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  • 2021-05-10 发布

中考数学试题分类汇编考点37:锐角三角函数和解直角三角形

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中考数学试题分类汇编:考点 37 锐角三角函数和解直角三角形 一.选择题(共 15 小题) 1.(2018•柳州)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则 sinB= = ( ) A. B. C. D. 【分析】首先利用勾股定理计算出 AB 长,再计算 sinB 即可. 【解答】解:∵∠C=90°,BC=4,AC=3, ∴AB=5, ∴sinB= = , 故选:A. 2.(2018•孝感)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则 sinA 等于 ( ) A. B. C. D. 【分析】先根据勾股定理求得 BC=6,再由正弦函数的定义求解可得. 【解答】解:在 Rt△ABC 中,∵AB=10、AC=8, ∴BC= = =6, ∴sinA= = = , 故选:A. 3.(2018•大庆)2cos60°=( ) A.1 B. C. D. 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案. 【解答】解:2cos60°=2× =1. 故选:A. 4.(2018•天津)cos30°的值等于( ) A. B. C.1 D. 【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可. 【解答】解:cos30°= . 故选:B. 5.(2018•贵阳)如图,A、B、C 是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为 1,则 tan∠BAC 的值为( ) A. B.1 C. D. 【分析】连接 BC,由网格求出 AB,BC,AC 的长,利用勾股定理的逆定理得到 △ABC 为等腰直角三角形,即可求出所求. 【解答】解:连接 BC, 由网格可得 AB=BC= ,AC= ,即 AB2+BC2=AC2, ∴△ABC 为等腰直角三角形, ∴∠BAC=45°, 则 tan∠BAC=1, 故选:B. 6.(2018•金华)如图,两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上,量得∠ABC=α,∠ ADC=β,则竹竿 AB 与 AD 的长度之比为( ) A. B. C. D. 【分析】在两个直角三角形中,分别求出 AB、AD 即可解决问题; 【解答】解:在 Rt△ABC 中,AB= , 在 Rt△ACD 中,AD= , ∴AB:AD= : = , 故选:B. 7.(2018•宜昌)如图,要测量小河两岸相对的两点 P,A 的距离,可以在小河 边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C,测得 PC=100 米,∠PCA=35°,则小河宽 PA 等于 ( ) A.100sin35°米 B.100sin55°米 C.100tan35°米 D.100tan55°米 【分析】根据正切函数可求小河宽 PA 的长度. 【解答】解:∵PA⊥PB,PC=100 米,∠PCA=35°, ∴小河宽 PA=PCtan∠PCA=100tan35°米. 故选:C. 8.(2018•威海)如图,将一个小球从斜坡的点 O 处抛出,小球的抛出路线可 以用二次函数 y=4x﹣ x2 刻画,斜坡可以用一次函数 y= x 刻画,下列结论错误 的是( ) A.当小球抛出高度达到 7.5m 时,小球水平距 O 点水平距离为 3m B.小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋势 C.小球落地点距 O 点水平距离为 7 米 D.斜坡的坡度为 1:2 【分析】求出当 y=7.5 时,x 的值,判定 A;根据二次函数的性质求出对称轴, 根据二次函数性质判断 B;求出抛物线与直线的交点,判断 C,根据直线解析式 和坡度的定义判断 D. 【解答】解:当 y=7.5 时,7.5=4x﹣ x2, 整理得 x2﹣8x+15=0, 解得,x1=3,x2=5, ∴当小球抛出高度达到 7.5m 时,小球水平距 O 点水平距离为 3m 或 5 侧面 cm, A 错误,符合题意; y=4x﹣ x2 =﹣ (x﹣4)2+8, 则抛物线的对称轴为 x=4, ∴当 x>4 时,y 随 x 的增大而减小,即小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋 势,B 正确,不符合题意; , 解得, , , 则小球落地点距 O 点水平距离为 7 米,C 正确,不符合题意; ∵斜坡可以用一次函数 y= x 刻画, ∴斜坡的坡度为 1:2,D 正确,不符合题意; 故选:A. 9.(2018•淄博)一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米,其铅直高度 上升了 15 米.在用科学计算器求坡角α的度数时,具体按键顺序是( ) A . B . C . D. 【分析】先利用正弦的定义得到 sinA=0.15,然后利用计算器求锐角α. 【解答】解:sinA= = =0.15, 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时,按键顺序为 故选:A. 10.(2018•重庆)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上, 旗杆与地面垂直,在教学楼底部 E 点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°,升旗台 底部到教学楼底部的距离 DE=7 米,升旗台坡面 CD 的坡度 i=1:0.75,坡长 CD=2 米,若旗杆底部到坡面 CD 的水平距离 BC=1 米,则旗杆 AB 的高度约为( ) (参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6) A.12.6 米 B.13.1 米 C.14.7 米 D.16.3 米 【分析】如图延长 AB 交 ED 的延长线于 M,作 CJ⊥DM 于 J.则四边形 BMJC 是 矩形.在 Rt△CDJ 中求出 CJ、DJ,再根据,tan∠AEM= 构建方程即可解决问题; 【解答】解:如图延长 AB 交 ED 的延长线于 M,作 CJ⊥DM 于 J.则四边形 BMJC 是矩形. 在 Rt△CJD 中, = = ,设 CJ=4k,DJ=3k, 则有 9k2+16k2=4, ∴k= , ∴BM=CJ= ,BC=MJ=1,DJ= ,EM=MJ+DJ+DE= , 在 Rt△AEM 中,tan∠AEM= , ∴1.6= , 解得 AB≈13.1(米), 故选:B. 11.