中考数学一模试卷含解析36 21页

‎2016年河南省商丘市柘城一中中考数学一模试卷 一、选择题（每小题3分.共24分）‎ ‎1．一个数和它的倒数相等，则这个数是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．±1 D．±1和0‎ ‎2．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[]=5，则x的取值可以是（　　）‎ A．40 B．45 C．51 D．56‎ ‎3．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（　　）‎ A．20° B．25° C．30° D．35°‎ ‎4．把中根号外面的因式移到根号内的结果是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图所示几何体三视图的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图，正方形ABCD的边长为1cm/s，动点p，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎8．矩形ABCD中，边长AB=4，边BC=2，M、N分别是边BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．则CN的最大值为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共21分）‎ ‎9．用四舍五入法把数字3.4802精确到0.1是　　　　　　．‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=﹣（x＜0）的图象交于点P、Q，连结PO、QO，则△POQ的面积为　　　　　　．‎ ‎11．设a，b，c是从1到9的互不相同的整数，则的最大值为　　　　　　．‎ ‎12．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这七个数中随机抽取一个数记为a，则a的值是不等式组的解，但不是方程x2﹣3x+2=0的实数解的概率为　　　　　　．‎ ‎13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分別为AB，AC，BC的中点，若CD=5，則EF的长为　　　　　　．‎ ‎14．三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是　　　　　　．‎ ‎15．这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21…，第10行的数是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、计算题（本大题共8个小题，75分）‎ ‎16．先化简，再求值：，其中x的值是不等式组的整数解．‎ ‎17．如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF．经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC=30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD=60°，又测得AD=1m．请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度．‎ ‎18．2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图．‎ 根据上述信息，解答下列问题：‎ ‎（1）本次抽取的学生人数是　　　　　　；扇形统计图中的圆心角α等于　　　　　　；补全统计直方图；‎ ‎（2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．‎ ‎19．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=，AD=．‎ ‎（1）用尺规作图法在⊙O内作出弦AC、AD（不写画法，保留作图痕迹）‎ ‎（2）求∠CAD的度数．‎ ‎20．一个手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部、B型手机y部，三款手机的进价和预售价如表：‎ 手机型号 A型 B型 C型 进价（单位：元/部）‎ ‎900‎ ‎1200‎ ‎1100‎ 预售价（单位：元/部）‎ ‎1200‎ ‎1600‎ ‎1300‎ ‎（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；‎ ‎（2）求出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．‎ ‎①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；‎ ‎（注：预估利润P=预售总额﹣购机款﹣各种费用）‎ ‎②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．‎ ‎21．如图，将边长为2的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动．‎ ‎（1）该正六边形的每一个内角的度数是　　　　　　，每一个外角的度数为　　　　　　；‎ ‎（2）求它的对角线A1A5、A2A4、A1A3的长；‎ ‎（3）直接写出点A1从图1滚动到图2的位置时，顶点A1所经过的路径长．‎ ‎22．探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．‎ ‎（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得 EF=BE+DF，请写出推理过程；‎ ‎②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系　　　　　　时，仍有EF=BE+DF；‎ ‎（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3分別交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过A，C两点，与x轴交于点B（1，0）‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D为直线AC上一点，点E为拋物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADFE是平行四边形，请直接写出点F的坐标；‎ ‎（3）若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交拋物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016年河南省商丘市柘城一中中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分.共24分）‎ ‎1．一个数和它的倒数相等，则这个数是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．±1 D．±1和0‎ ‎【考点】倒数．‎ ‎【分析】根据倒数的定义进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵1×1=1，（﹣1）×（﹣1）=1，‎ ‎∴一个数和它的倒数相等的数是±1．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[]=5，则x的取值可以是（　　）‎ A．40 B．45 C．51 D．56‎ ‎【考点】一元一次不等式组的应用．‎ ‎【分析】先根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，再求出不等式组的解集即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得：‎ ‎5≤＜5+1，‎ 解得：46≤x＜56，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（　　）‎ A．20° B．25° C．30° D．35°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】首先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数．‎ ‎【解答】解：过点B作BD∥l，‎ ‎∵直线l∥m，‎ ‎∴BD∥l∥m，‎ ‎∴∠4=∠1=25°，‎ ‎∵∠ABC=45°，‎ ‎∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°，‎ ‎∴∠2=∠3=20°．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．把中根号外面的因式移到根号内的结果是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二次根式的性质与化简．‎ ‎【分析】先根据被开方数大于等于0判断出a是负数，然后平方后移到根号内约分即可得解．‎ ‎【解答】解：根据被开方数非负数得，﹣＞0，‎ 解得a＜0，‎ ‎﹣a==．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．如图所示几何体三视图的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单几何体的三视图．‎ ‎【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．‎ ‎【解答】解：如图所示几何体从正面看所得到的图形是B中图形，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．如图，正方形ABCD的边长为1cm/s，动点p，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】动点问题的函数图象．‎ ‎【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：‎ ‎①0≤x≤4时，根据四边形PBDQ的面积=△ABD的面积﹣△APQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；‎ ‎②4≤x≤8时，根据四边形PBDQ的面积=△BCD的面积﹣△CPQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．‎ ‎【解答】解：①0≤x≤4时，‎ ‎∵正方形的边长为4cm，‎ ‎∴y=S△ABD﹣S△APQ，‎ ‎=×4×4﹣•x•x，‎ ‎=﹣x2+8，‎ ‎②4≤x≤8时，‎ y=S△BCD﹣S△CPQ，‎ ‎=×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x），‎ ‎=﹣（8﹣x）2+8，‎ 所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】根据直线的解析式求得OB=4，进而求得OA=12，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB=30°，求得PM=PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数．‎ ‎【解答】解：∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，‎ ‎∴B（0，4），‎ ‎∴OB=4，‎ 在RT△AOB中，∠OAB=30°，‎ ‎∴OA=OB=×=12，‎ ‎∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，‎ ‎∴PM=PA，‎ 设P（x，0），‎ ‎∴PA=12﹣x，‎ ‎∴⊙P的半径PM=PA=6﹣x，‎ ‎∵x为整数，PM为整数，‎ ‎∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，‎ ‎∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．矩形ABCD中，边长AB=4，边BC=2，M、N分别是边BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．则CN的最大值为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值．‎ ‎【分析】根据三角形相似列出比例式得到二次函数的解析式，求出最大值即为所求．‎ ‎【解答】解：设CN=y，CM=x，则BM=2﹣x，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠B=∠C=90°，‎ ‎∵∠AMN=90°，‎ ‎∴∠BAM+∠AMB=∠NMC+∠AMB=90°，‎ ‎∴∠BAM=∠NMC，‎ ‎∴△ABM∽△MCN，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ ‎∴y=﹣x2，‎ ‎∵a=﹣＜0，‎ ‎∴y有最大值，y最大=，‎ ‎∴CN的最大值=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共21分）‎ ‎9．用四舍五入法把数字3.4802精确到0.1是　3.5　．‎ ‎【考点】近似数和有效数字．‎ ‎【分析】把百分位上的数字8进行四舍五入即可．‎ ‎【解答】解：数字3.4802≈3.5（精确到0.1）．‎ 故答案为3.5．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=﹣（x＜0）的图象交于点P、Q，连结PO、QO，则△POQ的面积为　7　．‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义．‎ ‎【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△OQM=4，S△OPM=3，然后利用S△POQ=S△OQM+S△OPM进行计算．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵直线l∥x轴，‎ ‎∴S△OQM=×|﹣8|=4，S△OPM=×|6|=3，‎ ‎∴S△POQ=S△OQM+S△OPM=7．‎ 故答案为7．‎ ‎　‎ ‎11．设a，b，c是从1到9的互不相同的整数，则的最大值为　1　．‎ ‎【考点】代数式求值．‎ ‎【分析】因为分母是相乘的关系，放大倍数大，所以应该尽量使a、b、c的取值小．‎ ‎【解答】解：因为分母是相乘的关系，放大倍数大，所以应该尽量使a、b、c的取值小才能确保分式的值最大．‎ 故选a=1，b=2，c=3．‎ ‎∴的最大值为1．‎ 故填1．‎ ‎　‎ ‎12．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3这七个数中随机抽取一个数记为a，则a的值是不等式组的解，但不是方程x2﹣3x+2=0的实数解的概率为　　．‎ ‎【考点】概率公式；根的判别式；解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】首先解不等式组，即可求得a的取值范围，解一元二次方程x2﹣3x+2=0，可求得a的值，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得：x＞﹣2，‎ 由②得：x＞﹣，‎ ‎∵a的值是不等式组的解，‎ ‎∴a=0，1，2，3，‎ ‎∵x2﹣3x+2=0，‎ ‎∴（x﹣1）（x﹣2）=0，‎ 解得：x1=1，x2=2，‎ ‎∵a不是方程x2﹣3x+2=0的实数解，‎ ‎∴a=0或3；‎ ‎∴a的值是不等式组的解，但不是方程x2﹣3x+2=0的实数解的概率为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分別为AB，AC，BC的中点，若CD=5，則EF的长为　5　．‎ ‎【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．‎ ‎【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．‎ ‎【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，‎ ‎∴CD=AB，‎ 又∵EF是△ABC的中位线，‎ ‎∴AB=2CD=2×5=10，‎ ‎∴EF=×10=5．‎ 故答案为：5‎ ‎　‎ ‎14．三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是　24或8　．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．‎ ‎【分析】由x2﹣16x+60=0，可利用因式分解法求得x的值，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣16x+60=0，‎ ‎∴（x﹣6）（x﹣10）=0，‎ 解得：x1=6，x2=10，‎ 当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB=AC=6，BC=8，AD是高，‎ ‎∴BD=4，AD==2，‎ ‎∴S△ABC=BC•AD=×8×2=8；‎ 当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，‎ ‎∵AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，‎ S△ABC=BC•AC=×8×6=24．‎ ‎∴该三角形的面积是：24或8．‎ 故答案为：24或8．‎ ‎　‎ ‎15．这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21…，第10行的数是　378　．‎ ‎【考点】规律型：数字的变化类；数轴．‎ ‎【分析】观察根据排列的规律得到第一行为0，第二行为0加6个数即为6，第三行为从6开始加15个数得到21，第四行为从21开始加24个数即45，…，由此得到后面加的数比前一行加的数多9，由此得到第10行为0+6+（6+9×1）+（6+9×2）+…+（6+9×8）．‎ ‎【解答】解：∵第一行为0，‎ 第二行为0+6=6，‎ 第三行为0+6+15=21，‎ 第四行为0+6+15+24=45，‎ 第五行为0+6+15+24+33=78，‎ ‎…‎ 所以第10行为0+6+（6+9×1）+（6+9×2）+…+（6+9×8）=6×9+9（1+2+3+4+5+6+7+8）=378．‎ 故答案为：378．‎ ‎　‎ 三、计算题（本大题共8个小题，75分）‎ ‎16．先化简，再求值：，其中x的值是不等式组的整数解．‎ ‎【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．‎ ‎【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出整数解得到x的值，代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=÷=•=x﹣1，‎ 不等式组，‎ 解得：＜x≤2，‎ 不等式组的整数解为1，2，‎ 当x=1时，原式没有意义，‎ 当x=2时，原式=1．‎ ‎　‎ ‎17．如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF．经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC=30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD=60°，又测得AD=1m．请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用．‎ ‎【分析】过B作BH⊥EF于点H，在Rt△ABC中，根据∠BAC=30°，BC=1.5，可求得AB的长度，又AD=1m，可求得BD的长度，在Rt△EBD中解直角三角形求得EB的长度，然后根据BH⊥EF，求得∠EBH=30°，继而可求得EH的长度，易得EF=EH+HF的值．‎ ‎【解答】解：过B作BH⊥EF于点H，‎ ‎∴四边形BCFH为矩形，BC=HF=1.5m，∠HBA=∠BAC=30°，‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎∵∠BAC=30°，BC=1.5m，‎ ‎∴AB=3m，‎ ‎∵AD=1m，‎ ‎∴BD=2m，‎ 在Rt△EDB中，‎ ‎∵∠EBD=60°，‎ ‎∴∠BED=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴EB=2BD=2×2=4m，‎ 又∵∠HBA=∠BAC=30°，‎ ‎∴∠EBH=∠EBD﹣∠HBD=30°，‎ ‎∴EH=EB=2m，‎ ‎∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5（m）．‎ 答：该支架的边BE为4m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5m．‎ ‎　‎ ‎18．2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图．‎ 根据上述信息，解答下列问题：‎ ‎（1）本次抽取的学生人数是　30　；扇形统计图中的圆心角α等于　144°　；补全统计直方图；‎ ‎（2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；利用频率估计概率．‎ ‎【分析】（1）根据题意列式求值，根据相应数据画图即可；‎ ‎（2）根据题意列表，然后根据表中数据求出概率即可．‎ ‎【解答】解：（1）6÷20%=30，（30﹣3﹣7﹣6﹣2）÷30×360=12÷30×26=144°，‎ 答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144°；‎ 故答案为：30，144°；‎ 补全统计图如图所示：‎ ‎（2）根据题意列表如下：‎ 设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道，‎ 小红 小花 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎（4，1）‎ ‎（5，1）‎ ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（4，2）‎ ‎（5，2）‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（4，3）‎ ‎（5，3）‎ ‎4‎ ‎（1，4）‎ ‎（2，4）‎ ‎（3，4）‎ ‎（5，4）‎ ‎5‎ ‎（1，5）‎ ‎（2，5）‎ ‎（3，5）‎ ‎（4，5）‎ 记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎19．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=，AD=．‎ ‎（1）用尺规作图法在⊙O内作出弦AC、AD（不写画法，保留作图痕迹）‎ ‎（2）求∠CAD的度数．‎ ‎【考点】作图—复杂作图；圆周角定理．‎ ‎【分析】（1）直接利用圆周角定理结合AB，AC，AD的长分别得出C，D，点位置；‎ ‎（2）本题大致的思路是连接BC、BD，分别在Rt△CAB和Rt△BAD中，求出∠CAD和∠CAB的度数，然后根据D点的不同位置分类讨论．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：弦AC、AD，弦AC′、AD′即为所求；‎ ‎（2）本题分两种情况：（如图）‎ ‎①当AD在AB上方时，连接BD、BC，‎ 则∠ADB=∠ACB=90°，‎ Rt△ADB中，AD=，AB=2，‎ ‎∴∠DAB=30°，‎ Rt△ACB中，AC=，AB=2，‎ ‎∴∠CAB=45°，‎ ‎∴∠CAD=∠CAB﹣∠DAB=15°，‎ ‎②当AD在AB下方时，同①可求得∠CAD=75°，‎ 综上所述：∠CAD的度数为：15°或75°．‎ ‎　‎ ‎20．一个手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部、B型手机y部，三款手机的进价和预售价如表：‎ 手机型号 A型 B型 C型 进价（单位：元/部）‎ ‎900‎ ‎1200‎ ‎1100‎ 预售价（单位：元/部）‎ ‎1200‎ ‎1600‎ ‎1300‎ ‎（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；‎ ‎（2）求出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．‎ ‎①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；‎ ‎（注：预估利润P=预售总额﹣购机款﹣各种费用）‎ ‎②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．‎ ‎【考点】一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）利用A型、B型、C型三款手机共60部，由A、B型手机的部数可表示出C型手机的部数；‎ ‎（2）根据购机款列出等式可表示出x、y之间的关系；‎ ‎（3）①由预估利润P=预售总额﹣购机款﹣各种费用，列出等式即可；‎ ‎②根据题意列出不等式组，求出购买方案的种数，预估利润最大值即为合理的方案 ‎【解答】解：（1）根据题意，知购进C型手机的部数为60﹣x﹣y；‎ ‎（2）根据题意，得：900x+1200y+1100（60﹣x﹣y）=61000，‎ 整理，得：y=2x﹣50；‎ ‎（3）①由题意，得：P=1200x+1600y+1300（60﹣x﹣y）﹣61000﹣1500=500x+500．‎ ‎②购进C型手机部数为60﹣x﹣y=110﹣3x，根据题意，可列不等式组：‎ ‎，‎ 解得：29≤x≤34，‎ ‎∵P是x的一次函数，k=500＞0，‎ ‎∴P随x的增大而增大，‎ ‎∴当x=34时，P取得最大值，最大值为17500元，‎ 此时购进A型手机34部、B型手机18部、C型手机8部．‎ ‎　‎ ‎21．如图，将边长为2的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动．‎ ‎（1）该正六边形的每一个内角的度数是　120°　，每一个外角的度数为　60°　；‎ ‎（2）求它的对角线A1A5、A2A4、A1A3的长；‎ ‎（3）直接写出点A1从图1滚动到图2的位置时，顶点A1所经过的路径长．‎ ‎【考点】正多边形和圆；弧长的计算；旋转的性质．‎ ‎【分析】（1）利用正六边形的外角和等于360度，求出外角的度数即可解决问题．‎ ‎（2）作A2M⊥A1A3于M，由正六边形和等腰三角形的性质A1M=A3M，∠1=30°，A2M=A1A2=1，由勾股定理得出A1M，即可得出结果；‎ ‎（3）由（2）得出A6C=A1A6=1，A1C=，A1A5=A1A3=2，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以2，2，4，2，2为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵正六边形的外角和为360度，‎ ‎∴每个外角的度数为360°÷6=60°，‎ ‎∵正六边形的每个外角与内角互补，‎ ‎∴每个内角为180°﹣60°=120°．‎ 故答案为：120°，60°；‎ ‎（2）作A2M⊥A1A3于M，如图1所示：‎ 根据正六边形的性质得：对角线A1A5=A2A4=A1A3，A1A2=A3A2，∠A1A2A3=120°，‎ ‎∴A1M=A3M，∠1=30°，‎ ‎∴A2M=A1A2=1，‎ 由勾股定理得：A1M==，‎ ‎∴A1A5=A2A4=A1A3=2；‎ ‎（3）连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图2所示，‎ 由（2）得：A6C=A1 A6=1，A1C=，‎ ‎∴A1A5=A1A3=2，‎ 当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，‎ 以2，2，4，2，2为半径，圆心角都为60°的五条弧，‎ ‎∴顶点A1所经过的路径的长=++++‎ ‎==π，‎ ‎　‎ ‎22．探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．‎ ‎（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得 EF=BE+DF，请写出推理过程；‎ ‎②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系　∠B+∠D=180°　时，仍有EF=BE+DF；‎ ‎（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；‎ ‎②根据旋转的性质得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；‎ ‎（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根据旋转的性质得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF=DE，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．‎ ‎【解答】（1）①解：如图1，‎ ‎∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，‎ ‎∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，‎ ‎∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，‎ ‎∴∠BAE+∠DAF=45°，‎ ‎∴∠DAG+∠DAF=45°，‎ 即∠EAF=∠GAF=45°，‎ 在△EAF和△GAF中 ‎∴△EAF≌△GAF（SAS），‎ ‎∴EF=GF，‎ ‎∵BE=DG，‎ ‎∴EF=GF=BE+DF；‎ ‎②解：∠B+∠D=180°，‎ 理由是：‎ 把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，‎ 则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，‎ ‎∵∠B+∠ADC=180°，‎ ‎∴∠ADC+∠ADG=180°，‎ ‎∴C、D、G在一条直线上，‎ 和①知求法类似，∠EAF=∠GAF=45°，‎ 在△EAF和△GAF中 ‎∴△EAF≌△GAF（SAS），‎ ‎∴EF=GF，‎ ‎∵BE=DG，‎ ‎∴EF=GF=BE+DF；‎ 故答案为：∠B+∠D=180°；‎ ‎（2）解：∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，‎ ‎∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC===4，‎ 把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．‎ 则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，‎ ‎∵∠DAE=45°，‎ ‎∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，‎ ‎∴∠FAD=∠DAE=45°，‎ 在△FAD和△EAD中 ‎∴△FAD≌△EAD，‎ ‎∴DF=DE，‎ 设DE=x，则DF=x，‎ ‎∵BC=1，‎ ‎∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x，‎ ‎∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，‎ ‎∴∠FBD=90°，‎ 由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，‎ x2=（3﹣x）2+12，‎ 解得：x=，‎ 即DE=．‎ ‎　‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3分別交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过A，C两点，与x轴交于点B（1，0）‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D为直线AC上一点，点E为拋物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADFE是平行四边形，请直接写出点F的坐标；‎ ‎（3）若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交拋物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的最大值．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）先利用一次函数解析式求出A点和C点坐标，再设交点式y=a（x+3）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；‎ ‎（2）连结DE交x轴于H，如图1，利用D，E两点的横坐标都为2得到DE被x轴垂直平分，H（2，0），再利用平行四边形的性质得到AH=FH=5，然后写出F点的坐标；‎ ‎（3）如图2，设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则Q（t，﹣t2﹣2t+3），则可用t表示出PQ得到PQ=﹣t2﹣3t，再根据三角形面积公式，利用S△ACQ=S△AQP+S△CQP得到S△ACQ=﹣t2﹣t，然后根据二次函数的性质解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）当y=0时，x+3=0，解得x=﹣3，则A（﹣3，0），‎ 当y=0时，y=x+3=3，则C（0，3），‎ 设抛物线解析式为y=a（x+3）（x+1），‎ 把C（0，3）代入得a•3•（﹣1）=3，解得a=﹣1，‎ 所以抛物线解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3；‎ ‎（2）连结DE交x轴于H，如图1，‎ ‎∵D，E两点的横坐标都为2，‎ ‎∴DE⊥x轴，且DE被x轴平分，H（2，0）‎ ‎∵四边形ADFE为平行四边形，‎ ‎∴AH=FH=2﹣（﹣3）=5，‎ ‎∴OF=OH+HF=7，‎ ‎∴F点的坐标为（7，0）；‎ ‎（3）如图2，设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则Q（t，﹣t2﹣2t+3），‎ 则PQ=﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）=﹣t2﹣3t，‎ ‎∵S△ACQ=S△AQP+S△CQP，‎ ‎∴S△ACQ=•3•PQ=﹣t2﹣t=﹣（t+）2+，‎ 当t=﹣时，△ACQ的面积有最大值，最大值为．‎