中考数学复习特殊的平行四边形 45页

‎2013年中考数学复习特殊的平行四边形 ‎（2012湖南益阳，7，4分）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（     ）‎ ‎ A．平行四边形 B．矩形 ‎ ‎ C．菱形 D．梯形 ‎ ‎【解析】从题目中（BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，）可以得到四边形ABCD的两组对边分别相等，所以得到四边形ABCD是平行四边形。‎ ‎【答案】A ‎【点评】根据尺规作图得到对边相等，只要考生记住两组对边分别相等的四边形是平行四边形这一定义，就可以得到答案，难度不大。‎ ‎（2012湖北襄阳，9，3分）如图4，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是 A．△AED≌△BFA B．DE－BF＝EF C．△BGF∽△DAE D．DE－BG＝FG 图4‎ A C B D E F G ‎【解析】由ABCD是正方形，得AD＝BA，∠BAD＝∠ABG＝90°，∴∠DAE＋∠BAF＝90°．又∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG，∠BAF＋∠ABF＝90°．∴∠DAE＝∠ABF．而∠AED＝∠BFA＝90°，∴△AED≌△BFA．∴DE＝AF，AE＝BF．∴DE－BF＝AF－AE＝EF．由AD∥BC得∠DAE＝∠BGF及∠AED＝∠GFB＝90°，可知△BGF∽△DAE．可见A，B，C三选项均正确，只有D选项不能确定．‎ ‎【答案】D ‎【点评】此题是由人教课标版数学教材八年级下册第104页的第15题改编而成，并将九年级下册第48页练习2融合进来，源于教材而又高于教材，综合考查了正方形的性质、全等三角形、相似三角形知识，是一道不可多得的基础好题．‎ ‎（2012山东泰安，9，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）‎ A. 3 B.‎3.5 C.2.5 D.2.8 ‎ A B C D E O ‎【解析】设CE的长为x,因为EO垂直平分AC，所以AE=CE=x,所以ED=4-x, 在Rt△CED中，由勾股定理得CD2+ED2=CE2，22+（4-x）2=x2,解得x=2.5.‎ ‎【答案】C.‎ ‎【点评】本题在矩形中综合考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，用方程的思想解几何问题是一种行之有效的思想方法。‎ ‎（2012安徽，14，5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：‎ ‎ ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ‎ ‎ ③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.‎ 解析：过点P分别向AD、BC作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半，同理，过点P分别向AB、CD作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半. =,又因为，则=,所以④一定成立 答案：②④．‎ 点评：本题利用三角形的面积计算，能够得出②成立，要判断④成立，在这里充分利用所给条件，对等式进行变形.不要因为选出②，就认为找到答案了，对每个结论都要分析，当然感觉不一定对的，可以举反例即可.对于 ④这一选项容易漏选.‎ ‎（2012江苏盐城，15，3分）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加上的一个条件是 （填上你认为正确的一个答案即可）.‎ ‎【解析】本题考查了矩形的判定.掌握矩形的定义和判定方法是关键.由四边形ABCD的两组对边AB=DC，AD=BC知：四边形ABCD是平行四边形，而“有一个角是直角或对角线相等”的平行四边形的矩形，故可填的条件是：四边形ABCD内有一个直角或AC=BD.‎ ‎【答案】答案不唯一，如∠A=90°或AC=BD，等.‎ ‎【点评】本例考查平行四边形和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定方法，及其相互关系.‎ ‎（2012湖南湘潭，20，6分）如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为.‎ ‎【解析】要利用条件确定矩形的长和宽，设矩形的长为X，宽为，‎ 根据条件要求：0＜X≤25且0＜X+≤50，且X≥，‎ 从而确定20≤X≤25，再设计一种具体砌法，若X取20，则=15，‎ 矩形花园的BC长‎20米，AB长‎15米。若X取25，则=12，矩形花园的BC长‎25米，AB长‎12米。等等。‎ ‎【答案】设矩形的长为X，宽为，‎ 根据条件要求：0＜X≤25且0＜X+≤50，且X≥，‎ 从而确定20≤X≤25，再设计一种具体砌法，如，‎ 矩形花园的BC长‎20米，AB长‎15米。或矩形花园的BC长‎25米，AB长‎12米。等等。‎ ‎【点评】此题考查了矩形的面积和不等式的解集。根据限制条件列不等式，确定矩形的长和宽的取值范围，‎ 并由矩形面积选取矩形的长和宽的具体值。‎ ‎（2012浙江省绍兴，15，5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB`与AD的交点C`处.则BC∶AB的值为 ▲ .‎ ‎【解析】连接CC′，根据题意可知∠AEF=90°，又C、C′关于EF对称，所以CC′⊥EF，所以AE∥CC′，又AC′∥EC，所以四边形AECC′是平行四边形，又∠B=∠AB′E=90°，所以四边形AECC′是菱形，所以∠EAC=∠ECA，又∠EAC=∠BAE，所以∠EAC=∠ECA=∠BAE=30°，在Rt△ABC中，BC：AB=．‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】解答折叠问题的关键是利用折叠前后其中相等的边和相等的角之间的等量关系．．‎ ‎（2012湖南湘潭，19，6分）如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知,‎ ‎,,请你计算车位所占的宽度约为多少米？‎ ‎（，结果保留两位有效数字.）‎ ‎【解析】运用直角三角形边角关系或三角函数值求出DE和DF的长。‎ ‎【答案】在直角三角形CDF中，,DF=CD=2.7,∠ADE=900-∠CDF=∠DCF=300, 在直角三角形ADE中，DE=ADcos∠ADE=2×=,FE=DF+DE=2.7+≈4.43.‎ ‎【点评】此题考查了矩形和直角三角形边角关系及三角函数值的运用。[来源:学+‎ ‎（2012四川成都，9，3分）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）‎ A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC 解析：本题考查的是菱形的性质，菱形是特殊的平行四边形，所以四边形具有的性质，菱形都有，所以选项A、D都是对的；另外菱形还有自己特殊的性质，对角线互相垂直等等，所以选项C也是对的。所以，根据排除法可知，选项B是错误。‎ 答案：选B 点评：平行四边形及各种特殊的平行四边形的性质，是一个重要的考点，同学们要能结合图形熟练掌握它们的性质和判定。‎ ‎ (2012山东省临沂市，17，3分）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB,∠BDE=700，则∠CAD= 0.‎ ‎ ‎ ‎【解析】∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形，又∵AD⊥DB, ∠BDE=700，∴∠ADE=200，∠DEF=550，∴∠DAE=350，∴∠CAD=700.‎ ‎【答案】700‎ ‎【点评】此题主要考查了学生对线段垂直平分线及菱形的性质和判定的理解及运用．菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．‎ ‎ (2012山东省聊城，19，8分）矩形ABCD对角线相交与O，DE//AC，CE//BD.‎ 求证：四边形OCED是菱形.‎ 解析：可以先证四边形OCED是平行四边形，再找一组邻边相等.‎ 解：因为DE//AC，CE//BD， 所以四边形OCED是平行四边形.‎ 又因为在矩形ABCD，BD、AC是对角线，‎ 所以AC=BD，OC=OD=AC=BD.‎ 所以四边形OCED是菱形.‎ 点评：熟练掌握菱形判断方法是解题的关键.‎ ‎（2012湖北襄阳，23，7分）如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．‎ ‎（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；‎ ‎（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．‎ 图10‎ A C B D E F ‎【解析】（1）通过证明△DEC≌△AEB，得AB＝CD．（2）运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”易发现四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，从而有AB∥DE，然后结合菱形的性质，发现AB需与AC垂直，接着发现△ABE是等边三角形即可解决问题．