(2018•重庆)如图,AB 是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端 B 出发,先沿水平方向向右行走 20 米到达点 C,再经过一段坡度(或坡比)为 i=1: 0.75、坡长为 10 米的斜坡 CD 到达点 D,然后再沿水平方向向右行走 40 米到达 点 E(A,B,C,D,E 均在同一平面内).在 E 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 24°, 则建筑物 AB 的高度约为(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°=0.45) ( ) A.21.7 米 B.22.4 米 C.27.4 米 D.28.8 米 【分析】作 BM⊥ED 交 ED 的延长线于 M,CN⊥DM 于 N.首先解直角三角形 Rt △CDN,求出 CN,DN,再根据 tan24°= ,构建方程即可解决问题; 【解答】解:作 BM⊥ED 交 ED 的延长线于 M,CN⊥DM 于 N. 在 Rt△CDN 中,∵ = = ,设 CN=4k,DN=3k, ∴CD=10, ∴(3k)2+(4k)2=100, ∴k=2, ∴CN=8,DN=6, ∵四边形 BMNC 是矩形, ∴BM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66, 在 Rt△AEM 中,tan24°= , ∴0.45= , ∴AB=21.7(米), 故选:A. 12.(2018•长春)如图,某地修建高速公路,要从 A 地向 B 地修一条隧道(点 A、B 在同一水平面上).为了测量 A、B 两地之间的距离,一架直升飞机从 A 地出发,垂直上升 800 米到达 C 处,在 C 处观察 B 地的俯角为α,则 A、B 两地 之间的距离为( ) A.800sinα米 B.800tanα米 C. 米 D. 米 【分析】在 Rt△ABC 中,∠CAB=90°,∠B=α,AC=800 米,根据 tanα= ,即可 解决问题; 【解答】解:在 Rt△ABC 中,∵∠CAB=90°,∠B=α,AC=800 米, ∴tanα= , ∴AB= = . 故选:D. 13.(2018•香坊区)如图,热气球的探测器显示,从热气球 A 看一栋楼顶部 B 的仰角为 30°,看这栋楼底部 C 的俯角为 60°,热气球 A 与楼的水平距离为 120 米,这栋楼的高度 BC 为( ) A.160 米 B.(60+160 ) C.160 米 D.360 米 【分析】首先过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,根据题意得∠BAD=30°,∠CAD=60°, AD=120m,然后利用三角函数求解即可求得答案. 【解答】解:过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,则∠BAD=30°,∠CAD=60°,AD=120m, 在 Rt△ABD 中,BD=AD•tan30°=120× =40 (m), 在 Rt△ACD 中,CD=AD•tan60°=120× =120 (m), ∴BC=BD+CD=160 (m). 故选:C. 14.(2018•绵阳)一艘在南北航线上的测量船,于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的 南偏东 30°方向,继续向南航行 30 海里到达 C 点时,测得海岛 B 在 C 点的北偏 东 15°方向,那么海岛 B 离此航线的最近距离是( )(结果保留小数点后两 位)(参考数据: ≈1.732, ≈1.414) A.4.64 海里 B.5.49 海里 C.6.12 海里 D.6.21 海里 【分析】根据题意画出图形,结合图形知∠BAC=30°、∠ACB=15°,作 BD⊥AC 于 点 D,以点 B 为顶点、BC 为边,在△ABC 内部作∠CBE=∠ACB=15°,设 BD=x,则 AB=BE=CE=2x、AD=DE= x,据此得出 AC=2 x+2x,根据题意列出方程,求解可 得. 【解答】解:如图所示, 由题意知,∠BAC=30°、∠ACB=15°, 作 BD⊥AC 于点 D,以点 B 为顶点、BC 为边,在△ABC 内部作∠CBE=∠ACB=15°, 则∠BED=30°,BE=CE, 设 BD=x, 则 AB=BE=CE=2x,AD=DE= x, ∴AC=AD+DE+CE=2 x+2x, ∵AC=30, ∴2 x+2x=30, 解得:x= ≈5.49, 故选:B. 15.(2018•苏州)如图,某海监船以 20 海里/小时的速度在某海域执行巡航任 务,当海监船由西向东航行至 A 处时,测得岛屿 P 恰好在其正北方向,继续向东 航行 1 小时到达 B 处,测得岛屿 P 在其北偏西 30°方向,保持航向不变又航行 2 小时到达 C 处,此时海监船与岛屿 P 之间的距离(即 PC 的长)为( ) A.40 海里 B.60 海里 C.20 海里 D.40 海里 【分析】首先证明 PB=BC,推出∠C=30°,可得 PC=2PA,求出 PA 即可解决问题; 【解答】解:在 Rt△PAB 中,∵∠APB=30°, ∴PB=2AB, 由题意 BC=2AB, ∴PB=BC, ∴∠C=∠CPB, ∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°, ∴∠C=30°, ∴PC=2PA, ∵PA=AB•tan60°, ∴PC=2×20× =40 (海里), 故选:D. 二.填空题(共 17 小题) 16.(2018•北京)如图所示的网格是正方形网格,∠BAC > ∠DAE.(填“>”, “=”或“<”) 【分析】作辅助线,构建三角形及高线 NP,先利用面积法求高线 PN= ,再分 别求∠BAC、∠DAE 的正弦,根据正弦值随着角度的增大而增大,作判断. 【解答】解:连接 NH,BC,过 N 作 NP⊥AD 于 P, S△ANH=2×2﹣ ﹣ ×1×1= AH•NP, = PN, PN= , Rt△ANP 中,sin∠NAP= = = =0.6, Rt△ABC 中,sin∠BAC= = = >0.6, ∵正弦值随着角度的增大而增大, ∴∠BAC>∠DAE, 故答案为:>. 17.(2018•滨州)在△ABC 中,∠C=90°,若 tanA= ,则 sinB= . 【分析】直接根据题意表示出三角形的各边,进而利用锐角三角函数关系得出答 案. 【解答】解:如图所示: ∵∠C=90°,tanA= , ∴设 BC=x,则 AC=2x,故 AB= x, 则 sinB= = = . 故答案为: . 18.(2018•泰安)如图,在△ABC 中,AC=6,BC=10,tanC= ,点 D 是 AC 边上 的动点(不与点 C 重合),过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,点 F 是 BD 的中点,连接 EF,设 CD=x,△DEF 的面积为 S,则 S 与 x 之间的函数关系式为 S= x2 . 