中考数学专题复习九中考压轴题 61页

专题九：二次函数压轴题 ‎【问题解析】‎ 中考压轴题是中考必不可少的试题，这类题一般是融代数、几何为一体的综合题，或者是解决实际问题的综合题．此类题注重对数学思想方法、探究性思维能力和创新思维能力的考查，涉及的知识比较多，信息量大，题目灵活，要求学生有较高的分析问题、解决问题的能力．它符合新课标对学生能力提高的要求．‎ 从近几年各省市中考数学压轴题来看，作为试卷的最后一题，一般都是循序渐进地设置几个问题，对学生的要求一步步的抬高．压轴题涉及知识多，覆盖面广，综合性强，难度系数大，关系比较复杂，解法灵活，既考查了学生的基础知识和基本技能，又考查了学生的数学思想方法和探索创新能力、解决问题能力，是必不可少的．近几年来主要以函数和几何综合题、二次函数与代数知识综合应用、一次函数与二次函数综合题、开放探究题等类型出现，‎ ‎【热点探究】‎ 类型一：抛物线与三角形的综合问题 ‎【例题1】（2016·云南省昆明市）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；‎ ‎（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；‎ ‎（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．‎ ‎【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0），‎ 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），‎ 把C（0，4）代入：4=﹣‎2a，‎ a=﹣2，‎ ‎∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4；‎ ‎（2）如图1，设点P（m，﹣‎2m2‎+‎2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D，‎ ‎∴S=S梯形+S△PDB=m（﹣‎2m2‎+‎2m+4+4）+（﹣‎2m2‎+‎2m+4）（2﹣m），‎ S=﹣‎2m2‎+‎4m+4=﹣2（m﹣1）2+6，‎ ‎∵﹣2＜0，‎ ‎∴S有最大值，则S大=6；‎ ‎（3）如图2，存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，‎ 理由是：‎ 设直线BC的解析式为：y=kx+b，‎ 把B（2，0）、C（0，4）代入得：，‎ 解得：，‎ ‎∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，‎ 设M（a，﹣‎2a+4），‎ 过A作AE⊥BC，垂足为E，‎ 则AE的解析式为：y=x+，‎ 则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），‎ 设Q（﹣x，0）（x＞0），‎ ‎∵AE∥QM，‎ ‎∴△ABE∽△QBM，‎ ‎∴①，‎ 由勾股定理得：x2+42=2×[a2+（﹣‎2a+4﹣4）2]②，‎ 由①②得：a1=4（舍），a2=，‎ 当a=时，x=，‎ ‎∴Q（﹣，0）．‎ ‎　【同步练】‎ ‎（2016·浙江省湖州市）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；‎ ‎（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；‎ ‎（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．‎ 类型二：抛物线与四边形的综合问题 ‎【例题2】2016·青海西宁·12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．‎ ‎（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）求证：四边形AMCD是菱形；‎ ‎（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；‎ ‎（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，进而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；‎ ‎（3）首先表示出△ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标．‎ ‎【解答】（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，‎ 则MA=MB=MC=ME=2，‎ 又∵CO⊥MB，‎ ‎∴MO=BO=1，‎ ‎∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），‎ 抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），‎ 设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）‎ 把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，‎ 解得：a=，‎ 故二次函数解析式为：y=（x+1）2﹣2；‎ ‎（2）证明：连接DM，‎ ‎∵△MBC为等边三角形，‎ ‎∴∠CMB=60°，‎ ‎∴∠AMC=120°，‎ ‎∵点D平分弧AC，‎ ‎∴∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，‎ ‎∵MD=MC=MA，‎ ‎∴△MCD，△MDA是等边三角形，‎ ‎∴DC=CM=MA=AD，‎ ‎∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；‎ ‎（3）解：存在．‎ 理由如下：‎ 设点P的坐标为（m，n）‎ ‎∵S△ABP=AB|n|，AB=4‎ ‎∴×4×|n|=5，‎ 即2|n|=5，‎ 解得：n=±，‎ 当时，（m+1）2﹣2=，‎ 解此方程得：m1=2，m2=﹣4‎ 即点P的坐标为（2，），（﹣4，），‎ 当n=﹣时，（m+1）2﹣2=﹣，‎ 此方程无解，‎ 故所求点P坐标为（2，），（﹣4，）．‎ ‎【同步练】‎ ‎（2016·四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．‎ 类型三：抛物线与图形变换的综合问题 ‎【例题3】（2016·陕西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）‎ ‎（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；‎ ‎（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；‎ ‎（2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）由抛物线过M、N两点，‎ 把M、N坐标代入抛物线解析式可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5，‎ 令y=0可得x2﹣3x+5=0，‎ 该方程的判别式为△=（﹣3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，‎ ‎∴抛物线与x轴没有交点；‎ ‎（2）∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上，‎ ‎∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2），‎ 可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，‎ ‎①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入可得，解得，‎ ‎∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2，‎ ‎∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，），‎ ‎∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；‎ ‎②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入可得，解得，‎ ‎∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2，‎ ‎∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，），‎ ‎∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．