中考数学 圆课标解读典例诠释复习1 37页

第十二单元 圆 第一节 圆的有关概念与性质 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 圆的有关 概念 理解圆、弧、弦、圆心 角的概念；了解等圆、 等弧的概念 能利用圆的有关概念解 决有关简单问题 ★ 圆的有关 性质 了解弧、弦、圆心角的 关系；理解圆周角与圆 心角及其所对弧的关系 能利用垂径定理解决有 关简单问题；能利用圆 周角定理及其推论解决 有关简单问题 运用圆的性 质的有关内 容解决有关 问题 ★★★★ 1.圆的有关概念 (1)定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.即圆是到定点的距离等 于定长的点的集合. 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦. 直径：经过 的弦叫做直径. 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；优弧： 的弧叫做优弧；劣弧： 的弧叫 做劣弧；等弧：能够 的弧叫做等弧. 圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角. 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 扇形：一条弧和经过这条弧的端点的 所组成的图形叫做扇形. (2)圆的对称性： 圆是轴对称图形，它有 条对称轴， 的每一条直线都是它的对称轴；圆又 是 对称图形，对称中心是 ；圆还具有 不变性. 2.垂径定理及其推论：(1)垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的两条弧； (2)垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径 ，并且平分弦所对的两条弧. 3.弧、弦、圆心角的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的 相等，所对 的 也相等； (2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们 对应的其余各组量都分别相等. 4.圆周角定理 (1)定理：在 中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角 的 . (2)推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 . ②半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 . 典例诠释 考点一 同弧上的圆心角和圆周角的关系 例 1 如图 1-12-1，在⊙O 中，∠ACB＝34°，则∠AOB 的度数是( ) 图 1-12-1 A.17° B.34° C.56° D.68° 【答案】 D 【名师点评】 理解同弧上圆心角和圆周角的关系，并能准确识别. 考点二 垂径定理的应用 例 2 如图 1-12-2，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB=，则⊙O 的半径为( ) 图 1-12-2 A. B.2 C. D. 【答案】 A 【名师点评】 此类问题常利用垂径定理把弦长、半径、圆心距转化到同一个直角三角形中， 然后利用勾股定理求解. 基础精练 1.(2016·西城二模)如图 1-12-3，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB 于点 E.若 AB=24，OE=5， 则⊙O 的半径为( ) A.15 B.13 C.12 D.10 图 1-12-3 【答案】 B 2.(2016·海淀一模)如图 1-12-4，AB 为⊙O 的弦，OC⊥AB 于点 C.若 AB=8，OC=3，则⊙O 的 半径长为 . 图 1-12-4 【答案】 5 3.(2016·大兴一模)如图 1-12-5，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E.若 CD＝6，OE=4，则 ⊙O 的直径为( ) 图 1-12-5 A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】 D 4.(2016·门头沟一模)如图 1-12-6，⊙O 的半径长为 2，点 A 为⊙O 上一点，半径 OD⊥弦 BC 于点 D，如果∠BAC=60°，那么 OD 的长是( ) 图 1-12-6 A.2 B. C.1 D. 【答案】 C 5.(2016·西城一模)在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计 算一些圆的直径.如图 1-12-7，直角角尺中，∠AOB=90°，将点 O 放在圆周上，分别确定 OA， OB 与圆的交点 C，D，读得数据 OC=8，OD=9，则此圆的直径约为( ) A.17 B.14 C.12 D.10 图 1-12-7 【答案】 C 6.(2016·朝阳二模)如图 1-12-8，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，若 OB 的 长为 10，sin∠BOD=，则 AB 的长为 . 图 1-12-8 【答案】 16 7.