【分析】可在直角三角形 CED 中,根据 DE、CE 的长,求出△BED 的面积即可解 决问题. 【解答】解:(1)在 Rt△CDE 中,tanC= ,CD=x ∴DE= x,CE= x, ∴BE=10﹣ x, ∴S△BED= ×(10﹣ x)• x=﹣ x2+3x. ∵DF=BF, ∴S= S△BED= x2 , 故答案为 S= x2 . 19.(2018•无锡)已知△ABC 中,AB=10,AC=2 ,∠B=30°,则△ABC 的面积 等于 15 或 10 . 【分析】作 AD⊥BC 交 BC(或 BC 延长线)于点 D,分 AB、AC 位于 AD 异侧和同 侧两种情况,先在 Rt△ABD 中求得 AD、BD 的值,再在 Rt△ACD 中利用勾股定理 求得 CD 的长,继而就两种情况分别求出 BC 的长,根据三角形的面积公式求解 可得. 【解答】解:作 AD⊥BC 交 BC(或 BC 延长线)于点 D, ①如图 1,当 AB、AC 位于 AD 异侧时, 在 Rt△ABD 中,∵∠B=30°,AB=10, ∴AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=5 , 在 Rt△ACD 中,∵AC=2 , ∴CD= = = , 则 BC=BD+CD=6 , ∴S△ABC= •BC•AD= ×6 ×5=15 ; ②如图 2,当 AB、AC 在 AD 的同侧时, 由①知,BD=5 ,CD= , 则 BC=BD﹣CD=4 , ∴S△ABC= •BC•AD= ×4 ×5=10 . 综上,△ABC 的面积是 15 或 10 , 故答案为 15 或 10 . 20.(2018•香坊区)如图,在△ABC 中,AB=AC,tan∠ACB=2,D 在△ABC 内部, 且 AD=CD,∠ADC=90°,连接 BD,若△BCD 的面积为 10,则 AD 的长为 5 . 【分析】作辅助线,构建全等三角形和高线 DH,设 CM=a,根据等腰直角三角形 的性质和三角函数表示 AC 和 AM 的长,根据三角形面积表示 DH 的长,证明△ ADG≌△CDH(AAS),可得 DG=DH=MG= ,AG=CH=a+ ,根据 AM=AG+MG, 列方程可得结论. 【解答】解:过 D 作 DH⊥BC 于 H,过 A 作 AM⊥BC 于 M,过 D 作 DG⊥AM 于 G, 设 CM=a, ∵AB=AC, ∴BC=2CM=2a, ∵tan∠ACB=2, ∴ =2, ∴AM=2a, 由勾股定理得:AC= a, S△BDC= BC•DH=10, =10, DH= , ∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90°, ∴四边形 DHMG 为矩形, ∴∠HDG=90°=∠HDC+∠CDG,DG=HM,DH=MG, ∵∠ADC=90°=∠ADG+∠CDG, ∴∠ADG=∠CDH, 在△ADG 和△CDH 中, ∵ , ∴△ADG≌△CDH(AAS), ∴DG=DH=MG= ,AG=CH=a+ , ∴AM=AG+MG, 即 2a=a+ + , a2=20, 在 Rt△ADC 中,AD2+CD2=AC2, ∵AD=CD, ∴2AD2=5a2=100, ∴AD=5 或﹣5 (舍), 故答案为:5 .. 21.(2018•眉山)如图,在边长为 1 的小正方形网格中,点 A、B、C、D 都在 这些小正方形的顶点上,AB、CD 相交于点 O,则 tan∠AOD= 2 . 【分析】首先连接 BE,由题意易得 BF=CF,△ACO∽△BKO,然后由相似三角形 的对应边成比例,易得 KO:CO=1:3,即可得 OF:CF=OF:BF=1:2,在 Rt△OBF 中,即可求得 tan∠BOF 的值,继而求得答案. 【解答】解:如图,连接 BE, ∵四边形 BCEK 是正方形, ∴KF=CF= CK,BF= BE,CK=BE,BE⊥CK, ∴BF=CF, 根据题意得:AC∥BK, ∴△ACO∽△BKO, ∴KO:CO=BK:AC=1:3, ∴KO:KF=1:2, ∴KO=OF= CF= BF, 在 Rt△PBF 中,tan∠BOF= =2, ∵∠AOD=∠BOF, ∴tan∠AOD=2. 故答案为:2 22.(2018•德州)如图,在 4×4 的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格 点,△ABC 的顶点都在格点上,则∠BAC 的正弦值是 . 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 的形状,再由锐角三角函数的定 义即可得出结论. 【解答】解:∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5, ∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC 为直角三角形,且∠ACB=90°, 则 sin∠BAC= = , 故答案为: . 23.(2018•齐齐哈尔)四边形 ABCD 中,BD 是对角线,∠ABC=90°,tan∠ABD= , AB=20,BC=10,AD=13,则线段 CD= 17 . 【分析】作 AH⊥BD 于 H,CG⊥BD 于 G,根据正切的定义分别求出 AH、BH,根 据勾股定理求出 HD,得到 BD,根据勾股定理计算即可. 【解答】解:作 AH⊥BD 于 H,CG⊥BD 于 G, ∵tan∠ABD= , ∴ = , 设 AH=3x,则 BH=4x, 由勾股定理得,(3x)2+(4x)2=202, 解得,x=4, 则 AH=12,BH=16, 在 Rt△AHD 中,HD= =5, ∴BD=BH+HD=21, ∵∠ABD+∠CBD=90°,∠BCH+∠CBD=90°, ∴∠ABD=∠CBH, ∴ = ,又 BC=10, ∴BG=6,CG=8, ∴DG=BD﹣BG=15, ∴CD= =17, 故答案为:17. 24.(2018•广州)如图,旗杆高 AB=8m,某一时刻,旗杆影子长 BC=16m,则 tanC= . 【分析】根据直角三角形的性质解答即可. 【解答】解:∵旗杆高 AB=8m,旗杆影子长 BC=16m, ∴tanC= , 故答案为: 25.(2018•枣庄)如图,某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31°,AB 的 长为 12 米,则大厅两层之间的高度为 6.2 米.(结果保留两个有效数字)【参 考数据;sin31°=0.515,cos31°=0.857,tan31°=0.601】 【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得 BC 的长,从而可以解答本题. 【解答】解:在 Rt△ABC 中, ∵∠ACB=90°, ∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2(米), 答:大厅两层之间的距离 BC 的长约为 6.2 米. 故答案为:6.2. 26.