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- 2021-05-10 发布
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2016 年山东省威海市中考数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分
1.﹣ 的相反数是( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
2.函数 y= 的自变量 x 的取值范围是( )
A.x≥﹣2 B.x≥﹣2 且 x≠0 C.x≠0 D.x>0 且 x≠﹣2
3.如图,AB∥CD,DA⊥AC,垂足为 A,若∠ADC=35°,则∠1 的度数为( )
A.65° B.55° C.45° D.35°
4.下列运算正确的是( )
A.x3+x2=x5 B.a3•a4=a12
C.(﹣x3)2÷x5=1 D.(﹣xy)3•(﹣xy)﹣2=﹣xy
5.已知 x1,x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根,且 x1+x2=﹣2,x1•x2=1,则 ba 的
值是( )
A. B.﹣ C.4 D.﹣1
6.一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成,其左视图和俯视图如图所示,则搭成这个
几何体的小正方体的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.若 x2﹣3y﹣5=0,则 6y﹣2x2﹣6 的值为( )
A.4 B.﹣4 C.16 D.﹣16
8.实数 a,b 在数轴上的位置如图所示,则|a|﹣|b|可化简为( )
A.a﹣b B.b﹣a C.a+b D.﹣a﹣b
9.某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划,对 20 位销售员本月的销售量进行了统计,
绘制成如图所示的统计图,则这 20 位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是
( )
A.19,20,14 B.19,20,20 C.18.4,20,20 D.18.4,25,20
10.如图,在△ABC 中,∠B=∠C=36°,AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AB 于点 H,
AC 的垂直平分线交 BC 于点 E,交 AC 于点 G,连接 AD,AE,则下列结论错误的是( )
A. = B.AD,AE 将∠BAC 三等分
C.△ABE≌△ACD D.S△ADH=S△CEG
11.已知二次函数 y=﹣(x﹣a)2﹣b 的图象如图所示,则反比例函数 y= 与一次函数 y=ax+b
的图象可能是( )
A. B. C. D.
12.如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,点 E 为 BC 的中点,将△ABE 沿 AE 折叠,
使点 B 落在矩形内点 F 处,连接 CF,则 CF 的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分
13.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料,其厚度约为 0.000073 米,将 0.000073 用科学记数法表
示为 .
14.化简: = .
15.分解因式:(2a+b)2﹣(a+2b)2= .
16.如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,其边长为 4,则⊙O 的内接正三角形 EFG 的边长
为 .
17.如图,直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,△BOC 与△B′O′C′是以点 A 为
位似中心的位似图形,且相似比为 1:3,则点 B 的对应点 B′的坐标为 .
18.如图,点 A1 的坐标为(1,0),A2 在 y 轴的正半轴上,且∠A1A2O=30°,过点 A2 作
A2A3⊥A1A2,垂足为 A2,交 x 轴于点 A3;过点 A3 作 A3A4⊥A2A3,垂足为 A3,交 y 轴于
点 A4;过点 A4 作 A4A5⊥A3A4,垂足为 A4,交 x 轴于点 A5;过点 A5 作 A5A6⊥A4A5,垂
足为 A5,交 y 轴于点 A6;…按此规律进行下去,则点 A2016 的纵坐标为 .
三、解答题:本大题共 7 小题,共 66 分
19.解不等式组,并把解集表示在数轴上.
.
20.某校进行期末体育达标测试,甲、乙两班的学生数相同,甲班有 48 人达标,乙班有 45
人达标,甲班的达标率比乙班高 6%,求乙班的达标率.
21.一个盒子里有标号分别为 1,2,3,4,5,6 的六个小球,这些小球除标号数字外都相
同.
(1)从盒中随机摸出一个小球,求摸到标号数字为奇数的小球的概率;
(2)甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏,规则是:甲从盒中随机摸出一个小球,记下标
号数字后放回盒里,充分摇匀后,乙再从盒中随机摸出一个小球,并记下标号数字.若两次
摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数,则判甲赢;若两次摸到小球的标号数字为一奇一
偶,则判乙赢.请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平.
