青岛市黄岛区中考数学模拟试卷八含答案解析 30页

‎2015年山东省青岛市黄岛区六中中考数学模拟试卷（八）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．请将1-8各小题所选答案的标号填写在第8小题后面给出表格的相应位置上．‎ ‎1．的绝对值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列水平放置的几何体中，主视图是矩形的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎3．我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875人，将这个总人口数（保留四个有效数字）用科学记数法表示为（　　）人．‎ A．13.71×108 B．1.370×109 C．1.371×109 D．0.137×1010‎ ‎4．观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若反比例函数的图象经过点A（﹣3，2），则当x＞1时，函数值y的取值范围是（　　）‎ A．y＞6 B．0＜y＜6 C．y＞﹣6 D．﹣6＜y＜0‎ ‎6．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（　　）‎ A．（4，0） B．（4，1） C．（﹣2，2） D．（3，1）‎ ‎7．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=10，AB=8，则⊙O的半径为（　　）‎ A． B． C．5 D．6‎ ‎8．函数y=ax+a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ ‎9．小亮应聘小记者，进行了三项素质测试，测试成绩分别是：采访写作90分，计算机输入85分，创意设计70分，若将采访写作、计算机输入、创意设计三项成绩按5：2：3的比例来计算平均成绩，则小亮的平均成绩是　　　　　　 分．‎ ‎10．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上的一点，C是弧AE的中点，若∠A=50°，则∠AOE的度数为　　　　　　°．‎ ‎11．某旅馆的客房有三人间和二人间两种，三人间每人每天80元，二人间每人每天110元．一个40人的旅游团到该旅店住宿，租住了若干房间，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费2500元．求两种客房各租住了多少间？若设租住了三人间x间，二人间y间，则根据题意可列方程组为　　　　　　．‎ ‎12．某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的小球（小球出颜色外完全相同）共60个．通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%，由此估计口袋中蓝球的数目约为　　　　　　个．‎ ‎13．如图，等腰直角三角形ABC中，AD是底边BC上的高，现将△ABD沿DC方向平移，使点D和点C重合，若重叠部分（阴影部分）的面积是4，则△ABC的腰长为　　　　　　．‎ ‎14．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为s，则第n个矩形的面积为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 ‎15．某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．‎ ‎　‎ 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）‎ ‎16．（1）解不等式组：‎ ‎（2）化简：．‎ ‎17．某校为了解九年级学生的体能情况，随机抽取部分男生进行引体向上测试，并根据抽测成绩绘制成如下两幅统计图．‎ ‎（1）请你补全图2的统计图；‎ ‎（2）本次抽测成绩的众数和中位数分别是多少？‎ ‎（3）若规定引体向上9次以上（含9次）为体能达到标准，则该校450名九年级男生中，估计有多少人体能达到标准？‎ ‎18．甲、乙两个人进行游戏：在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲得1分；否则乙得1分．这是个公平的游戏吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使该游戏对双方公平．‎ ‎19．五一期间，小明随父母到某旅游胜地参观游览，他在游客中心O处测得景点A在其北偏东72°方向，测得景点B在其南偏东40°方向．小明从游客中心走了2千米到达景点A，已知景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1千米）‎ ‎（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84）‎ ‎20．某超市第一次用3000元从生产基地购进某品种水果，很快售完，第二次又用2400元购进相同品种的水果，第二次购进水果每千克的进价是第一次的1.2倍，且重量比第一次少了20千克．‎ ‎（1）求两次购进水果每千克的进价分别是多少元？‎ ‎（2）在这两次购进水果的运输过程中，总重量损失10%，若这两次水果的售价相同，全部售完后超市至少要获得20%的总利润，则该水果的售价最低应定为每千克多少元？（结果保留整数）．‎ ‎21．如图，在▱ABDC中，分别取AC、BD的中点E和F，连接BE、CF，过点A作AP∥BC，交DC的延长线于点P．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△DCF；‎ ‎（2）当∠P满足什么条件时，四边形BECF是菱形？证明你的结论．‎ ‎22．某茶叶专卖店经销一种崂山绿茶，每千克成本80元．据销售人员调查发现，每月的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在如图所示的变化规律．‎ ‎（1）求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式；‎ ‎（2）写出每月销售这种绿茶获得的利润w（元）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；‎ ‎（3）若该专卖店销售这种绿茶想要每月获得的利润不低于1350元，并且为了不压货，要求每月销售量不得低于70千克，则销售单价应定在什么范围内？