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  • 2021-05-10 发布

高分秘笈2013中考数学解题方法及提分突破训练换元法专题

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解题方法及提分突破训练:换元法专题 一.真题链接 ‎1.(2011•恩施州)解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0时,我们可以将x-1看成一个整体,设x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,即x-1=1,解得x=2;当y=4时,即x-1=4,解得x=5,所以原方程的解为:x1=2,x2=5.则利用这种方法求得方程 (2x+5)2-4(2x+5)+3=0的解为(  )‎ A.x1=1,x2=3 B.x1=-2,x2=3C.x1=-3,x2=-1 D.x1=-1,x2=-2‎ ‎2.(2005•温州)用换元法解方程(x2+x)2+(x2+x)=6时,如果设x2+x=y,那么原方程可变形为(  )‎ A.y2+y-6=0 B.y2-y-6=0 C.y2-y+6=0 D.y2+y+6=0‎ ‎3.(2005•兰州)已知实数x满足 的值是(  )‎ A.1或-2 B.-1或2 C.1 D.-2‎ ‎4.已知(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0,则(x2+y2)的值是(  )‎ 二.名词释义 概念:换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。‎ 经验:换元法,可以运用于因式分解、解方程或方程组等方面。换元法是数学中重要的解题方法,对于一些较繁较难的数学问题,若能根据问题的特点,进行巧妙的换元,则可以收到事半功倍的效果,现举例说明.‎ 详解:换元法主要有双换元、整体换元、均值换元,倒数换元几种形式。下面结合例题一一讲解。‎ 三.典题事例 ‎1.整体换元 例1 分解因式:‎ ‎ 解:设,则 原式 评注:此题还可以设,或,或。运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式.‎ ‎2.双换元 ‎ 例2 分解因式:‎ 解:设,两式相加,则 原式 例3 解方程组 解:设,.‎ 原方程组可化为解得 ‎∴即解得 ‎∴原方程组的解为 而所谓双换元法,就是根据多项式的特征用两个字母(元)分别代换原多项式中的代数式,‎ ‎3.均值换元 例4 解方程组 解:由①可设,,‎ 即,,代入②,得 ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∴原方程组的解为 说明:本题若按常规设法,可设,,此时,﹒由于出现了分数,给运算带来麻烦,因此设,,此时,,没有出现分类,使运算变得简捷.‎ 换元的作用:①降次、②化分式方程为整式方程、③化繁为简。 ‎ ‎4. 系数对称方程换元 ‎ 例5 解方程:‎ ‎ 分析:方程的系数相等,上面方程的系数是对称的,可以通过变形后,换元:‎ ‎ 变形:,‎ ‎ ,‎ ‎ 设,‎ ‎ 得,可解出方程。‎ ‎5. 倒数换元 ‎ 例6 分解因式 ‎ 解:原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 四.巩固强化:‎ ‎1.分解因式:‎ ‎2.分解因式:.‎ ‎3.解方程: ;‎ ‎4. 解方程:.‎ ‎5..解方程:.‎ ‎6.解方程组: ‎ ‎7.计算:‎ ‎8.解方程组 ‎9.解方程组 ‎10.解方程组 ‎11.解方程组 ‎12. 解方程。‎ ‎ ‎ ‎ 13解方程。代入,求方程的解,并检验。‎ 五.参考答案 真题链接答案:‎ ‎1.解:(2x+5)2-4(2x+5)+3=0,‎ 设y=2x+5,‎ 方程可以变为 y2-4y+3=0,‎ ‎∴y1=1,y2=3,‎ 当y=1时,即2x+5=1,解得x=-2;‎ 当y=3时,即2x+5=3,解得x=-1,‎ 所以原方程的解为:x1=-2,x2=-1.‎ 故选D.‎ ‎2.解:把x2+x整体代换为y,‎ y2+y=6,‎ 即y2+y-6=0.‎ 故选A.‎ ‎3.‎ ‎4.解:设x2+y2=t.则由原方程,得t2-t-12=0,‎ ‎∴(t+3)(t-4)=0,‎ ‎∴t+3=0或t-4=0,‎ 解得,t=-3或t=4;‎ 又∵t≥0,‎ ‎∴t=4.故选B.‎ 巩固强化答案:‎ ‎1.解:原式 ‎ 取“均值”,设 ‎ 原式 ‎ ‎ ‎2.解:设,则 原式=‎ ‎ =‎ ‎ = ‎ ‎ =‎ ‎ =.‎ ‎3.解: 原方程可化为:‎ ‎ . ①‎ ‎ 设,则方程①化为:‎ ‎ . ②‎ ‎ 解方程②,得 ‎ .‎ ‎ 当时,‎ ‎ .‎ ‎ 解得,.‎ ‎ 当时,‎ ‎ .‎ ‎ 解得,或.‎ ‎ 经检验,知,,,都是原方程的解.‎ ‎ 所以,原方程的解为,,,.‎ ‎4.解:原方程可化为: ‎ ‎ . ①‎ ‎ 设,则方程①化为:‎ ‎ . ②‎ ‎ 解方程②,得 ‎ .‎ ‎ 当时,‎ ‎ .‎ ‎ 解得,.‎ ‎ 当时,‎ ‎ .‎ ‎ 此方程无解.‎ ‎ 经检验,知都是原方程的解.‎ ‎ 所以,原方程的解为.‎ ‎5.解:原方程可化为:‎ ‎ .‎ ‎ 即.①‎ ‎ 设,则方程①化为:‎ ‎ .‎ ‎ 解得,.‎ ‎ 当时,‎ ‎ .②‎ ‎ 解方程②,得 ‎ .‎ ‎ 当时,‎ ‎ .③‎ ‎ ,‎ ‎ 方程③无实数根.‎ ‎ 因此,原方程的根为.‎ ‎6.解:设,则原方程组可化为:‎ ‎ ‎ ‎ 由(2)得,. (3)‎ ‎ 将(3)代入(1),得 ‎ .‎ ‎ 解得,(不能为负,舍去).‎ ‎ ∴.‎ ‎ 得 ‎ 解得,‎ ‎ 经检验,知是原方程组的解.‎ ‎ 所以,原方程组的解为.‎ ‎7.解:设,则 ‎ 原式=‎ ‎ =‎ ‎ =.‎ ‎8.解:由①,得.‎ 设,则,,‎ 代入②,得.‎ ‎∴.‎ ‎∴,.‎ ‎∴原方程组的解是 ‎9.解:设,.‎ 原方程组可化为解得 ‎∴即解得 ‎∴原方程组的解为 ‎10.解:设 原方程组可化为 解得 ‎∴ ,解得 ‎11.解:由①可设,,‎ 即,,代入②,得 ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∴原方程组的解为 ‎12.解:方程的分母都含有 ‎ 故可设,‎ ‎ 然后整理可得,‎ ‎ 解得中,‎ ‎ 求出方程的解,并检验。‎ ‎ 13.解:方程变形为 ‎ ,‎ ‎ 即,‎ ‎ 方程可通过互为倒数关系换元:‎ ‎ 设,然后整理得,‎ ‎ 可解得,‎