2020年湖南省株洲市中考数学试卷(含解析） 22页

‎2020年湖南省株洲市中考数学试卷 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．（4分）（2020•株洲）a的相反数为﹣3，则a等于（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．±3 D．‎‎1‎‎3‎ ‎2．（4分）（2020•株洲）下列运算正确的是（　　）‎ A．a•a3＝a4 B．2a﹣a＝2 C．（a2）5＝a7 D．（﹣3b）2＝6b2‎ ‎3．（4分）（2020•株洲）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（　　）‎ A．‎1‎‎4‎ B．‎1‎‎3‎ C．‎1‎‎2‎ D．‎‎3‎‎4‎ ‎4．（4分）（2020•株洲）一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（4分）（2020•株洲）数据12、15、18、17、10、19的中位数为（　　）‎ A．14 B．15 C．16 D．17‎ ‎6．（4分）（2020•株洲）下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解？（　　）‎ A．﹣3 B．‎-‎‎1‎‎2‎ C．‎1‎‎3‎ D．2‎ ‎7．（4分）（2020•株洲）在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a的取值可以是（　　）‎ A．1 B．‎-‎‎3‎‎2‎ C．‎4‎‎3‎ D．4或﹣4‎ ‎8．（4分）（2020•株洲）下列不等式错误的是（　　）‎ A．﹣2＜﹣1 B．π‎＜‎‎17‎ C．‎5‎‎2‎‎＞‎‎10‎ D．‎1‎‎3‎‎＞‎0.3‎ ‎9．（4分）（2020•株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A．4π B．6 C．4‎3‎ D．‎8‎‎3‎π ‎10．（4分）（2020•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（　　）‎ A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2 ‎ C．y1＜y2 D．y1、y2的大小无法确定 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）‎ ‎11．（4分）（2020•株洲）关于x的方程3x﹣8＝x的解为x＝　 　．‎ ‎12．（4分）（2020•株洲）因式分解：2a2﹣12a＝　 　．‎ ‎13．（4分）（2020•株洲）计算‎2‎‎3‎‎×(‎8‎+‎2‎)‎的结果是　 　．‎ ‎14．（4分）（2020•株洲）王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：‎ 尺码 S M L XL XXL XXL 频率 ‎0.05‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.325‎ ‎0.3‎ ‎0.025‎ 则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有　 　个．‎ ‎15．（4分）（2020•株洲）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON＝　 　度．‎ ‎16．（4分）（2020•株洲）如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为　 　．‎ 第22页（共22页）‎ ‎17．（4分）（2020•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1‎=‎kx（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，边AB与函数y2‎=‎‎2‎x（x＞0）的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为　 　．（结果用含k的式子表示）‎ ‎18．（4分）（2020•株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．‎ 问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为　 　尺．（结果用最简根式表示）‎ 三、解答题（本大题共8小题，共78分）‎ ‎19．（2020•株洲）计算：（‎1‎‎4‎）﹣1+|﹣1|‎-‎‎3‎tan60°．‎ 第22页（共22页）‎ ‎20．（2020•株洲）先化简，再求值：（xy‎-‎yx）•yx+y‎-‎1，其中x‎=‎‎2‎，y＝2．‎ ‎21．（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为2‎6‎米．