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DEC＝∠EDA，∠BEA＝∠EAD．‎ 又∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA．‎ ‎∴∠DEC＝∠AEB．‎ 又∵EB＝EC，∴△DEC≌△AEB．‎ ‎∴AB＝CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．‎ ‎（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．‎ 证明：∵AD∥BC，BE＝EC＝AD，‎ ‎∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．‎ ‎∴AB＝ED．‎ ‎∵AB⊥AC，∴AE＝BE＝EC．‎ ‎∴四边形AECD是菱形．‎ 过A作AG⊥BE于点G，∵AE＝BE＝AB＝2，‎ ‎∴△ABE是等边三角形，∠AEB＝60°．∴AG＝．‎ ‎∴S菱形AECD＝ECAG＝2×＝．‎ ‎【点评】第（1）问简单，第（2）问属于条件开放探究性问题，解答时，可以“执果索因”，从题目的结论出发逆向追索，再通过综合分析推理而获得结果．‎ ‎（2012浙江省温州市，19，8分）如图，△ABC中，，AB=‎6cm,BC=‎8cm。将△ABC沿射线BC方向平移‎10cm，得到△DEF，A,B,C的对应点分别是D,E,F，连结AD。求证：四边形ACFD是菱形。‎ ‎【解析】把握平移的特征：平移不改变图形的形状和大小，对应线段相等，平行（或在同一条直线上．菱形判定方法：邻边相等的平行四边形；四条边相等的四边形。‎ ‎【答案】证法一：∵∠B=90°，AB=‎6cm， BC=‎8cm，‎ ‎∴AC=‎10cm．‎ 由平移变换的性质得 CF=AD=‎10cm，DF=AC，‎ ‎∴AD=CF=AC=DF，‎ ‎∴四边形ACFD是菱形．‎ 证法二：由平移变换的性质得AD∥CF，AD=CF=‎10cm，‎ ‎∴四边形ACFD是平行四边形．‎ ‎∵∠B=90°，AB=‎6cm， BC=‎8cm，‎ ‎∴AC=‎10cm．‎ ‎∴AC =CF，‎ ‎∴AD=CF=AC=DF，‎ ‎∴是菱形．‎ ‎【点评】本题考察了平移及菱形的判定方法，难度不大．‎ ‎（2012浙江省嘉兴市，19，8分）如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.‎ ‎(1)求证:BD=EC; ‎ ‎(2)若∠E=50° ,求∠BAO的大小.‎ ‎【解析】（1）证得四边形BECD是平行四边形即可；（2）先证∠ABO＝∠E＝50°.再证∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.‎ ‎【答案】（1）∵菱形ABCD，∴AB＝CD,AB∥CD,又∵BE=AB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC.‎ ‎（2）∵BECD,∴BD∥CE,∴∠ABO＝∠E＝50°.又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD,∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°‎ ‎【点评】本题主要考查学生的逻辑推理能力，要求能灵活运用菱形的性质及平行四边形的判定、性质进行推理论证.中档题. ‎ 本市若干天空气质量情况条形统计图 ‎（2012北京，19，5）如图，在四边形中，对角线交于点，‎ ‎．求的长和四边形的面积．‎ ‎【解析】利用特殊的度数解直角三角形，并求其面积。‎ ‎【答案】过点D作DF⊥AC ‎ ∵∠CED=45°，DF⊥EC，DE=‎ ‎ ∴EF=DF=1‎ ‎ 又∵∠DCE=30°‎ ‎ ∴DC=2‎ ‎ ∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=‎ ‎ ∴AE=2‎ ‎ ∴AC=2+1+=3+‎ ‎ ∴S四边形ABCD=‎ ‎【点评】本题考查了已知特殊角（如45°、30°）和其邻边的长度，利用这些条件构造直角三角形，求出其它边的长度。‎ ‎（2012湖南娄底，23，9分）如图11，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点.‎ ‎ （1）求证：△MBA≌△NDC；‎ ‎ （2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由.‎ A D C B M N P Q ‎【解析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；‎ ‎（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．‎ ‎【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=AD，CN=BC，∴AM=CN，在△MAB≌△NDC，∵ AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN，∴△MAB≌△NDC； （2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：连接AN，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，‎ ‎∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ，∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，∴△MQD≌△NPB．∴四边形MPNQ是平行四边形，∵M是AB中点，Q是DN中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM，∴MP=BM，∴MP=MQ，∴四边形MQNP是菱形．‎ ‎【点评】此题主要考查了菱形的判定与矩形的判定，灵活地应用矩形与菱形的性质是解决问题的关键．‎ ‎23．（2012江苏盐城，23，10分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=900，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC．‎ ‎（1）求证：DE=EC．‎ ‎（2）若AD=BC,试判断四边形ABED的形状，并说明理由．‎ 第23题图 ‎【解析】本题考查了平行四边形、菱形的性质与判定．掌握判定的方法是关键.（1）根据条件可用等角对等边来证明（2）先证四边形BCDE是平行四边形，然后再证它是菱形.‎ ‎【答案】（1）∵∠BDC=900，∴∠BDE+∠CDE=900，∠B+∠C=900，由∵∠BDE=∠DBC，∴∠CDE=∠C，∴DE=EC．‎ ‎（2）∵∠BDE=∠DBC，∴BE=DE，∴BE=EC，又∵AD=BC，∴AD=BE，又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，又∵BE=DE，∴四边形ABED是菱形．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的判定定理、菱形的判定定理.‎ ‎（2011山东省潍坊市 ‎，题号22，分值10）22、(本题满分10分)如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC与M，交BD于E，过C作CN⊥ＡＤ于Ｎ，交ＢＤ于Ｆ，连结AF、CE.‎ ‎（1）求证：四边形AECF为平行四边形；‎ ‎（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值。‎ 考点：平行四边形的判定，菱形的判定 解答：（1）证明：因为AE⊥BC，所以∠AMB=90°，‎ 因为CN⊥ＡＤ，所以∠CNA=90°‎ 又因为BC∥AD，所以∠BCN=90°‎ 所以AE∥CF 又由平行得∠ADE=∠CBD,AD=BC 所以△ADE≌△BCF，所以AE=CF 因为AE∥CF，AE=CF所以四边形AECF为平行四边形.‎ ‎（2）当平行四边形AECF为菱形时，连结AC交BF于点O，‎ 则AC与EF互相垂直平分，‎ 又OB=OD,‎ 所以AC与BD互相垂直平分 所以，四边形ABCD为菱形 所以AB=BC 因为M是BC的中点，AM⊥BC，‎ 所以△ABM≌△CAM，‎ 所以AB=AC 为等边三角形，‎ 所以∠ABC=60°，∠CBD=30° ‎ 在RT△BCF中，CF:BC=tan∠CBF=,‎ 又AE=CF,AB=BC,‎ 所以AB：AE= ‎ 点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，解直角三角形的有关知识。解决此类综合问题的关键在于根据已知图形，联想到它的性质，选择其中的部分性质进行计算或证明。‎ ‎ (2012重庆，24，10分)已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2。‎ ‎(1）若CE=1，求BC的长；(2）求证AM=DF+ME。‎ 解析：延长DF,BA交于G，可证△CEM≌△CFM, △CDF≌△BGF,通过线段的简单运算，即可求得。‎ 答案：（1）∵四边形ABCD是菱形∴CB=CD,AB∥CD∴∠1=∠ACD ,∵∠1=∠2 ∴∠2=∠ACD ∴MC=MD ∵ME⊥CD ∴CD=2CE=2 ∴BC=CD=2‎ ‎(2) 延长DF,BA交于G，∵四边形ABCD是菱形∴∠BCA=∠DCA , ∵BC=2CF,CD=2CE ∴CE=CF ∵CM=CM∴△CEM≌△CFM, ∴ME=MF∵AB∥CD∴∠2=∠G, ∠GBF=∠BCD∵CF=BF∴△CDF≌△BGF∴DF=GF∵∠1=∠2, ∠G=∠2∴∠1=∠G∴AM=GM=MF+GF=DF+ME 点评：利用三角形全等来解决线段的有关问题是常见的思考方法，遇到中点延长一倍，是常见的辅助性做法。