(2016·海淀二模)如图 1-12-9，A，B，C，D 为⊙O 上的点，OC⊥AB 于点 E，若∠CDB=30°， OA=2，则 AB 的长为( ) 图 1-12-9 A. B.2 C.2 D.4 【答案】 B 8.(2016·东城期末)如图 1-12-10，⊙O 的半径为 3，点 P 是弦 AB 延长线上的一点，连接 OP， 若 OP=4，∠P=30°，则弦 AB 的长为 . 图 1-12-10 A.2 B.2 C. D.2 【答案】 A 9.(2016·东城期末)如图 1-12-11，点 A,B,C 在⊙O 上，CO 的延长线交 AB 于点 D，∠A=50°， ∠B=30°，则∠ADC 的度数为( ) 图 1-12-11 A.70° B.90° C.110° D.120° 【答案】 C 10.(2016·丰台期末)小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的 弧形凹面一定是半圆的是( ) A B C D 【答案】 A 11.(2016·门头沟期末)“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今 有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用数学语言可以表述为：“如图 1-12-12，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 E，如果 CE=1， AB=10，那么直径 CD 的长为 .” 图 1-12-12 【答案】 26 12.(2016·平谷期末)如图 1-12-13，把一个宽度为 2 cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻 度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单 位：cm)，那么光盘的直径是( ) 图 1-12-13 A.5 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 【答案】 C 13.(2016·南京)如图 1-12-14,扇形 OAB 的圆心角为 122°,C 是上一点，则 ∠ ACB= °. 图 1-12-14 图 1-12-15 【解】 如图 1-12-15,设扇形 OAB 所在的圆为⊙O，在优弧 AB 上取一点 D，连接 AD,BD,则 四边形 ACBD 为圆内接四边形.∵ ∠AOB=122°，∴ ∠ADB=∠AOB=61°.在圆内接四边形 ACBD 中,∵ ∠ADB+∠ACB=180°，∴ ∠ACB=180°－∠ADB=180°－61°=119°. 14.(2016·通州期末)小明四等分弧 AB，他的作法如下： (1)连接 AB(如图 1-12-16)； (2)作 AB 的垂直平分线 CD 交弧 AB 于点 M，交 AB 于点 T； (3)分别作 AT，TB 的垂直平分线 EF，GH，交弧 AB 于点 N，P，则 N，M，P 三点把弧 AB 四等 分.你认为小明的作法是否正确： ，理由是 . 图 1-12-16 【答案】 不正确，弦 AN 与 MN 不等，≠. 真题演练 1.(2014·北京)如图 1-12-17，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足是点 E，∠A=22.5°，OC=4， CD 的长为( ) 图 1-12-17 A.2 B.4 C.4 D.8 【答案】 C 2.(2010·北京)如图1-12-18，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB,垂足为点E，连接 OC，若 OC=5,CD=8, 则 AE= . 图 1-12-18 【答案】 2 3.(2009·北京)如图 1-12-19，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，点 E 为上一点，若∠CEA=28°， 则∠ABD= . 图 1-12-19 【答案】 28° 第二节 与圆有关的位置关系 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 点和圆的 位置关系 了解点和圆的位置关系 尺规作图(利用基本作 图完成)：过不在同一直 线上的三点作圆；能利 用点与圆的位置关系解 决有关简单问题 ★ 直线和圆 的位置关 系 了解直线和圆的位置关 系；会判断直线和圆的 位置关系；理解切线与 过切点的半径的关系； 会用三角尺过圆上一点 画圆的切线 掌握切线的概念；能利 用切线的判定与性质解 决有关简单问题；能利 用直线和圆的位置关系 解决有关简单问题；能 利用切线长定理解决有 关简单问题 运用切 线的有 关内容 解决有 关问题 ★★★★★ 知识要点 1.点和圆的位置关系 若圆的半径是 r，点到圆心的距离是 d，那么点在圆外⇔ ；点在圆上 ⇔ ；点在圆内⇔ . 2.直线和圆的位置关系 如果圆的半径是 r，圆心到直线 l 的距离是 d，那么直线 l 和⊙O 相交⇔ ；直 线 l 和⊙O 相切⇔ ；直线 l 和⊙O 相离⇔ . 3.