江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷 38页

‎2016年江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应的位置上.）‎ ‎1．（2分）如果x=2016，那么|x﹣4|的值是（　　）‎ A．±2012 B．2012 C．﹣2012 D．2014‎ ‎2．（2分）下列计算正确的是（　　）‎ A．（a3）2=a5 B．a6÷a3=a2 C．（ab）2=a2b2 D．（a+b）2=a2+b2‎ ‎3．（2分）支付宝与“快的打车”联合推出优惠，“快的打车”一夜之间红遍大江南北．据统计，2014年“快的打车”账户流水总金额达到47.3亿元，47.3亿用科学记数法表示为（　　）‎ A．4.73×108 B．4.73×109 C．4.73×1010 D．4.73×1011‎ ‎4．（2分）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（　　）‎ A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 ‎5．（2分）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（　　）‎ A．20° B．40° C．30° D．25°‎ ‎6．（2分）下列说法中正确的是（　　）‎ A．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为 B．“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件 C．“同位角相等”这一事件是不可能事件 D．“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件 ‎7．（2分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（　　）‎ A．acπ B．bcπ C． D．‎ ‎8．（2分）图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（　　）‎ A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8‎ ‎9．（2分）如图，直线l：y=﹣x﹣与坐标轴交于A，C两点，过A，O，C三点作⊙O1，点E为劣弧AO上一点，连接EC，EA，EO，当点E在劣弧AO上运动时（不与A，O两点重合），的值是否发生变化？（　　）‎ A． B． C．2 D．变化 ‎10．（2分）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）‎ A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把最后结果填在答题卷相应的位置上）‎ ‎11．（3分）函数y=的自变量x取值范围是　 　．‎ ‎12．（3分）分解因式：2b2﹣8b+8=　 　．‎ ‎13．（3分）一组数据﹣1，3，1，2，b的唯一众数为﹣1，则这组数据的中位数为　 　．‎ ‎14．（3分）已知x、y是二元一次方程组的解，则代数式x2﹣4y2的值为　 　．‎ ‎15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′是直线y=x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为　 　．‎ ‎16．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO=　 　度．‎ ‎17．（3分）在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=6，AD=10，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是　 　．‎ ‎18．（3分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①AD=BE=5；②当0＜t≤5时，y=t2；③cos∠ABE=；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；⑤当△BPQ的面积为4cm2时，时间t的值是或； 其中正确的结论是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共10小题，共76.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎19．（5分）计算：（π﹣）0+（）﹣2+﹣9tan30°．‎ ‎20．（5分）解方程：‎ ‎21．（7分）已知A=﹣‎ ‎（1）化简A；‎ ‎（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．‎ ‎22．（7分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：‎ ‎①以A为圆心，AB长为半径画弧；‎ ‎②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；‎ ‎③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△ADC；‎ ‎（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．‎ ‎23．（8分）某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：‎ ‎（1）则样本容量是　 　，并补全直方图；‎ ‎（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12的次数；‎ ‎（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．‎ 发言次数n A ‎0≤n＜3‎ B ‎3≤n＜6‎ C ‎6≤n＜9‎ D ‎9≤n＜12‎ E ‎12≤n＜15‎ F ‎15≤n＜18‎ ‎24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．‎ ‎（1）求⊙O的半径OD；‎ ‎（2）求证：AE是⊙O的切线；‎ ‎（3）求图中两部分阴影面积的和．‎ ‎25．