中考数学试题分类汇编考点37：锐角三角函数和解直角三角形 45页

中考数学试题分类汇编：考点 37 锐角三角函数和解直角三角形 一．选择题（共 15 小题） 1．（2018•柳州）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则 sinB= = （ ） A． B． C． D． 【分析】首先利用勾股定理计算出 AB 长，再计算 sinB 即可． 【解答】解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3， ∴AB=5， ∴sinB= = ， 故选：A． 2．（2018•孝感）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则 sinA 等于 （ ） A． B． C． D． 【分析】先根据勾股定理求得 BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 【解答】解：在 Rt△ABC 中，∵AB=10、AC=8， ∴BC= = =6， ∴sinA= = = ， 故选：A． 3．（2018•大庆）2cos60°=（ ） A．1 B． C． D． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案． 【解答】解：2cos60°=2× =1． 故选：A． 4．（2018•天津）cos30°的值等于（ ） A． B． C．1 D． 【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可． 【解答】解：cos30°= ． 故选：B． 5．（2018•贵阳）如图，A、B、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则 tan∠BAC 的值为（ ） A． B．1 C． D． 【分析】连接 BC，由网格求出 AB，BC，AC 的长，利用勾股定理的逆定理得到 △ABC 为等腰直角三角形，即可求出所求． 【解答】解：连接 BC， 由网格可得 AB=BC= ，AC= ，即 AB2+BC2=AC2， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则 tan∠BAC=1， 故选：B． 6．（2018•金华）如图，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上，量得∠ABC=α，∠ ADC=β，则竹竿 AB 与 AD 的长度之比为（ ） A． B． C． D． 【分析】在两个直角三角形中，分别求出 AB、AD 即可解决问题； 【解答】解：在 Rt△ABC 中，AB= ， 在 Rt△ACD 中，AD= ， ∴AB：AD= ： = ， 故选：B． 7．（2018•宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河 边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC=100 米，∠PCA=35°，则小河宽 PA 等于 （ ） A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米 【分析】根据正切函数可求小河宽 PA 的长度． 【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100 米，∠PCA=35°， ∴小河宽 PA=PCtan∠PCA=100tan35°米． 故选：C． 8．（2018•威海）如图，将一个小球从斜坡的点 O 处抛出，小球的抛出路线可 以用二次函数 y=4x﹣ x2 刻画，斜坡可以用一次函数 y= x 刻画，下列结论错误 的是（ ） A．当小球抛出高度达到 7.5m 时，小球水平距 O 点水平距离为 3m B．小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋势 C．小球落地点距 O 点水平距离为 7 米 D．斜坡的坡度为 1：2 【分析】求出当 y=7.5 时，x 的值，判定 A；根据二次函数的性质求出对称轴， 根据二次函数性质判断 B；求出抛物线与直线的交点，判断 C，根据直线解析式 和坡度的定义判断 D． 【解答】解：当 y=7.5 时，7.5=4x﹣ x2， 整理得 x2﹣8x+15=0， 解得，x1=3，x2=5， ∴当小球抛出高度达到 7.5m 时，小球水平距 O 点水平距离为 3m 或 5 侧面 cm， A 错误，符合题意； y=4x﹣ x2 =﹣ （x﹣4）2+8， 则抛物线的对称轴为 x=4， ∴当 x＞4 时，y 随 x 的增大而减小，即小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋 势，B 正确，不符合题意； ， 解得， ， ， 则小球落地点距 O 点水平距离为 7 米，C 正确，不符合题意； ∵斜坡可以用一次函数 y= x 刻画， ∴斜坡的坡度为 1：2，D 正确，不符合题意； 故选：A． 9．（2018•淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米，其铅直高度 上升了 15 米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ） A ． B ． C ． D． 【分析】先利用正弦的定义得到 sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α． 