圆的切线的性质与判定 (1)切线的定义：直线和圆只有 公共点时，这条直线叫做圆的切线. (2)切线的性质：圆的切线 于过切点的半径. (3)判定：①和圆有 公共点的直线是圆的切线； ②圆心到直线的距离等于圆的 ，那么这条直线是圆的切线(作垂直证半径)； ③经过半径外端并且 于这条半径的直线是圆的切线(作半径证垂直). (4)切线长:①切线的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点 到圆的切线长；②切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ，这点 和圆心的连线 两条切线的夹角. 4.确定圆的条件： 的三个点确定一个圆. 5.尺规作图(利用基本作图完成)：如图 1-12-20，过不在同一直线上的三点作圆. 已知：不在同一条直线上的三个点 A，B，C. 求作：圆 O，使它经过点 A，B，C. 图 1-12-20 典例诠释 考点一 确定圆的条件 例 1 如图 1-12-21，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所 在圆的圆心是( ) 图 1-12-21 A.点 P B.点 Q C.点 R D.点 M 【答案】 B 【名师点评】 此题考查经过不共线的三个点作一个圆的方法，即作任意两条线段的垂直平 分线，交点即为此圆的圆心. 考点二 点、直线和圆的位置关系 例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，以点(－3，4)为圆心，4 为半径的圆( ) A.与 x 轴相交，与 y 轴相切 B.与 x 轴相离，与 y 轴相交 C.与 x 轴相切，与 y 轴相交 D.与 x 轴相切，与 y 轴相离 【答案】 C 【名师点评】 此题要能画出图形，结合图形来判断直线和圆的位置关系，画图是解题关键. 考点三 圆的切线的性质与判定 例 3 (2016·海淀一模)如图 1-12-22，AB，AD 是⊙O 的弦，AO 平分∠BAD.过点 B 作⊙O 的 切线交 AO 的延长线于点 C，连接 CD，BO.延长 BO 交⊙O 于点 E，交 AD 于点 F，连接 AE，DE. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若 AE=DE=3，求 AF 的长. 图 1-12-22 (1)【证明】 如图 1-12-23，连接 OD. 图 1-12-23 ∵ BC 为⊙O 的切线， ∴ ∠CBO=90°. ∵ AO 平分∠BAD， ∴ ∠1=∠2. ∵ OA=OB=OD，∴ ∠1=∠4=∠2=∠5， ∴ ∠BOC=∠DOC,∴ △BOC≌△DOC， ∴ ∠CBO=∠CDO=90°， ∴ CD 为⊙O 的切线. (2)【解】 ∵ AE=DE，∴ =,∴ ∠3=∠4. ∵ ∠1=∠2=∠4，∴ ∠1=∠2=∠3. ∵ BE 为⊙O 的直径， ∴ ∠BAE=90°,∴ ∠1=∠2=∠3=∠4=30°， ∴ ∠AFE=90°. 在 Rt△AFE 中，∵ AE=3，∠3=30°， ∴ AF=. 【名师点评】 (1)要证明 CD 是⊙O 的切线，连接半径 OD，证明∠ODC=90°，结合角平分线 和等腰三角形的知识，证明△BOC≌△DOC 即可. (2)利用“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”可以得到∠DAE=∠ABE=30°.又由 BE 为⊙O 直径，可知∠BAE＝90°，即而∠BAF=60°，故∠AFE=90°，在△AFE 中，AF 可解. 考点四 切线长定理的应用 例 4 如图 1-12-24,PA、PB 是⊙O 的切线，切点是 A、B，已知∠P＝60°，OA＝3，那么∠ AOB 所对劣弧的长度为( ) 图 1-12-24 A.6π B.5π C.3π D.2π 【答案】 D 【名师点评】 此题考查切线的性质和四边形内角和定理，先求出∠AOB 的度数，再利用弧 长公式计算弧 AB 的长. 基础精练 1.(2016·昌平期末)已知⊙O 的半径长为 5，若点 P 在⊙O 内，那么下列结论正确的是( ) A.OP＞5 B.OP=5 C.0＜OP＜5 D.0≤OP＜5 【答案】 D 2.(2016·通州一模)如图 1-12-25，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点， 已知点 A 的坐标是(－2，3)，点 C 的坐标是(1，2)，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是( ) 图 1-12-25 A.(0，0) B.(－1，1) C.(－1，0) D.(－1，－1) 【答案】 B 3.(2016·西城期末)如图 1-12-26，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中 OA 边与⊙C 相切于 点 P.若∠AOB=90°，OP=6，则 OC 的长为( ) 尺规作图：如图 1-12-28，过圆外一点作圆的切线. 已知：⊙O 和点 P. 求作：过点 P 的⊙O 的切线. 图 1-12-28 如图 1-12-29，(1)连接 OP，作线段 OP 的中点 A； (2)以 A 为圆心，OA 长为半径作圆，交⊙O 于点 B，C； (3)作直线 PB 和 PC， 所以 PB 和 PC 就是所求的切线. 图 1-12-29 图 1-12-26 A.12 B. 12 C.6 D.6 【答案】 C 4.(2016·东城期末)如图 1-12-27，AB 是⊙O 的一条直径，延长 AB 至 C 点，使 AC=3BC，CD 与⊙O 相切于 D 点，若 CD=,则⊙O 半径的长为 . 