‎ ‎23．【问题提出】‎ 如图1，把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；再将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处），求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l1围成图形的面积．‎ ‎【问题解决】‎ 三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，即+=；这两段圆弧与直线l1围成的图形面积，等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和，即++=+．‎ ‎【类比应用】‎ 如图2，把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片进行第一次旋转，即绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；再将正方形纸片AO1C1B1进行第二次旋转，即绕点B1按顺时针方向旋转90°，…，按上述方法经过若干次旋转后．‎ 请你解答下面两个问题：‎ ‎（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；‎ ‎（2）若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程．‎ ‎【拓展应用】‎ 将正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是π？‎ ‎24．如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=cm，AD=8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，EF交AD于E，交DC于点F；同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．‎ ‎（1）当EP⊥BC时，求t的值是多少？‎ ‎（2）设△PEF的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使面积y最大？若存在，求出y的最大值；若不存在，说明理由．‎ ‎（4）连接AP，是否存在某一时刻t，使点E恰好在AP的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2015年山东省青岛市黄岛区六中中考数学模拟试卷（八）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．请将1-8各小题所选答案的标号填写在第8小题后面给出表格的相应位置上．‎ ‎1．的绝对值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】绝对值．‎ ‎【分析】根据正数的绝对值是它本身，可得答案．‎ ‎【解答】解：||=，故B正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．‎ ‎　‎ ‎2．下列水平放置的几何体中，主视图是矩形的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】简单几何体的三视图．‎ ‎【分析】根据主视图的概念找出各图形的主视图．‎ ‎【解答】解；圆柱的主视图我长方形，长方体的主视图为长方形，三棱柱的主视图为长方形，圆锥的主视图为三角形．‎ 主视图为矩形的共3个．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了简单几何体的三视图，主视图为从物体正面看到的视图．‎ ‎　‎ ‎3．我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875人，将这个总人口数（保留四个有效数字）用科学记数法表示为（　　）人．‎ A．13.71×108 B．1.370×109 C．1.371×109 D．0.137×1010‎ ‎【考点】科学记数法与有效数字．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于137 053 687 5有10位，所以可以确定n=10﹣1=9．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．‎ 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．‎ ‎【解答】解：全国人口为1370536875人，将这个总人口数（保留四个有效数字）用科学记数法表示为1.371×109，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．‎ ‎　‎ ‎4．观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】中心对称图形；轴对称图形．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；‎ C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．‎ ‎　‎ ‎5．若反比例函数的图象经过点A（﹣3，2），则当x＞1时，函数值y的取值范围是（　　）‎ A．y＞6 B．0＜y＜6 C．y＞﹣6 D．﹣6＜y＜0‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．‎ ‎【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A的坐标代入函数解析式求得k=﹣6，据此可以画出该函数的大致图象，根据图象直接回答问题．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（﹣3，2），‎ ‎∴k=xy=（﹣3）×2=﹣6＜0，‎ ‎∴该反比例函数经过第二、四象限，且当x=1时，y=﹣6．‎ 其图象如图所示：‎ 根据图象知，当x＞1时，﹣6＜y＜0．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质．