22.如图,在△BCE中,点A 时边 BE 上一点,以 AB 为直径的⊙O 与 CE相切于点 D,AD∥OC,
点 F 为 OC 与⊙O 的交点,连接 AF.
(1)求证:CB 是⊙O 的切线;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.
23.如图,反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交于 A,B 两点,点 A 的坐标
为(2,6),点 B 的坐标为(n,1).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)点 E 为 y 轴上一个动点,若 S△AEB=5,求点 E 的坐标.
24.如图,在△ABC 和△BCD 中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长 CA 至点
E,使 AE=AC;延长 CB 至点 F,使 BF=BC.连接 AD,AF,DF,EF.延长 DB 交 EF 于
点 N.
(1)求证:AD=AF;
(2)求证:BD=EF;
(3)试判断四边形 ABNE 的形状,并说明理由.
25.如图,抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A(﹣2,0),点 B(4,0),点 D(2,4),与
y 轴交于点 C,作直线 BC,连接 AC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E 是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO 的点 E 的坐标;
(3)点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方,点 N 在直线 BC 上,点 P 为第一象限内抛物线上一
点,若以点 C,M,N,P 为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
2016 年山东省威海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分
1.﹣ 的相反数是( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
【考点】相反数.
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号.
【解答】解:﹣ 的相反数是 ,
故选 C
2.函数 y= 的自变量 x 的取值范围是( )
A.x≥﹣2 B.x≥﹣2 且 x≠0 C.x≠0 D.x>0 且 x≠﹣2
【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据被开方数大于等于 0,分母不等于 0 列式计算即可得解.
【解答】解:由题意得,x+2≥0 且 x≠0,
解得 x≥﹣2 且 x≠0,
故选:B.
3.如图,AB∥CD,DA⊥AC,垂足为 A,若∠ADC=35°,则∠1 的度数为( )
A.65° B.55° C.45° D.35°
【考点】平行线的性质.
【分析】利用已知条件易求∠ACD 的度数,再根据两线平行同位角相等即可求出∠1 的度
数.
【解答】解:
∵DA⊥AC,垂足为 A,
∴∠CAD=90°,
∵∠ADC=35°,
∴∠ACD=55°,
∵AB∥CD,
∴∠1=∠ACD=55°,
故选 B.
4.下列运算正确的是( )
A.x3+x2=x5 B.a3•a4=a12
C.(﹣x3)2÷x5=1 D.(﹣xy)3•(﹣xy)﹣2=﹣xy
【考点】整式的混合运算;负整数指数幂.
【分析】A、原式不能合并,即可作出判断;
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断;
C、原式利用幂的乘方及单项式除以单项式法则计算得到结果,即可作出判断;
D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可作出判断.
【解答】解:A、原式不能合并,错误;
B、原式=a7,错误;
C、原式=x6÷x5=x,错误;
D、原式=﹣xy,正确.
故选 D.
5.已知 x1,x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根,且 x1+x2=﹣2,x1•x2=1,则 ba 的
值是( )
A. B.﹣ C.4 D.﹣1
【考点】根与系数的关系.
【分析】根据根与系数的关系和已知 x1+x2 和 x1•x2 的值,可求 a、b 的值,再代入求值即可.
【解答】解:∵x1,x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根,
∴x1+x2=﹣a=﹣2,x1•x2=﹣2b=1,
解得 a=2,b=﹣ ,
∴ba=(﹣ )2= .
故选:A.
6.一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成,其左视图和俯视图如图所示,则搭成这个
几何体的小正方体的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】由三视图判断几何体.
【分析】易得这个几何体共有 2 层,由俯视图可得第一层立方体的个数,由左视图可得第二
层立方体的个数,相加即可.
【解答】解:由题中所给出的俯视图知,底层有 3 个小正方体;
由左视图可知,第 2 层有 1 个小正方体.
