,解答下列问题:
频数分布表
分组
频数
频率
50.5~60.5
4
0.08
60.5~70.5
8
0.16
70.5~80.5
a
0.20
80.5~90.5
16
0.32
90.5~100.5
12
b
(1)a= 10 ,b= 0.24 ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)在该问题中的样本容量是多少?答: 50 .
(4)若成绩在90分以上(不含90分)为优秀,则该校成绩优秀的约为 240 人?
【考点】频数(率)分布直方图;用样本估计总体;频数(率)分布表.
【分析】(1)根据第一组的频数是4,对应的频率是0.08,即可求得总人数,根据频率的意义求得a、b的值;
(2)根据(1)的结果即可补全频数分别直方图;
(3)根据(1)的计算即可求解;
(4)利用总人数1000乘以对应的频率即可求解.
【解答】解:(1)调查的总人数是:4÷0.08=50(人),
则a=50﹣4﹣8﹣16﹣12=10,b==0.24;
(2)如图 …
(3)该问题中的样本容量是:50;
(4)该校成绩优秀的约为1000×0.24=240.
故答案是:240.
23.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF.
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系并说明理由.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)由AD与BC平行,利用两直线平行内错角相等,得到一对角相等,再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等,利用AAS即可得出△ADE≌△BFE;
(2)∠GDF=∠ADE,以及(1)得出的∠ADE=∠BFE,等量代换得到∠GDF=∠BFE,利用等角对等边得到GF=GD,即三角形GDF为等腰三角形,再由(1)得到DE=FE,即GE为底边上的中线,利用三线合一即可得到GE与DF垂直.
【解答】(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADE=∠BFE,
∵E为AB的中点,∴AE=BE,
在△ADE和△BFE中,
,
∴△ADE≌△BFE(AAS);
(2)解:EG与DF的位置关系是EG垂直平分DF,
理由为:连接EG,
∵∠GDF=∠ADE,∠ADE=∠BFE,
∴∠GDF=∠BFE,
由(1)△ADE≌△BFE得:DE=FE,即GE为DF上的中线,
∴GE垂直平分DF.
24.如图,AB为⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,BF⊥AB交AD的延长线于点F,
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,⊙O的半径为5,求BF的长.
【考点】切线的判定.
【分析】(1)由AD平分∠BAC,得到∠1=∠2,而OD=OA,∠2=∠3,所以∠1=∠3,则有OD∥AE,而DE⊥AC,所以OD⊥DE;
(2)过D作DP⊥AB,P为垂足,则DP=DE=3,由⊙O的半径为5,在Rt△OPD中,OD=5,DP=3,得OP=4,则AP=9,再由BF⊥AB,得DP∥FB,有=,即可求出BF.
【解答】(1)证明:连OD,如图,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2(等弦对等角),
又∵OD=OA,得∠2=∠3(等角对等边),
∴∠1=∠3(等量代换),
而DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)过D作DP⊥AB,P为垂足,
∵AD为∠BAC的平分线,DE=3,
∴DP=DE=3,又⊙O的半径为5,
在Rt△OPD中,OD=5,DP=3,得OP=4,则AP=9,
∵BF⊥AB,
∴DP∥FB,
∴=,即=,
∴BF=.
25.A、B两座城市之间有一条高速公路,甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入,并始终在高速公路上正常行驶.甲车驶往B城,乙车驶往A城,甲车在行驶过程中速度始终不变.甲车距B城高速公路入口处的距离y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系如图.
(1)求y关于x的表达式;
(2)已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶,设行驶过程中,两车相距的路程为s(千米).请直接写出s关于x的表达式;
(3)当乙车按(2)中的状态行驶与甲车相遇后,速度随即改为a(千米/时)并保持匀速行驶,结果比甲车晚40分钟到达终点,求乙车变化后的速度a.在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y(千米)与行驶时间x(时)之间的函数图象.
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)由图知y是x的一次函数,设y=kx+b.把图象经过的坐标代入求出k与b的值.
(2)根据路程与速度的关系列出方程可解.
(3)如图:当s=0时,x=2,即甲乙两车经过2小时相遇.再由1得出y=﹣90x+300.
设y=0时,求出x的值可知乙车到达终点所用的时间.
【解答】解:(1)方法一:由图知y是x的一次函数,设y=kx+b.
∵图象经过点(0,300),(2,120),
∴
解得,
∴y=﹣90x+300.
即y关于x的表达式为y=﹣90x+300.
方法二:由图知,当x=0时,y=300;x=2时,y=120.
所以,这条高速公路长为300千米.
甲车2小时的行程为300﹣120=180(千米).
∴甲车的行驶速度为180÷2=90(千米/时).
∴y关于x的表达式为y=300﹣90x(y=﹣90x+300).
(2)由(1)得:甲车的速度为90千米/时,甲乙相距300千米.
∴甲乙相遇用时为:300÷(90+60)=2,
当0≤x≤2时,函数解析式为s=﹣150x+300,
2<x≤时,S=150x﹣300
<x≤5时,S=60x;
(3)在s=﹣150x+300中.当s=0时,x=2.即甲乙两车经过2小时相遇.