(2018•广西)如图,从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30°,从 甲楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处的俯角是 45°,已知甲楼的高 AB 是 120m,则乙 楼的高 CD 是 40 m(结果保留根号) 【分析】利用等腰直角三角形的性质得出 AB=AD,再利用锐角三角函数关系得出 答案. 【解答】解:由题意可得:∠BDA=45°, 则 AB=AD=120m, 又∵∠CAD=30°, ∴在 Rt△ADC 中, tan∠CDA=tan30°= = , 解得:CD=40 (m), 故答案为:40 . 27.(2018•宁波)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB,飞机上 的测量人员在 C 处测得 A,B 两点的俯角分别为 45°和 30°.若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米,且点 H,A,B 在同一水平直线上,则这条江的宽度 AB 为 1200 ( ﹣1) 米(结果保留根号). 【分析】在 Rt△ACH 和 Rt△HCB 中,利用锐角三角函数,用 CH 表示出 AH、BH 的长,然后计算出 AB 的长. 【解答】解:由于 CD∥HB, ∴∠CAH=∠ACD=45°,∠B=∠BCD=30° 在 Rt△ACH 中,∵∴∠CAH=45° ∴AH=CH=1200 米, 在 Rt△HCB,∵tan∠B= ∴HB= = = =1200 (米). ∴AB=HB﹣HA =1200 ﹣1200 =1200( ﹣1)米 故答案为:1200( ﹣1) 28.(2018•黄石)如图,无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60°、45°,如果无人机距地面高度 CD 为 米,点 A、D、E 在同一水平直线 上,则 A、B 两点间的距离是 100(1+ ) 米.(结果保留根号) 【分析】如图,利用平行线的性质得∠A=60°,∠B=45°,在 Rt△ACD 中利用正切 定 义 可 计 算 出 AD=100 , 在 Rt △ BCD 中 利 用 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 BD=CD=100 ,然后计算 AD+BD 即可. 【解答】解:如图, ∵无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60°、45°, ∴∠A=60°,∠B=45°, 在 Rt△ACD 中,∵tanA= , ∴AD= =100, 在 Rt△BCD 中,BD=CD=100 , ∴AB=AD+BD=100+100 =100(1+ ). 答:A、B 两点间的距离为 100(1+ )米. 故答案为 100(1+ ). 29.(2018•咸宁)如图,航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 45°, 测得底部 C 的俯角为 60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 110m, 那么该建筑物的高度 BC 约为 300 m(结果保留整数, ≈1.73). 【分析】在 Rt△ABD 中,根据正切函数求得 BD=AD•tan∠BAD,在 Rt△ACD 中, 求得 CD=AD•tan∠CAD,再根据 BC=BD+CD,代入数据计算即可. 【解答】解:如图,∵在 Rt△ABD 中,AD=90,∠BAD=45°, ∴BD=AD=110(m), ∵在 Rt△ACD 中,∠CAD=60°, ∴CD=AD•tan60°=110× =190(m), ∴BC=BD+CD=110+190=300(m) 答:该建筑物的高度 BC 约为 300 米. 故答案为 300. 30.(2018•天门)我国海域辽阔,渔业资源丰富.如图,现有渔船 B 在海岛 A, C 附近捕鱼作业,已知海岛 C 位于海岛 A 的北偏东 45°方向上.在渔船 B 上测得 海岛 A 位于渔船 B 的北偏西 30°的方向上,此时海岛 C 恰好位于渔船 B 的正北方 向 18(1+ )n mile 处,则海岛 A,C 之间的距离为 18 n mile. 【分析】作 AD⊥BC 于 D,根据正弦的定义、正切的定义分别求出 BD、CD,根 据题意列式计算即可. 【解答】解:作 AD⊥BC 于 D, 设 AC=x 海里, 在 Rt△ACD 中,AD=AC×sin∠ACD= x, 则 CD= x, 在 Rt△ABD 中,BD= x, 则 x+ x=18(1+ ),解得,x=18 , 答:A,C 之间的距离为 18 海里. 故答案为:18 31.(2018•潍坊)如图,一艘渔船正以 60 海里/小时的速度向正东方向航行, 在 A 处测得岛礁 P 在东北方向上,继续航行 1.5 小时后到达 B 处,此时测得岛礁 P在北偏东 30°方向,同时测得岛礁 P正东方向上的避风港 M在北偏东 60°方向.为 了在台风到来之前用最短时间到达 M 处,渔船立刻加速以 75 海里/小时的速度 继续航行 小时即可到达.(结果保留根号) 【分析】如图,过点 P 作 PQ⊥AB 交 AB 延长线于点 Q,过点 M 作 MN⊥AB 交 AB 延长线于点 N,通过解直角△AQP、直角△BPQ 求得 PQ 的长度,即 MN 的长 度,然后通过解直角△BMN 求得 BM 的长度,则易得所需时间. 【解答】解:如图,过点 P 作 PQ⊥AB 交 AB 延长线于点 Q,过点 M 作 MN⊥AB 交 AB 延长线于点 N, 在直角△AQP 中,∠PAQ=45°,则 AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ(海里), 所以 BQ=PQ﹣90. 在直角△BPQ 中,∠BPQ=30°,则 BQ=PQ•tan30°= PQ(海里), 所以 PQ﹣90= PQ, 所以 PQ=45(3+ )(海里) 所以 MN=PQ=45(3+ )(海里) 在直角△BMN 中,∠MBN=30°, 所以 BM=2MN=90(3+ )(海里) 所以 = (小时) 故答案是: . 32.(2018•济宁)如图,在一笔直的海岸线 l 上有相距 2km 的 A,B 两个观测 站,B 站在 A 站的正东方向上,从 A 站测得船 C 在北偏东 60°的方向上,从 B 站 测得船 C 在北偏东 30°的方向上,则船 C 到海岸线 l 的距离是 km. 【分析】首先由题意可证得:△ACB 是等腰三角形,即可求得 BC 的长,然后由 在 Rt△CBD 中,CD=BC•sin60°,求得答案. 【解答】解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D, 根据题意得:∠CAD=90°﹣60°=30°,∠CBD=90°﹣30°=60°, ∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°, ∴∠CAB=∠ACB, ∴BC=AB=2km, 在 Rt△CBD 中,CD=BC•sin60°=2× = (km). 