‎ ‎ (2012山东省临沂市，22，7分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.‎ ‎（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；‎ ‎（2）若∠ABC=900，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形。‎ ‎【解析】（1）证明△ABC≌△DEF，即可得到∴BC=EF,BC∥EF,根据一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形即可判断；‎ ‎（2）假设四边形BCEF是菱形，连接BE，当∠ABC=900，AB=4，BC=3时，应用勾股定理可求得AC=,可求得△ABC∽△BGC,应用三角形相似的性质求得AF=，所以当AF=时，四边形BCEF是菱形．‎ 解：（1）读图分析线段FC是公共部分，∵AF=DC,‎ ‎∴AF+FC=DC+FC,即AC=DF，‎ 又∵AB=DE,∠A=∠D,∴△ABC≌△DEF,‎ ‎∴BC=EF,∠ACB=∠DFE.‎ ‎∴BC∥EF,∴四边形BCEF是平行四边形;‎ ‎（2）若四边形BCEF是菱形，连接BE，交CF于点G，‎ ‎∴BE⊥CF,FG=CG,‎ ‎∵∠ABC=900，AB=4，BC=3，由勾股定理得，‎ AC=,‎ ‎∵∠BGC=∠ABC=900，∠ACB=∠BCG,‎ ‎∴△ABC∽△BGC,‎ ‎∴,即,CG=,∴FC=2CG=.‎ ‎∴AF=AC-FC=5-=.‎ ‎∴当AF=时，四边形BCEF是菱形。‎ ‎【点评】本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键．‎ ‎23.3 正方形 ‎（2012贵州铜仁，18，4分以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是__________．‎ ‎ ‎ ‎【解析】如图∵四边形CDEF是正方形，‎ ‎∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD， ‎ ‎∵AO⊥OB，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ ‎∴∠COA+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，‎ ‎∴∠COA=∠DOB，‎ ‎∵在△COA和△DOB中，‎ ‎∴△COA≌△DOB，‎ ‎∴OA=OB，‎ ‎∵∠AOB=90°，‎ ‎∴△AOB是等腰直角三角形，‎ 由勾股定理得：AB==OA，‎ 要使AB最小，只要OA取最小值即可，‎ 根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，‎ ‎∵正方形CDEF，‎ ‎∴FC⊥CD，OD=OF，‎ ‎∴CA=DA，‎ ‎∴OA=CF=1，‎ ‎∴AB=OA=‎ ‎【解答】.‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等知识，题目具有代表性，有一定的难度。解答本题关键是判断AB=2OA时，AB最小，即OA与OB分别与正方形边长垂直时AB有最小值。‎ ‎( 2012年浙江省宁波市,12,3)勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中，就有“若勾三，股四，则弦五”记载，如图1是由边长相等的小正形和直角三角形构成的可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=900,AB=3,AC=4,D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 ‎(A)90 (B)100 (C)110 (D)121‎ ‎【解析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，‎ 所以，四边形AOLP是正方形，‎ 边长AO=AB+AC=3+4=7，‎ 所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，‎ 因此，矩形KLMJ的面积为10×11=110．‎ 故选C．‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．‎ ‎（2012四川内江，21，9分）如图11，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是正方形；‎ ‎（2）当AE＝2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．‎ C B A D E F G 图11‎ ‎【解析】（1）四边形ABCD是矩形，只需证得一组邻边相等即可说明它是正方形．接下来通过证明△AED≌△CED得AD＝CD解决问题．（2）由（1）中全等三角形得AE＝CE，∠DAE＝∠DCE，再由BG∥AD得∠G＝∠EAD，从而∠DCE＝∠G，这样就可证明△CEG∽△FEC，由它产生相似比并结合AE＝2EF即可得解．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°．‎ ‎∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BAD－∠BAE＝∠BCD－∠BCE，即∠EAD＝∠ECD．‎ ‎∵∠AED＝∠CED，ED＝ED，∴△AED≌△CED．∴AD＝CD．‎ ‎∴矩形ABCD是正方形．‎ ‎（2）FG＝3EF．‎ 理由：∵BG∥AD，∴∠G＝∠EAD．‎ 由于∠EAD＝∠ECD，∴∠G＝∠ECD．‎ ‎∵∠CEG＝∠FEC，∴△CEG∽△FEC．∴＝．‎ 由（1）知CE＝AE，而AE＝2EF，故CE＝2EF．‎ ‎∴EG＝2CE＝4EF，即EF＋FG＝4EF．‎ ‎∴FG＝3EF．‎ ‎【点评】本题综合考查了矩形、正方形、全等三角形、相似三角形知识，题目条件简洁明了，突出了对基础知识、核心知识的交叉考查，是一道中档好题．解决问题（2），还可通过证明△‎ AEB≌△FED，△ADF∽△GCF解决．‎ ‎（2012贵州贵阳，21，10分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上.‎ ‎（1）求证：CE=CF；‎ ‎（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长. ‎ D A B C E F 第21题图 解析：（1）可证Rt△ABE≌Rt△ADF；（2）可得△EFC是等腰直角三角形，由等边三角形AEF的边长为2，可得EF=2，解直角三角形可得正方形ABCD的边长.‎ 解：（1）证明：∵四边形ABCD正方形，∴∠B=∠D=90°,AB=AD.‎ ‎∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF.‎ ‎∴Rt△ABE≌Rt△ADF, ∴BE=DF,‎ ‎∵BC=CD, ∴CE=CF.‎ ‎（2）在Rt△EFC中，CE=CF=2×sin45°=.‎ 设正方形ABCD的边长为x，则x2+(x-)2=22.解得，x=（舍负），正方形ABCD的周长为4×=2+2.‎ 点评：直线型问题主要有两种形式，一种是证明，一种是计算，主要考查学生的逻辑推理能力以及空间观念.计算时一般考虑勾股定理、特殊角等的运用，列方程求解是常用方法.‎ ‎23.4梯形 ‎ ‎（2012广州市，5， 3分）如图2，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC =3，则梯形ABCD的周长是（ ）‎ A. 26 B. ‎25 C. 21 D.20‎ ‎【解析】由题意知，四边形ABED为平行四边形，可知BE=AD=5，从而得到BC的长，‎ ‎【答案】梯形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21.答案为C。‎ ‎【点评】本题主要用到梯形常用的辅助线，把等腰梯形分为平行四边形和等腰三角形。关键是求出下底的长。‎ ‎(2012山东省临沂市，11，3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（ ）‎ A.AC=BD B. OB=OC C. ∠BCD=∠BDC D. ∠ABD=∠ACD ‎【解析】∵四边形ABCD是梯形,AD∥BC,∴AC=BD，∠ABC=∠DCB,△AOD∽BOC,∴OB=OC,∠OBC=∠OCB,∠ABD=∠DCA.‎ ‎【答案】选C.‎ ‎【点评】此题考查了等腰梯形的性质与相似三角形的判定与性质．解此题的关键是注意数形结合思想的应用与排除法的应用．‎ ‎（2012四川内江，16，5分）如图8，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝　　　　.‎ A B D C 图8‎ ‎【解析】如下图所示，过点B作BE∥AC，与DC的延长线交于点E，BF⊥DE于F．接下来，可证得△BDE是等腰直角三角形，BF＝DE＝(DC＋CE)＝(DC＋AB)＝(2＋4)＝3，所以S梯形ABCD＝( AB＋DC)·BF＝(2＋4)·3＝9．