【解答】解：sinA= = =0.15， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为 故选：A． 10．（2018•重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上， 旗杆与地面垂直，在教学楼底部 E 点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台 底部到教学楼底部的距离 DE=7 米，升旗台坡面 CD 的坡度 i=1：0.75，坡长 CD=2 米，若旗杆底部到坡面 CD 的水平距离 BC=1 米，则旗杆 AB 的高度约为（ ） （参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6） A．12.6 米 B．13.1 米 C．14.7 米 D．16.3 米 【分析】如图延长 AB 交 ED 的延长线于 M，作 CJ⊥DM 于 J．则四边形 BMJC 是 矩形．在 Rt△CDJ 中求出 CJ、DJ，再根据，tan∠AEM= 构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图延长 AB 交 ED 的延长线于 M，作 CJ⊥DM 于 J．则四边形 BMJC 是矩形． 在 Rt△CJD 中， = = ，设 CJ=4k，DJ=3k， 则有 9k2+16k2=4， ∴k= ， ∴BM=CJ= ，BC=MJ=1，DJ= ，EM=MJ+DJ+DE= ， 在 Rt△AEM 中，tan∠AEM= ， ∴1.6= ， 解得 AB≈13.1（米）， 故选：B． 11．（2018•重庆）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端 B 出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点 C，再经过一段坡度（或坡比）为 i=1： 0.75、坡长为 10 米的斜坡 CD 到达点 D，然后再沿水平方向向右行走 40 米到达 点 E（A，B，C，D，E 均在同一平面内）．在 E 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 24°， 则建筑物 AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45） （ ） A．21.7 米 B．22.4 米 C．27.4 米 D．28.8 米 【分析】作 BM⊥ED 交 ED 的延长线于 M，CN⊥DM 于 N．首先解直角三角形 Rt △CDN，求出 CN，DN，再根据 tan24°= ，构建方程即可解决问题； 【解答】解：作 BM⊥ED 交 ED 的延长线于 M，CN⊥DM 于 N． 在 Rt△CDN 中，∵ = = ，设 CN=4k，DN=3k， ∴CD=10， ∴（3k）2+（4k）2=100， ∴k=2， ∴CN=8，DN=6， ∵四边形 BMNC 是矩形， ∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66， 在 Rt△AEM 中，tan24°= ， ∴0.45= ， ∴AB=21.7（米）， 故选：A． 12．（2018•长春）如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道（点 A、B 在同一水平面上）．为了测量 A、B 两地之间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为α，则 A、B 两地 之间的距离为（ ） A．800sinα米 B．800tanα米 C． 米 D． 米 【分析】在 Rt△ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800 米，根据 tanα= ，即可 解决问题； 【解答】解：在 Rt△ABC 中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800 米， ∴tanα= ， ∴AB= = ． 故选：D． 13．（2018•香坊区）如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋楼顶部 B 的仰角为 30°，看这栋楼底部 C 的俯角为 60°，热气球 A 与楼的水平距离为 120 米，这栋楼的高度 BC 为（ ） A．160 米 B．（60+160 ） C．160 米 D．360 米 【分析】首先过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°， AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案． 【解答】解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m， 在 Rt△ABD 中，BD=AD•tan30°=120× =40 （m）， 在 Rt△ACD 中，CD=AD•tan60°=120× =120 （m）， ∴BC=BD+CD=160 （m）． 故选：C． 14．（2018•绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的 南偏东 30°方向，继续向南航行 30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏 东 15°方向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是（ ）（结果保留小数点后两 位）（参考数据： ≈1.732， ≈1.414） A．