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2011-2012全国各地中考数学试题分考点解析汇编
探索规律型问题
一、选择题
1.（2011重庆４分）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为
A、55 B、42 C、41 D、29
【答案】
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】找出规律：∵图②平行四边形有5个=1+2+2，图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41。故选C。
2.（2011重庆綦江4分）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中 所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为
3
﹣1
2
…
A、3 B、2 C、0 D、﹣1
【答案】A。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】首先由已知和表求出、、，再观察找出规律求出第2011个格子中的数．已知其中任意三个相邻格子中 所填整数之和都相等，则，3++=++，++c=+﹣1，解得=﹣1，=3，按要求排列顺序为，3，﹣1，，3，﹣1，，…，结合已知表得=2，所以每个小格子中都填入一个整数后排列是：3，﹣1，2，3，﹣1，2，…，其规律是每3个数一个循环。∵2011÷3=670余1，∴第2011个格子中的数为3。故选A。
3.（2011重庆江津4分）如图，四边形ABCD中，AC=，BD=，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有
①四边形A2B2C2D2是矩形； ②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是 ④四边形AnBnCnDn的面积是．
A、①② B、②③ C、②③④ D、①②③④
【答案】C。
【考点】分类归纳，三角形中位线定理，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质。
【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
连接A2 C2，B2 D2，可以证明，四边形A1B1C1D1是矩形，
A2 C2＝A1B1＝AC＝，B2 D2＝A1D1 ＝BD＝。
∴A2 C2≠B2 D2。即四边形A2B2C2D2的对角线不相等。
∴四边形A2B2C2D2不是矩形。故本选项错误。
连接A1C1，B1D1，
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC。
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1。
∴四边形ABCD是平行四边形。
∴B1D1=A1C1（平行四边形的两条对角线相等）。
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理）。
∴四边形A2B2C2D2是菱形。
∴同理，四边形A4B4C4D4是菱形。故本选项正确。
根据中位线的性质易知，
A5B5=A3B3=×A1B1=××AC=，B5C5=B3C3=×B1C1=××BC=，
∴四边形A5B5C5D5的周长是。故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC=，BD=，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是×=。故本选项正确。
综上所述，②③④正确。故选C。
4.（2011浙江舟山、嘉兴3分）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是
（A）2010 （B）2011 （C）2012 （D）2013
【答案】D。
【考点】分类归纳。
【分析】从图中知，该纸链是5的倍数，中间截去的是剩下3+5n，从选项中数减3为5的倍数者即为所求。∵2013-3被5整除，故选D。
5.（2011浙江省3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”
A.28 B.56 C.60 D. 124
【答案】C。
【考点】分类归纳。
【分析】经观察可以发现：图A3比图A2多出4个“树枝”； 图A4比图A3多出8个“树枝”， 比图A2多出4+8=12个“树枝”； 图A5比图A4多出16个“树枝”， 比图A2多出4+8+16=28个“树枝”； 图A6比图A5多出32个“树枝”， 比图A2多出4+8+16+32=60个“树枝”。 故选C。
6.（2011广西桂林3分）如图，将边长为的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为
A、 B、 C、 D、
【答案】A。
【考点】正多边形的性质，旋转的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，弧长的计算。
【分析】连接A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴A1A4=2，∠A1A6A5=120°，
∴∠CA1A6=30°，∴A6C=，A1C=。
∴A1A5=A1A3=。
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以，，2，a，为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长=。故选A。
7．（2011广西百色3分）相传古印度一座梵塔圣殿中，铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了三米高的宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64枚大小两两相异的一寸厚的金盘，小盘压着较大的盘子，如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移到3柱上去，移动过程不许以大盘压小盘，不得把盘子放到柱子之外。移动之日，喜马拉雅山将变成一座金山。
设h(n) 是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子知最少次数
n=1时，h(1)=1
n=2时，小盘 2柱，大盘 3柱，小盘从2柱 3柱，完成。即h(2)=3。
n=3时，小盘 3柱，中盘 2柱，小盘从3柱 2柱。 即用h(2)种方法把中、小两盘移到2柱，大盘移到3柱；再用h(2)种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成
我们没有时间去移64个盘子，但你可由以上移动过程的规律，计算n=6时， h(6)=
A.11 B.31 C.63 D.127
【答案】C。
【考点】分类归纳。
【分析】找出规律：n=1时，h(1)=1；n=2时，h(2)=3；n=3时，h(3)= 2h(2)＋1=7；n=4时，h(4)= 2h(3)＋1=15；n=5时，h(5)= 2h(4)＋1=31；n=6时，h(6)= 2h(5)＋1=63。故选C。
8.（2011广西玉林、防城港3分）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是
A、升 B、升 C、升 D、升
【答案】D。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】根据题意，第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，
第4次倒出的水量是升的，…第10次倒出的水量是升的，倒了10次后容器内剩余的水量是：
。
∵，
∴。故选D。
9.（2011湖南永州3分）对点（x，y ）的一次操作变换记为P1（x，y ），定义其变换法则如下：P1（x，y ）=（，）；且规定（为大于1的整数）．如P1（1，2 ）=（3，），P2（1，2 ）= P1（P1（1，2 ））= P1（3，）=（2，4），P3（1，2 ）= P1（P2（1，2 ））= P1（2，4）=（6，）．则P2011（1，）=（ ）
A．（0,21005 ） B．（0,-21005 ） C．（0,-21006） D．（0,21006）
【答案】D。
【考点】分类归纳，求函数值。
【分析】根据题目提供的变化规律，找到点的坐标的变化规律并按此规律求得P2011（1，－1）的值即可：
P1（1，－1）=（0，2），P2（1，－1）=（2，－2），P3（1，－1）=（0，4），P4（1，－1）=（4，－4），P5（1，－1）=（0，8），P6（1，－1）=（8，－8），……，当n为奇数时，Pn（1，－1）=（0，），∴P2011（1，－1）应该等于（0，21006）。故选D。
10.（2011湖南娄底3分）如图，自行车的链条每节长为2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm
如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为
A、150cm B、104.5cm C、102.8cm D、102cm
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】∵根据图形可得出：两节链条的长度为：2.5×2﹣0.8；3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2；4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3。∴60节链条的长度为：2.5×60﹣0.8×59=102.8。故选C。