‎ A B D C E F O ‎【答案】9‎ ‎【点评】在等腰梯形问题中，如果有对角线互相垂直条件，将其中一条对角线进行平移产生辅助线是常用解题思路．事实上，对角线互相垂直的等腰梯形的高等于其上、下底和的一半．解决此题，还可以证明△AOB和△COD是等腰直角三角形，在求得AC、BC长后，利用S梯形ABCD＝△ACD＋△ACB＝AC·BD解答．‎ ‎ (2012四川省南充市，17，6分) 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE=CD.‎ ‎ 求证：∠B=∠E.‎ 解析：先利用等腰三角形等边对等角推得∠CDE=∠E。根据AD∥BC,可得∠CDE=∠DCB，等量代换得到∠E=∠DCB，再根据等腰梯形性质可知∠B=∠DCB，从而证得∠B=∠E。‎ 答案：证明：∵CE=CD，‎ ‎ ∴∠CDE=∠E.‎ ‎ ∵AD∥BC，‎ ‎ ∴∠CDE=∠DCB.‎ ‎∴∠E=∠DCB.‎ ‎ ∵AB=DC，‎ ‎∴∠B=∠DCB.‎ ‎∴∠B=∠E.‎ ‎ 点评：本题主要考查等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，及平行线性质。对于等腰梯形、等腰三角形内的角度问题，要充分利用底角相等的特点，再利用等量代换的方法即可探寻到所要求证角的相等关系。‎ ‎（2011江苏省无锡市，8，3′）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（ ）‎ A．17 B.18 ‎ C.19 D.20‎ ‎【解析】利用垂直平分线的性质可以知道DE=EC，把求四边形ABED的周长问题转化为求已知三条线段的和。四边形ABED的周长等于AD+AB+DE+BE=AD+AB+BE+EC=AD+AB+BC=3+5+9=17.‎ ‎【答案】A ‎【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，也考查学生的转化能力。‎ ‎（2012山东省滨州，11，3分）菱形的周长为‎8cm，高为‎1cm，则该菱形两邻角度数比为（　　）‎ ‎　　A．3：1　　B．4：1　　C．5：1　　D．6：1‎ ‎【解析】如图所示，根据已知可得到菱形的边长为‎2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1．‎ ‎【答案】选C．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查菱形的性质；此菱形含30度角的直角三角形，便可推出它的相邻内角分别30°，150°．‎ ‎（2012北海,6，3分）6．如图，梯形ABCD中AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，若AO∶CO＝2：3，AD＝4，则BC等于：（ ）‎ A D B C O 第6题图 A．12 B．‎8 ‎ C．7 D．6‎ ‎【解析】根据AD//BC易知△AOD∽△COB，相似比为2:3，所以当AD=4时，BC=6.‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题考查的是梯形的性质和相似三角形的判定和性质，属于简单几何题型。‎ ‎ (2012江苏苏州，6，3分)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎8‎ D．‎ ‎10‎ ‎ ‎ 分析：‎ 首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵CE∥BD，DE∥AC，‎ ‎∴四边形CODE是平行四边形，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，‎ ‎∴OD=OC=AC=2，‎ ‎∴四边形CODE是菱形，‎ ‎∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．‎ ‎（2012广东肇庆，13，3）菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 ▲ ．‎ ‎【解析】菱形的对角线互相垂直平分，结合勾股定理可求得边长为5．菱形的四条边相等，故周长为20． ‎ ‎【答案】20‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质与勾股定理的综合运用，难度中等．‎ ‎（2012贵州省毕节市，17，5分）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形。现有一个对角线分别为‎6cm和‎8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是 .‎ 解析：顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，问题得解．‎ 答案：解：∵顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形；‎ 理由如下：∵E、F、G、H分别为各边中点∴EF∥GH∥DB，EF=GH=，‎ EH=FG=，EH∥FG∥AC.‎ ‎∵DB⊥AC，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵EH==‎3cm，EF==‎4cm.‎ ‎∴HF==‎5cm. 故答案为：‎5cm．‎ 点评：本题考查菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半以及勾股定理的运用．‎ A B C D E 图4‎ ‎ ( 2012年四川省巴中市,19,3)如图4,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,点E是BC 的中点且DE∥AB,则∠BCD的度数是____________‎ ‎【解析】∵AD∥BC,DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形 ‎∴AB=DE,在等腰梯形ABCD中,AB=DC,∴DE=DC ‎∵BD⊥DC,∴∠BDC=900,又点E是BC 的中点 ‎∴DE=EC=DC,即△DEC是等边三角形，故∠BCD=600‎ ‎【答案】60°‎ ‎【点评】本题考查的知识点有平行四边形的判定、等边 三角形的判定等腰梯形及直角三角形的性质，‎ 是比较综合的题目。‎ ‎（2012呼和浩特，8，3分）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是 ‎ A. 25 B. ‎50 ‎ C. 25 D.‎ ‎【解析】作DE∥AC，交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F。‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形 ‎∴AD∥CE，AC=BD 又∵DE∥AC，AC⊥BD ‎∴四边形ACED是平行四边形，BD⊥DE ‎∴DE=AC，AD=CE=3‎ ‎∴△BDE是等腰直角三角形 又∵DF⊥BE ‎∴BF=EF=DF=BE=(BC+CE)=(BC+AD)=(7+3)=5‎ ‎∴S梯形ABCD=(AD+BC)·DF=(3+7)×5=25‎ ‎【答案】A ‎【点评】本题考查了梯形作辅助线的方法，见对角线互相垂直，则平移对角线，利用平移后形成的直角三角形求解。此题关键是做辅助线的方法。‎ ‎（2012黑龙江省绥化市，10，3分）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F、DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为 ．‎ ‎【解析】解：用三角形全等的判定方法AAS或ASA易证△ABF≌△DAE得AE=BF=5，AF=DE=8，故EF=AE+AF=5+8=13．‎ ‎【答案】 13．‎ ‎【点评】 本题主要考查了三角形全等的判定方法及性质、正方形的性质．考生在做此题时主要是不能快速挖掘出三角形全等时关键的边等：AB=DA，而浪费较多时间，难度中等．‎ ‎（2012陕西7，3分）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为（）‎ A．75° B．65° C．55° D．50°‎ ‎【解析】由菱形的对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角，又 ‎，可得：，‎ ‎∴．选B．‎ ‎【答案】B ‎【点评】本题考查了菱形的性质和三角形的内角和定理.难度中等.‎ ‎ (2012贵州黔西南州，20，3分)把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图7方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕EF，若AB=‎3cm，BC=‎5cm，则重叠部分△DEF的面积是__________ cm2．‎ ‎【解析】设BF=x，则CF=5―x．在Rt△CDF中，由勾股定理得x2=(5―x)2＋32，解得x=3.4，所以CF=1.6．‎ 连接BE，则△ABE≌△DCF，△BEF≌△DFE，所以S△DEF=(3×5―×2)=5.1．‎ ‎【答案】5.1．‎ ‎【点评】本题考查矩形的性质和勾股定理的应用，在许多涉及运用勾股定理的计算问题中，设未知数列方程是一种很好的方法．