故答案为: . 三.解答题(共 18 小题) 33.(2018•贵阳)如图①,在 Rt△ABC 中,以下是小亮探究 与 之间 关系的方法: ∵sinA= ,sinB= ∴c= ,c= ∴ = 根据你掌握的三角函数知识.在图②的锐角△ABC 中,探究 、 、 之间的关系,并写出探究过程. 【分析】三式相等,理由为:过 A 作 AD⊥BC,BE⊥AC,在直角三角形 ABD 中, 利用锐角三角函数定义表示出 AD,在直角三角形 ADC 中,利用锐角三角函数定 义表示出 AD,两者相等即可得证. 【解答】解: = = ,理由为: 过 A 作 AD⊥BC,BE⊥AC, 在 Rt△ABD 中,sinB= ,即 AD=csinB, 在 Rt△ADC 中,sinC= ,即 AD=bsinC, ∴csinB=bsinC,即 = , 同理可得 = , 则 = = . 34.(2018•上海)如图,已知△ABC 中,AB=BC=5,tan∠ABC= . (1)求边 AC 的长; (2)设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D,求 的值. 【分析】(1)过 A 作 AE⊥BC,在直角三角形 ABE 中,利用锐角三角函数定义求 出 AC 的长即可; (2)由 DF 垂直平分 BC,求出 BF 的长,利用锐角三角函数定义求出 DF 的长, 利用勾股定理求出 BD 的长,进而求出 AD 的长,即可求出所求. 【解答】解:(1)作 A 作 AE⊥BC, 在 Rt△ABE 中,tan∠ABC= = ,AB=5, ∴AE=3,BE=4, ∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1, 在 Rt△AEC 中,根据勾股定理得:AC= = ; (2)∵DF 垂直平分 BC, ∴BD=CD,BF=CF= , ∵tan∠DBF= = , ∴DF= , 在 Rt△BFD 中,根据勾股定理得:BD= = , ∴AD=5﹣ = , 则 = . 35.(2018•自贡)如图,在△ABC 中,BC=12,tanA= ,∠B=30°;求 AC 和 AB 的长. 【分析】如图作 CH⊥AB 于 H.在 Rt△求出 CH、BH,这种 Rt△ACH 中求出 AH、 AC 即可解决问题; 【解答】解:如图作 CH⊥AB 于 H. 在 Rt△BCH 中,∵BC=12,∠B=30°, ∴CH= BC=6,BH= =6 , 在 Rt△ACH 中,tanA= = , ∴AH=8, ∴AC= =10, ∴AB=AH+BH=8+6 . 36.(2018•烟台)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事 故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图,学校附近有一条笔直 的公路 l,其间设有区间测速,所有车辆限速 40 千米/小时数学实践活动小组设 计了如下活动:在 l 上确定 A,B 两点,并在 AB 路段进行区间测速.在 l 外取一 点 P,作 PC⊥l,垂足为点 C.测得 PC=30 米,∠APC=71°,∠BPC=35°.上午 9 时测得一汽车从点 A 到点 B 用时 6 秒,请你用所学的数学知识说明该车是否超 速.(参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,sin71°≈0.95,cos71° ≈0.33,tan71°≈2.90) 【分析】先求得 AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21,据此得出 AB=AC﹣BC=87 ﹣21=66,从而求得该车通过 AB 段的车速,比较大小即可得. 【解答】解:在 Rt△APC 中,AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87, 在 Rt△BPC 中,BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21, 则 AB=AC﹣BC=87﹣21=66, ∴该汽车的实际速度为 =11m/s, 又∵40km/h≈11.1m/s, ∴该车没有超速. 37.(2018•绍兴)如图 1,窗框和窗扇用“滑块铰链”连接,图 3 是图 2 中“滑块 铰链”的平面示意图,滑轨 MN 安装在窗框上,托悬臂 DE 安装在窗扇上,交点 A 处装有滑块,滑块可以左右滑动,支点 B,C,D 始终在一直线上,延长 DE 交 MN 于点 F.已知 AC=DE=20cm,AE=CD=10cm,BD=40cm. (1)窗扇完全打开,张角∠CAB=85°,求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB 的度数; (2)窗扇部分打开,张角∠CAB=60°,求此时点 A,B 之间的距离(精确到 0.1cm). (参考数据: ≈1.732, ≈2.449) 【分析】(1)根据平行四边形的判定和性质可以解答本题; (2)根据锐角三角函数和题意可以求得 AB 的长,从而可以解答本题. 【解答】解:(1)∵AC=DE=20cm,AE=CD=10cm, ∴四边形 ACDE 是平行四边形, ∴AC∥DE, ∴∠DFB=∠CAB, ∵∠CAB=85°, ∴∠DFB=85°; (2)作 CG⊥AB 于点 G, ∵AC=20,∠CGA=90°,∠CAB=60°, ∴CG= ,AG=10, ∵BD=40,CD=10, ∴CB=30, ∴BG= = , ∴AB=AG+BG=10+10 ≈10+10×2.449=34.49≈34.5cm, 即 A、B 之间的距离为 34.5cm. 38.(2018•临沂)如图,有一个三角形的钢架 ABC,∠A=30°,∠C=45°,AC=2 ( +1)m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 2.1m 的圆 形门? 【分析】过 B 作 BD⊥AC 于 D,解直角三角形求出 AD= xm,CD=BD=xm,得出 方程,求出方程的解即可. 【解答】解: 工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m 的圆形门, 理由是:过 B 作 BD⊥AC 于 D, ∵AB>BD,BC>BD,AC>AB, ∴求出 DB 长和 2.1m 比较即可, 设 BD=xm, ∵∠A=30°,∠C=45°, ∴DC=BD=xm,AD= BD= xm, ∵AC=2( +1)m, ∴x+ x=2( +1), ∴x=2, 即 BD=2m<2.1m, ∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m 的圆形门. 39.