11.（2011江苏南京2分）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学
报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为
▲ ．
【答案】4。
【考点】分类归纳。
【分析】列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
乙
丙
丁
甲
乙
丙
丁
甲
乙
丙
丁
1
2
3
4
5
6[来源:学_科_网Z_X_X_K]
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
表中可见，只有9，21，33，45满足条件。
12.（2011江苏常州、镇江2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A、B、C、D，轴上有一点P。作点P关于点A的对称点，作关于点B的对称点，作点关于点C的对称点，作关于点D的对称点，作点关于点A的对称点，作关于点B的对称点┅，按如此操作下去，则点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】分类归纳，点对称。
【分析】找出规律，P1（2，0），P2（0，－2），P3（－2，0），P4（0，2}，……，P4n（0，2}，P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。而2011除以4余3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）。故选D。
13.（2011山东日照4分）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在
A、第502个正方形的左下角 B、第502个正方形的右下角
C、第503个正方形的左上角 D、第503个正方形的右下角
【答案】C。
【考点】分类归纳（数字的变化）。
【分析】观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2。2011除以4等于余3，所以数2011应标在第503个正方形的左上角。故选C。
14.（2011山东济南3分）观察下列等式：
①1＝12；②2＋3＋4＝32；③3＋4＋5＋6＋7＝52；④4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；…
请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是
A．1005＋1006＋1007＋…＋3016＝20112 B．1005＋1006＋1007＋…＋3017＝20112
C．1006＋1007＋1008＋…＋3016＝20112 D．1007＋1008＋1009＋…＋3017＝20112
【答案】C。
【考点】分类归纳。
【分析】观察所给等式，找出规律：等式右边幂的底数是左边首尾两个数之和的一半。而四个等式中只有1006＋1007＋1008＋…＋3016＝20112符合以上规律，故选C。
15.（2011山东淄博4分）根据右图中已填出的“√”和“×”的排列规律，把②、③、④
还原为“√”或“×”且符合右图的排列规律，下面“ ”中还原正确的是
【答案】C。
【考点】分类归纳。
【分析】寻找规律，“√”相当于 “＋”号，“×”相当于“－”号。连续两个符号相乘，得它们下面的一个符号，依照同号得“√”，异号得“×”的规律形成，完整排列如右图。故选C。
16.（2011山东德州3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是
A、2n B、4n C、2n+1 D、2n+2
【答案】C。
【考点】分类归纳，等边三角形的性质，菱形的性质。
【分析】通过观察知，从图1到图3的周长分别为4=22，8=23，16=24，它的规律是：指数是图形的个数加1，故第n个图形的周长是2n+1。故选C。
17.（2011山东烟台4分） 如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，……的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…….当AB＝1时，l2 011等于
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】分类归纳，弧长计算
【分析】找出规律：每段弧的度数都等于60°，的半径为n，所以l2 011==。故选B。
18.（2011山东聊城3分）如图，用围棋子按下面的规律摆图
形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数为
A．5n B．5n－1
C．6n－1 D．2n2＋1
【答案】C。
【考点】分类归纳。
【分析】从所给的图形找出规律，所摆图形的特点：下面部分是一个用棋子围成的一个正方形，它需要围
棋子的枚数分别为4，8，12，…4 n；上面部分围棋子的枚数分别为1，3，5，…2 n－1。从而摆第n个图
形需要围棋子的枚数为4 n＋2 n－1＝6n－1。故选C。
19.（2011山东青岛3分）如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作
第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下
去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn＝ ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳，勾股定理。
【分析】找出规律：第1个正方形的边长为1，面积S1＝1；第2个正方形的边长为，面积S2＝；第3个正方形的边长为，面积S3＝；第4个正方形的边长为，面积S4＝；…，则第n个正方形的面积Sn＝。
20.（2011广东台山3分）先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为
A、（ B、（ C、（ D、
【答案】B。
【考点】圆内接正方形，勾股定理，分类归纳。
【分析】根据已知知，第2个圆的内接正方形的边长为，第3个圆的内接正方形的边长为，故第7个圆的内接正方形的边长为。故选B
21. （2011湖北十堰3分）如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材料损耗速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢一个三角形材料使用的时间约为更换一个三角形材料使用时间的8倍，其中正确的判断有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B。
【考点】分类归纳，可能性的大小。
【分析】根据出水量假设出第一次分流都为1，可以得出下一次分流的水量，依此类推得出最后得出每个出水管的出水量，从而得出答案：如图，①根据图示出水口之间存在不同，故此选项错误；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同：第二个出水口的出水量为：，第4个出水口的出水量为：，故此选项正确；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6：第一个出水口的出水量为：，第二个出水口的出水量为：，第三个出水口的出水量为：，∴1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6，故此选项正确。④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍．∵1号与5号出水量为 ，3号最快为，故更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍，故此选项错误。故正确的有2个。故选B。
22.（2011湖北荆门3分）图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形，
其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整
的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有
25个；如此下去，可铺成一个的近似正方形图案.当得到完整的
菱形共181个时，n的值为
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），一元二次方程的应用。
【分析】观察图形特点，从中找出数字规律：图①菱形数为1=12；图②菱形数为5=4+1=22+12；图③菱形数为13=9+4=32+22；图④菱形数为25=16+9=42+32；······图n菱形数为n2+（n－1）2=2n2-2n+1。
∴铺成一个的近似正方形图案.当得到完整的菱形共181个时，有2n2-2n+1=181，解得n=10
或n=－9（舍去）。故选D。
23.（2011湖北潜江仙桃天门江汉油田3分）如图，已知直线l：y=x，过点A
（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点
A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴
于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为
A．（0，64） B．（0，128） C．（0，256） D．（0，512）
【答案】C。
【考点】分类归纳，一次函数的图象和k值的意义，三角函数定义，特殊角的三角函数值，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】∵直线l：y=x，A1B⊥l，A2B1⊥l，···，∴可求出∠BOX=∠ABO=∠A1B1O=∠A2B2O=··· =300。