4.64 海里 B．5.49 海里 C．6.12 海里 D．6.21 海里 【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠BAC=30°、∠ACB=15°，作 BD⊥AC 于 点 D，以点 B 为顶点、BC 为边，在△ABC 内部作∠CBE=∠ACB=15°，设 BD=x，则 AB=BE=CE=2x、AD=DE= x，据此得出 AC=2 x+2x，根据题意列出方程，求解可 得． 【解答】解：如图所示， 由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°， 作 BD⊥AC 于点 D，以点 B 为顶点、BC 为边，在△ABC 内部作∠CBE=∠ACB=15°， 则∠BED=30°，BE=CE， 设 BD=x， 则 AB=BE=CE=2x，AD=DE= x， ∴AC=AD+DE+CE=2 x+2x， ∵AC=30， ∴2 x+2x=30， 解得：x= ≈5.49， 故选：B． 15．（2018•苏州）如图，某海监船以 20 海里/小时的速度在某海域执行巡航任 务，当海监船由西向东航行至 A 处时，测得岛屿 P 恰好在其正北方向，继续向东 航行 1 小时到达 B 处，测得岛屿 P 在其北偏西 30°方向，保持航向不变又航行 2 小时到达 C 处，此时海监船与岛屿 P 之间的距离（即 PC 的长）为（ ） A．40 海里 B．60 海里 C．20 海里 D．40 海里 【分析】首先证明 PB=BC，推出∠C=30°，可得 PC=2PA，求出 PA 即可解决问题； 【解答】解：在 Rt△PAB 中，∵∠APB=30°， ∴PB=2AB， 由题意 BC=2AB， ∴PB=BC， ∴∠C=∠CPB， ∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°， ∴∠C=30°， ∴PC=2PA， ∵PA=AB•tan60°， ∴PC=2×20× =40 （海里）， 故选：D． 二．填空题（共 17 小题） 16．（2018•北京）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ＞ ∠DAE．（填“＞”， “=”或“＜”） 【分析】作辅助线，构建三角形及高线 NP，先利用面积法求高线 PN= ，再分 别求∠BAC、∠DAE 的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断． 【解答】解：连接 NH，BC，过 N 作 NP⊥AD 于 P， S△ANH=2×2﹣ ﹣ ×1×1= AH•NP， = PN， PN= ， Rt△ANP 中，sin∠NAP= = = =0.6， Rt△ABC 中，sin∠BAC= = = ＞0.6， ∵正弦值随着角度的增大而增大， ∴∠BAC＞∠DAE， 故答案为：＞． 17．（2018•滨州）在△ABC 中，∠C=90°，若 tanA= ，则 sinB= ． 【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答 案． 【解答】解：如图所示： ∵∠C=90°，tanA= ， ∴设 BC=x，则 AC=2x，故 AB= x， 则 sinB= = = ． 故答案为： ． 18．（2018•泰安）如图，在△ABC 中，AC=6，BC=10，tanC= ，点 D 是 AC 边上 的动点（不与点 C 重合），过 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，点 F 是 BD 的中点，连接 EF，设 CD=x，△DEF 的面积为 S，则 S 与 x 之间的函数关系式为 S= x2 ． 【分析】可在直角三角形 CED 中，根据 DE、CE 的长，求出△BED 的面积即可解 决问题． 【解答】解：（1）在 Rt△CDE 中，tanC= ，CD=x ∴DE= x，CE= x， ∴BE=10﹣ x， ∴S△BED= ×（10﹣ x）• x=﹣ x2+3x． ∵DF=BF， ∴S= S△BED= x2 ， 故答案为 S= x2 ． 19．（2018•无锡）已知△ABC 中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，则△ABC 的面积 等于 15 或 10 ． 【分析】作 AD⊥BC 交 BC（或 BC 延长线）于点 D，分 AB、AC 位于 AD 异侧和同 侧两种情况，先在 Rt△ABD 中求得 AD、BD 的值，再在 Rt△ACD 中利用勾股定理 求得 CD 的长，继而就两种情况分别求出 BC 的长，根据三角形的面积公式求解 可得． 【解答】解：作 AD⊥BC 交 BC（或 BC 延长线）于点 D， ①如图 1，当 AB、AC 位于 AD 异侧时， 在 Rt△ABD 中，∵∠B=30°，AB=10， ∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ， 在 Rt△ACD 中，∵AC=2 ， ∴CD= = = ， 则 BC=BD+CD=6 ， ∴S△ABC= •BC•AD= ×6 ×5=15 ； ②如图 2，当 AB、AC 在 AD 的同侧时， 由①知，BD=5 ，CD= ， 则 BC=BD﹣CD=4 ， ∴S△ABC= •BC•AD= ×4 ×5=10 ． 综上，△ABC 的面积是 15 或 10 ， 故答案为 15 或 10 ． 20．（2018•香坊区）如图，在△ABC 中，AB=AC，tan∠ACB=2，D 在△ABC 内部， 且 AD=CD，∠ADC=90°，连接 BD，若△BCD 的面积为 10，则 AD 的长为 5 ． 