‎ ‎（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）‎ ‎（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？‎ ‎22．（2020•株洲）近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：‎ ‎（1）求该数据中每天代寄包裹数在50.5～200.5范围内的天数；‎ ‎（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．‎ ‎①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？‎ ‎②这60天中，该代办点为顾客代寄的包表中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：‎ 重量G（单位：千克）‎ ‎2＜G≤3‎ ‎3＜G≤4‎ ‎4＜G≤5‎ 件数（单位：件）‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎15‎ 求这40件包裹收取费用的平均数．‎ 第22页（共22页）‎ ‎23．（2020•株洲）如图所示，△BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF、CF，满足△ABF≌△CBE．‎ ‎（1）求证：∠EBF＝90°．‎ ‎（2）若正方形ABCD的边长为1，CE＝2，求tan∠AFC的值．‎ ‎24．（2020•株洲）AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM＝∠BAC＝α．‎ ‎（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE‎=‎‎5‎‎3‎，若⊙O的半径为1，cosα‎=‎‎3‎‎4‎ 第22页（共22页）‎ ‎，求AG•ED的值．‎ ‎25．（2020•株洲）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y‎=‎kx（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．‎ ‎（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；‎ ‎（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．‎ ‎①求证：△OAE≌△BOF；‎ ‎②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．‎ ‎26．（2020•株洲）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．‎ ‎（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b‎＜-‎‎5‎‎2‎时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．‎ ‎（3）若AB2‎=‎c‎2‎‎-2c+6‎c，点P的坐标为（‎-‎x‎0‎，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．‎ 第22页（共22页）‎ 第22页（共22页）‎ ‎2020年湖南省株洲市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．（4分）（2020•株洲）a的相反数为﹣3，则a等于（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．±3 D．‎‎1‎‎3‎ ‎【解答】解：因为3的相反数是﹣3，所以a＝3．‎ 故选：B．‎ ‎2．（4分）（2020•株洲）下列运算正确的是（　　）‎ A．a•a3＝a4 B．2a﹣a＝2 C．（a2）5＝a7 D．（﹣3b）2＝6b2‎ ‎【解答】解：选项A，根据同底数幂的乘法法则可得a•a3＝a4，选项A正确；‎ 选项B，根据合并同类项法则可得2a﹣a＝a，选项B错误；‎ 选项C，根据幂的乘方的运算法则可得（a2）5＝a10，选项C错误；‎ 选项D，根据积的乘方的运算法则可得（﹣3b）2＝9b2，选项D错误．‎ 故选：A．‎ ‎3．（4分）（2020•株洲）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（　　）‎ A．‎1‎‎4‎ B．‎1‎‎3‎ C．‎1‎‎2‎ D．‎‎3‎‎4‎ ‎【解答】解：根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3，‎ 故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：‎2‎‎4‎‎=‎‎1‎‎2‎．‎ 故选：C．‎ ‎4．