∴∠OA1B=∠O A2B1=∠O A3B2=··· =300。
∵点A的坐标是（1，0），∴OA=1。
∵点B在直线y= x上，∴OB=2。∴OA1=2 OB =4。
∴OB1=2OA1=8，OA2=2 OB1=16。
∴OB2=2OA2=32，OA3=2 OB2=64。
∴OB3=2OA3=128，OA4=2 OB3=256。
∴A4的坐标是（0，256）。故选C。
24.（2011湖北黄石3分）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的
个点最多可确定21条直线，则的值为
A. B. C. D.
【答案】C。
【考点】分类归纳，一元二次方程的应用（几何问题）。
【分析】找出规律：平面上不同的个点，每一个点最多可确定－1条直线，个点最多可确定
条直线（因为每一条直线都重复计算了两次）。因此，根据题意，得
，解得n=7或n=－6（舍
去）。故选C。
25.（2011内蒙古乌兰察布3分）将正方体骰子（相对面上的点数分别为 1 和 6 、 2 和 5 、 3 和 4 ）放置于水平桌面上 ，如图 ① ．在图 ② 中，将骰子向右翻滚 90 ，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90， 则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是
A . 6 B . 5 C. 3 D . 2
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形变化类）。
【分析】寻找规律：
可知，按上述规则连续完成3次变换后，骰子回到初始位置，因此连续完成10次变换后，骰子与完成1次变换的状态相同。故选B。
26.(四川德阳3分)下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据规律，自然数2 000应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是
A． 110 B． 109 C． 108 D． 107
【答案】B。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】根据规律，数阵的的右边的数是行数的平方，而大于2000的第一个平方数是45，所以m=45；第44行右边的数为442=1936，而2000－1936=64，即n=64。所以m+n的值是109。故选B。
27.（2011四川自贡3分）李强同学用棱长为l的正方体在桌面上堆成如图所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面被他染成红色的面积为
A．37 B． 33 C．24 D． 21
【答案】B。
【考点】分类归纳，正方形的性质。
【分析】根据题意，知第一层染了5个面，第二层染了8＋4－1=11个面，第三层染了12＋9－4=17个面，共染了33个面，面积为33。故选B。
28.（2011辽宁鞍山3分）如图，从内到外，边长依次为2,4,6,8，…的所有正六边形的中心均在坐标原点，且一组对边与x轴平行，它们的顶点依次用A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、A11、A12……表示，那么顶点A62的坐标是 ▲ ．
【答案】（－11，－11）。
【考点】分类归纳（图形变化类），正六边形的性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】先根据正六边形的性质和勾股定理求出A1、A2、A3、A4、A5、A6的坐标A1（－2，0）、A2（－1，－）、A3（1，－）、A4（2，0）、A5（1，）、A6（－1，）。
再寻找规律，因为62÷6=10余2，所以A62与A2在同一方位，且OA62=（10+1）OA2=11 OA2。因此A62的横坐标和纵坐标也是A2的横坐标和纵坐标的11倍，即A62（－11，－11）。
29.（2011辽宁锦州3分）如图，在平面直角坐标系上有点A(1，0)，点A第一次跳动至点A1(－1,1)，第四次向右跳动5个单位至点A4(3，2)，…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是 ▲ ．
【答案】（51，50）。
【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标。
【分析】分析规律，从图形知，奇数次跳动时，它的纵坐标是前一次的纵坐标加1，横坐标是前一次的横坐标的相反数，第次跳动至点A的坐标为：奇数次跳动时，它的纵坐标与前一次的纵坐标相同，横坐标是前一次的横坐标的相反数加1，第次跳动至点A的坐标为。因此点A第100次跳动至点A100的坐标是（51，50）。
30.（2011辽宁盘锦3分）如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点. 若青蛙从5这点开始跳，则经2011次跳后它停在的点所对应的数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化）。
【分析】寻找规律：，可见除第一次外，跳三次一个循环2，1，3。∵（2011－1）÷3＝670除尽，∴青蛙从5这点开始跳，则经2011次跳后它停在的点所对应的数为3。故选C。
31.（2011贵州黔南4分）观察下列算式：，，，，…．根据上述算式中的规律，请你猜想的末尾数字是
A、2 B、4 C、8 D、6
【答案】B。
【考点】分类归纳，有理数的乘方。
【分析】根据已知条件，找出题中的规律，即可求出210的末位数字：∵，，，，…．
∴算式中的规律是末尾数字按2，4，8，6四个数循环。∴与的末尾数字相同，为4。故选B。
32.（2011贵州安顺3分）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是
A、（4，O） B、（5，0） C、（0，5） D、（5，5）
【答案】B。
【考点】分类归纳，点的坐标。
【分析】由题目中所给的质点运动的特点找出规律：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依次类推，到（5，0）用35秒。故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）。故选B。
33.（2011福建宁德4分）已知：(x≠0且x≠－1)，，，…，
，则等于 ．
A.x B. x＋1 C. D.（n－1）=n2－n，即= n2－n＋1。
∴当n=5时，需要52－5＋1=21个三角形，摆第n层图需要n2－n＋1个三角形。
56.（2011四川内江6分）在直角坐标系中，正方形、、…、按如图所示的方式放置，其中点…、均在一次函数的图象上，点…、均在x轴上．若点的坐标为（1，1），点的坐标为（3，2），则点的坐标为 ▲
【答案】（2n－1－1，2n－1）。
【考点】分类归纳，一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质。
【分析】首先求得直线的解析式，分别求得A1，A2，A3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可：
∵的坐标为（1，1），点的坐标为（3，2），、是正方形，
∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2）。
∵A1、A2在上，
∴，解得。∴线的解析式是。
∵点B2的坐标为（3，2），
∴在直线中，令=3，则A3纵坐标是：3+1=4=22；
则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；
据此可以得到An的纵坐标是：2n－1，横坐标是：2n－1－1。
故点An的坐标为 （2n－1－1，2n－1）。
57.（2011四川广安3分）如图所示，直线OP经过点P（4，），过轴上的点1、3、5、7、9、11…分别作轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为、…，则关于n的函数关系式是 ▲
【答案】。
【考点】分类归纳（图形变化类），正比例函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】由直线OP经过点P（4，），可根据直线上点的坐标与方程的关系用待定系数法求出直线OP的解析式：。
分析阴影部分梯形的规律，、…上底对应的横坐标为1，4，9，···4n－3，则上底长为，4，9，···（4n－3）；显然下底长为3，7，11，···（4n－1）；高为1。因此关于n的函数关系式是。
58.（2011四川乐山3分）如图，已知∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA=OB，连结AB，在BA、BB上分别取点A、B，使B B= B A，连结A B…按此规律上去，记∠A B B=，∠，…，∠
则（1）= ▲ ；（2）= ▲ 。
【答案】（1），（2）。
【考点】分类归纳，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】（1）设∠A1B1O=x，则α+2x=180°，x=180°－，∴= 。
（2）设∠A2B2B1=y，则+y=180°，+2y=180°，∴= 。
同理= 。
论 …
∴=。
58.（2011甘肃兰州4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ▲ ．
【答案】（）2n﹣2。
【考点】分类归纳（图形变化），矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的性质。
【分析】已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2=；
第三个矩形的面积是（）2×3﹣2=；
…
故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2。
59.（2011青海省2分）用黑白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干图案，则第n个图案中有白色地面瓷砖 ▲ 块。
第1个 第2个 第3个
【答案】4n＋2。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】根据第1个图形有6块白色地面瓷砖，第2个图形有10块白色瓷砖，每多1个黑色瓷砖则多4块白色瓷砖，根据此规律即可写出第n个图案中的白色瓷砖的块数
第1个图案白色瓷砖的块数是：6，
第2个图案白色瓷砖的块数是：10=6＋4，
第3个图案白色瓷砖的块数是：14=6＋4×2，
…
以此类推，第n个图案白色瓷砖的块数是：6＋4（n－1）=4n＋2。
60.（2011青海西宁2分）如图是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第4个化合物的分子式为_ ▲ ．
【答案】C4H10。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】∵第4个化合物有4个C，2×5=10个H，∴第4个化合物的分子式为 C4H10。
61.（2011辽宁营口3分）观察下列数据：，，，，
，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律第n个数据是 ▲ _(用含n的式子表示)．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】观察可知，分母为2n＋1，分子x的指数为2n－1，故第n个数据是。
62.（2011辽宁朝阳3分） 观察下列图形：
它们是用●按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形中共有 ▲ 个●.
【答案】30。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】观察图形，找出规律：图形中●的个数是序号的3倍，故第10个图形中共有30个●。
63.（2011云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧3分）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，那么第个数是 ▲ .