【分析】作辅助线，构建全等三角形和高线 DH，设 CM=a，根据等腰直角三角形 的性质和三角函数表示 AC 和 AM 的长，根据三角形面积表示 DH 的长，证明△ ADG≌△CDH（AAS），可得 DG=DH=MG= ，AG=CH=a+ ，根据 AM=AG+MG， 列方程可得结论． 【解答】解：过 D 作 DH⊥BC 于 H，过 A 作 AM⊥BC 于 M，过 D 作 DG⊥AM 于 G， 设 CM=a， ∵AB=AC， ∴BC=2CM=2a， ∵tan∠ACB=2， ∴ =2， ∴AM=2a， 由勾股定理得：AC= a， S△BDC= BC•DH=10， =10， DH= ， ∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90°， ∴四边形 DHMG 为矩形， ∴∠HDG=90°=∠HDC+∠CDG，DG=HM，DH=MG， ∵∠ADC=90°=∠ADG+∠CDG， ∴∠ADG=∠CDH， 在△ADG 和△CDH 中， ∵ ， ∴△ADG≌△CDH（AAS）， ∴DG=DH=MG= ，AG=CH=a+ ， ∴AM=AG+MG， 即 2a=a+ + ， a2=20， 在 Rt△ADC 中，AD2+CD2=AC2， ∵AD=CD， ∴2AD2=5a2=100， ∴AD=5 或﹣5 （舍）， 故答案为：5 ．． 21．（2018•眉山）如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在 这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交于点 O，则 tan∠AOD= 2 ． 【分析】首先连接 BE，由题意易得 BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形 的对应边成比例，易得 KO：CO=1：3，即可得 OF：CF=OF：BF=1：2，在 Rt△OBF 中，即可求得 tan∠BOF 的值，继而求得答案． 【解答】解：如图，连接 BE， ∵四边形 BCEK 是正方形， ∴KF=CF= CK，BF= BE，CK=BE，BE⊥CK， ∴BF=CF， 根据题意得：AC∥BK， ∴△ACO∽△BKO， ∴KO：CO=BK：AC=1：3， ∴KO：KF=1：2， ∴KO=OF= CF= BF， 在 Rt△PBF 中，tan∠BOF= =2， ∵∠AOD=∠BOF， ∴tan∠AOD=2． 故答案为：2 22．（2018•德州）如图，在 4×4 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格 点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的正弦值是 ． 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 的形状，再由锐角三角函数的定 义即可得出结论． 【解答】解：∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB=90°， 则 sin∠BAC= = ， 故答案为： ． 23．（2018•齐齐哈尔）四边形 ABCD 中，BD 是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD= ， AB=20，BC=10，AD=13，则线段 CD= 17 ． 【分析】作 AH⊥BD 于 H，CG⊥BD 于 G，根据正切的定义分别求出 AH、BH，根 据勾股定理求出 HD，得到 BD，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：作 AH⊥BD 于 H，CG⊥BD 于 G， ∵tan∠ABD= ， ∴ = ， 设 AH=3x，则 BH=4x， 由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202， 解得，x=4， 则 AH=12，BH=16， 在 Rt△AHD 中，HD= =5， ∴BD=BH+HD=21， ∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°， ∴∠ABD=∠CBH， ∴ = ，又 BC=10， ∴BG=6，CG=8， ∴DG=BD﹣BG=15， ∴CD= =17， 故答案为：17． 24．（2018•广州）如图，旗杆高 AB=8m，某一时刻，旗杆影子长 BC=16m，则 tanC= ． 【分析】根据直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵旗杆高 AB=8m，旗杆影子长 BC=16m， ∴tanC= ， 故答案为： 25．（2018•枣庄）如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31°，AB 的 长为 12 米，则大厅两层之间的高度为 6.2 米．（结果保留两个有效数字）【参 考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】 【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得 BC 的长，从而可以解答本题． 【解答】解：在 Rt△ABC 中， ∵∠ACB=90°， ∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）， 答：大厅两层之间的距离 BC 的长约为 6.2 米． 故答案为：6.2． 