（8分）如图，已知：A（m，4）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的公共点 ‎（1）若该一次函数分别与x轴y轴交于E、F两点，且直角△EOF的外心为点A，试求它的解析式；‎ ‎（2）在第（1）问的条件下，在y=的图象上另取一点B，作BK⊥x轴于K，若在y轴上存在点G，使得△GFA和△BOK的面积相等，试求点G的坐标？‎ ‎（3）若（2）中的点B的坐标为（m，3m+6）（其中m＞0），在线段BK上存在一点Q，使得△OQK的面积是，设Q点的纵坐标为n，求4n2﹣2n+9的值．‎ ‎26．（8分）如图1，图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB（与地面平行）或绕定点P（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持AP=A′P，BP=B′P）．通过向下踩踏点A到A′（与地面接触点）使点B上升到点B′，与此同时传动杆BH运动到B'H'的位置，点H绕固定点D旋转（DH为旋转半径）至点H'，从而使桶盖打开一个张角∠HDH′．如图3，桶盖打开后，传动杆H′B′所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设H′C=B′M．测得AP=6cm，PB=12cm，DH′=8cm．要使桶盖张开的角度∠HDH'不小于60°，那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字）（参考数据：≈1.41，≈1.73）‎ ‎27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．‎ ‎（1）求线段AC的长度；‎ ‎（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：‎ ‎①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；‎ ‎②当l经过点B时，求t的值．‎ ‎28．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点．现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．‎ ‎（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣． ‎ ‎①求点D的坐标及该抛物线的解析式；‎ ‎②连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案填在答题卡相应的位置上.）‎ ‎1．（2分）如果x=2016，那么|x﹣4|的值是（　　）‎ A．±2012 B．2012 C．﹣2012 D．2014‎ ‎【解答】解：∵x=2016，‎ ‎∴|x﹣4|=|2016﹣4|=|2012|=2012．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（2分）下列计算正确的是（　　）‎ A．（a3）2=a5 B．a6÷a3=a2 C．（ab）2=a2b2 D．（a+b）2=a2+b2‎ ‎【解答】解：A、底数不变指数相乘，故A错误；‎ B、底数不变指数相减，故B错误；‎ C、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故C正确；‎ D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（2分）支付宝与“快的打车”联合推出优惠，“快的打车”一夜之间红遍大江南北．据统计，2014年“快的打车”账户流水总金额达到47.3亿元，47.3亿用科学记数法表示为（　　）‎ A．4.73×108 B．4.73×109 C．4.73×1010 D．4.73×1011‎ ‎【解答】解：47.3亿=47 3000 0000=4.73×109，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（2分）实数a在数轴上的位置如图所示，则 化简后为（　　）‎ A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 ‎【解答】解：从实数a在数轴上的位置可得，‎ ‎5＜a＜10，‎ 所以a﹣4＞0，‎ a﹣11＜0，‎ 则，‎ ‎=a﹣4+11﹣a，‎ ‎=7．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．（2分）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（　　）‎ A．20° B．40° C．30° D．25°‎ ‎【解答】解：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，‎ ‎∵a∥b，∠DCB=90°，‎ ‎∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（2分）下列说法中正确的是（　　）‎ A．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为 B．“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件 C．“同位角相等”这一事件是不可能事件 D．“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件 ‎【解答】解：A、掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为，故A错误；‎ B、“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件，故B正确；‎ C、同位角相等是随机事件，故C错误；‎ D、“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是必然事件，故D错误；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（2分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（　　）‎ A．acπ B．bcπ C． D．‎ ‎【解答】解：由题意得底面直径为c，母线长为b，‎ ‎∴几何体的侧面积为πc•b=πbc，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．