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- 2021-05-10 发布
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解题方法及提分突破训练:换元法专题
一.真题链接
1.(2011•恩施州)解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0时,我们可以将x-1看成一个整体,设x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,即x-1=1,解得x=2;当y=4时,即x-1=4,解得x=5,所以原方程的解为:x1=2,x2=5.则利用这种方法求得方程 (2x+5)2-4(2x+5)+3=0的解为( )
A.x1=1,x2=3 B.x1=-2,x2=3C.x1=-3,x2=-1 D.x1=-1,x2=-2
2.(2005•温州)用换元法解方程(x2+x)2+(x2+x)=6时,如果设x2+x=y,那么原方程可变形为( )
A.y2+y-6=0 B.y2-y-6=0 C.y2-y+6=0 D.y2+y+6=0
3.(2005•兰州)已知实数x满足 的值是( )
A.1或-2 B.-1或2 C.1 D.-2
4.已知(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0,则(x2+y2)的值是( )
二.名词释义
概念:换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。
经验:换元法,可以运用于因式分解、解方程或方程组等方面。换元法是数学中重要的解题方法,对于一些较繁较难的数学问题,若能根据问题的特点,进行巧妙的换元,则可以收到事半功倍的效果,现举例说明.
详解:换元法主要有双换元、整体换元、均值换元,倒数换元几种形式。下面结合例题一一讲解。
三.典题事例
1.整体换元
例1 分解因式:
解:设,则
原式
评注:此题还可以设,或,或。运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式.
2.双换元
例2 分解因式:
解:设,两式相加,则
原式
例3 解方程组
解:设,.
原方程组可化为解得
∴即解得
∴原方程组的解为
而所谓双换元法,就是根据多项式的特征用两个字母(元)分别代换原多项式中的代数式,
3.均值换元
例4 解方程组
解:由①可设,,
即,,代入②,得
∴.
∴
∴原方程组的解为
说明:本题若按常规设法,可设,,此时,﹒由于出现了分数,给运算带来麻烦,因此设,,此时,,没有出现分类,使运算变得简捷.
换元的作用:①降次、②化分式方程为整式方程、③化繁为简。
4. 系数对称方程换元
例5 解方程:
分析:方程的系数相等,上面方程的系数是对称的,可以通过变形后,换元:
变形:,
,
设,
得,可解出方程。
5. 倒数换元
例6 分解因式
解:原式
四.巩固强化:
1.分解因式:
2.分解因式:.
3.解方程: ;
4. 解方程:.
5..解方程:.
6.解方程组:
7.计算:
8.解方程组
9.解方程组
10.解方程组
11.解方程组
12. 解方程。
13解方程。代入,求方程的解,并检验。
五.参考答案
真题链接答案:
1.解:(2x+5)2-4(2x+5)+3=0,
设y=2x+5,
方程可以变为 y2-4y+3=0,
∴y1=1,y2=3,
当y=1时,即2x+5=1,解得x=-2;
当y=3时,即2x+5=3,解得x=-1,
所以原方程的解为:x1=-2,x2=-1.
故选D.
2.解:把x2+x整体代换为y,
y2+y=6,
即y2+y-6=0.
故选A.
3.
4.解:设x2+y2=t.则由原方程,得t2-t-12=0,
∴(t+3)(t-4)=0,
∴t+3=0或t-4=0,
解得,t=-3或t=4;
又∵t≥0,
∴t=4.故选B.
巩固强化答案:
1.解:原式
取“均值”,设
原式
2.解:设,则
原式=
=
=
=
=.
3.解: 原方程可化为:
. ①
设,则方程①化为:
. ②
解方程②,得
.
当时,
.
解得,.
当时,
.
解得,或.
经检验,知,,,都是原方程的解.
所以,原方程的解为,,,.
4.解:原方程可化为:
. ①
设,则方程①化为:
. ②
解方程②,得
.
当时,
.
解得,.
当时,
.
此方程无解.
经检验,知都是原方程的解.
所以,原方程的解为.
5.解:原方程可化为:
.
即.①
设,则方程①化为:
.
解得,.
当时,
.②
解方程②,得
.
当时,
.③
,
方程③无实数根.
因此,原方程的根为.
6.解:设,则原方程组可化为:
由(2)得,. (3)
将(3)代入(1),得
.
解得,(不能为负,舍去).
∴.
得
解得,
经检验,知是原方程组的解.
所以,原方程组的解为.
7.解:设,则
原式=
=
=.
8.解:由①,得.
设,则,,
代入②,得.
∴.
∴,.
∴原方程组的解是
9.解:设,.
原方程组可化为解得
∴即解得
∴原方程组的解为
10.解:设
原方程组可化为 解得
∴ ,解得
11.解:由①可设,,
即,,代入②,得
∴.
∴
∴原方程组的解为
12.解:方程的分母都含有
故可设,
然后整理可得,
解得中,
求出方程的解,并检验。
13.解:方程变形为
,
即,
方程可通过互为倒数关系换元:
设,然后整理得,
可解得,