‎ ‎【同步练】‎ ‎（2016·重庆市A卷·12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E． ‎ ‎（1）判断△ABC的形状，并说明理由； ‎ ‎（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长； ‎ ‎（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C‎1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由． ‎ ‎ ‎ 类型四：抛物线下的动态最值问题 ‎【例题4】（2016·贵州安顺·14分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；‎ ‎（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；‎ ‎（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；‎ ‎（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），‎ ‎∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；‎ ‎（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，‎ ‎∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，‎ 连接BC，如图1所示，‎ ‎∵B（5，0），C（0，﹣），‎ ‎∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x﹣，‎ 当x=2时，y=1﹣=﹣，‎ ‎∴P（2，﹣）；‎ ‎（3）存在．‎ 如图2所示，‎ ‎①当点N在x轴下方时，‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），‎ ‎∴N1（4，﹣）；‎ ‎②当点N在x轴上方时，‎ 如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，‎ 在△AN2D与△M2CO中，‎ ‎∴△AN2D≌△M2CO（ASA），‎ ‎∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．‎ ‎∴x2﹣2x﹣=，‎ 解得x=2+或x=2﹣，‎ ‎∴N2（2+，），N3（2﹣，）．‎ 综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．‎ ‎【同步练】‎ ‎（烟台市 2015 中考 -24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5‎ ‎（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；‎ ‎（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 类型五：抛物线下的动态存在问题 ‎【例题5】（枣庄市 2015 中考 -25）如图，直线y=x+2与抛物线（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．‎ 思路分析：‎ 此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识解题时注意联系，对于题（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，很容易求得m的值，又因为已知抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．‎ 对于题（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，需要结合图形从三种情况进行分类讨论，分别求解．‎ 解题过程：‎ 解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，‎ ‎∴m=4+2=6，‎ ‎∴B（4，6），‎ ‎∵A（，）、B（4，6）在抛物线上，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为．‎ ‎（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（，），‎ ‎∴PC=（+2）﹣（），‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎∵PC＞0，‎ ‎∴当n=时，线段PC最大且为．‎ ‎（3）∵△PAC为直角三角形，‎ i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．‎ 由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；‎ ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．‎ 如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．‎ 过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，‎ ‎∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，‎ ‎∴M（3，0）．‎ 设直线AM的解析式为：y=kx+b，‎ 则：，解得，‎ ‎∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①‎ 又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②‎ 联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）‎ ‎∴C（3，0），即点C、M点重合．‎ 当x=3时，y=x+2=5，‎ ‎∴P1（3，5）；‎ iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．‎ ‎∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=2．‎ 如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，‎ 则点C在抛物线上，且C（，）．‎ 当x=时，y=x+2=．‎ ‎∴P2（，）．‎ ‎∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，‎ ‎∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）． ‎ 规律总结：‎ 熟练把握关于二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识是解此类综合性强的问题的关键．