‎ ‎（2012山西，11，2分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为‎6cm、‎8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴CO=AC=‎3cm，BO=BD=‎4cm，AO⊥BO，‎ ‎∴BC==‎5cm，‎ ‎∴S菱形ABCD==×6×8=‎24cm2，‎ ‎∵S菱形ABCD=BC×AD，‎ ‎∴BC×AE=24，‎ ‎∴AE=cm，‎ 故选D．‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题主要考查了菱形的对角线互相平分且相互垂直的性质、勾股定理及三角形中等积法的运用.解决本题的关键是利用菱形的性质将问题转化为特殊的直角三角形的问题，再利用直角三角形的特性勾股定理解决问题．难度中等．‎ ‎（2012湖北咸宁，15，3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当，‎ A B C D F E G ‎（第15题）‎ 时，四边形BGEF的周长为 ．‎ ‎【解析】先依条件“EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G”得出四边形BGEF是平行四边形，再由“BE平分∠ABC且交CD于E”得出∠FBE＝∠EBC，由EF∥BC可知，∠EBC＝∠FEB，故∠FBE＝FEB，进一步判断出四边形BGEF是菱形，后根据E为CD的中点，AD＝2，BC＝12，可求出EF的长．‎ ‎【答案】28‎ ‎【点评】本题主要考查了梯形中位线定理及菱形的判定与性质，解题关键在于判断出四边形BGEF是菱形．‎ ‎（2012四川达州，8，3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则下列结论：‎ ‎①EF∥AD； ②S△ABO=S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG=DG；⑤EG=HF.其中正确的个数是 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 解析：由梯形中位线性质，可知EF∥AD∥BC，则可得G、H分别是BD、AC中点，因此①、④、⑤正确，由同底等高可得S△ABC=S△DBC，则②，若③成立，则可推出梯形是等腰梯形，而梯形ABCD并不是等腰梯形，因此选D。‎ 答案：D 点评：本题涉及了梯形中位线的性质、三角形中位线判定及性质，同底等高三角形面积的变换等知识点，考查了学生简单的推理及逻辑思维能力。‎ ‎（2012，黔东南州，10）点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连结PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90º，得线段PE，连结BE，则∠CBE等于（ ）‎ A、75º B、60º C、 45º D、 30º ‎ 解析：过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，‎ ‎∴∠ADP+∠APD=90°，‎ 由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，‎ ‎∴∠APD+∠EPF=90°，‎ ‎∴∠ADP=∠EPF，‎ 在△APD和△FEP中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△APD≌△FEP（AAS），‎ ‎∴AP=EF，AD=PF，‎ 又∵AD=AB，‎ ‎∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，‎ ‎∴AP=BF，‎ ‎∴BF=EF，又∠F=90°，‎ ‎∴△BEF为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，‎ 则∠CBE=45°．‎ 答案：C． ‎ 点评：本题考查了三角形知识的综合应用，学生需要具备一定的推理能力，难度较大.‎ ‎（2012四川宜宾，7，3分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD,CD=AB,点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】‎ 过D作DM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，推出FN=DM，推出四边形DCBM是平行四边形，得出DC=BM，BC=DM，设DC=a，AE=BE=b，得出AD=AB=‎2a，BC=DM=‎2a，求出FN=a，求出△AEF的面积是ab，多边形BCDFE的面积是S梯形ABCD﹣S△AEFab，代入求出即可．‎ 解：过D作DM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，‎ 即FN∥DM，‎ ‎∵F为AD中点，‎ ‎∴N是AM中点，‎ ‎∴FN=DM，‎ ‎∵DM⊥AB，CB⊥AB，‎ ‎∴DM∥BC，‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴四边形DCBM是平行四边形，‎ ‎∴DC=BM，BC=DM，‎ ‎∵AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，‎ ‎∴设DC=a，AE=BE=b，则AD=AB=‎2a，BC=DM=‎2a，‎ ‎∵FN=DM，‎ ‎∴FN=a，‎ ‎∴△AEF的面积是：×AE×FN=ab，‎ 多边形BCDFE的面积是S梯形ABCD﹣S△AEF=×（DC+AB）×BC﹣ab=（a+‎2a）×2b﹣ab=ab，‎ ‎∴△AEF与多边形BCDFE的面积之比为=．‎ 故选C．‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．‎ ‎（2012山西，18，3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是 ．‎ ‎【解析】解：过点B作DE⊥OE于E，‎ ‎∵矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，‎ ‎∴∠CAO=30°，‎ ‎∴AC=4，‎ ‎∴OB=AC=4，‎ ‎∴OE=2，‎ ‎∴BE=2，‎ ‎∴则点B的坐标是（2，），‎ 故答案为：（2，）．‎ ‎【答案】（2，）‎ ‎【点评】本题主要考查了考生平行线性质、直角三角形中三十度角所对的直角边等于斜边的一半、矩形的对角线相等性质、解直角三角形的相关知识点及初数中常见的化归数学思想，解决本题的关键是：求点坐标即求此点到坐标轴的距离及构造出直角三角形的转化思想，然后运用初数中常见知识点解决问题．难度较大．‎ ‎（2012深圳市 16 ，3分）如图6，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接。已知 ，，则另一直角边的长为 。‎ ‎【解析】：本题考查正方形、等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理的运用，利用图形的割补，构造基本图形 ‎【解答】：如图6—1，过点O作OH、OG分分别垂直于CA、CB，易证，，易证四边形OHCG为正方形，有，知，则 ‎【点评】：本题较难，不细心审题，对基本图形不熟悉很难找到解题的切入点。但图形仍源于教材，因此，要平时要注意对教材的深究。‎ 图6--1‎ 图6‎ ‎（2012·湖南省张家界市·7题·3分）顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）‎ A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 ‎【分析】根据三角形中位数性质及特殊平行四边形的判定求解.‎ ‎【解答】C ‎【点评】中点四边形的形状只与原四边形的对角线有关，当对角线既不相等也不垂直时，中点四边形为平行四边形；当对角线相等而不垂直时，中点四边形为菱形；当对角线垂直而不相等时，中点四边形是矩形；当对角线既相等又垂直时，中点四边形是正方形.‎ ‎18.（2012湖北黄冈，18，7）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F分别 在OD、OC 上，且DE=CF，连接DF、AE，AE 的延长线交DF于点M. 求证：AM⊥DF.‎ ‎【解析】由题意和正方形的性质先证明△ADE≌△DCF得∠DAE＝∠CDF，再证明∠AMD＝90°即可.‎ ‎【答案】证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADE＝∠DCF=45°，∠ADC=90°，又DE=CF ∴△ADE≌△DCF，∴∠DAE＝∠CDF，又∵∠CDF+∠ADF =90° ∴∠DAE+∠ADF =90°∴∠ADM=90°即AM⊥DF.‎ ‎【点评】本题利用正方形性质通过三角形全等来证明垂直，过程中要用到三角形内角和定理和垂直的定义.常规题，难度中等.‎ ‎（2012湖北黄冈，5，3）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是 （ ）‎ A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形 ‎【解析】矩形的中点四边形是菱形，A错误；菱形的中点四边形是矩形，但中点四边形是菱形的原四边形不一定是菱形，B错误；而对角线相等的四边形的中点四边形是矩形，D错误；应选C. ‎ ‎【答案】C ‎【点评】根据三角形的中位线定理可以证明任意四边形的中点四边形一定是平行四边 ‎ 形，它的形状是由原四边形的对角线关系确定的，B、C两个答案容易混淆.