(2018•长沙)为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对 A、B 两地 间的公路进行改建.如图,A、B 两地之间有一座山.汽车原来从 A 地到 B 地需 途径 C 地沿折线 ACB 行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线 AB 行驶.已知 BC=80 千米,∠A=45°,∠B=30°. (1)开通隧道前,汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米? (2)开通隧道后,汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米?(结果精确到 0.1 千米)(参考数据: ≈141, ≈1.73) 【分析】(1)过点 C 作 AB 的垂线 CD,垂足为 D,在直角△ACD 中,解直角三 角形求出 CD,进而解答即可; (2)在直角△CBD 中,解直角三角形求出 BD,再求出 AD,进而求出汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程. 【 解 答 】 解 : ( 1 ) 过 点 C 作 AB 的 垂 线 CD , 垂 足 为 D , ∵AB⊥CD,sin30°= ,BC=80 千米, ∴CD=BC•sin30°=80× (千米), AC= (千米), AC+BC=80+40 ≈40×1.41+80=136.4(千米), 答:开通隧道前,汽车从 A 地到 B 地大约要走 136.4 千米; (2)∵cos30°= ,BC=80(千米), ∴BD=BC•cos30°=80× (千米), ∵tan45°= ,CD=40(千米), ∴AD= (千米), ∴AB=AD+BD=40+40 ≈40+40×1.73=109.2(千米), ∴汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为:AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2(千 米). 答:汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路程为 27.2 千米. 40.(2018•白银)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高,中国高 铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离,改变了人们的出行方式.如图,A, B 两地被大山阻隔,由 A 地到 B 地需要绕行 C 地,若打通穿山隧道,建成 A,B 两地的直达高铁,可以缩短从 A 地到 B 地的路程.已知:∠CAB=30°,∠CBA=45°, AC=640 公里,求隧道打通后与打通前相比,从 A 地到 B 地的路程将约缩短多少 公里?(参考数据: ≈1.7, ≈1.4) 【分析】过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,利用锐角三角函数的定义求出 CD 及 AD 的长, 进而可得出结论. 【解答】解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D, 在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中, ∵∠CAB=30°,∠CBA=45°,AC=640, ∴CD=320,AD=320 , ∴BD=CD=320,BC=320 , ∴AC+BC=640+320 ≈1088, ∴AB=AD+BD=320 +320≈864, ∴1088﹣864=224(公里), 答:隧道打通后与打通前相比,从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里. 41.(2018•随州)随州市新㵐水一桥(如图 1)设计灵感来源于市花﹣﹣兰花, 采用蝴蝶兰斜拉桥方案,设计长度为 258 米,宽 32 米,为双向六车道,2018 年 4 月 3 日通车.斜拉桥又称斜张桥,主要由索塔、主梁、斜拉索组成.某座斜拉 桥的部分截面图如图 2 所示,索塔 AB 和斜拉索(图中只画出最短的斜拉索 DE 和最长的斜拉索 AC)均在同一水平面内,BC 在水平桥面上.已知∠ABC=∠ DEB=45°,∠ACB=30°,BE=6 米,AB=5BD. (1)求最短的斜拉索 DE 的长; (2)求最长的斜拉索 AC 的长. 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质计算 DE 的长; (2)作 AH⊥BC 于 H,如图 2,由于 BD=DE=3 ,则 AB=3BD=15 ,在 Rt△ABH 中,根据等腰直角三角形的性质可计算出 BH=AH=15,然后在 Rt△ACH 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系即可得到 AC 的长. 【解答】解:(1)∵∠ABC=∠DEB=45°, ∴△BDE 为等腰直角三角形, ∴DE= BE= ×6=3 . 答:最短的斜拉索 DE 的长为 3 m; (2)作 AH⊥BC 于 H,如图 2, ∵BD=DE=3 , ∴AB=3BD=5×3 =15 , 在 Rt△ABH 中,∵∠B=45°, ∴BH=AH= AB= ×15 =15, 在 Rt△ACH 中,∵∠C=30°, ∴AC=2AH=30. 答:最长的斜拉索 AC 的长为 30m. 42.(2018•遵义)如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳 BC 与地面保持 垂直,吊臂 AB 与水平线的夹角为 64°,吊臂底部 A 距地面 1.5m.(计算结果精 确到 0.1m,参考数据 sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05) (1)当吊臂底部 A 与货物的水平距离 AC 为 5m 时,吊臂 AB 的长为 11.4 m. (2)如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20m,那么从地面上吊起货物的最大高 度是多少?(吊钩的长度与货物的高度忽略不计) 【分析】(1)根据直角三角形的性质和三角函数解答即可; (2)过点 D 作 DH⊥地面于 H,利用直角三角形的性质和三角函数解答即可. 【解答】解:(1)在 Rt△ABC 中, ∵∠BAC=64°,AC=5m, ∴AB= (m); 故答案为:11.4; (2)过点 D 作 DH⊥地面于 H,交水平线于点 E, 在 Rt△ADE 中, ∵AD=20m,∠DAE=64°,EH=1.5m, ∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18(m), 即 DH=DE+EH=18+1.5=19.5(m), 答:如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20m,那么从地面上吊起货物的最大高度 是 19.5m. 43.