‎ ‎【同步练】‎ ‎（2016·内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；‎ ‎（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；‎ ‎（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？‎ ‎（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 类型六：抛物线与相似的综合问题 ‎【例题6】（烟台市 2014 中考 -26）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；‎ ‎（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．‎ ‎【解析】（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．‎ ‎（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD≌△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．‎ ‎（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．‎ ‎【解答】解：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a×22﹣2a﹣a，‎ 解得a=，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣．‎ ‎（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ACO+∠BCF=90°，‎ ‎∴∠ACO=∠CBF，‎ ‎∵∠AOC=∠CFB=90°，‎ ‎∴△AOC∽△CFB，‎ ‎∴=，‎ 设OC=m，则CF=2﹣m，则有=，‎ 解得m1=m2=1，‎ ‎∴OC=CF=1，‎ 当x=0时，y=﹣，‎ ‎∴OD=，‎ ‎∴BF=OD，‎ ‎∵∠DOC=∠BFC=90°，‎ ‎∴△OCD≌△FCB，‎ ‎∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，‎ ‎∴点B、C、D在同一直线上，‎ ‎∴点B与点D关于直线AC对称，‎ ‎∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．‎ ‎（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，‎ 解得k=﹣，‎ ‎∴y=﹣x+，代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．‎ 解得x=2或x=﹣2，‎ 当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×（﹣2）+=，‎ ‎∴点E的坐标为（﹣2，），‎ ‎∵tan∠EDG===，‎ ‎∴∠EDG=30°‎ ‎∵tan∠OAC===，‎ ‎∴∠OAC=30°，‎ ‎∴∠OAC=∠EDG，‎ ‎∴ED∥AC．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握．‎ ‎【同步练】‎ ‎（2016·湖北荆门·14分）如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．‎ ‎（1）求点A，点B的坐标；‎ ‎（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；‎ ‎（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．‎ ‎（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎【达标检测】‎ ‎1. （2016·湖北黄石·8分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．‎ 如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．‎ ‎（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；‎ ‎（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？‎ ‎2. （2016·广西百色·12分）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．‎ ‎（1）建立适当的平面直角坐标系，‎ ‎①直接写出O、P、A三点坐标；‎ ‎②求抛物线L的解析式；‎ ‎（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．‎ ‎3. （2016·广西桂林·12分）如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．‎ ‎（1）直接写出点A，C，D的坐标；‎ ‎（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．‎ ‎4. （2016·黑龙江齐齐哈尔·8分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）直接写出B、C两点的坐标；‎ ‎（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）‎ 注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）‎ ‎5. （枣庄市 2014 中考 -25）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．‎ ‎（1）求∠OBC的度数；‎ ‎（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；‎ ‎（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．‎ ‎6. （郴州市 2014 中考 -26）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；‎ ‎（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎7. （2016·湖北荆州·14分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．‎ 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．‎ ‎（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；‎ ‎（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；‎ ‎（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？