2020年中考数学专题复习卷 锐角三角函数（含解析） 20页

锐角三角函数 一、选择题 ‎1.计算 =（    ） ‎ A.                                         B. 1                                        C.                                         D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】 ： tan 45 ° =1 故答案为:B。【分析】根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。‎ ‎2.下列运算结果正确的是 ‎ A. ‎3a3·‎2a2=‎6a6                   B. (‎-2a)2= ‎-4a2                   C. tan45°=                    D. cos30°= ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】 A、原式=‎6a5 ， 故不符合题意； B、原式=‎4a2 ， 故不符合题意； C、原式=1，故不符合题意； D、原式= ，故符合题意． 故答案为：D 【分析】根据单项式乘以单项式，系数的积作为积的系数，对于相同的字母，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；根据特殊锐角三角函数值即可一一得出答案，再进行判断即可。‎ ‎3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,BD=8,tan∠ABD= ,则线段AB的长为(    ). ‎ 20‎ A.                                         B. 2                                         C. 5                                        D. 10‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】 ：∵菱形ABCD,BD=8 ∴AC⊥BD， 在Rt△ABO中， ∴AO=3 ∴ 故答案为：C 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得出AC⊥BD，求出BO的长，再根据锐角三角函数的定义，求出AO的长，然后根据勾股定理就可求出结果。‎ ‎4.数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树 的高度，如图，老师测得大树前斜坡  的坡度i=1:4，一学生站在离斜坡顶端 的水平距离DF为‎8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为 ，已知 ，BE=‎1.6m，此学生身高CD=‎1.6m，则大树高度AB为（   ）m. ‎ A.7.4‎‎ B.‎7.2 ‎C.7 D.6.8‎ ‎【答案】D ‎ 20‎ ‎【解析】 如图所示:过点C作 延长线于点G,交EF于点N, 根据题意可得:  , 计算得出:  ,    ,  ,  ,  , 设  ,则  , 故  ,即  , 计算得出:  , 故  , 则 , 故答案为：D. 【分析】将大树高度AB放在直角三角形中，解直角三角形即可求解。即：过点C作 C G ⊥ A B 延长线于点G,交EF于点N,因为斜坡 D E  的坡度i=1:4，所以,解得EF=2，而  sinα=，设AG=3x,则AC=5x ,所以BC=4x  ,即8+1.6=4x  ,解得 x = 2.4  ，所以AG=2.4×3=‎7.2m ,则AB=AG−BG=7.2−0.4=‎6.8m。‎ ‎5. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（   ） ‎ ‎ ‎ 20‎ A.                                   B.                                   C.                                   D. h•cosα ‎【答案】B ‎ ‎【解析】 ：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠CAD=∠BCD， 在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= ， ∴BC= = ， 故选：B． 【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD= 知BC= = ．‎ ‎6.如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE＝3，则 （    ） ‎ A.4 B‎.3 ‎C.2 D.5‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】 ：如图，连接BD，CD ∵DO=2，OE=3 ∴OA=OD=5 ‎ 20‎ ‎∴AE=OA+OE=8 ∵∠ABE=∠EDC，∠AEB=∠DEC ∴△ABE∽△DEC ∴① 同理可得：△AEC∽△BED ∴② 由①×②得 ∵AD是直径 ∴∠ABD=∠ACD=90° ∴tan∠ACB=∠ADB= tan∠ABC=tan∠ADC= tan∠ACBtan∠ABC===4 故答案为：A 【分析】根据OD和OE的长，求出AE的长，再根据相似三角形的性质和判定，得出，利用锐角三角函数的定义，可证得tan∠ACBtan∠ABC=，代入求值即可。‎ ‎7.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于,则AB的长度是（    ） ‎ A. 3                                          B. 4                                          C. 5                                          D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】 ：∵Rt△ABC中，∠C=90°，cosA的值等于 ∴cos∠A== ∴= 解之：AB= ‎ 20‎ 故答案为：D 【分析】根据锐角三角函数的定义，列出方程cos∠A==，求出AB的值即可。