图 1-12-27 【答案】 1 5.(2016·东城期末)阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 小涵的主要作法如下： 老师说：“小涵的作法正确.” 请回答：小涵的作图依据是 . 【答案】 直径所对的圆周角为直角；经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线 6.(2016·朝阳一模)如图 1-12-30，点 D 在⊙O 上，过点 D 的切线交直径 AB 的延长线于点 P， DC⊥AB 于点 C. (1)求证：DB 平分∠PDC； (2)若 DC=6，tan∠P=，求 BC 的长. 图 1-12-30 (1)【证明】 如图 1-12-31，连接 OD. 图 1-12-31 ∵ DP 是⊙O 的切线， ∴ OD⊥DP，∴ ∠ODP=90°， ∴ ∠ODB+∠BDP=90°. 又∵ DC⊥OB， ∴ ∠DCB=90°， ∴ ∠BDC+∠OBD=90°. ∵ OD=OB，∴ ∠ODB=∠OBD, ∴ ∠OBD+∠BDP=90°, ∴ ∠BDP=∠BDC,∴ DB 平分∠PDC. (2)【解】 如图 1-12-32，过点 B 作 BE⊥DP 于点 E. 图 1-12-32 ∵ ∠BDP=∠BDC，BC⊥DC， ∴ BC=BE. ∵ DC=6，tan∠P=， ∴ DP=10，PC=8. 设 BC=x，则 BE=x，BP=8－x. ∵ △PEB∽△PCD，∴ =, ∴ x=3,∴ BC=3. 7.(2016·东城一模)如图 1-12-33，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，与 BA 的延长线交于 点 D，DE⊥PO 交 PO 延长线于点 E，连接 PB，∠EDB=∠EPB. (1)求证：PB 是⊙O 的切线. (2)若 PB=3，DB=4，求 DE 的长. 图 1-12-33 (1)【证明】 ∵ ∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB， ∴ ∠PBO=∠E=90°， ∴ PB 是⊙O 的切线. (2)【解】 ∵ PB=3，DB=4， ∴ PD=5. 设⊙O 的半径的长是 r， 如图 1-12-34，连接 OC. 图 1-12-34 ∵ PD 切⊙O 于点 C， ∴ OC⊥PD. ∴ . ∴ .∴ r=. 可求出 PO=. 易证△DEO∽△PBO,∴ =. 解得 DE=. 8.(2016·石景山一模)如图 1-12-35，在△ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径作⊙O 交 BC 于点 D， 过点 D 作⊙O 的切线，交 AB 于点 E，交 CA 的延长线于点 F. (1)求证：EF⊥AB. (2)若∠C=30°，EF=，求 EB 的长. 图 1-12-35 (1)【证明】 如图 1-12-36,连接 OD，AD， 图 1-12-36 ∵ AC 为⊙O 的直径， ∴ ∠ADC=90°. 又∵ AB=AC， ∴ CD=DB.又 CO=AO，∴ OD∥AB. ∵ FD 是⊙O 的切线， ∴ OD⊥DF,∴ EF⊥AB. (2)【解】 ∵ ∠C=30°， ∴ ∠AOD=60°. 在 Rt△ODF 中，∠ODF=90°，∴ ∠F=30°. ∴ OA=OD=OF. 在 Rt△AEF 中，∠AEF=90°，∠F=30°， ∵ EF=，∴ AE=. ∵ OD∥AB，OA=OC=AF， ∴ OD=2AE=2，AB=2OD=4. ∴ EB=AB－AE=3. 9.(2016·丰台一模)如图 1-12-37，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC，BC 于点 D，E，过点 B 作⊙O 的切线，交 AC 的延长线于点 F. 图 1-12-37 (1)求证：∠CBF=∠CAB； (2)连接 BD，AE 交于点 H，若 AB=5，tan∠CBF=，求 BH 的长. (1)【证明】 连接 AE，如图 1-12-38. 图 1-12-38 ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠AEB=90°. ∵ AB=AC， ∴ ∠EAB=∠CAB. ∵ BF 是⊙O 的切线， ∴ ∠ABE+∠CBF=90°. ∵ ∠ABE+∠EAB=90°. ∴ ∠CBF=∠EAB,∴ ∠CBF=∠CAB. (2)【解】 如图 1-12-39. 图 1-12-39 ∵ tan∠EAB=tan∠CBF=， 又∵ AB=5， ∴ 在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得 BE=. ∵ =， ∴ ∠EBD=∠EAC=∠EAB. ∴ tan∠EBD=tan∠EAB=,∴ =, ∴ EH=.∴ BH==. 10.(2016·西城一模)如图 1-12-40，在△ABC 中，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点 D.点 E 在上，连接 DE，AE，连接 CE 并延长交 AB 于点 F，∠AED=∠ACF. (1)求证：CF⊥AB； (2)若 CD=4，CB=4，cos∠ACF=，求 EF 的长. 图 1-12-40 (1)【证明】 连接 BD，如图 1-12-41. 