【答案】。
【考点】分类归纳。
【分析】由于，，
，那么第个数是。
64.（2011贵州六盘水4分）有一列数：，，，……，则它的第7个数是 ▲ ;第n个数是 ▲ 。
【答案】；。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】∵，，，，
∴第七个数为，
第n个数为。
65.（2011云南曲靖3分）将一列整式按某种规律排成x,－2x2,4x3,－8x4,16x5…则排在第六个位置的整式为 ▲ ；
【答案】－32 x6。
【考点】分类归纳。
【分析】找出单项式的构成规律：符号为正负相间，奇次个为正，偶次个为负；除符号外的系数为1，2，4，8，16，…2n-1，即2的“个数减1”次方；x的指数为1，2，3，4，…n，即个数。故排在第六个位置的整式为－26－1x6＝－32 x6。
66.（2011贵州遵义4分）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是5,可发现第一次输出的结果是8,第二次输出的结果是4,……，请你探索第2011次输出的结果是 ▲ ．
【答案】1。
【考点】分类归纳，代数式求值。
【分析】由数值转换器，发现第二次输出的结果是4 为偶数，所以第三次输出的结果为2，第四次为1，第五次为4，第六次为2，…，可得出规律从第二次开始每三次一个循环，根据此规律求出第2011次输出的结果：∵（2011－1）÷3=670除尽，∴第2011次输出的结果是1。
67.（2011贵州铜仁4分）．观察一列单项式：，，，，… 根据你发现的规律，第7个单项式为 ▲ ；第个单项式为 ▲ ．
【答案】；。
【考点】分类归纳，单项式。
【分析】通过观察已知条件，找出这列单项式的规律即可求出结果：根据观察可得，单项式的系数的符号正负相间，奇数项为正，偶数项为负，系数的数值为2的项数减1次方，故系数为； 单项式的指数为项数。因此，第7个单项式为；第个单项式为。
68.（2011云南玉溪3分）如图，点A1、A2、A3、……、An在抛物线图象点
B1、B2、B3、……、Bn在轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、……、△AnBn－1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△的腰长= ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理。
【分析】先求△A1B0B1的腰长，设A1（），由等腰直角三角形的性质可知，解得，从而B1（0，2），则由勾股定理，△A1B0B1的腰长=。
同理求△A2B1B2的腰长，设A1（），由等腰直角三角形的性质可知
，解得，从而B2（0，6），则由勾股定理，△A2B1B2的腰长=。
同理△A3B2B3的腰长=。······
则△的腰长=。论
69.（2011贵州贵阳4分）如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为l，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依次类推到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ▲ ．
【答案】15。
【考点】分类归纳，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理。
【分析】根据△ABC是直角边长为1的等腰直角三角形，利用勾股定理分别求出Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△ADE的斜边长，然后利用三角形面积公式分别求出其面积，找出规律，再按照这个规律得出第四个、第五个等腰直角三角形的面积，相加即可：
∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形，∴S△ABC=×1×1=；
∵AC=，AD==2，···
∴S△ACD=；S△ADE=，···
∴第n个等腰直角三角形的面积是。
∴S△AEF==4，S△AFG==8。
∴由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为+1+2+4+8=15。
70.（2011福建漳州4分）用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要棋子_ ▲ 枚．（用含n的代数式表示）
【答案】3n＋1。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论：第一个图需棋子3+1=4枚；第二个图需棋子3×2+1=7枚；第三个图需棋子3×3+1=10枚；…第n个图需棋子3n+1枚。
71.（2011福建龙岩3分）如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4，…。n边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn．则S90的值为 ▲ _．(结果保留π)
【答案】。
【考点】分类归纳（图形的变化类），多边形内角和定理，扇形面积的计算。
【分析】根据题意可得出，重叠的每一部分是半径为1的扇形，圆心角是多边形的内角和，根据扇形的面积公式：三角形与各圆重叠部分面积之和S3=；四边形与各圆重叠部分面积之和S4=；…….所以Sn=，则S90=。
72.（2011福建莆田4分）已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，则= ▲ 。
【答案】。
【考点】分类归纳，求函数值。
【分析】根据函数得，=，=，=，…，，则
。
73.（2011福建厦门4分）如图，一系列“黑色梯形”是由x轴、直线y=x和过x轴上的正奇数1、3、5、7、9、…所对应的点且与y轴平行的直线围成的．从左到右，将其面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn、…．则S1= ▲ ，Sn= ▲ ．
【答案】4；4（2n﹣1）。
【考点】分类归纳，一次函数综合题。
【分析】由图可得，S1，S2，
S3，…，∴Sn=4（2n﹣1）。
74.（2011福建三明4分）如图，直线l上有2个圆点A，B．我们进行如下操作：第1次操作，在A，B两圆点间插入一个圆点C，这时直线l上有（2+1）个圆点；第2次操作，在A，C和C，B间再分别插入一个圆点，这时直线l上有（3+2）个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线l上有（5+4）个圆点；…第n次操作后，这时直线l上有 ▲ 个圆点．
【答案】2n+1。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】根据题意，找出规律：第1次操作，在A，B两圆点间插入一个圆点C，这时直线l上有（2+1）=21+1个圆点；第2次操作，在A，C和C，B间再分别插入一个圆点，这时直线l上有（3+2）=22+1个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线l上有（5+4）=23+1个圆点；…；
n次操作后，这时直线l上有2n+1个圆点。
三、解答题
1.（2011浙江金华、丽水10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在轴和轴的正半轴上，设抛物线过矩形顶点B、C．
（1）当n=1时，如果=﹣1，试求的值；
（2）当n=2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O．
①试求当n=3时的值；
②直接写出关于n的关系式．
【答案】解：（1）由题意可知，当n=1时，点C的坐标为（0，1）
∴抛物线对称轴为直线=，=﹣1，∴，得=1。
答：的值是1。
（2）解：设所求抛物线解析式为
由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（，2），代入得
，解得。
∴所求抛物线解析式为。
（3）解：①当n=3时，OC=1，BC=3，
设所求抛物线解析式为，
过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD。∴。
设OD=t，则CD=3t，∵OD2+CD2=OC2，∴（3t）2+t2=12，∴。
∴C（，）。
又由勾股定理，得B（，0），
∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得，解得，。
答：的值是。
②答：关于n的关系式是。
【考点】二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，；勾股定理；正方形的性质，相似三角形的判定和性质，分类归纳。
【分析】（1）根据已知得到抛物线对称轴为直线=，代入即可求出。
（2）设所求抛物线为，由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（，2），把B、M的坐标代入得到方程组，求出、的值即可得到抛物线解析式；
（3）①当n=3时，OC=1，BC=3，设所求抛物线解析式为，过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD，得出，设OD=t，则CD=3t，根据勾股定理OD2+CD2=OC2，求出t，得出C的坐标，把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组，求出即可。
②根据（1）、（2）①总结得到答案。
2.（2011浙江衢州10分）△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，
（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．
（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2），则s2= ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s3，继续操作下去…，则第10次剪取时，s10= ；