（2分）图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（　　）‎ A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8‎ ‎【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E；‎ 由题意得：S△ABD=S△PBD=30，‎ ‎∴S△DPC=80﹣30﹣30=20，‎ ‎∴=，‎ 由题意得：AB=BP，‎ ‎∴AB：PC=3：2，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．（2分）如图，直线l：y=﹣x﹣与坐标轴交于A，C两点，过A，O，C三点作⊙O1，点E为劣弧AO上一点，连接EC，EA，EO，当点E在劣弧AO上运动时（不与A，O两点重合），的值是否发生变化？（　　）‎ A． B． C．2 D．变化 ‎【解答】解：对于直线l：y=﹣x﹣，‎ 令x=0，得到y=﹣；令y=0，得到x=﹣，‎ ‎∴OA=OC，又∠AOC=90°，‎ ‎∴△OAC为圆内接等腰直角三角形，AC为直径，‎ 在CE上截取CM=AE，连接OM，‎ ‎∵在△OAE和△OCM中，‎ ‎，‎ ‎∴△OAE≌△OCM（SAS），‎ ‎∴∠AOE=∠COM，OM=OE，‎ ‎∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠AOE+∠AOM，‎ ‎∴∠MOE=90°，‎ ‎∴△OME为等腰直角三角形，‎ ‎∴ME=EO，‎ 又∵ME=EC﹣CM=EC﹣AE，‎ ‎∴EC﹣AE=EO，即=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（2分）如图，抛物线y=﹣2x2+‎ ‎8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）‎ A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣‎ ‎【解答】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，‎ 即x2﹣4x+3=0，‎ 解得x=1或3，‎ 则点A（1，0），B（3，0），‎ 由于将C1向右平移2个长度单位得C2，‎ 则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），‎ 当y=x+m1与C2相切时，‎ 令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，‎ 即2x2﹣15x+30+m1=0，‎ ‎△=﹣8m1﹣15=0，‎ 解得m1=﹣，‎ 当y=x+m2过点B时，‎ 即0=3+m2，‎ m2=﹣3，‎ 当﹣3＜m＜﹣时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把最后结果填在答题卷相应的位置上）‎ ‎11．（3分）函数y=的自变量x取值范围是　x≤3　．‎ ‎【解答】解：根据题意得：3﹣x≥0，‎ 解得：x≤3．‎ 故答案为：x≤3．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）分解因式：2b2﹣8b+8=　2（b﹣2）2　．‎ ‎【解答】解：原式=2（b2﹣4b+4）‎ ‎=2（b﹣2）2．‎ 故答案为：2（b﹣2）2．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）一组数据﹣1，3，1，2，b的唯一众数为﹣1，则这组数据的中位数为　1　．‎ ‎【解答】解：∵这组数据﹣1，5，1，2，b的唯一众数为﹣1，‎ ‎∴b=﹣1，‎ 这组数据按照从小到大的顺序排列为：﹣1，﹣1，1，2，5，‎ 则中位数为：1．‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎14．（3分）已知x、y是二元一次方程组的解，则代数式x2﹣4y2的值为　　．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎①×2﹣②得 ‎﹣8y=1，‎ y=﹣，‎ 把y=﹣代入②得 ‎2x﹣=5，‎ x=，‎ x2﹣4y2=（）=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′是直线y=x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为　5　．‎ ‎【解答】解：如图，连接AA′、BB′．‎ ‎∵点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，‎ ‎∴点A′的纵坐标是4．‎ 又∵点A的对应点在直线y=x上一点，‎ ‎∴4=x，解得x=5．‎ ‎∴点A′的坐标是（5，4），‎ ‎∴AA′=5．‎ ‎∴根据平移的性质知BB′=AA′=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO=　25　度．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴OD=OB，∠COD=90°，‎ ‎∵DH⊥AB，‎ ‎∴OH=BD=OB，‎ ‎∴∠OHB=∠OBH，‎ 又∵AB∥CD，‎ ‎∴∠OBH=∠ODC，‎ 在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，‎ 在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，‎ ‎∴∠DHO=∠DCO==25°，‎ 故答案为：25．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=6，AD=10，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是　　．