‎ ‎8. （2016·福建龙岩·14分）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；‎ ‎（4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【参考答案】‎ 类型一：抛物线与三角形的综合问题 ‎　【同步练】‎ ‎（2016·浙江省湖州市）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；‎ ‎（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；‎ ‎（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；‎ ‎（2）点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；‎ ‎（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c得，‎ 解得 ‎∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，‎ 配方得y=﹣（x﹣1）2+5，‎ ‎∴点M的坐标为（1，5）；‎ ‎（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，‎ 解得 ‎∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F 把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）‎ ‎∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；‎ ‎（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）‎ ‎∵MG=1，GC=5﹣4=1‎ ‎∴MC==，‎ 把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为（﹣1，5），‎ ‎∵NG=GC，GM=GC，‎ ‎∴∠NCG=∠GCM=45°，‎ ‎∴∠NCM=90°，‎ 由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点 ‎①若有△PCM∽△BDC，则有 ‎∵BD=1，CD=3，‎ ‎∴CP===，‎ ‎∵CD=DA=3，‎ ‎∴∠DCA=45°，‎ 若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，‎ ‎∵∠PCH=45°，CP=‎ ‎∴PH==‎ 把x=代入y=﹣x+4，解得y=，‎ ‎∴P1（）；‎ 同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=‎ ‎∴P2（）；‎ ‎②若有△PCM∽△CDB，则有 ‎∴CP==3‎ ‎∴PH=3÷=3，‎ 若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；‎ 若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7‎ ‎∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．‎ ‎∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．‎ 类型二：抛物线与四边形的综合问题 ‎【同步练】‎ ‎（2016·四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．‎ ‎【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC的长相等，只有当BP与AC平行且相等时，四边形ACBP为菱形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；‎ ‎（3）利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，‎ 当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PM﹣AM|的最大值时M坐标，确定出|PM﹣AM|的最大值即可．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，‎ ‎∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），‎ ‎∴，‎ 解得：a=﹣，b=﹣，c=3，‎ ‎∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3；‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：‎ ‎∵OB=3，OC=4，OA=1，‎ ‎∴BC=AC=5，‎ 当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，‎ ‎∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，‎ ‎∴点P的坐标为（5，3），‎ 当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，‎ 则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；‎ ‎（3）设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0），‎ ‎∵A（1，0），P（5，3），‎ ‎∴，‎ 解得：k=，b=﹣，‎ ‎∴直线PA的解析式为y=x﹣，‎ 当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，‎ 当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，‎ ‎∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，‎ 解方程组，得或，‎ ‎∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为5．‎ ‎【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．．‎ 类型三：抛物线与图形变换的综合问题 ‎【同步练】‎ ‎（2016·重庆市A卷·12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E． ‎ ‎（1）判断△ABC的形状，并说明理由； ‎ ‎（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长； ‎ ‎（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C‎1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由． ‎ ‎ ‎ ‎【分析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形； ‎ ‎（2）先求出S△PCD最大时，点P（，），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，计算即可； ‎ ‎（3）△A′C1E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可． ‎ ‎【解答】解：（1）△ABC为直角三角形， ‎ 当y=0时，即﹣x2+x+3=0， ‎ ‎∴x1=﹣，x2=3 ‎ ‎∴A（﹣，0），B（3，0）， ‎ ‎∴OA=，OB=3， ‎ 当x=0时，y=3， ‎ ‎∴C（0，3）， ‎ ‎∴OC=3， ‎ 根据勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36， ‎ ‎∴AC2+BC2=48， ‎ ‎∵AB2=[3﹣（﹣）]2=48， ‎ ‎∴AC2+BC2=AB2， ‎ ‎∴△ABC是直角三角形， ‎ ‎（2）如图， ‎ ‎ ‎ ‎∵B（3，0），C（0，3）， ‎ ‎∴直线BC解析式为y=﹣x+3， ‎ 过点P作∥y轴， ‎ 设P（a，﹣ a2+a+3）， ‎ ‎∴G（a，﹣ a+3）， ‎ ‎∴PG=﹣a2+a， ‎ 设点D的横坐标为xD，C点的横坐标为xC， ‎ S△PCD=×（xD﹣xC）×PG=﹣（a﹣）2+， ‎ ‎∵0＜a＜3， ‎ ‎∴当a=时，S△PCD最大，此时点P（，）， ‎ 将点P向左平移个单位至P′，连接AP′，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M， ‎ 连接PM，点Q沿P→M→N→A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长， ‎ ‎∴P（，） ‎ ‎∴P′（，）， ‎ ‎∵点A（﹣，0）， ‎ ‎∴直线AP′的解析式为y=x+， ‎ 当x=0时，y=， ‎ ‎∴N（0，）， ‎ 过点P′作P′H⊥x轴于点H， ‎ ‎∴AH=，P′H=，AP′=， ‎ ‎∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN=+=； ‎ ‎（3）在Rt△AOC中， ‎ ‎∵tan∠OAC==， ‎ ‎∴∠OAC=60°， ‎ ‎∵OA=OA1， ‎ ‎∴△OAA1为等边三角形， ‎ ‎∴∠AOA1=60°， ‎ ‎∴∠BOC1=30°， ‎ ‎∵OC1=OC=3， ‎ ‎∴C1（，）， ‎ ‎∵点A（﹣，0），E（，4）， ‎ ‎∴AE=2， ‎ ‎∴A′E′=AE=2， ‎ ‎∵直线AE的解析式为y=x+2， ‎ 设点E′（a， a+2）， ‎ ‎∴A′（a﹣2，﹣2） ‎ ‎∴C1E′2=（a﹣2）2+（+2﹣）2=a2﹣a+7， ‎ C‎1A′2=（a﹣2﹣）2+（﹣2﹣）2=a2﹣a+49， ‎ ‎①若C‎1A′=C1E′，则C‎1A′2=C1E′2 ‎ 即： a2﹣a+7=a2﹣a+49， ‎ ‎∴a=， ‎ ‎∴E′（，5）， ‎ ‎②若A′C1=A′E′， ‎ ‎∴A′C12=A′E′2 ‎ 即： a2﹣a+49=28， ‎ ‎∴a1=，a2=， ‎ ‎∴E′（，7+），或（，7﹣）， ‎ ‎③若E′A′=E′C1， ‎ ‎∴E′A′2=E′C12 ‎ 即： a2﹣a+7=28， ‎ ‎∴a1=，a2=（舍）， ‎ ‎∴E′（，3+）， ‎ 即，符合条件的点E′（，5），（，7+），或（，7﹣），（，3+）． ‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点．‎ 类型四：抛物线下的动态最值问题 ‎【同步练】‎ ‎（烟台市 2015 中考 -24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5‎ ‎（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；‎ ‎（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）首先根据圆的轴对称性求出点D的坐标，将A、B、D三点代入，即可求出本题的答案；‎ ‎（2）由于点E与点B 关于x轴对称，所以，连接BF，直线BF与x轴的交点，即为点P，据此即可得解；‎ ‎（3）从CM=MQ，CM=CQ，MQ=CQ三个方面进行分析，据此即可得解．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）连接BD，‎ ‎∵AD是⊙M的直径，∴∠ABD=90°‎ ‎∴△AOB∽△ABD，‎ ‎∴=，‎ 在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，‎ 根据勾股定理得：AB=，‎ ‎∴，‎ ‎∴AD=5，‎ ‎∴DO=AD﹣AO=5﹣1=4，‎ ‎∴D（4，0），‎ 把点A（﹣1，0）、B（0，﹣2）、D（4，0）代入y=ax2+bx+c可得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线表达式为：；‎ ‎（2）连接FM，‎ 在Rt△FHM中，FM=，FH=，‎ ‎∴MH==2，‎ OM=AM﹣OA=﹣1=，‎ ‎∴OH=OM+MH=+2=，‎ ‎∴F（，），‎ 设直线BF的解析式为y=kx+b，‎ 则：，‎ ‎∴直线BF的解析式为：y=x﹣2，‎ 连接BF交x轴于点P，∵点E与点B关于x轴对称，‎ ‎∴点P即为所求，‎ 当y=0时，x=2，‎ ‎∴P（2，0）；‎ ‎（3）如图，CM=‎ 抛物线的对称轴为直线x=，‎ ‎∵OM=，∴点M在直线x=上，‎ 根据圆的对称性可知，点C与点B关于直线x=对称，‎ ‎∴点C（3，﹣2），‎ ‎①当CM=MQ=时，点Q可能在x轴上方，也可能在x轴下方，‎ ‎∴Q1（，），Q2（，），‎ ‎②当CM=CQ时，过点C作CN⊥MQ，‎ ‎∴MN=NQ=2，∴MQ=4，‎ ‎∴Q3（，﹣4），‎ ‎③当CQ4=MQ4时，过点C作CR⊥MQ，Q4V⊥CM，‎ 则：MV=CV=，Q4V=，‎ Rt△CRM∽Rt△Q4VM，‎ ‎∴，‎ 解得：MQ4=，‎ ‎∴Q4（，）‎ 综上可知，存在四个点，即：‎ Q1（，），Q2（，），Q3（，﹣4），Q4（，）．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数的抛物线的解析式的求法，以及根据对称求线段的最小值的问题，还考查了等腰三角形的知识和相似三角形的知识，是一道综合性很强的题目，注意认真总结．‎ 类型五：抛物线下的动态存在问题 ‎【同步练】‎ ‎（2016·内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；‎ ‎（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；‎ ‎（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？‎ ‎（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；‎ ‎（2）先求出GH，点F的坐标，用三角形的面积公式计算即可；‎ ‎（3）设出点M，用勾股定理求出点M的坐标，从而求出MD，最后求出时间t；‎ ‎（4）由∠PBF被BA平分，确定出过点B的直线BN的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣2）2+；‎ ‎（2）如图1，‎ 过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，‎ 由（1）有，C（0，﹣2），‎ ‎∵B（0，3），‎ ‎∴直线BC解析式为y=x﹣2，‎ ‎∵H（1，y）在直线BC上，‎ ‎∴y=﹣，‎ ‎∴H（1，﹣），‎ ‎∵B（3，0），E（0，﹣1），‎ ‎∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1，‎ ‎∴G（1，﹣），‎ ‎∴GH=，‎ ‎∵直线BE：y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+x﹣2相较于F，B，‎ ‎∴F（，﹣），‎ ‎∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|‎ ‎=GH×|xB﹣xF|‎ ‎=××（3﹣）‎ ‎=．‎ ‎（3）如图2，‎ 由（1）有y=﹣x2+x﹣2，‎ ‎∵D为抛物线的顶点，‎ ‎∴D（2，），‎ ‎∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，‎ ‎∴设M（2，m），（m＞），‎ ‎∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，‎ ‎∵∠OMB=90°，‎ ‎∴OM2+BM2=AB2，‎ ‎∴m2+4+m2+1=9，‎ ‎∴m=或m=﹣（舍），‎ ‎∴M（0，），‎ ‎∴MD=﹣，‎ ‎∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，‎ ‎∴t=﹣；‎ ‎（4）存在点P，使∠PBF被BA平分，‎ 如图3，‎ ‎∴∠PBO=∠EBO，‎ ‎∵E（0，﹣1），‎ ‎∴在y轴上取一点N（0，1），‎ ‎∵B（3，0），‎ ‎∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①，‎ ‎∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上，‎ 联立①②得，或（舍），‎ ‎∴P（，），‎ 即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．