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
【答案】解：（1）如图甲，由题意，得AE=DE=EC，即EC=1，S正方形CFDE=12=1。
如图乙，设MN=，则由题意，得AM=MQ=PN=NB=MN=，
由∠C=Rt∠，AC=BC=2，根据勾股定理，得AB=。
∴，解得。∴S正方形PNMQ=。
∵1＞，∴甲种剪法所得的正方形面积更大。
（2）S2=，S10=。
（3）探索规律可知：Sn=。则剩余三角形面积和为
2－（S1＋S2＋S2＋…＋Sn）=2－（）=。
【考点】分类归纳，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。
【分析】（1）分别求出甲、乙两种剪法所得的正方形面积，进行比较即可。
（2）按图1中甲种剪法，可知后一个三角形的面积是前一个三角形的面积的，依此可知结果。
（3）探索规律可知：Sn=，依此规律可得第10次剪取后余下的所有小三角形的面积之和。
3.（2011湖南益阳8分）观察下列算式：
① 1 ×3 － 22 = 3 － 4 = －1
② 2 × 4 － 32 = 8 －9 = －1
③ 3 × 5 － 42 = 15 －16 = －1
④
……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
【答案】解：⑴。
⑵答案不唯一，如。
⑶一定成立，理由如下：
。
【考点】分类归纳，整式的混合运算
【分析】（1）根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式。
（2）将（1）中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论。
（3）利用整式的混合运算方法加以证明。
4.（2011湖南益阳10分）如图，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于轴的对称点为P′，过P′ 作轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在轴右侧），直线BA交轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：
（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA
与CB的比值；
（2）若P点坐标为（0，）时（为任意正实数），线段CA与
CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．
【答案】解：⑴ 设抛物线的解析式为 ，
抛物线经过A（1，0），∴。
∴。
∵P′、P关于x轴对称，且P（0，1），∴P′点的坐标为（0，-1）。
∵P′B∥x轴，∴B点的纵坐标为－1。
由解得，。
∴ B(，－1)，∴P'B=。
∵OA∥P'B，∴△CP'B∽△COA，∴。
⑵ 设抛物线的解析式为
∵抛物线经过A（0，1），∴。
∴。
∵P′B∥x轴，∴B点的纵坐标为，当时，，
∴。
∵，∴，∴，∴。
∴∴P'B=。
同⑴得。
∴为为任意正实数时，。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据抛物线经过A（1，0），应用待定系数法得出二次函数解析式，从而得出P'点的坐标， B点坐标，再利用△CP′B∽△COA，得出线段CA与CB的比值。
（2）根据设抛物线的解析式为，得出，首先表示出B点的坐标，从而利用△CP′B∽△COA，得出线段CA与CB的比值。
5.（2011江苏苏州9分）如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即和
，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇
形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，
然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动
到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，……，
按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运
动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OA BC按上述方法经过5次旋转，求顶
点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是?
请你解答上述两个问题．
【答案】解：问题①：如图，正方形纸片经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧，
所以顶点O在此运动过程中经过的路程为。
顶点 O在此运动过程中所形成的图形与直线围成图形的面积为。
正方形纸片经过5次旋转，顶点O运动经过的路程为：。
问题②：∵ 正方形纸片每经过4次旋转，顶点O运动经过的路程均为：。
又，而是正方形纸片第4+1次旋转，顶点O运动经过的路程。
∴正方形纸片OABC按上述方法经过81次旋转，顶点O经过的路程是
【考点】分类归纳，图形的翻转，扇形弧长和面积.
【分析】求出正方形OABC翻转时点O的轨迹弧长, 再求面积即可。要理解的是第4次旋转，顶点O没有移动。
6.（2011广东省9分）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
…………………………
（1）表中第8行的最后一个数是______________，它是自然数_____________的平方，第8行共有____________个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是___________________，最后一个数是________________，第n行共有_______________个数；
（3）求第n行各数之和．
【答案】解：(1)64，8，15。
（2）n2-2n+2，n2，2n-1。
（3）第n行各数之和：。
【考点】分类归纳。
【分析】（1）（2）由表的构成可以看出：①每一行的最后一个数是：行数的平方。所以第8行的最后一个数是82=64；第n行的最后一个数是n2。②每一行的第一个数是：前一行最后一个数加1。所以第n行的第一个数是（n-1）2+1=n2-2n+2。③每一行的个数是：最后一个数减去的第一个数加1。所以第n行个数是n2-（n2-2n+2）=2n-1。
（3）每一行各数之和是：这一行的第一个数与最后一个数的平均数剩以这一行的个数。所以第n行各数之和为。
7.（2011广东茂名3分）给出下列命题：
命题1．点（1，1）是双曲线与抛物线=2的一个交点．
命题2．点（1，2）是双曲线与抛物线=22的一个交点．
命题3．点（1，3）是双曲线与抛物线=32的一个交点．
…
请你观察上面的命题，猜想出命题n（n是正整数）： ▲ ．
【答案】点（1，n）是双曲线与抛物线=n2的一个交点。
【考点】二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征。
【分析】根据已知得到点的横坐标都是1，纵坐标与反比例函数的k相同，与二次函数的相同，即可得到答案。
A
C1
C2
C3
D3
D2
D1
B
8.（2011广东珠海6分）如图，在正方形ABC1D1中，AB＝1．连接AC1，以AC1为边作第二个正方形AC1C2D2；连接AC2，以AC2为边作第三个正方形AC2C3D3．
求第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形的边长AC2C3D3；
（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长．
【答案】解：（1）∵四边形ABC1D1是正方形，
∴∠B＝90°，BC1＝AB＝1；∴AC1＝。
又∵四边形AC1C2D2是正方形，
∴∠AC1C2＝90°，AC1＝C1C2＝；∴AC1＝。
∴第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形AC2C3D3的边长分别为和2。
（2）请按此规律所作的第7个正方形的边长为8。
【考点】正方形的性质，勾股定理，分类归纳。
【分析】（1）根据正方形四条边相等，四个角都是直角的性质，应用勾股定理即可求得第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形AC2C3D3的边长。
（2）找出规律知，第二个正方形边长是，第三个正方形边长是，第七个正方形边长是。
9. （2011四川内江12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道
时，我们可以这样做：
（1）观察并猜想：
=（1+0）×1+（1+1）×2=l+0×1+2+1×2=（1+2）+（0×1+1×2）
=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3
=1+0×1+2+1×2+3+2×3
=（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3）
=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3+ ___________
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+ ___________
=（1+2+3+4）+（___________）
…
（2）归纳结论：
=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+…n
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+（n-1）×n
=（___________）+
= ___________+ ___________
=×___________
（3 ）实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是_________。