解题时，采用了“数形结合”的数学思想．‎ ‎　‎ ‎6．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（　　）‎ A．（4，0） B．（4，1） C．（﹣2，2） D．（3，1）‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转；正方形的性质．‎ ‎【分析】根据旋转的性质作出旋转后的图形，写出点B对应点的坐标即可得解．‎ ‎【解答】解：如图，点B的对应点B′的坐标为（4，0）．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，利用数形结合求解更加简便，准确作出图形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=10，AB=8，则⊙O的半径为（　　）‎ A． B． C．5 D．6‎ ‎【考点】垂径定理；勾股定理．‎ ‎【分析】如图，作辅助线；设⊙O的半径为λ，运用勾股定理列出λ2=42+（10﹣λ）2，求出λ即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，连接OA．‎ 设⊙O的半径为λ，则OE=10﹣λ．‎ ‎∵弦AB⊥CD，‎ ‎∴AE=BE=4；‎ 由勾股定理得：λ2=42+（10﹣λ）2，‎ 解得：λ=，‎ 故选A．‎ ‎【点评】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．‎ ‎　‎ ‎8．函数y=ax+a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．‎ ‎【分析】根据反比例函数图象所在的象限可以判定a的符号，根据a的符号来确定直线所经过的象限．‎ ‎【解答】解：A、双曲线经过第二、四象限，则a＜0．则直线应该经过第二、四象限，故本选项错误．‎ B、双曲线经过第一、三象限，则a＞0．所以直线应该经过第一、三象限，且与y轴交于正半轴，故本选项正确．‎ C、双曲线经过第二、四象限，则a＜0．所以直线应该经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴，故本选项错误．‎ D、双曲线经过第一、三象限，则a＞0．所以直线应该经过第一、三象限，且与y轴交于正半轴，故本选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ ‎9．小亮应聘小记者，进行了三项素质测试，测试成绩分别是：采访写作90分，计算机输入85分，创意设计70分，若将采访写作、计算机输入、创意设计三项成绩按5：2：3的比例来计算平均成绩，则小亮的平均成绩是　83　 分．‎ ‎【考点】加权平均数．‎ ‎【分析】利用加权平均数按照比例求得小亮同学的成绩即可．‎ ‎【解答】解：（分）．‎ 故答案为：83．‎ ‎【点评】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．‎ ‎　‎ ‎10．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上的一点，C是弧AE的中点，若∠A=50°，则∠AOE的度数为　160　°．‎ ‎【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．‎ ‎【分析】先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由三角形内角和定理求出∠ABC的度数，故可得出的度数，根据C是弧AE的中点可得出的度数，进而可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°．‎ ‎∵∠A=50°，‎ ‎∴∠ABC=90°﹣50°=40°．‎ ‎∴=40°．‎ ‎∵点C是弧AE的中点，‎ ‎∴=2=80°，‎ ‎∴∠AOE=2×80°=160°．‎ 故答案为：160．‎ ‎【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．某旅馆的客房有三人间和二人间两种，三人间每人每天80元，二人间每人每天110元．一个40人的旅游团到该旅店住宿，租住了若干房间，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费2500元．求两种客房各租住了多少间？若设租住了三人间x间，二人间y间，则根据题意可列方程组为　　．‎ ‎【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．‎ ‎【分析】设租住了三人间x间，二人间y间，根据总共40人花费2500元，列方程组即可．‎ ‎【解答】解：设租住了三人间x间，二人间y间，‎ 由题意得，．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．‎ ‎　‎ ‎12．某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的小球（小球出颜色外完全相同）共60个．通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%，由此估计口袋中蓝球的数目约为　15　个．‎ ‎【考点】利用频率估计概率．‎ ‎【分析】首先求得摸到红球的频率，然后利用概率公式求解即可．‎ ‎【解答】解：∵摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%，‎ ‎∴摸到蓝色球的频率为1﹣30%﹣45%=25%，‎ 设有蓝球x个，根据题意得： =25%，‎ 解得：x=15，‎ 故答案为：15．‎ ‎【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎13．如图，等腰直角三角形ABC中，AD是底边BC上的高，现将△ABD沿DC方向平移，使点D和点C重合，若重叠部分（阴影部分）的面积是4，则△ABC的腰长为　4　．‎ ‎【考点】平移的性质．‎ ‎【分析】根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=45°，故可得出△CDE是等腰直角三角形，根据重叠部分（阴影部分）的面积是4求出DE的长，故可得出CD的长，再根据勾股定理即可得出AC的长．