图 1-12-41 ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ADB=90°. ∴ ∠DAB+∠1=90°. ∵ ∠1=∠2，∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3.∴ ∠DAB+∠3=90°. ∴ ∠CFA=180°－(∠DAB+∠3)=90°. ∴ CF⊥AB. (2)【解】 连接 OE，如图 1-12-42. 图 1-12-42 ∵ ∠ADB=90°，∴ ∠CDB=180°－∠ADB=90°. ∵ 在 Rt△CDB 中，CD=4，CB=4， ∴ DB==8. ∵ ∠1＝∠3， ∴ cos∠1=cos∠3=. ∵ 在 Rt△ABD 中，cos∠1==，∴ AB=10. ∴ OA=OE=5，AD==6. ∵ CD=4，∴ AC=AD+CD=10. ∴ 在 Rt△ACF 中，CF=AC·cos∠3=8. ∴ AF==6.∴ OF=AF－OA=1. ∴ 在 Rt△OEF 中，EF==2. 11.(2016·西城二模)如图 1-12-43，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 E 在 CB 的延长线上，连接 AC，AE，∠ACB=∠BAE=45°. 图 1-12-43 (1)求证：AE 是⊙O 的切线； (2)若 AB=AD，AC=2，tan∠ADC=3，求 CD 的长. (1)【证明】 连接 OA，OB，如图 1-12-44. 图 1-12-44 ∵ ∠ACB=45°， ∴ ∠AOB=2∠ACB=90°. ∵ OA=OB， ∴ ∠OAB=∠OBA=45°. ∵ ∠BAE=45°， ∴ ∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°. ∴ OA⊥AE. ∵ 点 A 在⊙O 上，∴ AE 是⊙O 的切线. (2)【解】 过点 A 作 AF⊥CD 于点 F，如图 1-12-45. 图 1-12-45 ∵ AB=AD，∴ =. ∴ ∠ACB=∠ACD=45°. ∵ AF⊥CD 于点 F，∴ ∠AFC=∠AFD=90°. ∴ ∠ACF=∠CAF=45°,∴ AF=CF. ∵ AC=2， ∴ 在 Rt△AFC 中，AF=CF=AC·sin∠ACF=2. ∵ 在 Rt△AFD 中，tan D==3， ∴ DF=. ∴ CD=CF+DF=. 12.(2016·朝阳二模)如图 1-12-46，O 是∠MAN 的边 AN 上一点，以 OA 为半径作⊙O，交 ∠MAN 的平分线于点 D，DE⊥AM 于点 E. 图 1-12-46 (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)连接 OE，若∠EDA=30°，AE=1，求 OE 的长. (1)【证明】 如图 1-12-47,连接 OD. 图 1-12-47 ∵ AD 平分∠MAN， ∴ ∠EAD=∠OAD. ∵ OA=OD， ∴ ∠ODA=∠OAD. ∴ ∠EAD=∠ODA. ∵ DE⊥AM 于 E，∴ ∠AED=90°. ∴ ∠EAD+∠EDA=90°. ∴ ∠ODA+∠EDA=90°. ∴ OD⊥ED.∴ DE 是⊙O 的切线. (2)【解】 如图 1-12-48, 图 1-12-48 ∵ ∠EDA=30°， ∴ ∠ODA=60°. ∵ OA=OD， ∴ △ADO 为等边三角形. 在 Rt△AED 中，AE=1，可得 AD=2，ED=. ∴ OD=AD=2. 在 Rt△ODE 中，由勾股定理可得 OE=. 13. (2016·东城二模)如图 1-12-49，在△ABC 中，BA=BC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC， BC 于点 D，E，BC 的延长线与⊙O 的切线 AF 交于点 F. (1)求证：∠ABC=2∠FAC； (2)若 AC=2，sin∠CAF=,求 BE 的长. 图 1-12-49 (1)【证明】 如图 1-12-50，连接 BD. 图 1-12-50 ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB=90°. ∴ ∠DAB+∠DBA=90°. ∵ BA=BC，∴ ∠ABC=2∠DBA，AD=AC. ∵ AF 为⊙O 的切线， ∴ ∠FAB=90°. ∴ ∠FAC+∠CAB=90°. ∴ ∠FAC=∠DBA.∴ ∠ABC=2∠FAC. (2)【解】 如图 1-12-51,连接 AE, ∴ ∠AEB=∠AEC=90°. 图 1-12-51 ∵ sin∠CAF=，∠ABD=∠CAF=∠CBD=∠CAE， ∴ sin∠ABD=sin∠CAF=. ∵ ∠ADB=90°，AD=AC=, ∴ AB==10,∴ BC=BA=10. ∵ ∠AEC=90°，AC=2， ∴ CE=AC·sin∠CAE=2. ∴ BE=BC－CE=10－2=8. 14.(2016·海淀二模)如图 1-12-52，在△ABC 中，∠C=90°，点 E 在 AB 上，以 AE 为直径的 ⊙O 切 BC 于点 D，连接 AD. 图 1-12-52 (1)求证：AD 平分∠BAC； (2)若⊙O 的半径为 5，sin∠DAC=，求 BD 的长. (1)【证明】 如图 1-12-53，连接 OD. ∵ ⊙O 切 BC 于点 D，∠C=90°， ∴ ∠ODB=∠C=90°. ∴ OD∥AC. ∴ ∠ODA=∠DAC. ∵ OA=OD， ∴ ∠ODA=∠OAD. ∴ ∠OAD=∠DAC.