【答案】解：（1）观察并猜想：（1+3）×4；4+3×4；0×1+1×2+2×3+3×4。
（2）归纳结论：1+2+3+…+n；0×1+1×2+2×3+…+（n-1）n； n（n+1）；n（n+1）（n-1）；n（n+1）（2n+1）。
（3）实践应用：338350。
【考点】整式的混合运算。
【分析】根据（1）所得的结论，即可写出（1）（2）的结论；（3）直接代入（2）的结论，计算即可。
10.（2011四川凉山6分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等。
（1）根据上面的规律，写出的展开式。
（2）利用上面的规律计算：
【答案】解：（1）。
（2）原式=
= =1 。
【考点】分类归纳。
【分析】（1）根据上面的规律，展开式中的系数为1，4，6，4，1，从而的展开式中的系数为1，5，10，10，5，1。
（2）在中，令，即可。
11.（2011四川遂宁8分）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点。
当n=1时，如图⑴，一条直线将一个平面分成两个部分；
当n=2时，如图⑵，两条直线将一个平面分成四个部分；
图⑵
图⑴
则：当n=3时，三条直线将一个平面分成 部分；
当n=4时，四条直线将一个平面分成 部分；
若n条直线将一个平面分成个部分，n+1条直线将一个平面分成个部分。
试探索、、n之间的关系。
【答案】解：当n=3时，三条直线将一个平面分成 7 部分。
当n=4时，四条直线将一个平面分成 11 部分。
寻找规律，当n=1时，分成2部分；当n=2时，分成4部分；当n=3时，分成7部分；当n=4时，分成11部分；···据此画图如下：
∴、、n之间的关系是－＝n＋1，即＝＋n＋1。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】如图，当n=3，n=4时，可见直线将平面分成的部分。
根据n=1，n=2， n=3，n=4的情况，画图寻找规律求解。
12.（2011安徽省8分）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示．
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
O
x
y
1
(1)填写下列各点的坐标：A4( ， )、A8( ， )、A12( ， )；
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；
(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．
【答案】解：⑴ 0，1；1，0；6，0。
⑵A4n(2n,0)。
⑶向上。
【考点】分类归纳。
【分析】⑴根据已知直接写出答案。
⑵观察规律，点A4、A8、A12、…A4n都在X轴上，它们的横坐标是它们的下标除以2：2、4、6、…2n，故点A4n的坐标为(2n,0)。
(3)由⑵可知，蚂蚁移动的规律是4n一个周期，因此蚂蚁从点A100到点A101的移动方向是向上。
12．（2012山东省滨州，12，3分）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（ ）
A．52012﹣1 B．52013﹣1 C． D．
【解析】设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013，
因此，5S﹣S=52013﹣1，
S=．
【答案】选C．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，以及类比推理的能力．两式同时乘以底数，再相减可得ｓ的值．
（2012广东肇庆，15，3）观察下列一组数：，，，，，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 ▲ ．
【解析】通过观察不难发现，各分数的分子与分母均相差1，分子为连续偶数，分母为连续奇数．
【答案】
【点评】本题是一道规律探索题目，考查了用代数式表示一般规律，难度较小．
18. ( 2012年四川省巴中市,18,3)观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…根据你发现的规律，第2012个数是___________
【解析】观察知: 下列面一列数中,它们的绝对值是连续正整数,第2012个数的绝对值是2012,值偶数项是负数,故填-2012.[来源:中.考.资.源.网]
【答案】-2012
【点评】本题是找规律的问题,确定符号是本题的难点.
20.（2012贵州省毕节市，20，5分）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 个小正方形。
解析：观察图案不难发现，图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布，写出第n个图案的正方形的个数，然后利用求和公式写出表达式，再把n=10代入进行计算即可得解．
答案：解：第1个图案中共有1个小正方形，第2个图案中共有1+3=4个小正方形，第3个图案中共有1+3+5=9个小正方形，…，第n个图案中共有1+3+5+…+（2n-1）==n2个小正方形，所以，第10个图案中共有102=100个小正方形．故答案为：100．
点评：本题是对图形变化规律的考查，根据图案从上到下的正方形的个数成奇数列排布，得到第n个图案的正方形的个数的表达式是解题的关键．[来源:中.考.资.源.网]
18．(2012贵州六盘水，18，4分)图7是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角形”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角形”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数.例如展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再入，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出的展开式. ▲ .
分析：该题属规律型，通过观察可发现第五行的系数是：1、4、6、4、1，再根据例子中字母的排列规律即得到答案．
解答：解：由题意，，
故填．
点评：本题考查了数字的变化规律，从整体观察还要考虑字母及字母指数的变化规律，从而得到答案．
17. （2012山东莱芜， 17，4分）
将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点….,按此规律，则点A2012在射线 上.
【解析】
射线名称
点
点
点
点
点
点
点
点
点
A1
A3
A10
A12
A17
A19
A26
A28
…
CD
A2
A4
A9
A11
A18
A20
A25
A27
…
BC
A5
A7
A14
A16
A21
A23
A30
A32
…
DA
A6
A8
A13
A15
A22
A24
A29
A31
…
根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环，
2012=16×125+12，所以点A2012所在的射线和点所在的直线一样。
因为点所在的射线是射线AB，所以点点A2012在射线AB上.
【答案】AB
【点评】本题是一个规律探索题，可以列出点的排列规律从中得到规律，在变化的点中找到其排列直线的不变的规律，此类问题的排列通常是具有周期性，按照周期循环，本题难度适中.
16、（2012，黔东南州，16）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，……，按此规律，那么第（）个图有 个相同的小正方形。
（1） （2） （3） （4）
解析：因为
，故第（）个图有个小正方形 .
答案：或n（n+1）
点评：本题是探索规律题，解题的关键是从已知图形中找规律，难度中等.
15．（2012，湖北孝感，15，3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：
年份
1896
1900
1904
…
2012
届数
1
2
3
…
n
表中n等于__________．
【解析】有表格可知，每四年举办一次奥运会，由此可得(2012-1896)÷4+1=30
【答案】30
【点评】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可．
16. （2012·湖北省恩施市，题号16 分值 4）观察下表：
根据表中数的排列规律，B+D=_________.
【解析】B所在行的规律是每个数字等于前两个数字的和，所以A=3，B=8；D所在行的规律是关于数字20左右对称，即D=15，所以B+D=23.
【答案】23
【点评】本题主要考查了学生观察和归纳能力，会从所给的数据和表格中寻求规律进行解题．找规律的问题，首先要从最基本的几个数字或图形中先求出数值，并进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律．
此类问题“横看成岭侧成峰”，随着观察角度的不同可有不同的规律寻求途径，但最总结果应“殊途同归”。
（2012河北省17,3分）17、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报，第2位同学报，…这样得到的20个数的积为_________________.
【解析】化简各位同学的报数，可得第1一位同学报2，第2位同学报，第3位同学报，…第20个同学报，根据观察得到的规律，便可求出它们的乘机。
【答案】21
【点评】本题是一道找规律的题型，在教学中，要让学生了解解题的过程，知道来龙去脉，才能增加自己的能力。难度中等。
20. （2012珠海，20，9分）观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
……
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52× ＝ ×25；
② ×396＝693× .