‎ ‎8. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（   ） ‎ A. 15 海里                           B. 30海里                           C. 45海里                           D. 30 海里 ‎【答案】B ‎ ‎【解析】 ：作BD⊥AP，垂足为D ． 根据题意，得∠BAD=30°，BD=‎15海里， ∴∠PBD=60°， 则∠DPB=30°，BP=15×2=30（海里）， 故选：B． 【分析】作CD⊥AB，垂足为D．构建直角三角形后，根据30°的角对的直角边是斜边的一半，求出BP．‎ ‎9.如图，在 中， ， ， ，则 等于（   ） ‎ A.                                           B.                                           ‎ 20‎ C.                                           D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】 ：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8， ∴BC= ， ∴sinA= . 故答案为：A． 【分析】首先根据勾股定理算出BC的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。‎ ‎10.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据： ）（     ）    ‎ A. 4.64海里                           B. 5.49海里                           C. 6.12海里                           D. 6.21海里 ‎【答案】B ‎ ‎【解析】 ：根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE， ∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°， ∴∠ABC=135°， 又∵BE=CE， ∴∠ACB=∠EBC=15°， ∴∠ABE=120°， 又∵∠CAB=30° ∴BA=BE，AD=DE， ‎ 20‎ 设BD=x， 在Rt△ABD中， ∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x， ∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30， ∴x= = ≈5.49， 故答案为：B. 【分析】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.‎ 二、填空题 ‎ ‎11.在△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB=________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ：如图所示： ∵∠C=90°，tanA= ， ∴设BC=x，则AC=2x，故AB= x， 则sinB= . 故答案为：  ． 【分析】根据正切函数的定义由tanA= ， 设BC=x，则AC=2x，根据勾股定理表示出AB的长，再根据正弦函数的定义即可得出答案。‎ 20‎ ‎12.如图，在菱形纸片ABCD中， ，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点 分别在边 上，则 的值为________ ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 如图，作EH⊥AD于H，连接BE，BD、AE交FG于O， 因为四边形ABCD是菱形，∠A=60°， 所以△ADC是等边三角形，∠ADC=120°， ∵点E是CD的中点， 所以ED=EC= ，BE⊥CD， Rt△BCE中，BE= CE= ， 因为AB∥CD， 所以BE⊥AB， 设AF=x，则BF=3-x，EF=AF=x， 在Rt△EBF中，则勾股定理得，x2=(3-x)2+( )2 ， 解得x= ， Rt△DEH中，DH= DE= ，HE= DH= ， Rt△AEH中，AE= = ， 所以AO= ， Rt△AOF中，OF= = ， ‎ 20‎ 所以tan∠EFG= = ， 故答案为 .【分析】作EH⊥AD于H，连接BE，BD、AE交FG于O，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法得出△ADC是等边三角形，∠ADC=120°，根据等边三角形的三线合一得出ED=EC= ，BE⊥CD，Rt△BCE中，根据勾股定理得出BE,CE的长，根据平行线的性质得出BE⊥AB，设AF=x，则BF=3-x，EF=AF=x，在Rt△EBF中，则勾股定理得出方程求解得出x的值，Rt△DEH中，DH= DE= ，HE= DH= ，Rt△AEH中，利用勾股定理得出AE的长，进而得出AO的长，Rt△AOF中，利用勾股定理算出OF的长，根据正切函数的定义得出答案。‎ ‎13.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC= ，以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E，则图中阴影部分面积是________ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ：连接BE． ∵∠B=90°，∠C=30°，BC= ，∴∠A=60°，AB=1．∵AB=EB，∴△ABE是等边三角形，∴∠ABE=60°，∴S弓形=S扇形ABE﹣S△ABE= = ． 故答案为： ． 【分析】连接BE．因为∠B=90°，∠C=30°，BC= ， 由∠C的正切可得tan∠C=,所以AB==1，由题意以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E可得AB=EB，所以△ABE是等边三角形，则∠ABE=60°，图中阴影部分面积=扇形ABE的面积-三角形ABE的面积=-×1×=-.‎ 20‎ ‎14.