∴ AD 平分∠BAC. 图 1-12-53 (2)【解】 如图 1-12-53,连接 DE. ∵ AE 为⊙O 的直径，∴ ∠ADE=90°. ∵ ∠OAD=∠DAC，sin∠DAC=， ∴ sin∠EAD=sin∠OAD=. ∵ OA=5，∴ AE=10. ∴ AD=4.∴ CD=4，AC=8. ∵ OD∥AC，∴ △BOD∽△BAC. ∴ =.即=.∴ BD=. 15.(2016·石景山二模)如图 1-12-54，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，D 是 AB 上一点，以 BD 为直径的⊙O 切 AC 于点 E，交 BC 于点 F，连接 DF. (1)求证：DF=2CE； (2)若 BC=3，sin B=，求线段 BF 的长. 图 1-12-54 (1)【证明】 如图 1-12-55，连接 OE 交 DF 于点 G， 图 1-12-55 ∵ AC 切⊙O 于点 E， ∴ ∠CEO=90°. 又∵ BD 为⊙O 的直径， ∴ ∠DFC=∠DFB=90°. ∵ ∠C=90°，∴ 四边形 CEGF 为矩形. ∴ CE=GF，∠EGF=90°. ∴ DG=GF.∴ DF=2CE. (2)【解】 在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ∵ BC=3，sin B=，∴ AB=5. 设 OE=x，∵ OE∥BC，∴ △AOE∽△ABC. ∴ =，∴ =，∴ x=.∴ BD=. 在 Rt△BDF 中，∠DFB=90°，∴ BF=. 真题演练 1.(2016·北京)如图 1-12-56，AB 为⊙O 的直径，F 为弦 AC 的中点，连接 OF 并延长交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 E. (1)求证：AC∥DE； (2)连接 CD，若 OA=AE=a，写出求四边形 ACDE 面积的思路. 图 1-12-56 (1)【证明】 如图 1-12-57,连接 BC. 图 1-12-57 ∵ AB 为⊙O 的直径,∴ ∠ACB=90°. ∵ DE 为⊙O 的切线,∴ ∠EDO=90°. ∵ F 是 AC 的中点且 OA=OB, ∴ 在△ABC 中,FO 是△ABC 的一条中位线, ∴ FO∥BC∴ ∠AFO=∠ACB=90°. ∴ ∠AFO=∠EDO,∴ AC∥DE. (2)【解法 1】 思路:①如图 1-12-58,连接 CD,AD,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H. 图 1-12-58 ②由∠EDO=90°,OA=AE,得 AD=OA=DO,得△DAO 为等边三角形. ③由 OA=AE,AC∥DE 得四边形 ACDE 为平行四边形. ④由△DAO 为等边三角形,得 DH=a. ⑤=AE·DH=. 求解过程:连接 CD,AD,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H. 在 Rt△EDO 中,∵ OA=AE, ∴ AD=OA=AE=a,∴ AD=OA=DO=a. ∴ △DAO 为等边三角形,∴ DH=OA=a. ∵ AC∥DE,OA=AE, ∴ AF 为△EOD 的一条中位线,∴ ED=2AF. ∵ F 为 AC 的中点,∴ AC=2AF.∴ AC=ED. 又∵ AC∥DE，∴ 四边形 ACDE 为平行四边形. =AE·DH=a×a=. 【解法 2】 思路:①AF 为△ODE 的中位线. ②如图 1-12-59,连接 CD.△CDF≌△AOF(SAS). 图 1-12-59 ③在 Rt△ODE 中,由勾股定理得 DE=a. ④=. 求解过程:在△ODE 中,AF∥DE,OA=AE, ∴ AF 是△ODE 的中位线,∴ OF=DF. 又∵ F 为弦 AC 的中点,∴ AF=CF. 又∵ ∠CFD 和∠AFO 互为对顶角, ∴ ∠CFD=∠AFO. 在△CDF 和△AOF 中, ∴ △CDF≌△AOF(SAS). ∴ 在⊙O 中,OD=OA=AE=a, ∴ OE=2OD=2a. 在 Rt△ODE 中,由勾股定理得 DE=a. ∴ =OD·DE=. 【解法 3】 思路:①如图 1-12-60,连接 AD,DC. 图 1-12-60 ②由直角三角形斜边中线的性质可得 AD=a,进而可得△ADO 是等边三角形. ③由∠AOD=60°可得 ED=a,DF=a,AF=FC=a. ④=. 求解过程:由(1)可得∠EDO=90°, 又∵ OA=AE=a,∴ AD=OA=a. 又∵ OD=OA=a,∴ △ADO 为等边三角形. ∴ ∠AOD=60°. 又∵ AC∥DE,∴ ∠DEO=∠CAO=30°. ∴ DE=a,OF=DF=a.∴ AF=FC=a. ∴ =DF·ED+DF·AF+DF·FC =(ED+AF+FC)·DF= ·a=. 2.(2015·北京)如图 1-12-61，AB 是⊙O 的直径，过点 B 作⊙O 的切线 BM，弦 CD∥BM，交 AB 于点 F，且=，连接 AC，AD，延长 AD 交 BM 于点 E. (1)求证：△ACD 是等边三角形. (2)连接 OE，若 DE=2，求 OE 的长. 图 1-12-61 (1)【证明】 ∵ AB 是⊙O 的直径，BM 是⊙O 的切线，∴ AB⊥BM. ∵ CD∥BM，∴ CD⊥AB，∴ =. ∵ =,∴ ==, ∴ AD=AC=CD，∴ △ACD 是等边三角形. (2)【解】 如图 1-12-62，连接 BD. 