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且2≤≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含、），并证明.
【解析】观察上面的等式,发现“数字对称等式”基本特征,猜想并证明表示“数字对称等式”一般规律的式子.
【答案】（1）①275,572; ②63,36;
（2）(10a+b)＝(10b+a)
证明:∵左边＝(10a+b)＝11(10a+b)(10b+a)
右边＝(10b+a)＝11(10a+b)(10b+a)
∴左边＝右边,原等式成立.
【点评】本是规律探索题.考查学生阅读理解,观察发现,推理证明的学习能力.
14（2012云南省，14 ，3分）观察下列图形的排列规律（其中 分别表示三角形、正方形、五角星）.若第一个图形是三角形，则第18个图形是 （填图形名称）
【解析】主要的是要看清只有三个基本的图形来组成一个规律，三个一组，而且五角星都在最后，前边两个相邻组之间它两的位置互换，三个一组，恰好18个是6组，第18个刚好是第6组最后一个，五角星。
【答案】五角星
【点评】主要考查考生的观察能力和细心程度，要素简单，但要很快找出规律，也要细心揣摩。此题不难。
16．（2012山西，16，3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ．
【解析】
解：由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个．第二图案有阴影小三角形2+4=6个．第三个图案有阴影小三角形2+8=12个，那么第n个就有阴影小三角形2+4（n﹣1）=4n﹣2个，
故答案为：4n﹣2（或2+4（n﹣1））
【答案】4n﹣2（或2+4（n﹣1））
【点评】本题主要考查了图形有规律的变化，再由图形的规律变化挖掘出规律，解决此种类型的关键是分别数清每一个图形中的三角形个数，再由此猜想发现规律，从而写出最终结果.难度中等．
y
x
y=kx+b
O
B
3
B
2
B
1
A
3
A
2
A
1
（第17题图）
17．（2012山东东营，17，4分）在平面直角坐标系中，点，，
，…和，，，…分别在直线
和轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…
都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），
A2（），那么点的纵坐标是_ _____．
【解析】把A1（1，1），A2（）分别代入，可求得k=,b=,,所以，与x轴交点代坐标为（-4，0），设A3的纵坐标为m,则，解得m=,同理可得A4的纵坐标为，……，的纵坐标是。
【答案】
【点评】抓住坐标间的变化规律是解题的关键，解此类规律探索题一般可采用从特殊一般的归纳法。
21．(2012广东汕头，21，7分)观察下列等式：
第1个等式：a1==×（1﹣）；
第2个等式：a2==×（﹣）；
第3个等式：a3==×（﹣）；
第4个等式：a4==×（﹣）；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5= = ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
分析：
（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的2倍减1和序号的2倍加1．
（3）运用变化规律计算．
解答：
解：根据观察知答案分别为：
（1）； ；
（2）； ；
（3）a1+a2+a3+a4+…+a100的
=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×
=（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=（1﹣）
=×
=．
点评：
此题考查寻找数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．
专项二 规律探索型问题
（2011山东省潍坊市，题号17，分值3）17、右图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：
= .
考点：数学归纳法，规律探索题
解答：当时：
当时：
当时：
猜想：=
点评：在求解规律探索问题时，常常通过特殊到一般，通过特殊值时的结论，总结一般的结论。
16．（湖南株洲市3,16）一组数据为：观察其规律，推断第n个数据应为 .
【解析】从一组数据第一个数据的系数是正数，第二个数据的系数是负数，字母的次数从1，2，3依次排列，所以
【答案】
【点评】根据题目的条件列出算式，找出算式中的规律得出乘积。
10. （2012浙江丽水3分，10题）小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，···成为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，···称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A.2010 B.2012 C.2014 D.2016
【解析】：图1中棋子颗数都是3的倍数，图2中棋子颗数都是4的倍数，要使棋子颗数既是3的倍数又是4的倍数，也即棋子颗数是12的倍数，通过计算可知，只有2016=168×4能被4整除.
【答案】：D
【点评】：本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析.找出既是三角形数又是正方形数的数是12的倍数是解题的突破口.
9(2012重庆，9，4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为( )
解析：仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一排的个数都是偶数，分别是2，4，6，…6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.
答案：D
点评：观察图形，寻找规律，是解决此类问题的关键，本题也可观察每一列的特点，求出答案。
14.（2012山东省荷泽市，14，3）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_____.
【解析】根据题意，得53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填41.
【答案】41
【点评】根据题目所提供的规律，继续出探索出符合题意的一些特征，最终得出符合条件的数据.
16.（2012广州市，16， 3分）如图5，在标有刻度的直线L上，从点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n个半圆的面积为 。（结果保留π）
【解析】根据规律找出每个半圆的半径，第n个半圆的直径为2n－1。
【答案】第4个半圆的面积:第3个半圆面积=π（×8）2：π（×8）2=4.
第n个半圆的面积为π（×2n－1）2=π22n－5。
【点评】本题主要根据每个半圆的直径与第n个半圆的关系求出直径的规律。
8.（2012江苏盐城，8，3分）已知整数a1,，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=-,a3=-,a4=-,…依次类推，则a2012的值为
A．-1005 B．-1006 C．-1007 D． -2012
【解析】本题考查了有理数的计算规律.掌握探索规律的方法是关键.先由已知条件分别计算出a1,，a2，a3，a4…的值，再寻找规律
【答案】由于a1=0，a2=-=-1，a3=-=-1，a4=-=-2，a5=-2,a6=-3,a7=-3,a8=-4,a9=-4,a10=-5,a11=-5,a12=-6, ……,所以a2012=-=-1006,故选B．
【点评】题考查探索、归纳和猜想的能力．探索应从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象进行归纳与猜想．
10. （2012浙江省绍兴，10，3分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn-1Dn-2的中点为Dn-1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn-1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（ ）
第10题图
A. B. C. D.
【解析】解析：在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，所以BC=5，又D是BC的中点，所以AD=，因为点A、D是一组对称点，所以AP1=×，因为是D1是D P1的中点，所以A D1=××，即AP2=×××，同理AP3=××（×）2，…APn=××（×
）n-1，所以AP6=××（×）5=，故应选A ．
【答案】A
【点评】找规律的问题，首先要从最基本的几个图形中先求出数值，并进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律．
10. （2012浙江丽水3分，10题）小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，···成为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，···称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A.2010 B.2012 C.2014 D.2016
【解析】：图1中棋子颗数都是3的倍数，图2中棋子颗数都是4的倍数，要使棋子颗数既是3的倍数又是4的倍数，也即棋子颗数是12的倍数，通过计算可知，只有2016=168×4能被4整除.
【答案】：D
【点评】：本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析.找出既是三角形数又是正方形数的数是12的倍数是解题的突破口.