（4分）（2020•株洲）一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵1.2|＝1.2，|﹣2.3|＝2.3，|+0.9|＝0.9，|﹣0.8|＝0.8，‎ 又∵0.8＜0.9＜1.2＜2.3，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项D中的元件．‎ 故选：D．‎ ‎5．（4分）（2020•株洲）数据12、15、18、17、10、19的中位数为（　　）‎ A．14 B．15 C．16 D．17‎ ‎【解答】解：把这组数据从小到大排列为：10，12，15，17，18，19，则这组数据的中位数是‎15+17‎‎2‎‎=‎16．‎ 故选：C．‎ ‎6．（4分）（2020•株洲）下列哪个数是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解？（　　）‎ A．﹣3 B．‎-‎‎1‎‎2‎ C．‎1‎‎3‎ D．2‎ ‎【解答】解：解不等式2（x﹣1）+3＜0，得x＜-‎‎1‎‎2‎，‎ 因为只有﹣3‎＜-‎‎1‎‎2‎，所以只有﹣3是不等式2（x﹣1）+3＜0的一个解，‎ 故选：A．‎ ‎7．（4分）（2020•株洲）在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a的取值可以是（　　）‎ A．1 B．‎-‎‎3‎‎2‎ C．‎4‎‎3‎ D．4或﹣4‎ ‎【解答】解：∵点A（a，2）是第二象限内的点，‎ ‎∴a＜0，‎ 四个选项中符合题意的数是‎-‎‎3‎‎2‎，‎ 故选：B．‎ ‎8．（4分）（2020•株洲）下列不等式错误的是（　　）‎ A．﹣2＜﹣1 B．π‎＜‎‎17‎ C．‎5‎‎2‎‎＞‎‎10‎ D．‎1‎‎3‎‎＞‎0.3‎ ‎【解答】解：A、根据两个负数绝对值大的反而小可得﹣2＜﹣1，原不等式正确，故此选项不符合题意；‎ B、由3＜π＜4，‎4＜‎17‎＜5‎可得π＜‎‎17‎，原不等式正确，故此选项不符合题意；‎ C、由‎(‎5‎‎2‎‎)‎‎2‎=6.25‎，6.25＜10，可得‎5‎‎2‎‎＜‎‎10‎，原不等式错误，故此选项符合题意；‎ D、由‎1‎‎3‎‎=‎0.3333…，可得‎1‎‎3‎‎＞0.3‎，原不等式正确，故此选项不符合题意．‎ 故选：C．‎ 第22页（共22页）‎ ‎9．（4分）（2020•株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为（　　）‎ A．4π B．6 C．4‎3‎ D．‎8‎‎3‎π ‎【解答】解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A1BC＝90°．‎ 由旋转的性质，得A1C＝AC＝4．‎ 在Rt△A1BC中，cos∠ACA1‎=BCA‎1‎C=‎‎1‎‎2‎．‎ ‎∴∠ACA1＝60°．‎ ‎∴扇形ACA1的面积为‎60×π×‎‎4‎‎2‎‎360‎‎=‎8‎‎3‎π．‎ 即线段CA扫过的图形的面积为‎8‎‎3‎π．‎ 故选：D．‎ ‎10．（4分）（2020•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（　　）‎ A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2 ‎ C．y1＜y2 D．y1、y2的大小无法确定 ‎【解答】解：∵a﹣b2＞0，b2≥0，‎ ‎∴a＞0．‎ 又∵ab＜0，‎ ‎∴b＜0，‎ ‎∵x1＜x2，x1+x2＝0，‎ ‎∴x2＝﹣x1，x1＜0．‎ ‎∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，‎ ‎∴y‎1‎‎=ax‎1‎‎2‎+bx‎1‎+c，y‎2‎‎=ax‎2‎‎2‎+bx‎2‎+c=ax‎1‎‎2‎-bx‎1‎+c．‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴y1﹣y2＝2bx1＞0．‎ ‎∴y1＞y2．‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）‎ ‎11．（4分）（2020•株洲）关于x的方程3x﹣8＝x的解为x＝　4　．‎ ‎【解答】解：方程3x﹣8＝x，‎ 移项，得3x﹣x＝8，‎ 合并同类项，得2x＝8．‎ 解得x＝4．‎ 故答案为：4．‎ ‎12．（4分）（2020•株洲）因式分解：2a2﹣12a＝　2a（a﹣6）　．‎ ‎【解答】解：2a2﹣12a＝2a（a﹣6）．‎ 故答案为：2a（a﹣6）．‎ ‎13．（4分）（2020•株洲）计算‎2‎‎3‎‎×(‎8‎+‎2‎)‎的结果是　2　．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎2‎‎3‎×‎8‎+‎2‎‎3‎×‎‎2‎ ‎=‎2×8‎‎3‎+‎‎2×2‎‎3‎‎ ‎ ‎=‎4‎‎3‎+‎‎2‎‎3‎‎ ‎ ‎＝2．‎ 故答案是：2．‎ ‎14．