故则搭成这个几何体的小正方体的个数是 3+1=4 个.
故选:B.
7.若 x2﹣3y﹣5=0,则 6y﹣2x2﹣6 的值为( )
A.4 B.﹣4 C.16 D.﹣16
【考点】代数式求值.
【分析】把(x2﹣3y)看作一个整体并求出其值,然后代入代数式进行计算即可得解.
【解答】解:∵x2﹣3y﹣5=0,
∴x2﹣3y=5,
则 6y﹣2x2﹣6=﹣2(x2﹣3y)﹣6
=﹣2×5﹣6
=﹣16,
故选:D.
8.实数 a,b 在数轴上的位置如图所示,则|a|﹣|b|可化简为( )
A.a﹣b B.b﹣a C.a+b D.﹣a﹣b
【考点】实数与数轴.
【分析】根据数轴可以判断 a、b 的正负,从而可以化简|a|﹣|b|,本题得以解决.
【解答】解:由数轴可得:a>0,b<0,
则|a|﹣|b|=a﹣(﹣b)=a+b.
故选 C.
9.某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划,对 20 位销售员本月的销售量进行了统计,
绘制成如图所示的统计图,则这 20 位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是
( )
A.19,20,14 B.19,20,20 C.18.4,20,20 D.18.4,25,20
【考点】众数;扇形统计图;加权平均数;中位数.
【分析】根据扇形统计图给出的数据,先求出销售各台的人数,再根据平均数、中位数和众
数的定义分别进行求解即可.
【解答】解:根据题意得:
销售 20 台的人数是:20×40%=8(人),
销售 30 台的人数是:20×15%=3(人),
销售 12 台的人数是:20×20%=4(人),
销售 14 台的人数是:20×25%=5(人),
则这 20 位销售人员本月销售量的平均数是 =18.4(台);
把这些数从小到大排列,最中间的数是第 10、11 个数的平均数,
则中位数是 =20(台);
∵销售 20 台的人数最多,
∴这组数据的众数是 20.
故选 C.
10.如图,在△ABC 中,∠B=∠C=36°,AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AB 于点 H,
AC 的垂直平分线交 BC 于点 E,交 AC 于点 G,连接 AD,AE,则下列结论错误的是( )
A. = B.AD,AE 将∠BAC 三等分
C.△ABE≌△ACD D.S△ADH=S△CEG
【考点】黄金分割;全等三角形的判定;线段垂直平分线的性质.
【分析】由题意知 AB=AC、∠BAC=108°,根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°,
从而知△BDA∽△BAC,得 = ,由∠ADC=∠DAC=72°得 CD=CA=BA,进而根据黄金
分割定义知 = = ,可判断 A;根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断 B;
根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD,可证△BAE≌△CAD,即可
判断 C;由△BAE≌△CAD 知 S△BAD=S△CAE,根据 DH 垂直平分 AB,EG 垂直平分 AC 可
得 S△ADH=S△CEG,可判断 D.
【解答】解:∵∠B=∠C=36°,
∴AB=AC,∠BAC=108°,
∵DH 垂直平分 AB,EG 垂直平分 AC,
∴DB=DA,EA=EC,
∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°,
∴△BDA∽△BAC,
∴ = ,
又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=72°,
∴∠ADC=∠DAC,
∴CD=CA=BA,
∴BD=BC﹣CD=BC﹣AB,
则 = ,即 = = ,故 A 错误;
∵∠BAC=108°,∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°,
∴∠DAE=∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE=36°,
即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°,
∴AD,AE 将∠BAC 三等分,故 B 正确;
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°,∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°,
∴∠BAE=∠CAD,
在△BAE 和△CAD 中,
∵ ,
∴△BAE≌△CAD,故 C 正确;
由△BAE≌△CAD 可得 S△BAE=S△CAD,即 S△BAD+S△ADE=S△CAE+S△ADE,
∴S△BAD=S△CAE,
又∵DH 垂直平分 AB,EG 垂直平分 AC,
∴S△ADH= S△ABD,S△CEG= S△CAE,
∴S△ADH=S△CEG,故 D 正确.