‎ ‎【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠B=∠C=45°，‎ ‎∴△CDE是等腰直角三角形．‎ ‎∵重叠部分（阴影部分）的面积是4，‎ ‎∴DE2=4，解得DE=2，‎ ‎∴CD===4，‎ ‎∴AC===4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为s，则第n个矩形的面积为　（s）2n﹣2　．‎ ‎【考点】中点四边形．‎ ‎【专题】规律型．‎ ‎【分析】易得第二个矩形的面积为（）2s，第三个矩形的面积为（）4s，依此类推，第n个矩形的面积为（）2n﹣2s．‎ ‎【解答】解：已知第一个矩形的面积为s；‎ 第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2s=s；‎ 第三个矩形的面积是（s）2×3﹣2=s；‎ ‎…‎ 故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2s．‎ 故答案为：（）2n﹣2s．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ ‎　‎ 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 ‎15．某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图．‎ ‎【分析】由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．‎ ‎【解答】解：如图，①连接AB，AC，‎ ‎②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P，‎ 则P即为售票中心．‎ ‎【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．‎ ‎　‎ 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）‎ ‎16．（1）解不等式组：‎ ‎（2）化简：．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组；分式的混合运算．‎ ‎【分析】（1）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集；‎ ‎（2）首先把括号内的分式进行通分、相减，把除法转化为乘法，然后对分式进行化简即可．‎ ‎【解答】解：（1），‎ 解①得：x≥﹣1，‎ 解②得：x＜3，‎ 则不等式的解集是：﹣1≤x＜3；‎ ‎（2）原式=•‎ ‎=‎ ‎=2（x﹣2）﹣（x+2）‎ ‎=2x﹣4﹣x﹣2‎ ‎=x﹣6．‎ ‎【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．‎ ‎　‎ ‎17．某校为了解九年级学生的体能情况，随机抽取部分男生进行引体向上测试，并根据抽测成绩绘制成如下两幅统计图．‎ ‎（1）请你补全图2的统计图；‎ ‎（2）本次抽测成绩的众数和中位数分别是多少？‎ ‎（3）若规定引体向上9次以上（含9次）为体能达到标准，则该校450名九年级男生中，估计有多少人体能达到标准？‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数．‎ ‎【分析】（1）先求出总人数，再求出做9次的人数即可作图，‎ ‎（2）利用众数和中位数的定义求解即可，‎ ‎（3）用总人数乘做9次以上（含9次）的百分比．‎ ‎【解答】解：（1）抽测的男生数为10÷20%=50人，做9次的人数50﹣10﹣14﹣12﹣3=11人 ‎（2）本次抽测成绩的众数和中位数分别是7，8，‎ ‎（3）体能达到标准的人数为：450×=126人．‎ ‎【点评】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，中位数及众数，解题的关键是正确的从条形统计图，扇形统计图得出数据．‎ ‎　‎ ‎18．甲、乙两个人进行游戏：在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲得1分；否则乙得1分．这是个公平的游戏吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使该游戏对双方公平．‎ ‎【考点】游戏公平性．‎ ‎【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出之和为6的情况数，即可求出所求的概率，找出数字之和为3的倍数的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．‎ ‎【解答】解：列表如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎（1，1）‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎（4，1）‎ ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（4，2）‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ ‎（4，3）‎ ‎4‎ ‎（1，4）‎ ‎（2，4）‎ ‎（3，4）‎ ‎（4，4）‎ 所有等可能的情况有16种，其中数字之和为3，6的情况有5种，‎ ‎∴P（和为3的倍数）=，‎ 则该游戏不公平，‎ 故可以这样修改游戏规则：数字之和为奇数甲获胜，之和为偶数乙获胜．‎ ‎【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．‎ ‎　‎ ‎19．五一期间，小明随父母到某旅游胜地参观游览，他在游客中心O处测得景点A在其北偏东72°方向，测得景点B在其南偏东40°方向．小明从游客中心走了2千米到达景点A，已知景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果精确到0.1千米）‎ ‎（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．‎ ‎【分析】作OC⊥AB．在在Rt△AOC中，求出AC、OC的长，从而求出BC的长，于是将AC、BC相加即可．‎ ‎【解答】解：作OC⊥AB．