（4分）（2020•株洲）王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：‎ 尺码 S M L XL XXL XXL 频率 ‎0.05‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.325‎ ‎0.3‎ ‎0.025‎ 则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有　8　个．‎ ‎【解答】解：由表可知尺码L的频率为0.2，又因为班级总人数为40，‎ 所以该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有40×0.2＝8．‎ 故答案是：8．‎ ‎15．（4分）（2020•株洲）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON＝　80　度．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【解答】解：根据正多边形性质得，中心角为：‎ ‎∠AOB＝360°÷9＝40°，‎ ‎∴∠MON＝2∠AOB＝80°．‎ 故答案为：80．‎ ‎16．（4分）（2020•株洲）如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为　‎3‎‎2‎　．‎ ‎【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，‎ ‎∴DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥BC，DE=‎1‎‎2‎BC，‎ ‎∵CF∥BE，‎ ‎∴四边形BCFE为平行四边形，‎ ‎∴BC＝EF＝3，‎ ‎∴DE=‎1‎‎2‎BC=‎‎3‎‎2‎．‎ 故答案为：‎3‎‎2‎．‎ 第22页（共22页）‎ ‎17．（4分）（2020•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y1‎=‎kx（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，边AB与函数y2‎=‎‎2‎x（x＞0）的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为　k﹣1　．（结果用含k的式子表示）‎ ‎【解答】解：∵D是反比例函数y‎2‎‎=‎2‎x(x＞0)‎图象上一点 ‎∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为‎1‎‎2‎‎×2=‎1．‎ ‎∵点B在函数y‎1‎‎=‎kx（x＞0，k为常数且k＞2）的图象上，四边形OABC为矩形，‎ ‎∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k．‎ ‎∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积﹣△AOD的面积＝k﹣1．‎ 故答案为：k﹣1．‎ ‎18．（4分）（2020•株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．‎ 问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为　4‎2‎　尺．（结果用最简根式表示）‎ 第22页（共22页）‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵四边形CDEF为正方形，‎ ‎∴∠D＝90°，CD＝DE，‎ ‎∴CE为直径，∠ECD＝45°，‎ 由题意得AB＝2.5，‎ ‎∴CE＝2.5﹣0.25×2＝2，‎ ‎∴CD＝CE‎⋅cos∠ECD=2×‎2‎‎2‎=‎‎2‎，‎ ‎∴∠ECD＝45°，‎ ‎∴正方形CDEF周长为‎4‎‎2‎尺．‎ 故答案为：‎4‎‎2‎．‎ 三、解答题（本大题共8小题，共78分）‎ ‎19．（2020•株洲）计算：（‎1‎‎4‎）﹣1+|﹣1|‎-‎‎3‎tan60°．‎ ‎【解答】解：原式＝4+1‎‎-‎3‎×‎‎3‎ ‎＝4+1﹣3‎ ‎＝2．‎ ‎20．（2020•株洲）先化简，再求值：（xy‎-‎yx）•yx+y‎-‎1，其中x‎=‎‎2‎，y＝2．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎x‎2‎‎-‎y‎2‎xy•yx+y‎-‎1‎ ‎=‎‎(x+y)(x-y)‎xy‎•yx+y‎-‎1‎ 第22页（共22页）‎ ‎=x-yx-‎‎1‎ ‎=‎‎-yx‎ ‎ ‎=-‎yx‎，‎ 当x‎=‎‎2‎，y＝2，原式‎=-‎‎2‎．‎ ‎21．（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为2‎6‎米．‎ ‎（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）‎ ‎（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC=AB‎2‎-AC‎2‎=‎324-24‎=10‎‎3‎；‎ ‎（2）∵∠α＝60°，‎ ‎∴∠AMN＝30°，‎ ‎∴AM＝2MN，‎ ‎∵在Rt△ABC中，AN2+MN2＝AM2，‎ ‎∴AN2+300＝4AN2‎ ‎∴AN＝10，‎ ‎∴AM＝20，‎ ‎∴AM﹣AB＝20﹣18＝2．