‎ ‎【解答】解法一、∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，‎ ‎∴∠BCD=180°﹣60°=120°，‎ ‎∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，‎ ‎∴∠CAD=∠CAB=30°，‎ 如图1中，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，‎ 则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=10，AC=CE，‎ ‎∴∠ABC+∠EBC=（180°﹣CAB+∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）=180°，‎ ‎∴A、B、E三点共线，‎ 过C作CM⊥AE于M，‎ ‎∵AC=CE，‎ ‎∴AM=EM=×（6+10）=8，‎ 在Rt△AMC中，AC===；‎ 解法二、如图2中，过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，‎ 则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，‎ ‎∵点C为弧BD的中点，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，‎ ‎∵CE⊥AB，CF⊥AD，‎ ‎∴CE=CF，‎ ‎∵A、B、C、D四点共圆，‎ ‎∴∠D=∠CBE，‎ 在△CBE和△CDF中 ‎，‎ ‎∴△CBE≌△CDF，‎ ‎∴BE=DF，‎ 在△AEC和△AFC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEC≌△AFC，‎ ‎∴AE=AF，‎ 设BE=DF=x，‎ ‎∵AB=6，AD=10，‎ ‎∴AE=AF=x+3，‎ ‎∴10﹣x=6+x，‎ 解得：x=2，‎ 即AE=8，‎ ‎∴AC==，‎ 故答案为 ．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①AD=BE=5；②当0＜t≤5时，y=t2；③cos∠ABE=；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；⑤当△BPQ的面积为4cm2时，时间t的值是或； 其中正确的结论是　②④　．‎ ‎【解答】解：根据图（2）可得，‎ 当点P到达点E时点Q到达点C，‎ ‎∵点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒 ‎∴BC=BE=10，‎ ‎∴AD=BC=10．‎ ‎∴①错误；‎ 又∵从M到N的变化是4，‎ ‎∴ED=4，‎ ‎∴AE=AD﹣ED=10﹣4=6．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠EBQ=∠AEB，‎ ‎∴cos∠EBQ=cos∠AEB=，‎ 故③错误；‎ 如图1，过点P作PF⊥BC于点F，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠EBQ=∠AEB，‎ ‎∴sin∠EBQ=sin∠AEB==，‎ ‎∴PF=PBsin∠EBQ=t，‎ ‎∴当0＜t≤5时，y=BQ×PF=×2t×t=t2，‎ 故②正确，‎ 如图4，‎ 当t=时，点P在CD上，‎ ‎∴PD=﹣BE﹣ED=﹣10﹣4=，‎ PQ=CD﹣PD=8﹣=，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∵∠A=∠Q=90°，‎ ‎∴△ABE∽△QBP，‎ 故④正确．‎ 由②知，y=t2‎ 当y=4时，t2=4，‎ 从而，‎ 故⑤错误 综上所述，正确的结论是②④．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共10小题，共76.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎19．（5分）计算：（π﹣）0+（）﹣2+﹣9tan30°．‎ ‎【解答】解：原式=1+9+3﹣9×‎ ‎=1+9+3﹣3‎ ‎=10．‎ ‎　‎ ‎20．（5分）解方程：‎ ‎【解答】解：方程两边都乘以（x﹣1），得 ‎3x+2=x﹣1，解得：．‎ 检验：当x=时，x﹣1≠0，‎ ‎∴是原方程的根．‎ ‎　‎ ‎21．（7分）已知A=﹣‎ ‎（1）化简A；‎ ‎（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．‎ ‎【解答】解：（1）A=﹣‎ ‎=﹣‎ ‎=﹣‎ ‎=‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎∴1≤x＜3，‎ ‎∵x为整数，‎ ‎∴x=1或x=2，‎ ‎①当x=1时，‎ ‎∵x﹣1≠0，‎ ‎∴A=中x≠1，‎ ‎∴当x=1时，A=无意义．‎ ‎②当x=2时，‎ A==．‎ ‎　‎ ‎22．（7分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：‎ ‎①以A为圆心，AB长为半径画弧；‎ ‎②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；‎ ‎③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△ADC；‎ ‎（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．‎ ‎【解答】（1）证明：在△ABC与△ADC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△ADC（SSS）；‎ ‎（2）解：设BE=x，‎ ‎∵∠BAC=30°，‎ ‎∴∠ABE=60°，‎ ‎∴AE=tan60°•x=x，‎ ‎∵△ABC≌△ADC，‎ ‎∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，‎ ‎∵∠BCA=45°，‎ ‎∴∠BCA=∠DCA=45°，‎ ‎∴∠CBD=∠CDB=45°，‎ ‎∴CE=BE=x，‎ ‎∴x+x=4，‎ ‎∴x=2﹣2，‎ ‎∴BE=2﹣2．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：‎ ‎（1）则样本容量是　50　，并补全直方图；‎ ‎（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12的次数；‎ ‎（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．