‎ ‎∵AB∥OF，‎ ‎∴∠A=72°，∠B=40°，‎ ‎∴在Rt△AOC中，‎ AC=2×cos72°≈2×0.31=0.62（千米），‎ OC=2×sin72°≈2×0.95=1.9（千米），‎ 在Rt△BOC中，‎ ‎=tan40°，‎ 即≈0.84，‎ BC≈=2.26（千米），‎ ‎∴AB=0.62+2.26=2.88（千米）．‎ ‎【点评】本题考查了方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．‎ ‎　‎ ‎20．某超市第一次用3000元从生产基地购进某品种水果，很快售完，第二次又用2400元购进相同品种的水果，第二次购进水果每千克的进价是第一次的1.2倍，且重量比第一次少了20千克．‎ ‎（1）求两次购进水果每千克的进价分别是多少元？‎ ‎（2）在这两次购进水果的运输过程中，总重量损失10%，若这两次水果的售价相同，全部售完后超市至少要获得20%的总利润，则该水果的售价最低应定为每千克多少元？（结果保留整数）．‎ ‎【考点】一元一次不等式的应用；解分式方程．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）设第一次购进水果单价x元，则第二次购进水果单价1.2x元，根据第二次比第一次的重量少了20千克，可得出分式方程，解出即可；‎ ‎（2）最低应定为每千克y元，根据全部售完后超市至少要获得20%的总利润可得出不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）设第一次购进水果单价x元，则第二次购进水果单价1.2x元 由题意得﹣=20，‎ 解得：x=50，‎ 经检验的x=50是原方程的解，‎ 而1.2x=60，‎ 所以两次购进水果每千克的进价分别是50元、60元．‎ ‎（2）最低应定为每千克y元，‎ 购买水果的总质量为：（ +）=100千克，‎ 由题意得：100×90%y﹣3000﹣2400≥5400×20%，‎ 解得：y≥72，‎ 答：该水果的售价最低应定为每千克72元．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次不等式及分式方程的应用，解答此类题目的关键是仔细审题，找到题目中的等量关系及不等关系，从而利用数学知识解答．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在▱ABDC中，分别取AC、BD的中点E和F，连接BE、CF，过点A作AP∥BC，交DC的延长线于点P．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△DCF；‎ ‎（2）当∠P满足什么条件时，四边形BECF是菱形？证明你的结论．‎ ‎【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．‎ ‎【分析】（1）根据平行四边形的对角相等可得∠BAC=∠D，对边相等可得AB=CD，AC=BD，再根据中点定义求出AE=DF，然后利用“边角边”证明即可；‎ ‎（2）∠P=90°时，四边形BECF是菱形．先判断出四边形ABCP是平行四边形，根据平行四边形的对角相等可得∠ABC=∠P，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=CE，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形BECF是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．‎ ‎【解答】（1）证明：在▱ABDC中，∠BAC=∠D，AB=CD，AC=BD，‎ ‎∵E、F分别是AC、BD的中点，‎ ‎∴AE=DF，‎ 在△ABE和△DCF中，，‎ ‎∴△ABE≌△DCF（SAS）；‎ ‎（2）解：∠P=90°时，四边形BECF是菱形．理由如下：‎ 在▱ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∵AP∥BC，‎ ‎∴四边形ABCP是平行四边形，‎ ‎∴∠ABC=∠P=90°，‎ ‎∵E是AC的中点，‎ ‎∴BE=CE=AC，‎ ‎∵E、F分别是AC、BD的中点，‎ ‎∴BF=CE，‎ 又∵AC∥BD，‎ ‎∴四边形BECF是平行四边形，‎ ‎∴四边形BECF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．某茶叶专卖店经销一种崂山绿茶，每千克成本80元．据销售人员调查发现，每月的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在如图所示的变化规律．‎ ‎（1）求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式；‎ ‎（2）写出每月销售这种绿茶获得的利润w（元）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；‎ ‎（3）若该专卖店销售这种绿茶想要每月获得的利润不低于1350元，并且为了不压货，要求每月销售量不得低于70千克，则销售单价应定在什么范围内？‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）设函数解析式为y=kx+b，将（90，100），（100，80）代入y=kx+b即可；‎ ‎（2）每千克利润乘以销售量即为总利润；‎ ‎（3）要求每月销售量不得低于70千克和每月获得的利润不低于1350元，求出x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，‎ 把（90，100），（100，80）代入y=kx+b得，‎ ‎，‎ 解得，，‎ y与销售单价x之间的函数关系式为y=﹣2x+280．‎ ‎（2）w=（x﹣80）（﹣2x+280）=﹣2x2+440x﹣22400；‎ ‎（3）要求每月销售量不得低于70千克，‎ 即﹣2x+280≥70，‎ 解得x≤105，‎ 当﹣2x2+440x﹣22400=1350时，‎ 得到﹣2（x﹣110）2+1800=1350，‎ 解得（x﹣110）2=225，‎ 解得x1=95，x2=125．‎ 每月获得的利润不低于1350元，则有95元≤x≤125元，‎ 于是销售单价在95元≤x≤105元之间．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，同时要熟悉二次函数和一元二次方程的关系．‎ ‎　‎ ‎23．