初三数学中考复习三元一次方程组教学案 7页

三元一次方程组及其解法 ‎1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程 ‎2.三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组 ‎3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值 解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元 4. 三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．‎ 例题解析 一、三元一次方程组之特殊型 例1：解方程组 分析：方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。‎ 解法1：代入法，消x.‎ 把③分别代入①、②得 解得 把y=2代入③，得x=8.‎ ‎∴ 是原方程组的解.‎ 根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：‎ 类型一：有表达式，用代入法型.‎ 针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。 ‎ 解法2：消z.‎ ‎①×5得 5x+5y+5z=60 ④‎ ‎④-② 得 4x+3y=38 ⑤‎ 由③、⑤得 解得 把x=8,y=2代入①得z=2.‎ ‎∴ 是原方程组的解.‎ 根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：‎ 类型二：缺某元，消某元型.‎ 例2：解方程组 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。‎ 解：由①+②+③得4x+4y+4z=48，‎ ‎ 即x+y+z=12 .④‎ ‎ ①-④得 x=3，‎ ‎②-④得 y=4，‎ ‎③-④得 z=5，‎ ‎∴ 是原方程组的解.‎ 典型例题举例：解方程组 ‎ ‎ 解：由①+②+③得2(x+y+z)=60 ， ‎ ‎ 即x+y+z=30 .④ ‎ ‎④-①得 z=10，‎ ‎④-②得 y=11，‎ ‎④-③得 x=9，‎ ‎∴ 是原方程组的解.‎ 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：‎ 类型三：轮换方程组，求和作差型.‎ 例3：解方程组 分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x； 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即 ‎，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解。‎ 解法1：由①得y=2x，z=7x ，并代入②，得x=1.‎ 把x=1，代入y=2x，得y=2；‎ 把x=1，代入z=7x，得 z=7.‎ ‎∴ 是原方程组的解.‎ 分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。‎ 解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得k=1.‎ 把k=1，代入x=k，得x=1；‎ 把k=1，代入y=2k，得y=2；‎ 把k=1，代入z=7k，得 z=7.‎ ‎∴ 是原方程组的解.‎ 典型例题举例：解方程组 分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x = y； 由③得z=.从而利用代入法求解。‎ 解法1：略.‎ 分析2：受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z的形式呢？通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10 ，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，就能解决了。‎ 解法2：由②、③得 x:y:z=10:15:12.‎ 设x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得k=3.‎ 把k=3，代入x=10k，得x=30；‎ 把k=3，代入y=15k，得y=45；‎ 把k=3，代入z=12k，得 z=36.‎ ‎∴ 是原方程组的解.‎ 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：‎ 类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型.‎ 二、三元一次方程组之一般型 例4：解方程组 分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：‎ （一） 消元的选择 ‎1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；‎ ‎2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。‎ （二） 方程式的选择 采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。‎ 解：‎ ‎（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）‎ ‎①+③ 得5x+2y=16， ④ (体现第一次使用在①③后做记号√)‎ ‎②+③ 得3x+4y=18， ⑤ (体现第二次使用在②③后做不同记号△)‎ 由④、⑤得 解得 把x=2 ，y=3代人②，得 z=1.‎ ‎∴ 是原方程组的解.‎ 典型例题举例：解方程组 分析：通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。以方程②‎ 作为桥梁使用，达到消元求解的目的。