14．（2012江苏泰州市，14,3分）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：x，3x2，5x3， ，9x5，…．
【解析】看系数是1,3,5,7，…，第四项应是7，看指数第第四项是x4第四项是7x4
【答案】7x4
【点评】本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析，如果次数较少可按规律一次写下去
10．（2012贵州铜仁，10，4分如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……则第⑩个图形中平行四边形的个数是（ ）
10题图
A.54 B.110 C.19 D.109
【解析】仔细观察图形可得，图形①中1=1×1+0，图形②中5=2×2+1，图形③中 11=3×3+2，……，依次类推，∴第⑩个图形中平行四边形的个数是10×10+9=109
【解答】D.
【点评】本题考查了图形的变化规律，较难.探索规律的问题是近几年数学中考的一个“热门”题型.解决这类问题的基本思路是：通过观察、分析若干特殊情形，归纳总结出一般性结论，然后验证其结论的正确性.
15．（2012湖北随州，15,4分）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线。若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线，则n的值为______________。6
解析：设有n个点时，，解得n=6或n=-5（舍去）．
答案：6
点评：本题是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的n个点时，可确定条直线，再代入15可求出解．
x
y
O
16．(2012山东德州中考,16,4,)如图，在一单位为1的方格纸上，△，△，△，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△的顶点坐标分别为 (2，0)， (1，-1)，
(0，0)，则依图中所示规律，的坐标为 ．
16．【解析】画出图像可找到规律，下标为4n(n为非负整数)的A点横坐标为2，纵坐标为2n,则的坐标为（2，1006）．
【答案】（2，1006）
【点评】这类问题要善于总结，正确分析出题中所隐含的规律．
24．（2012四川内江，24，6分）设ai≠0（i＝1，2，……2012），且满足＋＋…＋ ＝1968，则直线y＝aix＋i（i＝1，2，…2012）的图象经过第一、二、四象限的概率为 .
【解析】因为可能等于1，也可能等于－1，类似的，…，都具有这种现象，而＋＋…＋ ＝1968，从到又有2012个比值，2012－1968＝44，所以，，…，中一定有22个1和22个－1之间相加产生22个0，那么，，…，这些比值中会有22个－1，所以ai（i＝1，2，…2012）中会有22个负数，则直线y＝aix＋i（i＝1，2，…2012）的图象经过第一、二、四象限的概率为＝．
【答案】
【点评】直线y＝aix＋i（i＝1，2，…2012）经过第一、二、四象限要求ai＜0，i＞0，只要判断出ai（i＝1，2，…2012）中有多少个负数，然后利用简易概率求法公式：P（A）＝，求解即可．另外，解答此题需要良好的逻辑推理能力，对学生的思维能力要求较高，启示平时学习中要注意将数学思考变成习惯．
9(2012重庆，9，4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为( )
解析：仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一排的个数都是偶数，分别是2，4，6，…6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.
答案：D
点评：观察图形，寻找规律，是解决此类问题的关键，本题也可观察每一列的特点，求出答案。
23．（2012四川内江，23，6分）如图12，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An-1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…An，…作x轴的垂线交反比例函数y＝(x＞0)的图象于点B1，B2，B3，…Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2……，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2……，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝ .
y
x
O
A1
A2
A3
B1
B2
B3
P1
P2
图12
【解析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An-1An…＝1，可得P1B2＝P2B3＝P3B4＝…＝PnBn+1＝1，以及B1（1，1），B2（2，），B3（3，），…，Bn（n，），Bn+1（n＋1，），所以S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝B1P1·P1B2＋B2P2·P2B3＋…BnPn·PnBn+1＝( B1P1＋B2P2＋…
BnPn)＝( 1－＋－＋…＋－)＝( 1－)＝．
【答案】
【点评】各地中考经常将反比例函数与三角形、矩形的面积结合在一起考查，本题属于这类问题中的较难问题．解答时需注意：1.耐心、认真阅读题意，抓住各三角形的水平直角边都等于1这一特征，从而将面积和转化为竖直直角边和的一半；2.能用解析思想表达出B1，B2，B3，…，Bn的坐标，进而表达出所有直角三角形竖直直角边的长；3.具有一定的数式规律探究能力．
14.（2012山东省荷泽市，14，3）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_____.
【解析】根据题意，得53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填41.
【答案】41
【点评】根据题目所提供的规律，继续出探索出符合题意的一些特征，最终得出符合条件的数据.
16.（2012广州市，16， 3分）如图5，在标有刻度的直线L上，从点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 倍，第n个半圆的面积为 。（结果保留π）
【解析】根据规律找出每个半圆的半径，第n个半圆的直径为2n－1。
【答案】第4个半圆的面积:第3个半圆面积=π（×8）2：π（×8）2=4.
第n个半圆的面积为π（×2n－1）2=π22n－5。
【点评】本题主要根据每个半圆的直径与第n个半圆的关系求出直径的规律。
20. ( 2012年浙江省宁波市,20,6)同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
第4个
第3个
第2个
第1个
第5个图形有多少颗黑色棋子？
第几个图形有2013颗棋子？说明理由。
【解析】（1）根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；
（2）根据（1）所找出的规律，列出式子，即可求出答案．：（1）第一个图需棋子6，
第二个图需棋子9，
第三个图需棋子12，
第四个图需棋子15，
第五个图需棋子18，
…
第n个图需棋子3（n+1）枚．
答：第5个图形有18颗黑色棋子．
（2）设第n个图形有2013颗黑色棋子，
根据（1）得3（n+1）=2013
解得n=670，
所以第670个图形有2013颗黑色棋子．
【答案】(1)18；(2)第670个图形
【点评】此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
19．（2012湖南益阳，19，10分）观察图形，解答问题：
y
x
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
图①
图②
图③
三个角上三个数的积
1×(－1)×2=－2
(－3)×(－4)×(－5)=－60
三个角上三个数的和
1＋(－1)＋2=2
(－3)＋(－4)＋(－5)=－12
积与和的商
－2÷2=－1,
（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．
【解析】⑴模仿图①中的第三格（三个角上三个数的积与三个角上三个数的和的商）图②的第三格：(－60)÷(－12)=5图③的第三格170÷10=17，模仿前面的得到图③的第一格（
三个角上三个数的积）(－2)×(―5)×17=170第二格（三个角上三个数的和）(－2)＋(―5)＋17=10；
（2）发现的规律是：中间的数 所以图④
图⑤中： 解之得：
【答案】解: ⑴图②：(－60)÷(－12)=5 ……………………………………………1分
图③：(－2)×(―5)×17=170，………………………………………2分
(－2)＋(―5)＋17=10， ………………………………………3分
170÷10=17 . ………………………………………4分
⑵图④：5×(―8)×(―9)=360……………………………………………5分
5＋(―8)＋(―9)=－17……………………………………………6分
y=360÷(－12)=－30.……………………………………………7分
图⑤：， ……………………………………………9分
解得 ……………………………………………10分
【点评】本题主要考查考生对所给图形的观察、理解和模仿能力，同时也考查了有理数的加减乘除运算能力。难度中等。
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