图 1-12-62 ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB=90°,∴ ∠DAB+∠ABD=90°. 由(1)得△ACD 是等边三角形， ∴ ∠DAF=30°,∴ ∠DBE＝∠DAB=30°. 在 Rt△BDE 中，∵ DE=2,∴ BE=2DE=4. ∴ BD===2. 在 Rt△ADB 中，∵ ∠DAB=30°, ∴ AB=2BD=4,∴ OB=AB=2. 在 Rt△BOE 中，OE===2. 第三节 圆的有关计算 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 多边形和 了解圆内接多边形和多 能利用圆内接四边形的 ★ 圆 边形外接圆的概念；了 解三角形外心的概念； 知道三角形的内切圆； 了解三角形的内心；了 解正多边形的概念及正 多边形与圆的关系 对角互补解决有关简单 问题；能利用正多边形 解决有关简单问题；尺 规作图(利用基本作图 完成)：作三角形的外接 圆、内切圆，作圆内接 正方形和正六边形 弧长、扇 形 面积 和圆锥 会计算圆的弧长和扇形 的面积；会计算圆锥的 侧面积和全面积 能利用圆的弧长和扇形 的面积解决一些简单的 实际问题 ★ 知识要点 1.弧长公式：扇形面积公式：l= (其中半径为 r，弧所对的圆心角为 n°). 2.扇形面积公式：= = (n 是圆心角的度数，r 是扇形的半径，l 是扇形弧长). 3.圆锥的侧面积：= = (其中 l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的底面半径). 4.三角形的外接圆： ①经过三角形三个顶点的圆称为三角形的外接圆；这个三角形叫做圆的内接三角形； ②三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形 的交点，到 三角形 的距离相等. 5.三角形的内切圆 ①定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形； ②三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条 的交点， 到 的距离相等. 6.圆内接四边形 ①圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边 形，这个圆叫做这个多边形的 . ②圆内接四边形的对角 . 7.尺规作图：如图 1-12-63，作三角形的外接圆、内切圆，作圆内接正方形和正六边形. ①作三角形的外接圆 已知：△ABC，求作：△ABC 的外接圆 O. 图 1-12-63 图 1-12-64 ②如图 1-12-64，作三角形的内切圆. 已知：△ABC，求作：△ABC 的内切圆 O. ③如图 1-12-65，作圆内接正方形. 已知：圆 O，求作：圆 O 的内接正方形 ABCD. 图 1-12-65 图 1-12-66 ④如图 1-12-66，作圆内接正六边形. 已知：圆 O，求作：圆 O 的内接正六边形 ABCDEF. 典例诠释 考点一 计算弧长、扇形面积 例 1 如图 1-12-67，AB 切⊙O 于点 B，OA=2，AB=3，弦 BC∥OA，则劣弧的长为( ) 图 1-12-67 A.π B.π C.π D.π 【答案】 A 【名师点评】 根据切线的性质，连接 OB，OC，在△OBC 中，可得∠BOA=60°，进而得到∠ BOC=60°，再利用弧长公式计算劣弧的长. 考点二 圆锥的有关计算 例 2 如图 1-12-68，如果从半径为 9 cm 的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形 围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( ) 图 1-12-68 A.6 cm B.3 cm C.8 cm D.5 cm 【答案】 B 【名师点评】 此题先要根据弧长公式计算出圆锥底面圆半径的长，再利用勾股定理计算圆 锥的高. 考点三 圆内接四边形及性质 例 3 (2016·石景山一模)如图 1-12-69，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B=135°， 则∠AOC 的度数为( ) 图 1-12-69 A.45° B.90° C.100° D.135° 【答案】 B 【名师点评】 根据圆内接四边形对角互补的性质求出∠D 的大小，再利用同弧的圆周角和 圆心角的关系求出∠AOC 的大小. 基础精练 1.(2016·昌平期末)如图 1-12-70，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，∠CDB=30°，CD=2, 则阴影部分的面积为 . 图 1-12-70 【答案】 π 2.(2016·朝阳期末)如图 1-12-71，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径为 1，则的长 为 . 图 1-12-71 【答案】 3.(2016·顺义二模)如图 1-12-72，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A=110°，则∠BOD 的度数是 ( ) 图 1-12-72 A.70° B.110° C.120° D.140° 【答案】 D 4.