‎ 类型六：抛物线与相似的综合问题 ‎【同步练】‎ ‎（2016·湖北荆门·14分）如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．‎ ‎（1）求点A，点B的坐标；‎ ‎（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；‎ ‎（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．‎ ‎（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）在直线y=﹣x+2中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标；‎ ‎（2）由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；‎ ‎（3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到=，可判定△AFG与△AGB相似；‎ ‎（4）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4﹣2t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）在直线y=﹣x+2中，‎ 令y=0可得0=﹣x+2，解得x=2，‎ 令x=0可得y=2，‎ ‎∴A为（2，0），B为（0，2）；‎ ‎（2）由（1）可知OA=2，OB=2，‎ ‎∴tan∠ABO==，‎ ‎∴∠ABO=30°，‎ ‎∵运动时间为t秒，‎ ‎∴BE=t，‎ ‎∵EF∥x轴，‎ ‎∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t，‎ 在Rt△ABO中，OA=2，OB=2，‎ ‎∴AB=4，‎ ‎∴AF=4﹣2t；‎ ‎（3）相似．理由如下：‎ 当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，‎ 即t=4﹣2t，解得t=，‎ ‎∴AF=4﹣2t=4﹣=，OE=OB﹣BE=2﹣×=，‎ 如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，‎ 则四边形OEGH为矩形，‎ ‎∴GH=OE=，‎ 又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，‎ ‎∴OA=AH=2，‎ 在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22=，‎ 又AF•AB=×4=，‎ ‎∴AF•AB=AG2，即=，且∠FAG=∠GAB，‎ ‎∴△AFG∽△AGB；‎ ‎（4）存在，‎ ‎∵EG∥x轴，‎ ‎∴∠GFA=∠BAO=60°，‎ 又G点不能在抛物线的对称轴上，‎ ‎∴∠FGA≠90°，‎ ‎∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，‎ 又∠FGA=30°，‎ ‎∴FG=2AF，‎ ‎∵EF=t，EG=4，‎ ‎∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，‎ ‎∴4﹣t=2（4﹣2t），‎ 解得t=，‎ 即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2﹣t=2﹣×=，‎ ‎∴E点坐标为（0，），‎ ‎∵抛物线的顶点为A，‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，‎ 把E点坐标代入可得=‎4a，解得a=，‎ ‎∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2，‎ 即y=x2﹣x+．‎ ‎【达标检测】‎ ‎1. （2016·湖北黄石·8分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．‎ 如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．‎ ‎（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；‎ ‎（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？‎ ‎【分析】（1）构建待定系数法即可解决问题．‎ ‎（2）先求出馆内人数等于684人时的时间，再求出直到馆内人数减少到624人时的时间，即可解决问题．‎ ‎【解答】解（1）由图象可知，300=a×302，解得a=，‎ n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得b=﹣，‎ ‎∴y=，‎ ‎（2）由题意﹣（x﹣90）2+700=684，‎ 解得x=78，‎ ‎∴=15，‎ ‎∴15+30+（90﹣78）=57分钟 所以，馆外游客最多等待57分钟．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．‎ ‎2. （2016·广西百色·12分）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．‎ ‎（1）建立适当的平面直角坐标系，‎ ‎①直接写出O、P、A三点坐标；‎ ‎②求抛物线L的解析式；‎ ‎（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系．①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标；②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点E的坐标，结合三角形的面积公式找出S△OAE+SOCE关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．‎ ‎①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，‎ ‎∴点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（2，2）．‎ ‎②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，‎ ‎∵抛物线L经过O、P、A三点，‎ ‎∴有，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线L的解析式为y=﹣+2x．‎ ‎（2）∵点E是正方形内的抛物线上的动点，‎ ‎∴设点E的坐标为（m，﹣+‎2m）（0＜m＜4），‎ ‎∴S△OAE+SOCE=OA•yE+OC•xE=﹣m2+‎4m+‎2m=﹣（m﹣3）2+9，‎ ‎∴当m=3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9．‎ ‎3. （2016·广西桂林·12分）如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．