‎ 综上所述，长度增加了2米．‎ 第22页（共22页）‎ ‎22．（2020•株洲）近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：‎ ‎（1）求该数据中每天代寄包裹数在50.5～200.5范围内的天数；‎ ‎（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．‎ ‎①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？‎ ‎②这60天中，该代办点为顾客代寄的包表中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：‎ 重量G（单位：千克）‎ ‎2＜G≤3‎ ‎3＜G≤4‎ ‎4＜G≤5‎ 件数（单位：件）‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎15‎ 求这40件包裹收取费用的平均数．‎ ‎【解答】解：（1）结合统计图可知：‎ 每天代寄包裹数在50.5～200.5范围内的天数为18+12+12＝42天；‎ ‎（2）①因为1.6＞1，故重量超过了1kg，‎ 第22页（共22页）‎ 除了付基础费用8元，还需要付超过1k部分0.6kg的费用2元，‎ 则该顾客应付费用为8+2＝10元；‎ ‎②（12×15+14×10+15×16）÷40＝14元．‎ 所以这40件包裹收取费用的平均数为14元．‎ ‎23．（2020•株洲）如图所示，△BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF、CF，满足△ABF≌△CBE．‎ ‎（1）求证：∠EBF＝90°．‎ ‎（2）若正方形ABCD的边长为1，CE＝2，求tan∠AFC的值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵△ABF≌△CBE，‎ ‎∴∠ABF＝∠CBE，‎ ‎∵∠ABF+∠CBF＝90°，‎ ‎∴∠CBF+∠CBE＝90°，‎ ‎∴∠EBF＝90°；‎ ‎（2）解：∵△ABF≌△CBE，‎ ‎∴∠AFB＝∠CEB，‎ ‎∵∠FGA＝∠EGB，‎ ‎∴∠FAC＝∠EBF＝90°，‎ ‎∵正方形边长为1，CE＝2．‎ ‎∴AC=‎‎2‎，AF＝CE＝2．‎ ‎∴tan∠AFC‎=ACAF=‎‎2‎‎2‎．‎ ‎24．（2020•株洲）AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足∠BCM＝∠BAC＝α．‎ 第22页（共22页）‎ ‎（1）如图①，求证：直线MN是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH⊥MN于点H，直线DH交⊙O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE‎=‎‎5‎‎3‎，若⊙O的半径为1，cosα‎=‎‎3‎‎4‎，求AG•ED的值．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，如图①，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠A+∠B＝90°，‎ ‎∵OC＝OB，‎ ‎∴∠B＝∠OCB，‎ ‎∵∠BCM＝∠A，‎ ‎∴∠OCB+∠BCM＝90°，即OC⊥MN，‎ ‎∴MN是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：如图②，∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，‎ ‎∴AB＝2，‎ ‎∵cos∠BAC‎=cosα=ACAB=‎‎3‎‎4‎，即AC‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎，‎ ‎∴AC=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∵∠AFE＝∠ACE，∠GFH＝∠AFE，‎ ‎∴∠GFH＝∠ACE，‎ ‎∵DH⊥MN，‎ ‎∴∠GFH+∠AGC＝90°，‎ ‎∵∠ACE+∠ECD＝90°，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴∠ECD＝∠AGC，‎ 又∵∠DEC＝∠CAG，‎ ‎∴△EDC∽△ACG，‎ ‎∴EDAC‎=‎ECAG，‎ ‎∴AG⋅DE=AC⋅CE=‎3‎‎2‎×‎5‎‎3‎=‎‎5‎‎2‎．‎ ‎25．（2020•株洲）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y‎=‎kx（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．