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- 2021-05-10 发布
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26. (彬州市)如图(1),抛物线与y轴交于点A,E(0,b)为y轴上一动点,过点E的直线与抛物线交于点B、C.
(1)求点A的坐标;
(2)当b=0时(如图(2)),与的面积大小关系如何?当时,上述关系还成立吗,为什么?
第26题
图(1)
图(2)
(3)是否存在这样的b,使得是以BC为斜边的直角三角形,若存在,求出b;若不存在,说明理由.
26. (1)将x=0,代入抛物线解析式,得点A的坐标为(0,-4)…………………..2分
(2)当b=0时,直线为,由解得,
所以B、C的坐标分别为(-2,-2),(2,2)
,
所以(利用同底等高说明面积相等亦可) …………………..4分
当时,仍有成立. 理由如下
由,解得,
所以B、C的坐标分别为(-,-+b),(,+b),
作轴,轴,垂足分别为F、G,则,
而和是同底的两个三角形,
所以. …………………..6分
(3)存在这样的b.
因为
所以
所以,即E为BC的中点
所以当OE=CE时,为直角三角形 …………………..8分
因为
所以 ,而
所以,解得,
所以当b=4或-2时,ΔOBC为直角三角形. ………………….10分
25. (常德)如图9,已知抛物线轴交于点A(-4,0)和B(1,0)两点,与y轴交于C点.
(1) 求此抛物线的解析式;
(2) 设E是线段AB上的动点,作EF∥AC交BC于F,连接CE,当的面积是面积的2倍时,求E点的坐标;
(3) 若P为抛物线上A、C两点间的一个动点,过P作y轴的平行线,交AC于Q,当P点运动到什么位置时,线段PQ的值最大,并求此时P点的坐标.
A
B
O
C
图9
y
x
25.解:(1)由二次函数与轴交于、两点可得:
解得:
故所求二次函数的解析式为. ………………3分
(2)∵S△CEF=2 S△BEF, ∴ ………………4分
∵EF//AC, ∴,
∴△BEF~△BAC, ………………5分
∴得 ………………6分
故E点的坐标为(,0). ………………7分
(3)解法一:由抛物线与轴的交点为,则点的坐标为(0,-2).若设直线的解析式为,则有 解得:
故直线的解析式为. ………………8分
若设点的坐标为,又点是过点所作轴的平行线与直线的交点,则点的坐标为(.则有:
=
=
即当时,线段取大值,此时点的坐标为(-2,-3)………10分
解法二:延长交轴于点,则.要使线段最长,则只须△的面积取大值时即可. ………………8分
设点坐标为(,则有:
=
=
=
=
= =-
即时,△的面积取大值,此时线段最长,则点坐标
为(-2,-3)
25.(长沙)已知:二次函数的图象经过点(1,0),一次函数图象经过原点和点(1,-b),其中且、为实数.
(1)求一次函数的表达式(用含b的式子表示);
(2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点;
(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2,求| x1-x2 |的范围.
25.解:(1)∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=kx
∵一次函数过(1,-b) ∴y=-bx ……………………………3分
(2)∵y=ax2+bx-2过(1,0)即a+b=2 …………………………4分
由得 ……………………………………5分
① ∵△=
∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解
∴两函数有两个不同的交点. ………………………………………6分
(3)∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解
∴
∴=
或由求根公式得出 ………………………………………………………8分
∵a>b>0,a+b=2 ∴2>a>1
令函数 ∵在1