26．（2018•广西）如图，从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30°，从 甲楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处的俯角是 45°，已知甲楼的高 AB 是 120m，则乙 楼的高 CD 是 40 m（结果保留根号） 【分析】利用等腰直角三角形的性质得出 AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出 答案． 【解答】解：由题意可得：∠BDA=45°， 则 AB=AD=120m， 又∵∠CAD=30°， ∴在 Rt△ADC 中， tan∠CDA=tan30°= = ， 解得：CD=40 （m）， 故答案为：40 ． 27．（2018•宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上 的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为 45°和 30°．若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为 1200 （ ﹣1） 米（结果保留根号）． 【分析】在 Rt△ACH 和 Rt△HCB 中，利用锐角三角函数，用 CH 表示出 AH、BH 的长，然后计算出 AB 的长． 【解答】解：由于 CD∥HB， ∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30° 在 Rt△ACH 中，∵∴∠CAH=45° ∴AH=CH=1200 米， 在 Rt△HCB，∵tan∠B= ∴HB= = = =1200 （米）． ∴AB=HB﹣HA =1200 ﹣1200 =1200（ ﹣1）米 故答案为：1200（ ﹣1） 28．（2018•黄石）如图，无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60°、45°，如果无人机距地面高度 CD 为 米，点 A、D、E 在同一水平直线 上，则 A、B 两点间的距离是 100（1+ ） 米．（结果保留根号） 【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在 Rt△ACD 中利用正切 定 义 可 计 算 出 AD=100 ， 在 Rt △ BCD 中 利 用 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 BD=CD=100 ，然后计算 AD+BD 即可． 【解答】解：如图， ∵无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60°、45°， ∴∠A=60°，∠B=45°， 在 Rt△ACD 中，∵tanA= ， ∴AD= =100， 在 Rt△BCD 中，BD=CD=100 ， ∴AB=AD+BD=100+100 =100（1+ ）． 答：A、B 两点间的距离为 100（1+ ）米． 故答案为 100（1+ ）． 29．（2018•咸宁）如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 45°， 测得底部 C 的俯角为 60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 110m， 那么该建筑物的高度 BC 约为 300 m（结果保留整数， ≈1.73）． 【分析】在 Rt△ABD 中，根据正切函数求得 BD=AD•tan∠BAD，在 Rt△ACD 中， 求得 CD=AD•tan∠CAD，再根据 BC=BD+CD，代入数据计算即可． 【解答】解：如图，∵在 Rt△ABD 中，AD=90，∠BAD=45°， ∴BD=AD=110（m）， ∵在 Rt△ACD 中，∠CAD=60°， ∴CD=AD•tan60°=110× =190（m）， ∴BC=BD+CD=110+190=300（m） 答：该建筑物的高度 BC 约为 300 米． 故答案为 300． 30．（2018•天门）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船 B 在海岛 A， C 附近捕鱼作业，已知海岛 C 位于海岛 A 的北偏东 45°方向上．在渔船 B 上测得 海岛 A 位于渔船 B 的北偏西 30°的方向上，此时海岛 C 恰好位于渔船 B 的正北方 向 18（1+ ）n mile 处，则海岛 A，C 之间的距离为 18 n mile． 【分析】作 AD⊥BC 于 D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出 BD、CD，根 据题意列式计算即可． 【解答】解：作 AD⊥BC 于 D， 设 AC=x 海里， 在 Rt△ACD 中，AD=AC×sin∠ACD= x， 则 CD= x， 在 Rt△ABD 中，BD= x， 则 x+ x=18（1+ ），解得，x=18 ， 答：A，C 之间的距离为 18 海里． 故答案为：18 31．（2018•潍坊）如图，一艘渔船正以 60 海里/小时的速度向正东方向航行， 在 A 处测得岛礁 P 在东北方向上，继续航行 1.5 小时后到达 B 处，此时测得岛礁 P在北偏东 30°方向，同时测得岛礁 P正东方向上的避风港 M在北偏东 60°方向．