‎ 难度中等.‎ ‎（2012江苏省淮安市，13，3分）菱形ABCD中，若对角线长AC=‎8cm，BD=‎6cm．则边长AB= cm．‎ ‎【解析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分结合勾股定理即可得出菱形的边长．根据题意，设对角线AC、BD相交于O，则由菱形对角线性质知，AO=AC=4，BO=BD=3，且AO⊥BO，在Rt ABC中，由勾股定理得，AB=5．‎ ‎【答案】5‎ ‎【点评】本题考查菱形的性质，难度适中，要熟练掌握菱形对角线的性质，及勾股定理的灵活运用．‎ ‎（2012湖北黄冈，14，3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC的长为________.‎ E ‎【解析】过点D作DE∥AB交BC于点E，则可得四边形ABED为平行四边形、△DEC为等边三角形，∴BE= AD=4，‎ ‎ EC=CD=5， ∴BC=4+5=9.‎ ‎【答案】9‎ ‎【点评】本题考查了等腰梯形的性质，解题关键是利用常作的辅助线化梯形为平行四边形和等边三角形来解决问题，还有其他方法.难度中等.‎ ‎（2012呼和浩特，8，3分）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是 ‎ A. 25 B. ‎50 ‎ C. 25 D.‎ ‎【解析】作DE∥AC，交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F。‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形 ‎∴AD∥CE，AC=BD 又∵DE∥AC，AC⊥BD ‎∴四边形ACED是平行四边形，BD⊥DE ‎∴DE=AC，AD=CE=3‎ ‎∴△BDE是等腰直角三角形 又∵DF⊥BE ‎∴BF=EF=DF=BE=(BC+CE)=(BC+AD)=(7+3)=5‎ ‎∴S梯形ABCD=(AD+BC)·DF=(3+7)×5=25‎ ‎【答案】A ‎【点评】本题考查了梯形作辅助线的方法，见对角线互相垂直，则平移对角线，利用平移后形成的直角三角形求解。此题关键是做辅助线的方法。‎ ‎（2012河北省11,3分）11、如图5，两个正方形的面积分别为16、9，两阴影部分的面积分别为a，b（a>b），则（a-b）等于 （ ）‎ Ａ．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．4‎ ‎【解析】根据图形可知，中间矩形的面积可以大小两个正方形的面积表示，从而列出方程：16-a=9-b，移项可得，a-b=7.‎ ‎【答案】A ‎【点评】本题主要考查学生能否从图形中找到等量关系，进而得到代数式的值，是能力的考查，有一定难度。‎ ‎（2012·哈尔滨，题号20分值 3）如图。四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 ‎ ‎【解析】本题考查矩形性质、直角三角形斜边上中线性质、勾股定理等知识点.‎ AB=‎ AG=AE=4‎ ‎∠BACC=90°，AG=GF ‎∠DAG=∠ADG ‎∠AGE=2∠ADG AD∥BC ‎∠DEC=∠ADG BE=1‎ ‎∠AGE=2∠DEC ‎∠AED=2∠DEC ‎∠AED=∠AGE AG=DG ‎【答案】 ‎ ‎（2012·湖北省恩施市，题号12 分值 3）如图5，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则阴影部分的面积是（ ）‎ A． B．‎2 C．3 D．‎ ‎【解析】设BF与CE交与点G，由菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，可求CD、CE边上的高分别为、，由△EGF∽△BGC得EF：EC=3:2，CF=3，故FG=,又ED=1，所以DE=，所以阴影部分的面积=DE×+DE×=．‎ ‎【答案】A ‎【点评】本题考查菱形性质、解直角三角形、相似、以及平面图形的面积公式，知识点较多，难度较大，是一道很有区分度的题目。‎ ‎ 阴影面积计算方法一般有两种考虑思路：一是将阴影分割为几个可求面积的规则平面图形来计算（解析采用此种方法），二是将阴影通过几个规则图形面积拼凑求解，如本题还可以将阴影部分面积转化为：梯形DCGF面积+三角形ADC面积-三角形AFG面积来解答．‎ ‎（2012广东肇庆，22，8） 如图6，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE；‎ ‎（2）若ÐDBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.‎ A B C D O E 图6‎ ‎【解析】由两组对边分别平行不难得出四边形ABEC是平行四边形，从而得出BE= AC，又由矩形的对角线相等， AC=BD，等量代换得证．四边形的面积可由梯形面积公式求得．‎ ‎【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD, AB∥CD (1分)‎ 又BE∥AC, ∴四边形ABEC是平行四边形 (2分) ‎A B C D O E ‎∴BE= AC (3分) ‎ ‎∴BD=BE (4分)‎ ‎（2）解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=OC=BO=OD=4,即BD=8‎ ‎∵ÐDBC=30° ,∴∠ABO= 90°— 30°= 60°‎ ‎∴△ABO是等边三角形 即AB=OB=4 于是AB=DC=CE=4 (5分)‎ 在Rt△DBC中，tan 30°= ,即,解得BC= (6分)‎ ‎∵AB∥DE ,AD与BE不平行，∴四边形ABED是梯形,且BC为梯形的高 ‎ ‎∴四边形ABED的面积= (8分)‎ ‎【点评】本题综合考查了平行四边形判定及矩形的性质，难度中等．‎ ‎（2012湖南衡阳市，19，3）如图，菱形ABCD的周长为‎20cm，且tan∠ABD=，则菱形ABCD的面积为　　cm2．‎ 解析：连接AC交BD于点O，则可设BO=3x，AO=4x，继而在RT△ABO中利用勾股定理求出AB，结合菱形的周长为‎20cm 可得出x的值，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．‎ 答案：‎ 解：连接AC交BD于点O，则AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，‎ 设BO=3x，AO=4x，则AB=5x，又∵菱形ABCD的周长为‎20cm，‎ ‎∴4×5x=‎20cm，解得：x=1，故可得AO=4，BO=3，AC=2AO=‎8cm，BD=2BO=‎6cm，‎ 故可得AC×BD=‎24cm2．故答案为：24．‎ 点评：此题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质，及菱形的面积等于对角线乘积的一半是答案本题的关键.‎ ‎（2012·湖北省恩施市，题号18 分值8 ）如图7，在△ABC中，AD⊥BC于D，D、E、F分别是BC、AB、AC的中点。‎ 求证：四边形AEDF是菱形。‎ ‎【解析】DE是直角三角形ABD斜边上中线，得AE=DE，又DE、DF是三角形ABC中位线，得DF∥AB，DE∥AC，所以四边形AEDF是平行四边形，故四边形AEDF是菱形。‎ ‎【答案】证明：∵D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形。∵AD⊥BC，AE=BE，∴AE=DE=AB，∴四边形AEDF是菱形。‎ ‎【点评】本题考查中位线定理、直角三角形斜边中线性质以及菱形的判断等知识。判断菱形一般有两个思路：一是直接证明四边相等，二是先证明是平行四边形再说明领边相等或对角线垂直。‎ ‎（2012河北省20,8分）如图10，某市A、B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD—DC—CB。这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：DC=10:5:2.‎ ‎（1）求外环公路总长和市区公路长的比；‎ ‎（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是‎40km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是‎80km/h，结果比去时少用了h，求市区公路长。‎ ‎【解析】（1）根据等腰梯形的性质可知AD=BC，设AB=10x，AD=BC=5x ‎ ，CD=2x，可直接求出外环公路总长和市区公路长的比值。（2）根据题意给出的等量关系列出一元一次方程，求解即可。‎ ‎【答案】解：（1）设AB=10x km，则AD=5x km ，CD=2x km。‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，DC∥AB，‎ ‎∴BC=AD=5x ∴AD+DC+BC=12x ‎∴外环公路总长和市区公路长的比为12x：10x=6:5……………3分 ‎（2）由（1）可知，外环公路总长为12x km，市区公路长为10x km。‎ 由题意得……………6分 解这个方程得 x=1 ∴10x=10‎ 答：市区公路的长为‎10 km。……………8分 ‎【点评】本题涉及等腰梯形的性质，线段的比，和一元一次方程的应用。第一问中求市区公路和外环公路长的比值时，是代数式的比，含有字母，使学生的弱项，在以后的教学中，多加练习。本题属于中等题型。