‎ 发言次数n A ‎0≤n＜3‎ B ‎3≤n＜6‎ C ‎6≤n＜9‎ D ‎9≤n＜12‎ E ‎12≤n＜15‎ F ‎15≤n＜18‎ ‎【解答】解：（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，E占8%，‎ ‎∴B组所占的百分比是20%，‎ ‎∵B组的人数是10，‎ ‎∴样本容量为：10÷20%=50，‎ ‎∴C组的人数是50×30%=15（人），‎ ‎∴F组的人数是50×（1﹣6%﹣20%﹣30%﹣26%﹣8%）=5（人），‎ 补图如下：‎ ‎（2）∵F组的人数是1﹣6%﹣8%﹣30%﹣26%﹣20%=10%，‎ ‎∴发言次数不少于12的次数所占的百分比是：8%+10%=18%，‎ ‎∴全年级500人中，在这天里发言次数不少于12的次数为：500×18%=90（次）．‎ ‎（3）∵A组发言的学生为：50×6%=3人，有1位女生，‎ ‎∴A组发言的有2位男生，‎ ‎∵E组发言的学生：4人，‎ ‎∴有2位女生，2位男生．‎ ‎∴由题意可画树状图为：‎ ‎∴共有12种情况，所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有6种，‎ ‎∴所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为=．‎ ‎　‎ ‎24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．‎ ‎（1）求⊙O的半径OD；‎ ‎（2）求证：AE是⊙O的切线；‎ ‎（3）求图中两部分阴影面积的和．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB与圆O相切，‎ ‎∴OD⊥AB，‎ 在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，‎ ‎∴OD=3；‎ ‎（2）连接OE，‎ ‎∵AE=OD=3，AE∥OD，‎ ‎∴四边形AEOD为平行四边形，‎ ‎∴AD∥EO，‎ ‎∵DA⊥AE，‎ ‎∴OE⊥AC，‎ 又∵OE为圆的半径，‎ ‎∴AE为圆O的切线；‎ ‎（3）∵OD∥AC，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴AC=7.5，‎ ‎∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，‎ ‎∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG ‎=×2×3+×3×4.5﹣‎ ‎=3+﹣‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎25．（8分）如图，已知：A（m，4）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的公共点 ‎（1）若该一次函数分别与x轴y轴交于E、F两点，且直角△EOF的外心为点A，试求它的解析式；‎ ‎（2）在第（1）问的条件下，在y=的图象上另取一点B，作BK⊥x轴于K，若在y轴上存在点G，使得△GFA和△BOK的面积相等，试求点G的坐标？‎ ‎（3）若（2）中的点B的坐标为（m，3m+6）（其中m＞0），在线段BK上存在一点Q，使得△OQK的面积是，设Q点的纵坐标为n，求4n2﹣2n+9的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵A（m，4）在反比例函数y=上，‎ ‎∴4m=12，‎ 解得m=3，‎ ‎∴A（3，4）．‎ ‎∵点A是直角△EOF的外心，‎ ‎∴点A是线段EF的中点，‎ ‎∴E（6，0），F（0，8）．‎ ‎∵点E（6，0），F（0，8）在直线y=kx+b上，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴直线的解析式为y=﹣x+8；‎ ‎（2）∵BK⊥x轴，‎ ‎∴S△BOK==6，‎ ‎∴S△GFA=S△BOK=6，‎ ‎∴GF•3=6，‎ ‎∴GF=4．‎ ‎∵F的坐标为（0，8），‎ ‎∴G的坐标为（0，12）或（0，4）；‎ ‎（3）∵B（m，3m+6）在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴m（3m+6）=12，‎ 解得m1=﹣1，m2=﹣﹣1．‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴m=﹣1．‎ ‎∵S△OQK=mn=，‎ ‎∴n===，‎ ‎∴4n=+1，‎ ‎∴4n﹣1=，‎ ‎∴16n2﹣8n+1=5，‎ ‎∴4n2﹣2n=1，‎ ‎∴4n2﹣2n+9=10．‎ ‎　‎ ‎26．（8分）如图1，图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB（与地面平行）或绕定点P（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持AP=A′P，BP=B′P）．通过向下踩踏点A到A′（与地面接触点）使点B上升到点B′，与此同时传动杆BH运动到B'H'的位置，点H绕固定点D旋转（DH为旋转半径）至点H'，从而使桶盖打开一个张角∠HDH′．如图3，桶盖打开后，传动杆H′B′所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设H′C=B′M．测得AP=6cm，PB=12cm，DH′=8cm．要使桶盖张开的角度∠HDH'不小于60°，那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字）（参考数据：≈1.41，≈1.73）‎ ‎【解答】解：作A′N⊥AB于N点．‎ 在Rt△H′CD中，‎ 若∠HDH′不小于60°，‎ 则，‎ 即H'C≥H'D=4．‎ ‎∵B'M=H'C≥4，‎ 又∵Rt△A′NP∽Rt△B′MP，‎ ‎∴=，‎ ‎∴A′N=≥=2≈3.5cm．‎ ‎∴踏板AB离地面的高度至少等于3.5cm．‎ ‎　‎ ‎27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．