(2016·昌平二模)如图 1-12-73，已知四个扇形的半径均为 1，那么图中阴影部分面积的 和是 . 图 1-12-73 【答案】 π 5.(西城二模)一个扇形的半径长为 5，且圆心角为 72°，则此扇形的弧长为 . 【答案】 2π 6.(2016·朝阳一模)如图 1-12-74，△ABC 内接于⊙O，若⊙O 的半径为 6，∠A=60°，则的 长为( ) 图 1-12-74 A.2π B.4π C.6π D.12π 【答案】 B 7.(怀柔二模)如图 1-12-75，某校教学楼有一花坛，花坛由正六边形 ABCDEF 和 6 个半径为 1 米，圆心分别在正六边形 ABCDEF 的顶点上的⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E，⊙F 组合而成.现 要在阴影部分种植月季，则种植月季面积之和为 . 图 1-12-75 【答案】 2π 8.(2016·丰台期末)圆心角是 60°的扇形的半径为 6，则这个扇形的面积是 . 【答案】 6π 9.(门头沟二模)如图 1-12-76，四边形 ABCD 内接于⊙O，E 是 DC 延长线上一点，如果⊙O 的 半径为 6，∠BCE=60°，那么的长为( ) A.6π B.12π C.2π D.4π 图 1-12-76 【答案】 D 10.(2016·朝阳一模)如图 1-12-77，四边形 ABCD 内接于⊙O，E 为 DC 延长线上一点， ∠ A=50°，则∠BCE 的度数为( ) 图 1-12-77 A.40° B.50° C.60° D.130° 【答案】 B 11.(2016·石景山期末)如图 1-12-78，折扇的骨柄 OA 的长为 5a，扇面的宽 CA 的长为 3a， 折扇张开的角度为 n°，则扇面的面积为 (用代数式表示). 图 1-12-78 【答案】 12.(2016·顺义一模)如图 1-12-79，⊙O 的半径为 5，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，则的长 度为 . 图 1-12-79 【答案】 2π 13.(西城一模)已知⊙O，如图 1-12-80 所示. (1)求作⊙O 的内接正方形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)若⊙O 的半径为 4，则它的内接正方形的边长为 . 图 1-12-80 图 1-12-81 【答案】 (1)如图 1-12-81. (2)4. 14.(西城一模)阅读下面材料： 如图 1-12-82，C 是以点 O 为圆心，AB 为直径的半圆上一点，且 CO⊥AB，在 OC 两侧分别作 矩形 OGHI 和正方形 ODEF，且点 I，F 在 OC 上，点 H，E 在半圆上，求证：IG=FD. 小云发现连接已知点得到两条线段，便可证明 IG=FD.请回答：小云所作的两条线段分别 是 和 ，证明 IG=FD 的依据是 . 图 1-12-82 【答案】 OH，OE，矩形的对角线相等；同圆的半径相等；等量代换 15.(2014·浙江舟山)一个圆锥的侧面展开图是半径为 6 的半圆，则这个圆锥的底面半径为 ( ) A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 【答案】 D 16.(2014·河北)如图 1-12-83，将长为 8 cm 的铁丝 AB 首尾相接围成半径为 2 cm 的扇形， 则＝ . 图 1-12-83 【答案】 4 17.(2016·昌平期末)【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角， 且 sin α=，求 sin 2α的值. 小娟是这样给小芸讲解的： 如图 1-12-84，在⊙O 中，AB 是直径，点 C 在⊙O 上，所以∠ACB=90°.设∠BAC=α，则 sin α==，易得∠BOC=2α.设 BC=x，则 AB=3x，则 AC=2x.作 CD⊥AB 于点 D，求出 CD = (用 含 x 的式子表示)，可求得 sin 2α== . 图 1-12-84 图 1-12-85 【问题解决】已知，如图 1-12-85，点 M，N，P 为⊙O 上的三点，且∠P=β，sin β=，求 sin 2β的值. 【解】 [问题学习] CD=x sin 2α==. [问题解决] 如图 1-12-86，连接 NO，并延长交⊙O 于点 Q，连接 MQ，MO，过点 M 作 MR⊥QN 于点 R.在⊙O 中，∠NMQ=90°. 图 1-12-86 ∵ ∠Q=∠P=β，∴ ∠MON=2∠Q=2β. 在 Rt△QMN 中， ∵ sin β==，∴ 设 MN=3k，则 NQ=5k，易得 OM=NQ=k. ∴ MQ==4k. ∵ =MN·MQ=NQ·MR，∴ 3k·4k=5k·MR，∴ MR=k. 在 Rt△MRO 中，sin 2β=sin∠MOR===. 真题演练 1.(2016·玉林)如图 1-12-87，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八 边形，设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为，正八边形外侧八个扇形(阴影部 分)面积之和为，则=( ) 图 1-12-87 A. B. C. D.1 【答案】 B 2.(2014·遵义)有一圆锥，它的高为 8 cm,底面半径为 6 cm，则这个圆锥的侧面积 是 .(结果保留π) 【答案】 60π