‎ ‎（2012山东省滨州中考，25,12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．‎ ‎（1）求证：△ADF≌△CBE；‎ ‎（2）求正方形ABCD的面积；‎ ‎（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．‎ ‎【解析】（1）由于AD=BC，AF=CE，可得Rt△AFD≌Rt△CEB。（2）由于∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，可得∠CBE=∠BAH，容易求得△ABH≌△BCE，同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，‎ 进而容易求出S正方形ABCD（3）由于S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF，再由几何关系将h1，h2，h3代入即可．‎ 证明：（1）在Rt△AFD和Rt△CEB中，‎ ‎∵AD=BC，AF=CE，‎ ‎∴Rt△AFD≌Rt△CEB；‎ ‎（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，‎ ‎∴∠CBE=∠BAH 又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°‎ ‎∴△ABH≌△BCE，‎ 同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，‎ ‎∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF ‎=4××2×1+1×1‎ ‎=5；‎ ‎（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，‎ 由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，‎ ‎∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF ‎=4×（h1+h2）•h1+h22=2h12+2h1h2+h22．‎ ‎【点评】本题考查全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；正方形的性质．三角形的判定方法有SAS，SSS，ASA，AAS；全等三角形的对应边、对应角相等；直角三角形的判定方法有HL；平行线间的距离处处相等；正方形的四条边相等、四个角都是直角、对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．‎ ‎（2012甘肃兰州，23，8分）如图（1），矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠。‎ ‎（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法。）‎ ‎（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由。‎ 解析：（1）根据折叠的性质，可以作∠BDF=∠BDC，∠EBD=∠CBD，则可求得折叠后的图形．‎ ‎（2）由折叠的性质，易得∠FDB=∠CDB，又由四边形ABCD是矩形，可得AB∥CD，即可证得∠FDB=∠FBD，即可证得△FBD是等腰三角形．‎ 解：（1）作法参考：‎ 方法1：作∠BDG=∠BDC，在射线DG上截取DE=DC，连接BE； 方法2：作∠DBH=∠DBC，在射线BH上截取BE=BC，连接DE； 方法3：作∠BDG=∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E 方法4：作∠DBH=∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E； 方法5：分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE （注：作法合理均可得分） ∴△DEB为所求做的图形． ‎ ‎（2）等腰三角形． 证明：∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成， ∴△BDE≌△BDC， ∴∠FDB=∠CDB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ‎ ‎∴∠ABD=∠BDC， ∴∠FDB=∠BDC， ∴△BDF是等腰三角形． ‎ 点评：此题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定，折叠的性质以及尺规作图．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎（2012呼和浩特，20，7分）(7分)如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F。‎ ‎（1）求证：AF–BF=EF；‎ ‎（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F’。若正方形边长为3，求点F’与旋转前的图中点E之间的距离。‎ ‎【解析】（1）利用正方形的性质证明△AED≌△BFA（AAS），得到对应边相等，即BF=AE，AF=ED，等量代换AF–BF=AF–AE=EF。‎ ‎（2）根据（1）中△AED≌△BFA，可得对应角相等，即∠2=∠F’AD，∠ABF=∠ADF’=∠3，即易得∠F’AE=∠EDF’=90°，又因为AE#⊥ED，所以四边形AEDF’为矩形，EF’=AD=3.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明： ∵正方形ABCD ‎ ∴AB=AD,∠2+∠3=90°‎ ‎ ∵DE⊥AG ‎ ∴∠AED=90°‎ ‎ ∴∠1+∠3=90°‎ ‎ ∴∠1=∠2‎ ‎ 又∵BF∥DE ‎ ∴∠AFB=∠AED=90°‎ ‎ 在△AED和△BFA中 ‎ ‎ ‎ ∴△AED≌△BFA ‎ ∴BF=AE ‎ ∵AF–AE=EF ‎ ∴AF–BF=EF ‎ （2）如图，根据题意可知：∠FAF’=90°，DE=AF’=AF ‎ ∴可判断四边形AEDF’为矩形 ‎ ∴EF’=AD=3‎ ‎【点评】本题考查了利用正方形的性质证明全等三角形的判定和性质，全等之后的对应线段相等；第（2）问中利用（1）中全等三角形的结论来证明矩形，并考查了矩形的性质。‎ ‎（2012呼和浩特，20，7分）(7分)如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F。‎ ‎（1）求证：AF–BF=EF；‎ ‎（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F’。若正方形边长为3，求点F’与旋转前的图中点E之间的距离。‎ ‎【解析】全等三角形，等量代换，矩形的判定和性质 ‎【答案】‎ ‎（1）证明： ∵正方形ABCD ‎ ∴AB=AD,∠2+∠3=90°‎ ‎ ∵DE⊥AG ‎ ∴∠AED=90°‎ ‎ ∴∠1+∠3=90°‎ ‎ ∴∠1=∠2‎ ‎ 又∵BF∥DE ‎ ∴∠AFB=∠AED=90°‎ ‎ 在△AED和△BFA中 ‎ ‎ ‎ ∴△AED≌△BFA ‎ ∴BF=AE ‎ ∵AF–AE=EF ‎ ∴AF–BF=EF ‎ （2）如图，根据题意可知：∠FAF’=90°，DE=AF’=AF ‎ ∴可判断四边形AEDF’为矩形 ‎ ∴EF’=AD=3‎ ‎【点评】本题考查了利用正方形的性质证明全等三角形及全等之后的对应线段相等；第（2）问中考查了矩形的判定和性质。‎ ‎（2012四川宜宾，14，3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE= ‎ ‎【解析】‎ 过E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长．‎ 解：过E作EF⊥DC于F，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∵CE平分∠ACD交BD于点E，‎ ‎∴EO=EF，‎ ‎∵正方形ABCD的边长为1，‎ ‎∴AC=，‎ ‎∴CO=AC=，‎ ‎∴CF=CO=，‎ ‎∴DF=DC﹣CF=1﹣，‎ ‎∴DE==﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质：对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用．‎ ‎（2012珠海，18，7分）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A’B’CD’（此时，点B’落在对角线AC上，点A’落在CD的延长线上），A’B’交AD于点E，连结AA’、CE.‎ 求证：（1）△ADA’ ≌△CDE；‎ ‎（2）直线CE是线段AA’的垂直平分线.‎ ‎【解析】（1）由题设可得AD＝DC, ∠ADA′＝∠CDE＝90°, DA′＝DE.‎ ‎∴△ADA′≌△CDE.‎ ‎（2）证CE是∠ACA′的角平分线,由等腰三角形的“三线合一”可得CE是线段AA’的垂直平分线.‎ ‎【答案】（1）由正方形的性质及旋转,得AD＝DC,∠ADC=90°,AC＝A′C,∠DA′E＝45°,‎ ‎∠ADA′＝∠CDE＝90°,‎ ‎∴∠DEA′＝∠DA′E＝45°. ∴DA′＝DE.‎ ‎∴△ADA′≌△CDE.‎ ‎（2）由正方形的性质及旋转,得CD＝CB′, ∠CB′E＝∠CDE＝90°,CE＝CE,‎ ‎∴Rt△CB′E≌Rt△CDE.