‎ ‎（1）直接写出点A，C，D的坐标；‎ ‎（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）直接将点A的坐标代入y1=ax2﹣2ax+1得出m的值，因为由图象可知点A在第一象限，所以m≠0，则m=2，写出A，C的坐标，点D与点A关于点C对称，由此写出点D的坐标；‎ ‎（2）根据顶点坐标公式得出抛物线y1的顶点B的坐标，再由矩形对角线相等且平分得：BC=CD，在直角△BMC中，由勾股定理列方程求出a的值得出抛物线y1的解析式，由旋转的性质得出抛物线y2的解析式；‎ ‎（3）分两种情况讨论：①当0≤t≤1时，S=S△GHD=S△PDH+S△PDG，作辅助线构建直角三角形，求出PG和PH，利用面积公式计算；②当1＜t≤2时，S=S直角三角形+S矩形﹣S不重合，这里不重合的图形就是△GE′F，利用30°角和60°角的直角三角形的性质进行计算得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：‎ 将A（m，1）代入y1=ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1=1，‎ 解得：m1=2，m2=0（舍），‎ ‎∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）；‎ ‎（2）如图1，由（1）知：B（1，1﹣a），过点B作BM⊥y轴，‎ 若四边形ABDE为矩形，则BC=CD，‎ ‎∴BM2+CM2=BC2=CD2，‎ ‎∴12+（﹣a）2=22，‎ ‎∴a=，‎ ‎∵y1抛物线开口向下，‎ ‎∴a=﹣，‎ ‎∵y2由y1绕点C旋转180°得到，则顶点E（﹣1，1﹣），‎ ‎∴设y2=a（x+1）2+1﹣，则a=，‎ ‎∴y2=x2+2x+1；‎ ‎（3）如图1，当0≤t≤1时，则DP=t，构建直角△BQD，‎ 得BQ=，DQ=3，则BD=2，‎ ‎∴∠BDQ=30°，‎ ‎∴PH=，PG=t，‎ ‎∴S=（PE+PF）×DP=t2，‎ 如图2，当1＜t≤2时，EG=E′G=（t﹣1），E′F=2（t﹣1），‎ S不重合=（t﹣1）2，‎ S=S1+S2﹣S不重合=+（t﹣1）﹣（t﹣1）2，‎ ‎=﹣；‎ 综上所述：S=t2（0≤t≤1）或S=﹣（1＜t≤2）．‎ ‎4. （2016·黑龙江齐齐哈尔·8分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）直接写出B、C两点的坐标；‎ ‎（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）‎ 注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）利用对称轴方程可求得b，把点A的坐标代入可求得c，可求得抛物线的解析式；‎ ‎（2）根据A、B关于对称轴对称可求得点B的坐标，利用抛物线的解析式可求得B点坐标；‎ ‎（3）根据B、C坐标可求得BC长度，由条件可知BC为过O、B、C三点的圆的直径，可求得圆的面积．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）由A（﹣1，0），对称轴为x=2，可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5；‎ ‎（2）由A点坐标为（﹣1，0），且对称轴方程为x=2，可知AB=6，‎ ‎∴OB=5，‎ ‎∴B点坐标为（5，0），‎ ‎∵y=x2﹣4x﹣5，‎ ‎∴C点坐标为（0，﹣5）；‎ ‎（3）如图，连接BC，则△OBC是直角三角形，‎ ‎∴过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度，‎ 在Rt△OBC中，OB=OC=5，‎ ‎∴BC=5，‎ ‎∴圆的半径为，‎ ‎∴圆的面积为π（）2=π．‎ ‎5. （枣庄市 2014 中考 -25）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．‎ ‎（1）求∠OBC的度数；‎ ‎（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；‎ ‎（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．‎ 思路分析：‎ ‎（1）结合抛物线图形可知，可求三角形OBC的各个顶点，易知三角形形状及内角．‎ ‎（2）因为抛物线已固定，则S四边形OCDB固定，对于坐标系中的不规则图形常用分割求和、填补求差等方法求面积，本图形过顶点作x轴的垂线及可将其分为直角梯形及直角三角形，面积易得．由此可得E点坐标，进而可求ED直线方程，与抛物线解析式联立求解即得P点坐标．‎ ‎（3）根据图像分析PF的长度即为yF﹣yP．由于P、F的横坐标相同，则可直接利用解析式作差得到一个二次函数，再由所得的二次函数性质讨论最值，解法常规．‎ 解题过程：‎ 解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），‎ ‎∴由题意得，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4）．‎ 在Rt△OBC中，‎ ‎∵OC=OB=3，‎ ‎∴△OBC为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠OBC=45°．‎ ‎（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于H，‎ 此时S四边形OCDB=S梯形OCDH+S△HBD，‎ ‎∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，‎ ‎∴S梯形OCDH=•（OC+HD）•OH=，‎ S△HBD=•HD•HB=4，‎ ‎∴S四边形OCDB=．‎ ‎∴S△OCE=S四边形OCDB==，‎ ‎∴OE=5，‎ ‎∴E（5，0）．‎ 设lDE：y=kx+b，‎ ‎∵D（1，﹣4），E（5，0），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴lDE：y=x﹣5．‎ ‎∵DE交抛物线于P，设P（x，y），‎ ‎∴x2﹣2x﹣3=x﹣5，‎ 解得 x=2 或x=1（D点，舍去），‎ ‎∴xP=2，代入lDE：y=x﹣5，‎ ‎∴P（2，﹣3）．‎ ‎（3）如图2，‎ 设lBC：y=ax+t（a≠0），‎ ‎∵B（3，0），C（0，﹣3），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴lBC：y=x﹣3．‎ ‎∵F在BC上，‎ ‎∴yF=xF﹣3，‎ ‎∵P在抛物线上，‎ ‎∴，‎ ‎∴线段PF长度=﹣=﹣3﹣（），‎ ‎∵xP=xF，‎ ‎∴线段PF长度==，（1＜＜3），‎ ‎∴当xP=时，线段PF长度最大为． ‎ 规律总结：‎ 解决本题关键是把握抛物线图象性质、已知两点求直线解析式、直角三角形性质及二次函数最值等基础知识点并能灵活运用．‎ ‎6. （郴州市 2014 中考 -26）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C ‎（0，2）三点．‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；‎ ‎（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 思路分析：‎ ‎（1）已知三点坐标可根据一般式来利用待定系数法即可求得；‎ ‎（2）根据题意进行辅助线作图，如答图1，四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．求出△PBC面积的表达式，然后利用二次函数性质求出最值；‎ ‎（3），通过辅助线展示，如答图2，DE为线段AC的垂直平分线，则点A、C关于直线DE对称．连接AM，与DE交于点G，此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．分别求出直线DE、AM的解析式，联立后求出点G的坐标．‎ 解题过程：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴这条抛物线的解析式为：．