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为‎1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为________米（结果保留根号）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ：依题可得：∠ACD=45°,∠BCD=30°,CH=1200, ∵CD∥AB， ∴∠CAH=∠ACD=45°,∠CBH=∠BCD=30°, ∴AH=CH=1200, 设AB=x米， 在Rt△CHB中， ∴tan∠CBH= , 即 = ， 解得：x=1200 -1200. 故答案为：1200 -1200. 【分析】根据平行线的性质结合已知条件得∠CAH=∠ACD=45°,∠CBH=∠BCD=30°,设AB=x米，在Rt△CHB中，根据正切三角函数定义建立等式，代入数值解方程即可得AB长.‎ ‎15.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为________。‎ ‎【答案】‎ 20‎ ‎【解析】 ：延长DM交CB的延长线于H， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=BC=2,AD∥BC， ∴∠ADM=∠H， 又∵M是AB的中点， ∴AM=BM=1， 在△ADM和△BHM中， ∵ ， ∴△ADM≌△BHM（AAS）， ∴DM=HM，AD=BH=2, ∵EM⊥DM， ∴EH=ED, 设BE=x， ∴EH=ED=2+x， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB=∠EAD=90°, ∴AE2=AB2-BE2=ED2-AD2, 即22-x2=（2+x）2-22, 化简得：x2+2x-2=0， 解得：x=-1， 在Rt△ABE中， ∴cosB=. 故答案为： . 【分析】延长DM交CB的延长线于H，由菱形的性质和平行线的性质可得：AB=AD=BC=2,∠ADM=∠H；由全等三角形的判定AAS得△ADM≌△BHM，再根据全等三角形的性质得DM=HM，AD=BH=2,‎ 20‎ 根据等腰三角形三线合一的性质可得EH=ED,设BE=x，则EH=ED=2+x，根据勾股定理得AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,代入数值解这个方程即可得出BE的长.‎ ‎16.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________. ‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】 ：连接BE交CF于点G（如图）， ∵四边形BCEF是边长为1的正方形， ∴BE=CF= ，BE⊥CF， ∴BG=EG=CG=FG= , 又∵BF∥AC， ∴△BFO∽△ACO， ∴ , ∴CO=3FO， ∴FO=OG= CG= ， 在Rt△BGO中， ∴tan∠BOG= =2, 又∵∠AOD=∠BOG, ∴tan∠AOD=2. 故答案为:2. 【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF= ，再由正方形的性质得BE⊥CF，BG=EG=CG=FG= ,又根据相似三角形的判定得△BFO∽△ACO，由相似三角形的性质得 ,‎ 20‎ 从而得FO=OG= CG= ，在Rt△BGO中根据正切的定义得tan∠BOG= =2,根据对顶角相等从而得出答案.‎ ‎17.如图。在 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点. 的顶点都在格点上,则 的正弦值是________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2 ， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC= = ． 故答案为： ． 【分析】首先根据方格纸的特点，算出AB2，AC2，BC2，然后根据勾股定理的逆定理判断出∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，根据正弦函数的定义即可得出答案。‎ ‎18.一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC=EF=‎12cm（如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长是________．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为________．（结果保留根号） ‎ ‎【答案】；‎ 20‎ ‎【解析】 ：如图 如图1中，作HM⊥BC于M，HN⊥AC于N，则四边形HMCN是正方形，设边长为a. 在Rt△ABC中,∵∠ABC=30∘，BC=12， ∴AB==8， 在Rt△BHM中，BH=2HM=‎2a，    在Rt△AHN中,AH==a， ∴‎2a+=8， ∴a=6−6， ∴BH=‎2a=12−12. 如图2中,当DG∥AB时,易证GH1⊥DF， BH1的值最小,则BH1=BK+KH1=3+3， ∴HH1=BH−BH1=9−15， 当旋转角为60°时，F与H2重合，易知BH2=6， ‎ 20‎ 观察图象可知,在∠CGF从0°到60°的变化过程中， ∴点H相应移动的路径长=2HH1+HH2=18−30+[6−(12−12)]=12−18， 故答案为：12−12,12−18.【分析】如图1中，作HM⊥BC于M，HN⊥AC于N，则四边形HMCN是正方形，设边长为a，利用解直角三角形求出AB的长，用含a的代数式分别表示BH、AH的长，再根据AB=AH+BH，就可求出a的值，从而求出BH的值即可；如图2中,当DG∥AB时,易证GH1⊥DF，得出此时BH1的值最小，求出BH1的值，再求出BH2的值，然后求值在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长即可。‎ 三、解答题题 ‎ ‎19. 先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a=2sin60°﹣tan45°． ‎ ‎【答案】解：原式=[ ﹣ ]•（a﹣1） = •（a﹣1） = 当a=2sin60°﹣tan45°=2× ﹣1= ﹣1时， 原式= = ‎ ‎【解析】【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可．