∵AC＝A′C,∴直线CE是线段AA’的垂直平分线.‎ ‎【点评】本题要求综合应用正方形的性质,旋转变换,三角形全等的判定,等腰三角形的“三线合一”, 线段垂直平分线的判定等知识解决问题,是一道证线段垂直平分线的典型范例.‎ ‎（2012云南省，22 ，7分）(本小题 7分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点,与相较于点，与相较于，连接。‎ ‎ (1)求证：四边形是菱形；‎ ‎ (2) 若求MD的长。‎ ‎【解析】对角互相线垂直且平分的四边形是菱形， (1)问主要考查这一定理；垂直有了，主要证明就可以了，加上是的垂直平分线，就可以证明四边形是菱形；（2）关键是在直角三角形中利用勾股定理来求线段的长度；设 则，，在中，有 解得：即：‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明：四边形是矩形 ‎ ‎ 是的垂直平分线 ‎ ‎ 在和中 是的垂直平分线 四边形是菱形 ‎（2）解：设 则，‎ 在中 则有 解得： ‎ 即：‎ ‎【点评】⑴主要考查考生垂直平分线的用法，还有三角形全等的证明，考查能否灵活运用菱形的判定，题目中已经给出是的中垂线，就看考生是否能想到它们互相平分，要得到平分只要证明即可，进而想到证明三角形全等；（2）考查考生勾股定理的具体用法和线段之间的数字关系运算；本题属于中等难度的题。‎ ‎（2012，湖北孝感，20，8分）我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．‎ ‎（1）这个中点四边形EFGH的形状是_________；（2分）‎ ‎（2）请证明你的结论；（6分）‎ ‎【解析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．‎ ‎【答案】解：（1）平行四边形；‎ ‎ （2）证明：连接AC ‎ ∵E是AB的中点，F是BC中点，∴EF∥AC，EF=AC．‎ ‎ 同理HG∥AC，HG=AC．‎ ‎∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形．‎ 说明：连接AC，BD，可证EF∥HG，EH∥FG；或证明EF=HG，EH=FG然后得出四边形EFGH是平行四边形．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的判定，解题关键是利用三角形中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半．‎ ‎（2012四川宜宾，20，8分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0,3）,B（-4,0）.‎ 求经过点C的反比例函数解析式；‎ 设P是（1）中所求函数图象上的一点，以P、O、A为顶点的三角形的面积与△COD的面积相等，求点P的坐标。‎ ‎【解析】（1）根据菱形的性质可得菱形的边长，进而可得点C的坐标，代入反比例函数解析式可得所求的解析式；‎ ‎（2）设出点P的坐标，易得△COD的面积，利用点P的横坐标表示出△PAO的面积，那么可得点P的横坐标，就求得了点P的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）由题意知，OA=3，OB=4‎ 在Rt△AOB中，AB==5‎ ‎∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴AD=BC=AB=5，‎ ‎∴C（-4,-5）‎ 设经过点C的反比例函数的解析式y=，∴，k=20‎ ‎∴所求反比例函数解析式为y=‎ ‎（2）设P（x，y）‎ ‎∵AD=AB=5，OA=3‎ ‎∴OD=2，∴=‎ 即，‎ ‎∴，x=‎ 当x=时，y=；‎ 当x=-时，y=-；‎ ‎∴P（，）或（-，-）‎ ‎【点评】综合考查反比例函数及菱形的性质；注意根据菱形的性质得到点C的坐标；点P的横坐标的两种情况．‎ ‎（2012深圳市 20 ，8分）如图7，将矩形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，‎ ‎（1）求证：四边形AFCE为菱形；‎ ‎（2）设请写出一个、、三者之间的数量关系式 ‎【解析】：‎ 由轴对称的性质知，折叠前后对应线段相等，对应角相等，对应点的连线被对称轴重直平分，易知四边形AFCE有两组邻边分别相等。由矩形的性质和轴对称的性质可证这两组邻边中的一组边交叉相等，从而这个四边形的四边都相等。由轴对称的性知和勾股定理，可方便求、、三者之间的数量关系式 图7‎ ‎【解答】：（1）证明：由轴对称的性质知：‎ 四边形是矩形，故∥，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因而，，‎ 即四边形是菱形 ‎（2）由轴对性知： 由于 ‎ ‎ ‎【点评】：轴对称属于全等变换。本题主要考查轴对称的性质，矩形的性质，菱形的判定，勾股定理的应用等知识。重点是轴对称的性质.‎ ‎（2012年吉林省，第22题、7分．）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．‎ ‎（1）求证：△ADC△ECD；‎ ‎（2）若BD=CD,求证四边形ADCE是矩形．‎ ‎【解析】(1)根据已知条件证明∠ACD=∠EDC,AC=ED.从而结论可证．‎ ‎（2）先证明四边形ADCE是平行四边形，再证明∠ADC是直角．即证明四边形ADCE是矩形．‎ ‎【答案】证明:(1)∵△ABC是等腰三角形 ‎∴∠B=∠ACB. AB=AC 又四边形ABDE是平行四边形 ‎∴∠B=∠EDC AB=DE ‎∴∠ACB=∠EDC, AC=DE.DC=DC ‎∴△ADC△ECD；‎ ‎（2）∵AB=AC,BD=CD.‎ ‎∴AD⊥BC.‎ ‎∴∠ADC=90°‎ ‎∵四边形ABDE是平行四边形 ‎∴平行且等于BD 即AE平行且等于DC.‎ ‎∴四边形ADCE是平行四边形．‎ ‎∴四边形ADCE是矩形． ‎ ‎【点评】 本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩 形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形’是矩形”，而不是“有一个角是直角的‘四边形’是矩形”．‎ ‎（2012南京市，22，8）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.‎ ‎（1）求证：四边形EFGH是正方形；‎ ‎（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积. ‎ 解析：利用三角形中位线定理来说明四边形EFGH是正方形；借助梯形中位线得到EG的长，求出四边形EFGH的面积.‎ 答案：（1）∵E、F分别是AB、BC的中点 ‎∴EF是三角形ABC的中位线 ‎∴EF∥AC、EF=AC,‎ 同理得，EH∥BD,HG=AC，EH=FG=BD,‎ ‎∴EH=FG=EF=HG ‎∴四边形EFGH为菱形 ‎∵EF∥AC, EH∥BD, AC⊥BD ‎∴∠EHG=900‎ ‎∴菱形EFGH为正方形.‎ ‎（2）∵在梯形ABCD中，E、G分别是AB、CD的中点.‎ ‎∴EG为梯形ABCD的中位线 ‎∴EG=（AD+BC）=3‎ 四边形EFGH的面积=EG2=4.5‎ 点评：题目中有中点，可转化利用三角形、梯形中位线来解决，注意正方形是特殊的菱形、其面积也可以为对角线平方的一半.‎ ‎(2012贵州六盘水，22，12分)如图11，已知E是中BC边的中点，连接AE并延长AE交DG的延长线于点F.‎ ‎（1）求证：△ABE≌△FCE.（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形.‎ 分析： （1）由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由E为BC的中点，得到两条线段相等，再由对应角相等，利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等；‎ ‎（2）由△ABE与△FCE全等，根据全等三角形的对应边相等得到AB=CF；再由AB与CF平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得到AE=EF，BE=EC；再由∠AEC为三角形ABE的外角，利用外角的性质得到∠AEB等于∠ABE+∠EAB，再由∠AEC=2∠ABC，得到∠ABE=∠EAB，利用等角对等边可得出AE=BE，可得出AF=BC，利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出ABFC为矩形．‎ 解答：证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AB∥DC，‎ ‎∴∠ABE=∠ECF，‎ 又∵E为BC的中点，‎ ‎∴BE=CE，‎ 在△ABE和△FCE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABE≌△FCE（ASA）；‎ ‎（2）∵△ABE≌△FCE，‎ ‎∴AB=CF，又AB∥CF，‎ ‎∴四边形ABFC为平行四边形，‎ ‎∴BE=EC，AE=EF，‎ 又∵∠AEC=2∠ABC，且∠AEC为△ABE的外角，‎ ‎∴∠AEC=∠ABC+∠EAB，‎ ‎∴∠ABC=∠EAB，‎ ‎∴AE=BE，‎ ‎∴AE+EF=BE+EC，即AF=BC，‎ 则四边形ABFC为矩形．‎ 点评：此题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．‎