为 了在台风到来之前用最短时间到达 M 处，渔船立刻加速以 75 海里/小时的速度 继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 【分析】如图，过点 P 作 PQ⊥AB 交 AB 延长线于点 Q，过点 M 作 MN⊥AB 交 AB 延长线于点 N，通过解直角△AQP、直角△BPQ 求得 PQ 的长度，即 MN 的长 度，然后通过解直角△BMN 求得 BM 的长度，则易得所需时间． 【解答】解：如图，过点 P 作 PQ⊥AB 交 AB 延长线于点 Q，过点 M 作 MN⊥AB 交 AB 延长线于点 N， 在直角△AQP 中，∠PAQ=45°，则 AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里）， 所以 BQ=PQ﹣90． 在直角△BPQ 中，∠BPQ=30°，则 BQ=PQ•tan30°= PQ（海里）， 所以 PQ﹣90= PQ， 所以 PQ=45（3+ ）（海里） 所以 MN=PQ=45（3+ ）（海里） 在直角△BMN 中，∠MBN=30°， 所以 BM=2MN=90（3+ ）（海里） 所以 = （小时） 故答案是： ． 32．（2018•济宁）如图，在一笔直的海岸线 l 上有相距 2km 的 A，B 两个观测 站，B 站在 A 站的正东方向上，从 A 站测得船 C 在北偏东 60°的方向上，从 B 站 测得船 C 在北偏东 30°的方向上，则船 C 到海岸线 l 的距离是 km． 【分析】首先由题意可证得：△ACB 是等腰三角形，即可求得 BC 的长，然后由 在 Rt△CBD 中，CD=BC•sin60°，求得答案． 【解答】解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 根据题意得：∠CAD=90°﹣60°=30°，∠CBD=90°﹣30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAD=30°， ∴∠CAB=∠ACB， ∴BC=AB=2km， 在 Rt△CBD 中，CD=BC•sin60°=2× = （km）． 故答案为： ． 三．解答题（共 18 小题） 33．（2018•贵阳）如图①，在 Rt△ABC 中，以下是小亮探究 与 之间 关系的方法： ∵sinA= ，sinB= ∴c= ，c= ∴ = 根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC 中，探究 、 、 之间的关系，并写出探究过程． 【分析】三式相等，理由为：过 A 作 AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形 ABD 中， 利用锐角三角函数定义表示出 AD，在直角三角形 ADC 中，利用锐角三角函数定 义表示出 AD，两者相等即可得证． 【解答】解： = = ，理由为： 过 A 作 AD⊥BC，BE⊥AC， 在 Rt△ABD 中，sinB= ，即 AD=csinB， 在 Rt△ADC 中，sinC= ，即 AD=bsinC， ∴csinB=bsinC，即 = ， 同理可得 = ， 则 = = ． 34．（2018•上海）如图，已知△ABC 中，AB=BC=5，tan∠ABC= ． （1）求边 AC 的长； （2）设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D，求 的值． 【分析】（1）过 A 作 AE⊥BC，在直角三角形 ABE 中，利用锐角三角函数定义求 出 AC 的长即可； （2）由 DF 垂直平分 BC，求出 BF 的长，利用锐角三角函数定义求出 DF 的长， 利用勾股定理求出 BD 的长，进而求出 AD 的长，即可求出所求． 【解答】解：（1）作 A 作 AE⊥BC， 在 Rt△ABE 中，tan∠ABC= = ，AB=5， ∴AE=3，BE=4， ∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1， 在 Rt△AEC 中，根据勾股定理得：AC= = ； （2）∵DF 垂直平分 BC， ∴BD=CD，BF=CF= ， ∵tan∠DBF= = ， ∴DF= ， 在 Rt△BFD 中，根据勾股定理得：BD= = ， ∴AD=5﹣ = ， 则 = ． 35．（2018•自贡）如图，在△ABC 中，BC=12，tanA= ，∠B=30°；求 AC 和 AB 的长． 【分析】如图作 CH⊥AB 于 H．在 Rt△求出 CH、BH，这种 Rt△ACH 中求出 AH、 AC 即可解决问题； 【解答】解：如图作 CH⊥AB 于 H． 在 Rt△BCH 中，∵BC=12，∠B=30°， ∴CH= BC=6，BH= =6 ， 在 Rt△ACH 中，tanA= = ， ∴AH=8， ∴AC= =10， ∴AB=AH+BH=8+6 ． 36．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事 故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直 的公路 l，其间设有区间测速，所有车辆限速 40 千米/小时数学实践活动小组设 计了如下活动：在 l 上确定 A，B 两点，并在 AB 路段进行区间测速．在 l 外取一 点 P，作 PC⊥l，垂足为点 C．测得 PC=30 米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午 9 时测得一汽车从点 A 到点 B 用时 6 秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超 速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71° ≈0.33，tan71°≈2.90） 【分析】先求得 AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出 AB=AC﹣BC=87 ﹣21=66，从而求得该车通过 AB 段的车速，比较大小即可得． 