故选:A.
11.已知二次函数 y=﹣(x﹣a)2﹣b 的图象如图所示,则反比例函数 y= 与一次函数 y=ax+b
的图象可能是( )
A. B. C. D.
【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象;二次函数的图象.
【分析】观察二次函数图象,找出 a>0,b>0,再结合反比例(一次)函数图象与系数的
关系,即可得出结论.
【解答】解:观察二次函数图象,发现:
图象与 y 轴交于负半轴,﹣b<0,b>0;
抛物线的对称轴 a>0.
∵反比例函数 y= 中 ab>0,
∴反比例函数图象在第一、三象限;
∵一次函数 y=ax+b,a>0,b>0,
∴一次函数 y=ax+b 的图象过第一、二、三象限.
故选 B.
12.如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,点 E 为 BC 的中点,将△ABE 沿 AE 折叠,
使点 B 落在矩形内点 F 处,连接 CF,则 CF 的长为( )
A. B. C. D.
【考点】矩形的性质;翻折变换(折叠问题).
【分析】连接 BF,根据三角形的面积公式求出 BH,得到 BF,根据直角三角形的判定得到
∠BFC=90°,根据勾股定理求出答案.
【解答】解:连接 BF,
∵BC=6,点 E 为 BC 的中点,
∴BE=3,
又∵AB=4,
∴AE= =5,
∴BH= ,
则 BF= ,
∵FE=BE=EC,
∴∠BFC=90°,
∴CF= = .
故选:D.
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分
13.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料,其厚度约为 0.000073 米,将 0.000073 用科学记数法表
示为 7.3×10﹣5 .
【考点】科学记数法—表示较小的数.
【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a×10﹣n,与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面
的 0 的个数所决定.
【解答】解:将 0.000073 用科学记数法表示为 7.3×10﹣5.
故答案为:7.3×10﹣5.
14.化简: = .
【考点】二次根式的加减法.
【分析】先将二次根式化为最简,然后合并同类二次根式即可.
【解答】解:原式=3 ﹣2 = .
故答案为: .
15.分解因式:(2a+b)2﹣(a+2b)2= 3(a+b)(a﹣b) .
【考点】因式分解-运用公式法.
【分析】原式利用平方差公式分解即可.
【解答】解:原式=(2a+b+a+2b)(2a+b﹣a﹣2b)
=3(a+b)(a﹣b).
故答案为:3(a+b)(a﹣b).
16.如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,其边长为 4,则⊙O 的内接正三角形 EFG 的边长为
2 .
【考点】正多边形和圆.
【分析】连接 AC、OE、OF,作 OM⊥EF 于 M,先求出圆的半径,在 RT△OEM 中利用 30
度角的性质即可解决问题.
【解答】解;连接 AC、OE、OF,作 OM⊥EF 于 M,
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC=4,∠ABC=90°,
∴AC 是直径,AC=4 ,
∴OE=OF=2 ,∵OM⊥EF,
∴EM=MF,
∵△EFG 是等边三角形,
∴∠GEF=60°,
在 RT△OME 中,∵OE=2 ,∠OEM= ∠CEF=30°,
∴OM= ,EM= OM= ,
∴EF=2 .
故答案为 2 .
17.如图,直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,△BOC 与△B′O′C′是以点 A 为
位似中心的位似图形,且相似比为 1:3,则点 B 的对应点 B′的坐标为 (﹣8,﹣3)或(4,
3) .
【考点】位似变换;一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】首先解得点 A 和点 B 的坐标,再利用位似变换可得结果.
【解答】解:∵直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,
令 x=0 可得 y=1;
令 y=0 可得 x=﹣2,
∴点 A 和点 B 的坐标分别为(﹣2,0);(0,1),
∵△BOC 与△B′O′C′是以点 A 为位似中心的位似图形,且相似比为 1:3,
∴ = = ,
∴O′B′=3,AO′=6,
∴B′的坐标为(﹣8,﹣3)或(4,3).
故答案为:(﹣8,﹣3)或(4,3).
18.如图,点 A1 的坐标为(1,0),A2 在 y 轴的正半轴上,且∠A1A2O=30°,过点 A2 作
A2A3⊥A1A2,垂足为 A2,交 x 轴于点 A3;过点 A3 作 A3A4⊥A2A3,垂足为 A3,交 y 轴于
点 A4;过点 A4 作 A4A5⊥A3A4,垂足为 A4,交 x 轴于点 A5;过点 A5 作 A5A6⊥A4A5,垂
足为 A5,交 y 轴于点 A6;…按此规律进行下去,则点 A2016 的纵坐标为 ﹣( )2015 .
【考点】坐标与图形性质.
【分析】先求出 A1、A2、A3、A4、A5 坐标,探究规律,利用规律解决问题.
【解答】解:∵A1(1,0),A2[0,( )1
]
,A3[﹣( )2,0
]
.A4[0,﹣( )3
]
,A5[( )
4,0
]
…,
∴序号除以 4 整除的话在 y 轴的负半轴上,余数是 1 在 x 轴的正半轴上,余数是 2 在 y 轴的
正半轴上,余数是 3 在 x 轴的负半轴上,
∵2016÷4=504,
∴A2016 在 y 轴的负半轴上,纵坐标为﹣( )2015.
故答案为﹣( )2015.
三、解答题:本大题共 7 小题,共 66 分
19.解不等式组,并把解集表示在数轴上.
.
【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可.
【解答】解:由①得:x≥﹣1,
由②得:x< ,
∴不等式组的解集为﹣1≤x< ,
表示在数轴上,如图所示:
20.某校进行期末体育达标测试,甲、乙两班的学生数相同,甲班有 48 人达标,乙班有 45
人达标,甲班的达标率比乙班高 6%,求乙班的达标率.
【考点】分式方程的应用.
【分析】设乙班的达标率是 x,则甲班的达标率为(x+6%),根据“甲、乙两班的学生数相
同”列出方程并解答.
【解答】解:设乙班的达标率是 x,则甲班的达标率为(x+6%),
依题意得: = ,
解这个方程,得 x=0.9,
经检验,x=0.9 是所列方程的根,并符合题意.
答:乙班的达标率为 90%.
21.一个盒子里有标号分别为 1,2,3,4,5,6 的六个小球,这些小球除标号数字外都相
同.
(1)从盒中随机摸出一个小球,求摸到标号数字为奇数的小球的概率;
(2)甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏,规则是:甲从盒中随机摸出一个小球,记下标
号数字后放回盒里,充分摇匀后,乙再从盒中随机摸出一个小球,并记下标号数字.若两次
摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数,则判甲赢;若两次摸到小球的标号数字为一奇一
偶,则判乙赢.请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平.
【考点】游戏公平性;列表法与树状图法.
【分析】(1)直接利用概率公式进而得出答案;
(2)画出树状图,得出所有等可能的情况数,找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同
为偶数的情况数,即可求出所求的概率.
【解答】解:(1)∵1,2,3,4,5,6 六个小球,
∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为: = ;
(2)画树状图:
如图所示,共有 36 种等可能的情况,两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有 18
种,
摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有 18 种,
∴P(甲)= = ,P(乙)= = ,
∴这个游戏对甲、乙两人是公平的.
22.如图,在△BCE中,点A 时边 BE 上一点,以 AB 为直径的⊙O 与 CE相切于点 D,AD∥OC,
点 F 为 OC 与⊙O 的交点,连接 AF.
(1)求证:CB 是⊙O 的切线;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.
【考点】切线的判定与性质;扇形面积的计算.
【分析】(1)欲证明 CB 是⊙O 的切线,只要证明 BC⊥OB,可以证明△CDO≌△CBO 解
决问题.
(2)首先证明 S 阴=S 扇形 ODF,然后利用扇形面积公式计算即可.
【解答】(1)证明:连接 OD,与 AF 相交于点 G,
∵CE 与⊙O 相切于点 D,
∴OD⊥CE,
∴∠CDO=90°,
∵AD∥OC,
∴∠ADO=∠1,∠DAO=∠2,
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠DAO,
∴∠1=∠2,
在△CDO 和△CBO 中,
,
∴△CDO≌△CBO,
∴∠CBO=∠CDO=90°,
∴CB 是⊙O 的切线.
(2)由(1)可知∠3=∠BCO,∠1=∠2,
∵∠ECB=60°,
∴∠3= ∠ECB=30°,
∴∠1=∠2=60°,
∴∠4=60°,
∵OA=OD,
∴△OAD 是等边三角形,
∴AD=OD=OF,∵∠1=∠ADO,
在△ADG 和△FOG 中,
,
∴△ADG≌△FOG,
∴S△ADG=S△FOG,
∵AB=6,
∴⊙O 的半径 r=3,
∴S 阴=S 扇形 ODF= = π.
23.如图,反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交于 A,B 两点,点 A 的坐标
为(2,6),点 B 的坐标为(n,1).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)点 E 为 y 轴上一个动点,若 S△AEB=5,求点 E 的坐标.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)把点 A 的坐标代入 y= ,求出反比例函数的解析式,把点 B 的坐标代入 y= ,
得出 n 的值,得出点 B 的坐标,再把 A、B 的坐标代入直线 y=kx+b,求出 k、b 的值,从而
得出一次函数的解析式;
(2)设点 E 的坐标为(0,m),连接 AE,BE,先求出点 P 的坐标(0,7),得出 PE=|m﹣
7|,根据 S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5,求出 m 的值,从而得出点 E 的坐标.
【解答】解:(1)把点 A(2,6)代入 y= ,得 m=12,
则 y= .
把点 B(n,1)代入 y= ,得 n=12,
则点 B 的坐标为(12,1).
由直线 y=kx+b 过点 A(2,6),点 B(12,1)得 ,
解得 ,
则所求一次函数的表达式为 y=﹣ x+7.
(2)如图,直线 AB 与 y 轴的交点为 P,设点 E 的坐标为(0,m),连接 AE,BE,
则点 P 的坐标为(0,7).
∴PE=|m﹣7|.
∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5,
∴ ×|m﹣7|×(12﹣2)=5.
∴|m﹣7|=1.
∴m1=6,m2=8.
∴点 E 的坐标为(0,6)或(0,8).
24.如图,在△ABC 和△BCD 中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长 CA 至点
E,使 AE=AC;延长 CB 至点 F,使 BF=BC.连接 AD,AF,DF,EF.延长 DB 交 EF 于
点 N.
(1)求证:AD=AF;
(2)求证:BD=EF;
(3)试判断四边形 ABNE 的形状,并说明理由.
【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的判定.
【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°,求出∠ABF=135°,
∠ABF=∠ACD,证出 BF=CD,由 SAS 证明△ABF≌△ACD,即可得出 AD=AF;
(2)由(1)知 AF=AD,△ABF≌△ACD,得出∠FAB=∠DAC,证出∠EAF=∠BAD,由
SAS 证明△AEF≌△ABD,得出对应边相等即可;
(3)由全等三角形的性质得出得出∠AEF=∠ABD=90°,证出四边形 ABNE 是矩形,由
AE=AB,即可得出四边形 ABNE 是正方形.
【解答】(1)证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ABF=135°,
∵∠BCD=90°,
∴∠ABF=∠ACD,
∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD,
在△ABF 和△ACD 中,
,
∴△ABF≌△ACD(SAS),
∴AD=AF;
(2)证明:由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD,
∴∠FAB=∠DAC,
∵∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠BAC=90°,
∴∠EAF=∠BAD,
在△AEF 和△ABD 中,
,
∴△AEF≌△ABD(SAS),
∴BD=EF;
(3)解:四边形 ABNE 是正方形;理由如下:
∵CD=CB,∠BCD=90°,
∴∠CBD=45°,
由(2)知,∠EAB=90°,△AEF≌△ABD,
∴∠AEF=∠ABD=90°,
∴四边形 ABNE 是矩形,
又∵AE=AB,
∴四边形 ABNE 是正方形.
25.如图,抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A(﹣2,0),点 B(4,0),点 D(2,4),与
y 轴交于点 C,作直线 BC,连接 AC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E 是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO 的点 E 的坐标;
(3)点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方,点 N 在直线 BC 上,点 P 为第一象限内抛物线上一
点,若以点 C,M,N,P 为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可.
(2)分①点 E 在直线 CD 上方的抛物线上和②点 E 在直线 CD 下方的抛物线上两种情况,
用三角函数求解即可;
(3)分①CM 为菱形的边和②CM 为菱形的对角线,用菱形的性质进行计算;
【解答】解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A(﹣2,0),点 B(4,0),点 D(2,
4),
∴设抛物线解析式为 y=a(x+2)(x﹣4),
∴﹣8a=4,
∴a=﹣ ,
∴抛物线解析式为 y=﹣ (x+2)(x﹣4)=﹣ x2+x+4;
(2)如图 1,
①点 E 在直线 CD 上方的抛物线上,记 E′,
连接 CE′,过 E′作 E′F′⊥CD,垂足为 F′,
由(1)知,OC=4,
∵∠ACO=∠E′CF′,
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′,
∴ = ,
设线段 E′F′=h,则 CF′=2h,
∴点 E′(2h,h+4)
∵点 E′在抛物线上,
∴﹣ (2h)2+2h+4=h+4,
∴h=0(舍)h=
∴E′(1, ),
②点 E 在直线 CD 下方的抛物线上,记 E,
同①的方法得,E(3, ),
点 E 的坐标为(1, ),(3, )
(3)①CM 为菱形的边,如图 2,
在第一象限内取点 P′,过点
P′作 P′N′∥y 轴,交 BC 于 N′,过点 P′作 P′M′∥BC,
交 y 轴于 M′,
∴四边形 CM′P′N′是平行四边形,
∵四边形 CM′P′N′是菱形,
∴P′M′=P′N′,
过点 P′作 P′Q′⊥y 轴,垂足为 Q′,
∵OC=OB,∠BOC=90°,
∴∠OCB=45°,
∴∠P′M′C=45°,
设点 P′(m,﹣ m2+m+4),
在 Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′= m,
∵B(4,0),C(0,4),
∴直线 BC 的解析式为 y=﹣x+4,
∵P′N′∥y 轴,
∴N′(m,﹣m+4),
∴P′N′=﹣ m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣ m2+2m,
∴ m=﹣ m2+2m,
∴m=0(舍)或 m=4﹣2 ,
菱形 CM′P′N′的边长为 (4﹣2 )=4 ﹣4.
②CM 为菱形的对角线,如图 3,
在第一象限内抛物线上取点 P,过点 P 作 PM∥BC,
交 y 轴于点 M,连接 CP,过点 M 作 MN∥CP,交 BC 于 N,
∴四边形 CPMN 是平行四边形,连接 PN 交 CM 于点 Q,
∵四边形 CPMN 是菱形,
∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ,
∵∠OCB=45°,
∴∠NCQ=45°,
∴∠PCQ=45°,
∴∠CPQ=∠PCQ=45°,
∴PQ=CQ,
设点 P(n,﹣ n2+n+4),
∴CQ=n,OQ=n+2,
∴n+4=﹣ n2+n+4,
∴n=0(舍),
∴此种情况不存在.
∴菱形的边长为 4 ﹣4.
2016 年 6 月 23 日