‎ ‎（1）求线段AC的长度；‎ ‎（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：‎ ‎①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；‎ ‎②当l经过点B时，求t的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：；‎ ‎（2）如图1，‎ 过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ=3﹣t，‎ 则∠AHP=∠ABC=90°，‎ ‎∵∠PAH=∠CAB，‎ ‎∴△AHP∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AP=t，AC=5，BC=4，‎ ‎∴PH=，‎ ‎∴S=•（3﹣t）•t，‎ 即S=﹣t2+t，t的取值范围是：0＜t＜3．‎ ‎（3）①如图2，‎ ‎∵线段PQ的垂直平分线为l经过点A，‎ ‎∴AP=AQ，‎ ‎∴3﹣t=t，‎ ‎∴t=1.5，‎ ‎∴AP=AQ=1.5，‎ 延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O，‎ ‎∴△AQO∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴PO=AO﹣AP=1，‎ ‎∵OQ∥BC∥AD，‎ ‎∴△APE∽△OPQ，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎②如图③，‎ ‎（i）当点Q从B向A运动时l经过点B，‎ BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，‎ ‎∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°‎ ‎∴∠PBC=∠PCB，‎ ‎∴CP=BP=AP=t ‎∴CP=AP=AC=×5=2.5，‎ ‎∴t=2.5；‎ ‎（ⅱ）如图4，当点Q从A向B运动时l经过点B，‎ BP=BQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，AP=t，PC=5﹣t，‎ 过点P作PG⊥CB于点G，‎ 则PG∥AB，‎ ‎∴△PGC∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴PG=•AB=（5﹣t），CG=•BC=（5﹣t），‎ ‎∴BG=4﹣=‎ 由勾股定理得BP2=BG2+PG2，即，‎ 解得．‎ ‎　‎ ‎28．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点．现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．‎ ‎（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣． ‎ ‎①求点D的坐标及该抛物线的解析式；‎ ‎②连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，‎ ‎∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，‎ ‎∴∠DBF=∠BAO，‎ 又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，‎ 在△AOB和△BFD中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOB≌△BFD（AAS）‎ ‎∴DF=BO=1，BF=AO=2，‎ ‎∴D的坐标是（3，1），‎ 根据题意，得a=﹣，c=0，且a×32+b×3+c=1，‎ ‎∴b=，‎ ‎∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+x；‎ ‎②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，‎ ‎∴C（，1），‎ ‎∵C、D两点的纵坐标都为1，‎ ‎∴CD∥x轴，‎ ‎∴∠BCD=∠ABO ‎∴∠BAO与∠BCD互余，‎ 要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，‎ 设P的坐标为（x，﹣x2+x），‎ ‎（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，‎ 则tan∠POB=tan∠BAO，即=，‎ ‎∴=，解得x1=0（舍去），x2=，‎ ‎∴﹣x2+x=，‎ ‎∴P点的坐标为（，）；‎ ‎（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3，‎ 则tan∠POB=tan∠BAO，即p，‎ ‎∴，‎ 解得x1=0（舍去），x2=，‎ ‎∴x2+x=﹣，‎ ‎∴P点的坐标为（，﹣）；‎ 综上，在抛物线上存在点P（，）或（，﹣），使得∠POB与∠BCD互余．‎ ‎（2）如图3，图4，‎ ‎∵D（3，1），E（1，1），‎ 抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得，‎ 解得，‎ 所以y=ax2﹣4ax+3a+1．‎ 分两种情况：‎ ‎①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个，‎ ‎（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；‎ ‎（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣；‎ ‎②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，‎ ‎（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；‎ ‎（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．‎ 根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，‎ ‎∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此时直线OQ的斜率为﹣，则直线OQ的解析式为y=﹣x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）‎ ‎＞0，即4a2﹣8a+＞0，解得a＞（a＜舍去）‎ 综上所示，a的取值范围为a＜﹣或a＞．‎ ‎　‎