【问题提出】‎ 如图1，把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；再将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处），求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l1围成图形的面积．‎ ‎【问题解决】‎ 三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，即+=；这两段圆弧与直线l1围成的图形面积，等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和，即++=+．‎ ‎【类比应用】‎ 如图2，把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片进行第一次旋转，即绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；再将正方形纸片AO1C1B1进行第二次旋转，即绕点B1按顺时针方向旋转90°，…，按上述方法经过若干次旋转后．‎ 请你解答下面两个问题：‎ ‎（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；‎ ‎（2）若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程．‎ ‎【拓展应用】‎ 将正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是π？‎ ‎【考点】几何变换综合题．‎ ‎【分析】①根据正方形旋转3次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可；‎ ‎②根据正方形旋转5次的路径，利用弧长计算公式求出即可；‎ ‎【拓展应用】‎ 再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出=20（1+）π+，即可得出旋转次数．‎ ‎【解答】解：①如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧，‎ ‎∴顶点O在此过程中经过的路程为：×2+=（1+）π，‎ 顶点O在此过程中经过的图形与直线l2围成的图形面积为：×2++2××1=1+π．‎ ‎②正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：×3+=（）π；‎ ‎【拓展应用】‎ 正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：×2+=（1+）π，‎ 根据第四次正方形旋转时O点不动，也就是此时也是正方形纸片OABC经过4次旋转的路程；‎ ‎∴=20（1+）π+，‎ ‎∴正方形纸片OABC经过了：20×4+1=81次旋转．‎ ‎【点评】此题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别得出旋转3，4，5次旋转的路径是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=cm，AD=8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，EF交AD于E，交DC于点F；同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．‎ ‎（1）当EP⊥BC时，求t的值是多少？‎ ‎（2）设△PEF的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使面积y最大？若存在，求出y的最大值；若不存在，说明理由．‎ ‎（4）连接AP，是否存在某一时刻t，使点E恰好在AP的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）当EP⊥BC时，DE=PC，得出8﹣2t=t，即可求出t；‎ ‎（2）作AG⊥BC于G，先求出CD=AG=6，再由△DEF∽△DAC，得出比例式得出DF，CF，用梯形DEPC的面积减去△DEF和△CPF的面积即为△PEF的面积；‎ ‎（3）由（2）得y是t的二次函数，二次项系数＜0，故有最大值，配方得顶点式，即可得出最大值；‎ ‎（4）由点E在AP的垂直平分线上，得出AE=EP，根据勾股定理得出方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：AE=2t，PC=t，‎ ‎∴DE=8﹣2t，‎ 当EP⊥BC时，DE=PC，‎ ‎∴8﹣2t=t，‎ 解得：t=；‎ ‎（2）作AG⊥BC于G，如图所示：‎ 则四边形AGCD是矩形，∠AGB=90°，‎ ‎∴CD=AE，AG=AB•sin60°=4•=6，‎ ‎∴CD=6，‎ ‎∵EF∥AC，‎ ‎∴△DEF∽△DAC，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴DF=6﹣t，‎ ‎∴CF=t，‎ ‎∵S梯形DEPC=（8﹣2t+t）×6=24﹣3t，‎ S△DEF=（8﹣2t）（6﹣t）=﹣12t+24，‎ S△CPF=t•t=，‎ ‎∴y=S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△CPF ‎=24﹣3t﹣（﹣12t+24）﹣‎ ‎=﹣t2+9t，‎ 即y=﹣t2+9t；‎ ‎（3）存在；‎ ‎∵y=﹣t2+9t=﹣（t﹣2）2+9，﹣＜0，‎ ‎∴y有最大值，当t=2时，y的值最大，最大值=9；‎ ‎（4）存在；‎ 作PH⊥AD于H，如图所示：‎ 则DH=PC=t，PH=6，‎ ‎∴EH=8﹣2t﹣t=8﹣3t，‎ ‎∴EP2=（8﹣3t）2+62，‎ 又∵点E在AP的垂直平分线上，‎ ‎∴AE=EP，‎ ‎∴（2t）2=（8﹣3t）2+62，‎ 解得：t=，或t=（舍去），‎ ‎∴t=时，点E恰好在AP的垂直平分线上．‎ ‎【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定方法、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、二次函数的知识以及图形面积的计算；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，通过作辅助线求出线段长度，并运用三角形相似才能求出面积．‎ ‎　‎