(2018•资阳)如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图,她在 A 处 时的风筝线(整个过程中风筝线近似地看作直线)与水平线构成 30°角,线段 AA1 表示小红身高 1.5 米. (1)当风筝的水平距离 AC=18 米时,求此时风筝线 AD 的长度; (2)当她从点 A 跑动 9 米到达点 B 处时,风筝线与水平线构成 45°角,此时 风筝到达点 E 处,风筝的水平移动距离 CF=10 米,这一过程中风筝线的长度保 持不变,求风筝原来的高度 C1D. 【分析】(1)在 Rt△ACD 中,由 AD= 可得答案; ( 2 ) 设 AF=x 米 , 则 BF=AB+AF=9 +x , 在 Rt △ BEF 中 求 得 AD=BE= =18+ x,由 cos∠CAD= 可建立关于 x 的方程,解之求得 x 的值,即可得出 AD 的长,继而根据 CD=ADsin∠CAD 求得 CD 从而得出答案. 【解答】解:(1)∵在 Rt△ACD 中,cos∠CAD= ,AC=18、∠CAD=30°, ∴AD= = = =12 (米), 答:此时风筝线 AD 的长度为 12 米; (2)设 AF=x 米,则 BF=AB+AF=9 +x(米), 在 Rt△BEF 中,BE= = =18+ x(米), 由题意知 AD=BE=18+ x(米), ∵CF=10 , ∴AC=AF+CF=10 +x, 由 cos∠CAD= 可得 = , 解得:x=3 +2 , 则 AD=18+ (3 +2 )=24+3 , ∴CD=ADsin∠CAD=(24+3 )× = , 则 C1D=CD+C1C= + = , 答:风筝原来的高度 C1D 为 米. 44.(2018•山西)祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合 而成,全桥共设 13 对直线型斜拉索,造型新颖,是“三晋大地”的一种象征.某 数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题 活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测 量结果如下表. 项目 内容 课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离 测量示意图 说明:两侧最长斜拉索 AC,BC 相交于点 C, 分别与桥面交于 A,B 两点,且点 A,B,C 在同一竖直平面内. 测量数据 ∠A 的度数 ∠B 的度数 AB 的长度 38° 28° 234 米 … … (1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离(参 考数据:sin38°≈0.6,cos38°≈0.8,tan38°≈0.8,sin28°≈0.5,cos28°≈0.9,tan28° ≈0.5) (2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要 补充哪些项目(写出一个即可). 【分析】(1)过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.解直角三角形求出 DC 即可; (2)还需要补充的项目可为:测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活 动感受等 【解答】解:(1)过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. 设 CD=x 米,在 Rt△ADC 中,∠ADC=90°,∠A=38°. ∵ ,∴ . 在 Rt△BDC 中,∠BDC=90°,∠B=28°. ∵ ,∴ . ∵AD+BD=AB=234,∴ . 解得 x=72. 答:斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离为 72 米. (2)还需要补充的项目可为:测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活 动感受等.(答案不唯一) 45.(2018•常德)图 1 是一商场的推拉门,已知门的宽度 AD=2 米,且两扇门 的大小相同(即 AB=CD),将左边的门 ABB1A1 绕门轴 AA1 向里面旋转 37°,将右 边的门 CDD1C1 绕门轴 DD1 向外面旋转 45°,其示意图如图 2,求此时 B 与 C 之间 的距离(结果保留一位小数).(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8, ≈1.4) 【分析】作 BE⊥AD 于点 E,作 CF⊥AD 于点 F,延长 FC 到点 M,使得 BE=CM, 则 EM=BC,在 Rt△ABE、Rt△CDF 中可求出 AE、BE、DF、FC 的长度,进而可得 出 EF 的长度,再在 Rt△MEF 中利用勾股定理即可求出 EM 的长,此题得解. 【解答】解:作 BE⊥AD 于点 E,作 CF⊥AD 于点 F,延长 FC 到点 M,使得 BE=CM, 如图所示. ∵AB=CD,AB+CD=AD=2, ∴AB=CD=1. 在 Rt△ABE 中,AB=1,∠A=37°, ∴BE=AB•sin∠A≈0.6,AE=AB•cos∠A≈0.8. 在 Rt△CDF 中,CD=1,∠D=45°, ∴CF=CD•sin∠D≈0.7,DF=CD•cos∠D≈0.7. ∵BE⊥AD,CF⊥AD, ∴BE∥CM, 又∵BE=CM, ∴四边形 BEMC 为平行四边形, ∴BC=EM,CM=BE. 在 Rt△MEF 中,EF=AD﹣AE﹣DF=0.5,FM=CF+CM=1.3, ∴EM= ≈1.4, ∴B 与 C 之间的距离约为 1.4 米. 46.(2018•台州)图 1 是一辆吊车的实物图,图 2 是其工作示意图,AC 是可以 伸缩的起重臂,其转动点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 3.4m.当起重臂 AC 长度为 9m,张角∠HAC 为 118°时,求操作平台 C 离地面的高度(结果保留小数点后一 位:参考数据:sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53) 【分析】作 CE⊥BD 于 F,AF⊥CE 于 F,如图 2,易得四边形 AHEF 为矩形,则 EF=AH=3.4m,∠HAF=90°,再计算出∠CAF=28°,则在 Rt△ACF 中利用正弦可计算 出 CF,然后计算 CF+EF 即可. 