【解答】解：在 Rt△APC 中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87， 在 Rt△BPC 中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21， 则 AB=AC﹣BC=87﹣21=66， ∴该汽车的实际速度为 =11m/s， 又∵40km/h≈11.1m/s， ∴该车没有超速． 37．（2018•绍兴）如图 1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图 3 是图 2 中“滑块 铰链”的平面示意图，滑轨 MN 安装在窗框上，托悬臂 DE 安装在窗扇上，交点 A 处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点 B，C，D 始终在一直线上，延长 DE 交 MN 于点 F．已知 AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm． （1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB 的度数； （2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点 A，B 之间的距离（精确到 0.1cm）． （参考数据： ≈1.732， ≈2.449） 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可以解答本题； （2）根据锐角三角函数和题意可以求得 AB 的长，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）∵AC=DE=20cm，AE=CD=10cm， ∴四边形 ACDE 是平行四边形， ∴AC∥DE， ∴∠DFB=∠CAB， ∵∠CAB=85°， ∴∠DFB=85°； （2）作 CG⊥AB 于点 G， ∵AC=20，∠CGA=90°，∠CAB=60°， ∴CG= ，AG=10， ∵BD=40，CD=10， ∴CB=30， ∴BG= = ， ∴AB=AG+BG=10+10 ≈10+10×2.449=34.49≈34.5cm， 即 A、B 之间的距离为 34.5cm． 38．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架 ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2 （ +1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 2.1m 的圆 形门？ 【分析】过 B 作 BD⊥AC 于 D，解直角三角形求出 AD= xm，CD=BD=xm，得出 方程，求出方程的解即可． 【解答】解： 工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m 的圆形门， 理由是：过 B 作 BD⊥AC 于 D， ∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB， ∴求出 DB 长和 2.1m 比较即可， 设 BD=xm， ∵∠A=30°，∠C=45°， ∴DC=BD=xm，AD= BD= xm， ∵AC=2（ +1）m， ∴x+ x=2（ +1）， ∴x=2， 即 BD=2m＜2.1m， ∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m 的圆形门． 39．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 A、B 两地 间的公路进行改建．如图，A、B 两地之间有一座山．汽车原来从 A 地到 B 地需 途径 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶．已知 BC=80 千米，∠A=45°，∠B=30°． （1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到 0.1 千米）（参考数据： ≈141， ≈1.73） 【分析】（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，在直角△ACD 中，解直角三 角形求出 CD，进而解答即可； （2）在直角△CBD 中，解直角三角形求出 BD，再求出 AD，进而求出汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程． 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 过 点 C 作 AB 的 垂 线 CD ， 垂 足 为 D ， ∵AB⊥CD，sin30°= ，BC=80 千米， ∴CD=BC•sin30°=80× （千米）， AC= （千米）， AC+BC=80+40 ≈40×1.41+80=136.4（千米）， 答：开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走 136.4 千米； （2）∵cos30°= ，BC=80（千米）， ∴BD=BC•cos30°=80× （千米）， ