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- 2021-05-10 发布
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方程组与不等式 （1）
班级 姓名 学号
一、选择题
1.方程2x﹣1=3的解是（ ）
A． ﹣1 B． ﹣2 C． 1 D． 2
2.“x的与y的和”用代数式可以表示为（ ）
A. B. C. D.
3.用换元法解方程时，如果设，那么原方程可转化( )
A． B．
C． D．
4.关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（ ）
A． m=3 B． m＞3 C． m＜3 D． m≥3
5.当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（ ）
A． a＞﹣1 B． a＞﹣2 C． a＞0 D． a＞﹣1且a≠0
6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
7.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
8.已知A=A0（1+mt）(m、A、A0均不为0)，则t=（ ）
A. . B. C. D.
9.若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B． m≥1 C． m＞﹣1且m≠1 D． m≥﹣1且m≠1
10. 如果＞，＜0，那么下列不等式成立的是( )
A ＋＞＋； B －＞－； C ＞； D ．
二、填空题
11.若代数式的值为－2，则= ．
12.当m= 时，分式的值为零。
13.在整式运算中，任意两个一次二项式相乘后，将同类项合并得到的项数可以是 。
14.已知方程的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 ．
15.如果实数x，y满足方程组，则x2﹣y2的值为 ．
16.某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；若用水超过20m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水 m3．
17.分式方程的解是 ．
18.关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ．
三、解答题
19.解方程：
20.（1）解不等式组：
（2）解方程组．
21.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．
22.为加强公民的节水意识，合理利用水资源。某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1︰1.5︰2. 下图折线表示实行阶梯水价后每月水费y（元）与用水量xm³之间的函数关系. 其中线段AB表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系.
（1）写出点B的实际意义；
（2）求线段AB所在直线的表达式；
（3）某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米？
23.水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：
①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；
②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；
③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；
④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；
（1）若租用水面亩，则年租金共需__________元；
（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润（利润=收益－成本）；
（3）李大爷现在奖金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款，用于蟹虾混合养殖。已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元？
答案详解
一、选择题
解答： 解：如果设，那么原方程可化为。
故选B。
4.关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（ ）
A． m=3 B． m＞3 C． m＜3 D． m≥3
解答： 解：不等式组变形得：，
由不等式组的解集为x＜3，
得到m的范围为m≥3，
故选D
5.当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（ ）
A． a＞﹣1 B． a＞﹣2 C． a＞0 D． a＞﹣1且a≠0
解答： 解：当x=1时，a+2＞0
解得：a＞﹣2；
当x=2，2a+2＞0，
解得：a＞﹣1，
∴a的取值范围为：a＞﹣1．
6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
解答：解：，
由①得：x≥1，
由②得：x＜2，
在数轴上表示不等式的解集是：
故选：D．
7.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
解答： 解：根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可求出k的范围：
∵方程有两个不相等的实数根，
∴.
故选A．
8.已知A=A0（1+mt）(m、A、A0均不为0)，则t=（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ Ｄ
解答： 解：把t看作未知数，其他的都看作常数去解一元一次方程即可：
原式可化为：，
移项：得A，
化系数为1得：。
故选D。
9.若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B． m≥1 C． m＞﹣1且m≠1 D． m≥﹣1且m≠1
解答： 解：去分母得：m﹣1=2x﹣2，
解得：x=，
由题意得：≥0且≠1，
解得：m≥﹣1且m≠1，
故选D
10. 如果＞，＜0，那么下列不等式成立的是( )
A ＋＞＋；B －＞－； C ＞； D ．
解答： 解：根据不等式的性质，得
(A) ＞有＋＞＋，选项正确；
(B)由＞有－＜－，从而－＜－，选项错误；
(C) 由＞，＜0有＜，选项错误；
(D) 由＞，＜0有。
故选A。
二、填空题
11.若代数式的值为－2，则= ．
解答： 解：根据代数式的值的概念，列出一元一次方程，
解之得。
12.当m= 时，分式的值为零。
解答：解：要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0。
因此，
由分子解得：m=1或3。
而当m=3时，分母；
当m=1时，分母，分式没有意义。
∴m的值为3。
13.在整式运算中，任意两个一次二项式相乘后，将同类项合并得到的项数可以是 。
解答：解：根据多项式乘法法则来解答：
∵，有两项；
，有三项；
，有四项，
∴同类项合并得到的项数可以是2或3或4。
14.已知方程的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 ．
解答：解：∵方程的一个根是1，∴.
∴方程为，解得.
∴方程的另一个根是3，m的值是．
15.如果实数x，y满足方程组，则x2﹣y2的值为 ﹣ ．
解答： 解：方程组第二个方程变形得：2（x+y）=5，即x+y=，
∵x﹣y=﹣，
∴原式=（x+y）（x﹣y）=﹣，
故答案为：﹣
16.某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2元；若用水超过20m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水 ☆ m3．
解答：解：设该用户居民五月份实际用水x立方米，
故20×2+（x﹣20）×3=64，
故x=28．
故答案是：28．
17.分式方程的解是 ．
解答：解：方程的两边同乘x（x+3），得
x+3=5x，
解得x=．
检验：把x=代入x（x+3）=≠0．
∴原方程的解为：x=．
故答案为：x=．
18.关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ．
解答： 解：∵关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴且.
设
∵实数根都在﹣1和0之间，
∴当a＞0时，如答图1，
由图可知， 当时，；但，矛盾，
∴此种情况不存在.
当a＜0时，如答图2，
由图可知， 当时，，即.
综上所述，a的取值范围是.
三、解答题
19.解方程：
解答： 解：设，则原方程可化为
解之，得。
当时，，解之，得。
当时，无意义，舍去。
经检验，原方程的解为。
20.（1）解不等式组：
解答：解：由①得，x ＜2 ，
由②得，x≥ ﹣2 ，
故不等式组的解集为：﹣2≤x ＜2 ．
（2）解方程组．
解答： 解：，由②得③，
把③代入①得：，
解得：，
当x1=0时，y1=1；
当时，，
所以方程组的解是．
21.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．
解答：解：（1）∵方程有实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m≥0，
∴m≤4；
（2）∵x1+x2=4，
∴5x1+2x2=2（x1+x2）+3x1=2×4+3x1=2，
∴x1=﹣2，
把x1=﹣2代入x2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，
解得：m=﹣12．
22.为加强公民的节水意识，合理利用水资源。某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1︰1.5︰2. 下图折线表示实行阶梯水价后每月水费y（元）与用水量xm³之间的函数关系. 其中线段AB表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系.
（1）写出点B的实际意义；
（2）求线段AB所在直线的表达式；
（3）某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米？
【答案】解：（1）图中B点的实际意义表示当用水25m³时，所交水费为90元．
（2）设第一阶梯用水的单价为x元/m³，则第二阶梯用水单价为1.5 x元/m³.
设A(a，45)，则，解得，.
∴A(15，45)，B(25，90).
设线段AB所在直线的表达式为y=kx＋b，
则，解得.
∴线段AB所在直线的表达式为．
（3）设该户5月份用水量为xm³（x ＞ 90），由第（2）知第二阶梯水的单价为4.5元/m³，第三阶梯水的单价为6元/m³，
则根据题意得，解得，x=27.
答：该用户5月份用水量为27m³．
23.水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：
①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；
②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；
③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；
④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；
（1）若租用水面亩，则年租金共需__________元；
（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润（利润=收益－成本）；
（3）李大爷现在奖金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款，用于蟹虾混合养殖。已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元？
【答案】解：（1）500n。
（2）每亩收益=4×1400+20×160=8800，
每亩成本=4×（75+525）+20×（15+85）+500=4900，
每亩利润=8800－4900=3900。
（3）设应该租n亩水面，并向银行贷款x元，可使年利润超过35000元，
则年内总成本为 4900n＝25000＋x，即x＝4900 n －25000 ①
根据题意，有
将①代入②，得4900 n －25000≤25000， 即 n≤≈10.2。
将①代入③，得 3508n≥33000，即 n≥≈9.4。
∴ n＝10（亩）。
x＝4900 ×10 －25000＝24000（元）。
∴李大爷应该租10亩水面，并向银行贷款24000元，可使年利润超过35000元。
24.在“绿满鄂南”行动中，某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积．
（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数解析式．
（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．
考点： 一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用．.
分析： （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解；
（2）根据题意得到100x+50y=1800，整理得：y=36﹣2x，即可解答．
（3）根据甲乙两队施工的总天数不超过26天，得到x≥10，设施工总费用为w元，根据题意得：w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×（36﹣2x）=0.1x+9，根据一次函数的性质，即可解答．
解答： 解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，
根据题意得：，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）根据题意，得：100x+50y=1800，
整理得：y=36﹣2x，
∴y与x的函数解析式为：y=36﹣2x．
（3）∵甲乙两队施工的总天数不超过26天，
∴x+y≤26，
∴x+36﹣2x≤26，
解得：x≥10，
设施工总费用为w元，根据题意得：
w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×（36﹣2x）=0.1x+9，
∵k=0.1＞0，
∴w随x减小而减小，
∴当x=10时，w有最小值，最小值为0.1×10+9=10，
此时y=36﹣20=16．
答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低．
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