【解答】解:作 CE⊥BD 于 F,AF⊥CE 于 F,如图 2, 易得四边形 AHEF 为矩形, ∴EF=AH=3.4m,∠HAF=90°, ∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°, 在 Rt△ACF 中,∵sin∠CAF= , ∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23, ∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6(m), 答:操作平台 C 离地面的高度为 7.6m. 47.(2018•岳阳)图 1 是某小区入口实景图,图 2 是该入口抽象成的平面示意 图.已知入口 BC 宽 3.9 米,门卫室外墙 AB 上的 O 点处装有一盏路灯,点 O 与 地面 BC 的距离为 3.3 米,灯臂 OM 长为 1.2 米(灯罩长度忽略不计),∠AOM=60°. (1)求点 M 到地面的距离; (2)某搬家公司一辆总宽 2.55 米,总高 3.5 米的货车从该入口进入时,货车需 与护栏 CD 保持 0.65 米的安全距离,此时,货车能否安全通过?若能,请通过计 算说明;若不能,请说明理由.(参考数据: ≈1.73,结果精确到 0.01 米) 【分析】(1)构建直角△OMN,求 ON 的长,相加可得 BN 的长,即点 M 到地 面的距离; (2)左边根据要求留 0.65 米的安全距离,即取 CE=0.65,车宽 EH=2.55,计算高 GH 的长即可,与 3.5 作比较,可得结论. 【解答】解:(1)如图,过 M 作 MN⊥AB 于 N,交 BA 的延长线于 N, Rt△OMN 中,∠NOM=60°,OM=1.2, ∴∠M=30°, ∴ON= OM=0.6, ∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9; 即点 M 到地面的距离是 3.9 米; (2)取 CE=0.65,EH=2.55, ∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7, 过 H 作 GH⊥BC,交 OM 于 G,过 O 作 OP⊥GH 于 P, ∵∠GOP=30°, ∴tan30°= = , ∴GP= OP= ≈0.404, ∴GH=3.3+0.404=3.704≈3.70>3.5, ∴货车能安全通过. 48.(2018•徐州)如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求 坝高和坝底宽(精确到 0.1m)参考数据: ≈1.414, ≈1.732 【分析】利用锐角三角函数,在 Rt△CDE 中计算出坝高 DE 及 CE 的长,通过矩 形 ADEF.利用等腰直角三角形的边角关系,求出 BF 的长,得到坝底的宽. 【解答】解:在 Rt△CDE 中, ∵sin∠C= ,cos∠C= ∴DE=sin30°×DC= ×14=7(m), CE=cos30°×DC= ×14=7 ≈12.124≈12.12, ∵四边形 AFED 是矩形, ∴EF=AD=6m,AF=DE=7m 在 Rt△ABF 中, ∵∠B=45° ∴DE=AF=7m, ∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1(m) 答:该坝的坝高和坝底宽分别为 7m 和 25.1m. 49.(2018•河南)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、 低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调 节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数 学问题,请你解答. 如图所示,底座上 A,B 两点间的距离为 90cm.低杠上点 C 到直线 AB 的距离 CE 的长为 155cm,高杠上点 D 到直线 AB 的距离 DF 的长为 234cm,已知低杠的支 架 AC 与直线 AB 的夹角∠CAE 为 82.4°,高杠的支架 BD 与直线 AB 的夹角∠DBF 为 80.3°.求高、低杠间的水平距离 CH 的长.(结果精确到 1cm,参考数据 sin82.4° ≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168, tan80.3°≈5.850) 【分析】利用锐角三角函数,在 Rt△ACE 和 Rt△DBF 中,分别求出 AE、BF 的长.计 算出 EF.通过矩形 CEFH 得到 CH 的长. 【解答】解:在 Rt△ACE 中, ∵tan∠CAE= , ∴AE= = ≈ ≈21(cm) 在 Rt△DBF 中, ∵tan∠DBF= , ∴BF= = ≈ =40(cm) ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151(cm) ∵CE⊥EF,CH⊥DF,DF⊥EF ∴四边形 CEFH 是矩形, ∴CH=EF=151cm 答:高、低杠间的水平距离 CH 的长为 151cm. 50.(2018•嘉兴)如图 1,滑动调节式遮阳伞的立柱 AC 垂直于地面 AB,P 为立 柱上的滑动调节点,伞体的截面示意图为△PDE,F 为 PD 的中点,AC=2.8m, PD=2m,CF=1m,∠DPE=20°,当点 P 位于初始位置 P0 时,点 D 与 C 重合(图 2).根 据生活经验,当太阳光线与 PE 垂直时,遮阳效果最佳. (1)上午 10:00 时,太阳光线与地面的夹角为 65°(图 3),为使遮阳效果最 佳,点 P 需从 P0 上调多少距离?(结果精确到 0.1m) (2)中午 12:00 时,太阳光线与地面垂直(图 4),为使遮阳效果最佳,点 P 在(1)的基础上还需上调多少距离?(结果精确到 0.1m)(参考数据:sin70° ≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75, ≈1.41, ≈1.73) 【分析】(1)只要证明△CFP1 是等腰直角三角形,即可解决问题; (2)解直角三角形求出 CP2 的长即可解决问题; 【解答】解:(1)如图 2 中,当 P 位于初始位置时,CP0=2m, 如图 3 中,上午 10:00 时,太阳光线与地面的夹角为 65°,上调的距离为 P0P1. ∵∠1=90°,∠CAB=90°,∠ABE=65°, ∴∠AP1E=115°, ∴∠CP1E=65°, ∵∠DP1E=20°, ∴∠CP1F=45°, ∵CF=P1F=1m, ∴∠C=∠CP1F=45°, ∴△CP1F 是等腰直角三角形, ∴P1C= m, ∴P0P1=CP0﹣P1C=2﹣ ≈0.6m, 即为使遮阳效果最佳,点 P 需从 P0 上调 0.6m. (2)如图 4 中,中午 12:00 时,太阳光线与地面垂直(图 4),为使遮阳效果 最佳,点 P 调到 P2 处. ∵P2E∥AB, ∴∠CP2E=∠CAB=90°, ∵∠DP2E=20°, ∴∠CP2F=70°,作 FG⊥AC 于 G,则 CP2=2CG=1×cos70°≈0.68m, ∴P1P2=CP1﹣CP2= ﹣0.68≈0.7m, 即点 P 在(1)的基础上还需上调 0.7m.