‎ ‎（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；‎ ‎（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．‎ ‎①求证：△OAE≌△BOF；‎ ‎②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【解答】解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，‎ ‎∴OE=‎1‎‎2‎OC=‎‎5‎‎2‎，即：E点坐标为‎(0，‎5‎‎2‎)‎，‎ 又∵AE⊥y轴，AE＝1，‎ ‎∴A(1，‎5‎‎2‎)‎，‎ ‎∴k=1×‎5‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎．‎ ‎（2）①在△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，‎ ‎∴∠AOE+∠FOB＝90°，‎ 又∵BF⊥y轴，‎ ‎∴∠FBO+∠FOB＝90°，‎ ‎∴∠AOE＝∠FBO，‎ 在△OAE和△BOF中，‎ ‎∠AEO=∠OFB=90°‎‎∠AOE=∠FBOAO=BO‎，‎ ‎∴△OAE≌△BOF（AAS），‎ ‎②解：设点A坐标为（1，m），‎ ‎∵△OAE≌△BOF，‎ ‎∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1，‎ ‎∴B（m，﹣1），‎ 设直线AB解析式为：lAB：y＝kx+5，将AB两点代入得：‎ 第22页（共22页）‎ 则k+5=mkm+5=-1‎．‎ 解得k‎1‎‎=-3‎m‎1‎‎=2‎，k‎2‎‎=-2‎m‎2‎‎=3‎．‎ 当m＝2时，OE＝2，OA=‎‎5‎，S‎△AOB‎=‎5‎‎2‎＜3‎，符合；‎ ‎∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE＝1+CO+OE＝1+5+2＝8，‎ 当m＝3时，OE＝3，OA=‎‎10‎，S△AOB＝5＞3，不符，舍去；‎ 综上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8．‎ ‎26．（2020•株洲）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．‎ ‎（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b‎＜-‎‎5‎‎2‎时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．‎ ‎（3）若AB2‎=‎c‎2‎‎-2c+6‎c，点P的坐标为（‎-‎x‎0‎，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：y＝ax2﹣3x+a，‎ ‎∵函数过点（1，﹣1），‎ ‎∴a﹣3+a＝﹣1，‎ ‎∴a＝c＝1，‎ ‎∴y＝x2﹣3x+1；‎ 第22页（共22页）‎ ‎（2）由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．‎ ‎∴△＝b2﹣4ac＝4，‎ ‎∴4ac＝b2﹣4，‎ 在函数y‎1‎‎=ax‎2‎+(b+1)x+c中，‎△‎‎1‎‎=(b+1‎)‎‎2‎-4ac=(b+1‎)‎‎2‎-(b‎2‎-4)=2b+5‎，‎ ‎∵b＜-‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴2b+5＜0，‎ 即函数图象与x轴没有交点；‎ ‎（3）因为函数顶点在直线l上，则有‎4ac-‎b‎2‎‎4a‎=-1‎，‎ 即b2﹣4ac＝4a①，‎ ‎∵AB‎2‎=‎c‎2‎‎-2c+6‎c，‎ ‎∴‎(x‎2‎-x‎1‎‎)‎‎2‎=‎c‎2‎‎-2c+6‎c，‎ 即‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎=‎c‎2‎‎-2c+6‎c，‎ ‎∴b‎2‎‎-4aca‎2‎‎=‎c‎2‎‎-2c+6‎c，‎ 由①得：‎4‎a‎=‎c‎2‎‎-2c+6‎c②，‎ ‎∵∠OAP＝∠DAB，‎ ‎∴∠OAP＝∠OPB，‎ ‎∵∠OAP＝∠OBP+∠APB，∠OPB＝∠OPA+∠APB，‎ ‎∴∠OBP＝∠OPA，‎ 则△OAP∽△OPB．‎ ‎∴OAOP‎=‎OPOB，‎ ‎∴OA•OB＝OP2，‎ ‎∴x‎1‎x‎2‎‎=(-x‎0‎‎)‎‎2‎+(-1‎‎)‎‎2‎．‎ ‎∴ca‎=x‎0‎+1‎，∴x‎0‎‎=ca-1‎．由②得：x‎0‎‎=c‎2‎‎-2c+6‎‎4‎-1‎，‎ ‎∴x‎0‎‎=‎1‎‎4‎(c-1‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎4‎，∴当c＝1时，‎(x‎0‎‎)‎min=‎‎1‎‎4‎．‎ 第22页（共22页）‎