‎ ‎20.为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走‎200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据： ， ）‎ 20‎ ‎【答案】解：依题可得：AB=‎200米，∠PAC=60°，∠PBD=45°，令PG=x米，作PG⊥l， ∴∠PAG=30°，∠PBG=45°， ∴△PBG为等腰直角三角形， ∴BG=PG=x, 在Rt△PAG中， ∴tan30°= , 即 ， ∴x=100（ +1）≈273 答：凉亭P到公路l的距离是‎273米． ‎ ‎【解析】【分析】令PG=x米，作PG⊥l，根据题意可得△PBG为等腰直角三角形，即BG=PG=x,在Rt△PAG中，根据锐角三角函数正切定义可得tan30°= ,代入数值解方程即可.‎ ‎21.如图，湛河两岸AB与EF平行，小亮同学假期在湛河边A点处，测得对岸河边C处视线与湛河岸的夹角∠CAB=37°，沿河岸前行‎140米到点B处，测得对岸C处的视线与湛河岸夹角∠CBA=45°.问湛河的宽度约多少米?(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75) ‎ ‎【答案】解：过C作CD⊥AB于点D， 设CD=x米． ‎ 20‎ 在Rt△BDC中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，∴BD=CD=x ． 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=37°，∴AD=  ． ∵AB=AD+DB=140，∴ ，∴x=60． 答：湛河的宽度约‎60米． ‎ ‎【解析】【分析】过C作CD⊥AB于点D，设CD=x米，在Rt△BDC中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，根据等腰三角形的性质可得BD=CD=x ，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=37°，由tan∠CAD=tan37°=,所以AD=,而由题意得AB=AD+DB=140，所以++ x = 140，解得x=60．‎ ‎22.已知:在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,点A在x轴的负半轴上,直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点,四边形ABCD为菱形. ‎ ‎（1）如图1，求点A的坐标； ‎ ‎（2）如图2,连接AC,点P为△ACD内一点,连接AP、BP,BP与AC交于点G,且∠APB=60°,点E在线段AP上,点F在线投BP上,且BF=AE.连接AF、EF,若∠AFE=30°,求AF +EF 的值; ‎ ‎（3）如图3在(2)的条件下,当PE=AE时,求点P的坐标. ‎ ‎【答案】（1）解：如图1∵ :BO= ，CO= 在R△BCO中 ∴四边形ABCD为菱形∴AB=BC=7 ∴AO=AB-BO= ∴ ‎ 20‎ ‎（2）解：如图2 ∵AO= =BO，CO⊥AB∴AC=BC=7 AB=AC=BC∴△ABC为等边三角形∴∠ACB=60° ,∠APB=60°∴∠APB=∠ACB ∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB ∵∠PAG=∠CBG连接CE、CF ∵AE=BF∴△ACE≌△BCF ∴CE=CF∠ACE=∠BCF ∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60° △CEF为等边三角形 ∴∠CFE=60°EF=FC∵∠AFE=30°∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90° 在Rt△ACF中∴AF2+CF2=AC2=72=49∴AF2+EF2=49 （3）解：如图 由(2)知△CEF为等边三角形 ∠CEF=60°EC=EF延长CE、FA交于点H ∵∠AFE=30°∠CEF=∠H+∠EFH ∠H=∠CEF-∠EFH=30°∴∠H=∠EFH∴EH=EF EC=EH连接CP∵PE=AE∠CEP=∠HEA △CPE≌△HAE∴∠PCE=∠H:CP∥FH ∠HFP=∠CPF在BP上截取TB=AP 连接TC由(2)知∠CAP=∠CBT∵AC=BC∴,△ACP≌△BCT ‎ 20‎ CP=CT∠ACP=∠BCT∴∠PCT=∠ACP+∠ACT=∠BCT+∠ACT=∠ACB=60 △CPT为等边三角形∴CT=PT∠CPT=∠CTP=60° CP∥FH∴∠HFP=∠CPIT=60°∵∠APB=60°∴∠APB=∠AFP∴AP=AF △APF为等边三角形∴∠CFP=∠AFC-∠AFP=90°-60°=30° ∴∠TCF=∠CTP-∠TFC=60°-30°=30°∴∠TCF=∠TFC∴TF=TC=TP 连接AT则AT⊥BP设BF=m则AE=PE=m PF=AP=‎2m.TF=TP=m TB=‎2m BP=‎3m 在Rt△APT中AT= 在Rt△ABT中,AT2+TB2=AB2∴ ∴m1=- (舍去)m2= BF= ,AT= ,BP=3 , 作PQ⊥AB垂足为点Q,作PK⊥OC,垂足为点K,则四边形PQOK为矩形 则OK=PQ=BP·sin∠PBQ=3 x2=3 ‎ ‎【解析】【分析】（1）先求出直线BC与两坐标轴的交点B、C的坐标，再利用勾股定理求出BC的长，根据菱形的性质得出AB=BC，然后求出AO的长，就可得出点A的坐标。 （2）根据点A、B的坐标，可证得△ABC是等边三角形，可得出AC=AB，再证明∠PAG=∠CBG，根据已知AE=BF，就可证得△ACE≌△BCF，得出CE=CF,∠ACE=∠BCF，然后证明∠AFC=90°，在Rt△ACF中，利用勾股定理就可结果。 （3）延长CE、FA交于点，根据等边三角形的性质及已知条件，先证明EC=EH，连接CP，易证△CPE≌△HAE，得出∠PCE=∠H，根据平行线的性质，可得出∠HFP=∠CPF，在BP上截取TB=AP，连接TC，证明△ACP≌△BCT，根据等边三角形的性质及平行线的性质，去证明TF=TC=TP，连接AT，得出AT⊥BP，设BF=m,AE=PE=m,再根据勾股定理求出m的值，作PQ⊥AB，PK⊥OC，可得出四边形PQOK是矩形，利用解直角三角形求出PQ的长，就可求出BQ、OQ的长，从而可得出点P的坐标。‎ 20‎