‎ 解：②×2 得 6x－4y+10z=22， ④‎ ‎ 2x +4y+ 3z=9， ①‎ ‎①+④ 得 8x +13z=31 . ⑤‎ ‎②×3 得 9x－6y+15z=33 ，⑥‎ ‎ 5x－6y+7z =13， ③‎ ‎⑥－③得 4x +8z =20 .‎ ‎ x +2z=5 . ⑦‎ 由⑤、⑦得 解得 把x=-1 ，z=3代人① ，得 .‎ ‎∴ 是原方程组的解.‎ 在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。‎ 三元一次方程组的实际应用 EG01:某车间有60人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲24个，或乙20个，或丙16个，现用零件甲9个，乙15个，丙12个，装配成某机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？共有多少套？‎ 解：设生产甲、乙、丙三种零件各有x人，y人，z人.根据题意得 x+y+z=60 24x/9=20y/15=16z/12 解得x=12,y=24,z=24 24×12/9=32 答：安排生产甲、乙、丙三种零件各有12人，24人，24人，共有32套.‎ EG02: 甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2（二分之一），求这三个数。‎ 解: 设甲是x，乙是y，丙是z 则x+y+z=35 (1) 甲数的2倍比乙数大5‎ ‎ 2x-y=5 (2) 乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2 y/3=z/2 (3) 由(2)和(3)得到 y=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3 代入(1) x+2x-5+4x/3-10/3=35 13x/3=130/3 x=10 y=2x-2=15 z=2y/3=10 所以 甲是10，乙是15，丙是10‎ EX: ‎ ‎1.有甲乙丙三种货物，若购物甲种3件，乙种7件，丙1件需要31.5元，如果购买甲4件，乙10件，丙1件共需要42元，若购甲乙丙各一件，需要10.5元。问甲乙丙每件各多少元？ ‎ ‎2.汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少公里？去时上下坡路各有多少公里？ 3.某校初中三个年级一共有651人，初二的学生数比初三学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%。求三个年级各有多少人？‎ AW: 1式子：3x+7y+z=31.5 4x+10y+z=42 x+y+z=10.5 答案：？？？这题有问题，多解的（只要符合x+3y=10.5)就行，真不知楼上怎么算出来的。。 2：去时上坡x平路y下坡z x+y+z=142 x/28+y/30+z/35=4.5 z/28+y/30+x/35=4.7 答案：x=42 y=30 z=70 3:初一：x 初二：y 初三：z x+y+z=651 y=1.1z x=1.05y 答案：x=231 y=220 z=200‎ 训练集中营1。现有1角，5角，1元硬币各10枚．从中取出15枚，共值7元，1角，5角，1元各取几枚？ 2。甲地到乙地全称是3.3KM，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时行3KM，平路每小时行4KM，下坡每小时行5KM，那么，从甲地到乙地需行51分，从乙地到甲地需行53.4分，求从甲地到乙地时的上坡。平路。下坡的路程各是多少？ 3。水费价格：不超过6立方米部分，每立方米2元。超过6立方米至10立方米部分，每立方米4元。超过10立方米部分，每立方米8元。某居民三月和四月共用水15立方米，交水费44元，（四月用水量多于三月用水量），求三月和四月用水量？如果某居民某月用水量是13.5立方米，则他需要交水费多少元？‎ ‎ 4。某足球联赛一个赛季共进行26场比赛（即每队均赛26场），其中胜一场得三分，平一场得一分，负一场得0分。某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分。这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？ 5。学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2：3，三种球共41个，求三种球各有多少 6。一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管4小时，乙管2小时和丙管2小时，则水池中余水5吨；若打开甲管2小时，乙管3小时，丙管1小时，则池中余水1吨，求打开甲管22小时，乙管5小时，丙管11小时，池中余水多少吨？ 7。小红买了面值为50分和230分的邮票共8枚，共用去9元4角问50分和230分的邮票各买几枚？ 8。运往某地的两批货物，第一批为440吨，用8节火车车厢和10辆汽车正好运完；第二批货物520吨，多用了2节火车车厢而少用了5辆汽车，正好运完。求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？ 9。1、有一批零件共420个，若甲先做2天，乙加入，合作2天可以完成；若乙先做2天，甲加入，合作3天可以完成，求二人每天平均做多少个？ 10。、张红用7元钱买2角和5角一张的邮票共20张，问两种邮票各买多少张？ 11。有甲乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和是47，甲数的5倍比乙数的6倍小1，求这两个数。 12。某车队运一批货物，若每辆装3.5吨，就有2吨运不走，若每辆多装0.5吨，则还可以装其他货物1吨，问有多少辆车？多少吨货物？ 13。已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶． （1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时．求甲、乙两车的速度； （2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少米？‎