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- 2021-05-10 发布
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中考数学专题复习——数形结合思想
一、知识梳理
数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维相结合,通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化,抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,从而起到优化计算的目的。
华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事休。”这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性,是中考数学的一个最重要数学思想。
二、典型例题
a
b
0
(一)在数与式中的应用
例1、实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简_________。
(二)在方程、不等式中的应用
·
P(1,1)
1
1
2
2
3
3
-1
-1
O
例2、已知关于x的不等式组的整数解共有2个,则a的取值范围是____________。
例3、用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所解的二元一次方程组是( )
A. B.
C. D.
(三)在锐角三角函数中的应用
x
y
O
3
-1
例4、画△ABC,使cosA=,AB=2cm,∠A的对边可以在长为1cm、2cm、3cm中任选,这样的三角形可以画_______个。
(四)在函数中的应用
例5、如图为二次函数的图象,在下列说法中:
①;②方程的根为,;
③;④当时,随着的增大而增大.
正确的说法有 .(请写出序号)
(五)在概率统计中的应用
例6、某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况,对读者作了一次问卷调查,要求读者选出自己最喜欢的一个版面,将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图:
⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息;
⑵请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图,并说明这两幅统计图各有什么⑶请你根据上述数据,对该报社提出一条合理的建议。
例7 以x为自变量的二次函数y=-x2+2x+m
,它的图象与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B,点A在点B的左边,点O为坐标原点,
(1)求这个二次函数的解析式及点A,点B的坐标,画出二次函数的图象;
(2)在x轴上是否存在点Q,在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P,使得以A,P,Q三点为顶点的三角形与△AOC相似(不包含全等)?若存在,请求出点P,点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
三、综合训练
A
1
0
-1
2
1、“数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点A所表示的数是”,这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫( )
A.代入法 B.数形结合 C.换元法 D.分类讨论
2、某人从A地向B地打长途电话6分钟,按通话电话收费,3分钟以内收费2.4元,此后每加1分钟加收1元,则表示电话费y(元)与通话时间(分)之间的关系的图象正确的是( )
3、若M,N,P三点都在函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为( )
A、y2>y3>y1 B、y2>y1>y3 C、y3>y1>y2 D、y3>y2>y1
4、关于x的一元二次方程x2―x―n=0没有实数根,则抛物线y=x2―x―n的顶点在( )
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
5、如图,在平面直角坐标系中,∠AOB =150°,OA=OB=2,
则点A、B的坐标分别是___________和___________。
O
x
y
1
P
y=x+b
y=ax+3
6、如图,已知函数和的图象交点为,则不等式的解集为 .
7、如图,为实数、在数轴上的位置,
化简 。
x
y
O
x1
x2
思考题:
5、函数(为常数)的图象如图,如果时,;那么时,函数值( )
A. B. C. D.
2、如图1是一种带有黑白双色、边长是20cm的正方形装饰瓷砖,用这样的四块瓷砖可以拼成如图2的图案.已知制作图1这样的瓷砖,其黑、白两部分所用材料的成本分别为0.02元/(cm2)和0.01元/(cm2),那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是_________元(π取3.14,结果精确到0.01元)
中考链接
1. (湖北中考)将不等式的解集在数轴上表示出来,正确的是(
2.(临沂中考)直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+b>k2x的解为( )
A.x>-1 B.<-1 C.x<-2 D.x无法确定
3.(威海中考)下列四个点中,有三个点在同一条直线上,不在这条直线上的是( )
A.(-3,-1) B.(1,1) C.(3,2) D.(4,3)
4.(赤峰中考)如下图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形如下图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为t,正方形除去圆部分的面积为S(阴影部分),则S与t的大致图象为( )
A B C D
5.(金华中考)如图在24个边长为1的小正三角形组成的网格中,以格点P为直角顶点作格点直角三角形(即顶点均在格点上的三角形),请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 .
6.在直角坐标系中,△ABC的三个顶点的位置如图所示,现将△ABC
平移使点A移至图中的点A/的位置.
(1)在直角坐标系中,画出平移后所得的△A/B/C/(其中B/,C/分别是B,C的对应点).
(2)计算:对应点的横坐标的差:
xA/-xA= ,xB/-xB= ,
xC/-xC= ;
对应点的枞坐标的差:yA/-yA= ,yB/-yB= ,Yc/- yC= .
(3)从(2)的计算中,你发现了什么规律?请你把你发现的规律用文字表述出来.
(4)根据上述规律,若将△ABC平移使得点A移至A""(2,-2),那么相应的点B"",C"
"(其中B"",C""分别是B,C的对应点)的坐标分别是 , .
7. (乐山中考)解不等式组并将解集在数轴上表示出来.
8.某公司推销一种产品,设x(件)是推销产品的数量,y(元)是推销费,如图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案,看图解答下列问题:
(1)求yl与y2的函数解析式;
(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的;
(3)如果你是推销员,应如何选择付费方案.
9. (德州中考)某公司专销产品A,第一批产品A上市40天内全部售完.该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图所示,其中图1中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系;图2中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系.
(1)试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式;
(2)第一批产品A上市后,哪一天这家公司市场日销售利润最大?最大利润是多少万元?
10.(贵阳中考)甲、乙两人骑自行车前往A地,他们距A地的路程s(km)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)甲、乙两人的速度各是多少?
(2)求出甲距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式.
(3)在什么时间段内乙比甲离A地更近?