因为乙车比甲车晚40分钟到达,40分钟=小时,
所以在y=﹣90x+300中,当y=0,x=.
所以,相遇后乙车到达终点所用的时间为﹣2=2(小时).
乙车与甲车相遇后的速度a=÷2=90(千米/时).
∴a=90(千米/时).
乙车离开B城高速公路入口处的距离y(千米)与行驶时间x(时)之间的函数图象如图所示.
26.如图,△ABC和△AED是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点D、E在∠BAC的外部,连结DC,BE.
(1)求证:BE=CD;
(2)若将△AED绕点A旋转,直线CD交直线AB于点G,交直线BE于点K.
①如果AC=8,GA=2,求GC•KG的值;
②当△BED为等腰直角三角形时,请你直接写出AB:BD的值.
【考点】相似形综合题.
【分析】(1)根据∠BAC=∠EAD=90°,得出∠CAD=∠BAE,在△BAE和△CAD中,根据SAS得出△BAE≌△CAD,即可证出BE=CD;
(2)①当点G在线段AB上时,根据(1)和AA得出△CGA∽△BGK,求出AG•GB=GC•KG,再根据AC=8,GA=2,得出GC•KG=12;当点G在线段AB延长线上时,再根据已知条件求出△CGA∽△BGK,得出AG•GB=GC•KG,再根据AC=8,GA=2,得出GC•KG=20;
②根据△BED为等腰直角三角形时,∠ADB=45°,得出AB:BD=tan45°,再计算即可.
【解答】解:(1)∵∠BAC=∠EAD=90°
∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD,
∴∠CAD=∠BAE,
在△BAE和△CAD中,
,
∴△BAE≌△CAD(SAS),
∴BE=CD;
(2)①当点G在线段AB上时(如图1)
∵△BAE≌△CAD,
∴∠ACD=∠ABE,
又∵∠CGA=∠BGK,
∴△CGA∽△BGK,
∴=,
∴AG•GB=GC•KG,
∵AC=8,
∴AB=8,
∵GA=2,
∴GB=6.
∴GC•KG=12,
当点G在线段AB延长线上时(如图2)
∵△BAE≌△CAD,
∴∠ACD=∠ABE,
又∵∠BGK=∠CGA,
∴△CGA∽△BGK,
∴=,
∴AG•GB=GC•KG;
∵AC=8,
∴AB=8,
∵GA=2,
∴GB=10
∴GC•KG=20;
②如图3,
当△BED为等腰直角三角形时,
则∠ADB=45°,
AB:BD=.
27.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(﹣1,0)、点B(3,0)、点C(0,3).
(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)连结AC、CD、BD,试比较∠BCA与∠BDC的大小,并说明理由;
(3)若在x轴上有一动点M,在抛物线y=ax2+bx+c上有一动点N,则M、N、B、C四点是否能构成平行四边形?若存在,请求出所有适合的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据待定系数法即可求得抛物线的解析式,然后转化成顶点式即可求得顶点坐标;
(2)连结BC,根据点A(﹣1,0),C(0,3)、B(3,0)、D(1,4)的坐标,根据勾股定理求得CD=,BD=2,CB=3,AC=,因为OA=1,OC=3,所以===,根据三角形相似的判定即可得出△CDB∽△OAC,从而求得∠BAC=∠BDC,然后根据勾股定理求得BC=3,AB=4,得出∠BCA<∠BAC,进而得出∠BCA<∠BDC.
(3)设点M的坐标为(t,0),若能构成平行四边形时点N的坐标有三种可能,分别讨论即可求得M的坐标.
【解答】解:(1)如图1,
∵点A、B、C在抛物线y=ax2+bx+c上,
∴,
解得.
∴此抛物线为:y=﹣x2+2x+3;
由y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴抛物线的顶点D的坐标为(1,4).
(2)连接BC,如图2,
由点C(0,3)、B(3,0)、D(1,4)
可得CD==,BD==2,CB==3,
由点C(0,3)、A(﹣1,0),可得AC=,
∴===,
∴△CDB∽△OAC,
∴∠BAC=∠BDC.
∵BC=3,AB=4,
∴BC>AB,
∴∠BCA<∠BAC,
∴∠BCA<∠BDC.
(3)设点M的坐标为(t,0)
则由C(0,3)、B(3,0)、M(t,0)如图3,
若能构成平行四边形时点N的坐标有三种可能,
分别是(3﹣t,3),(t﹣3,3),(t+3,﹣3),
∵点N在抛物线y=﹣x2+2x+3上
把(3﹣t,3)代入得,3=﹣(3﹣t)2+2(3﹣t)+3,
解得t=1或t=3(点M与点B重合,舍去);
把(t﹣3,3)代入得,3=﹣(t﹣3)2+2(t﹣3)+3,
解得t=5或t=3(点M与点B重合,舍去);
把(t+3,﹣3)代入得,﹣3=﹣(t+3)2+2(t+3)+3,
解得t=﹣2+或t=﹣2﹣.
综上可知,M的坐标为(1,0)、(5,0)、(﹣2+,0)、(﹣2﹣,0).
2016年8月11日