‎ ‎（2）设直线BC的解析式为：，将B（2，0）、C（0，2）代入得：‎ ‎，解得，‎ ‎∴直线BC的解析式为：．‎ 如答图1，连接BC．‎ 四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．‎ 设P（，），‎ 过点P作PF∥y轴，交BC于点F，则F（，﹣+2）．‎ ‎∴PF=（）﹣（）=．‎ S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF（xF﹣xC）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xC）=PF ‎∴S△PBC==‎ ‎∴当x=1时，△PBC面积最大，即四边形ABPC面积最大．此时P（1，2）．‎ ‎∴当点P坐标为（1，2）时，四边形ABPC的面积最大．‎ ‎（3）存在．‎ ‎∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，‎ ‎∴∠ACO=∠AED，又∵∠CAO=∠CAO，‎ ‎∴△AOC∽△ADE，‎ ‎∴，即，解得AE=，‎ ‎∴E（，0）．‎ ‎∵DE为线段AC的垂直平分线，‎ ‎∴点D为AC的中点，∴D（，1）．‎ 可求得直线DE的解析式为： ①．‎ ‎∵y==，∴M（，）．‎ 又A（﹣1，0），则可求得直线AM的解析式为：②．‎ ‎∵DE为线段AC的垂直平分线，‎ ‎∴点A、C关于直线DE对称．‎ 如答图2，连接AM，与DE交于点G，‎ 此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．‎ 联立①②式，可求得交点G的坐标为（，）．‎ ‎∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，点G的坐标为（，）．‎ 规律总结：‎ 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、相似三角形、轴对称﹣最短路线、图形面积计算、最值等知识点等知识点，在解决运用时注意引导学生各个知识点的综 ‎　‎ ‎7. （2016·湖北荆州·14分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．‎ 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．‎ ‎（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；‎ ‎（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；‎ ‎（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？‎ ‎【分析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线；‎ ‎（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；‎ ‎（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵点D（m，n），‎ ‎∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；‎ ‎（2）点D有一条特征线是y=x+1，‎ ‎∴n﹣m=1，‎ ‎∴n=m+1‎ ‎∵抛物线解析式为，‎ ‎∴y=（x﹣m）2+m+1，‎ ‎∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），‎ ‎∴B（‎2m，‎2m），‎ ‎∴（‎2m﹣m）2+n=‎2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；‎ ‎∴D（2，3），‎ ‎∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3‎ ‎（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，‎ 根据题意可得，D（2，3），‎ ‎∴OA′=OA=4，OM=2，‎ ‎∴∠A′OM=60°，‎ ‎∴∠A′OP=∠AOP=30°，‎ ‎∴MN==，‎ ‎∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．‎ 乳头，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，‎ ‎∵顶点落在OP上，‎ ‎∴A′与D重合，‎ ‎∴A′（2，3），‎ 设P（4，c）（c＞0），‎ 由折叠有，PD=PA，‎ ‎∴=c，‎ ‎∴c=，‎ ‎∴P（4，）‎ ‎∴直线OP解析式为y=，‎ ‎∴N（2，），‎ ‎∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=，‎ 即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．‎ ‎8. （2016·福建龙岩·14分）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；‎ ‎（4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）因为抛物线经过点A（﹣4，0），B（1，0），所以可以设抛物线为y=﹣（x+4）（x﹣1），展开即可解决问题．‎ ‎（2）先证明∠ACB=90°，点A就是所求的点P，求出直线AC解析式，再求出过点B平行AC的直线的解析式，利用方程组即可解决问题．‎ ‎（3）分AC为平行四边形的边，AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣1），即y=﹣x2﹣x+2；‎ ‎（2）存在．‎ 当x=0，y═﹣x2﹣x+2=2，则C（0，2），‎ ‎∴OC=2，‎ ‎∵A（﹣4，0），B（1，0），‎ ‎∴OA=4，OB=1，AB=5，‎ 当∠PCB=90°时，‎ ‎∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25‎ ‎∴AC2+BC2=AB2‎ ‎∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，‎ ‎∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为（﹣4，0）；‎ 当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1，‎ 设直线AC的解析式为y=mx+n，‎ 把A（﹣4，0），C（0，2）代入得，解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x+2，‎ ‎∵BP∥AC，‎ ‎∴直线BP的解析式为y=x+p，‎ 把B（1，0）代入得+p=0，解得p=﹣，‎ ‎∴直线BP的解析式为y=x﹣，‎ 解方程组得或，此时P点坐标为（﹣5，﹣3）；‎ 综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；‎ ‎（3）存在点E，设点E坐标为（m，0），F（n，﹣n2﹣n+2）‎ ‎①当AC为边，CF1∥AE1，易知CF1=3，此时E1坐标（﹣7，0），‎ ‎②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为﹣2，‎ ‎∴﹣n2﹣n+2=﹣2，解得n=，得到F2（，﹣2），F3（，﹣2），‎ 根据中点坐标公式得到： =或=，‎ 解得m=或，‎ 此时E2（，0），E3（，0），‎ ‎③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4（﹣1，0），‎ 综上所述满足条件的点E为（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，﹣2）或（，﹣2）．‎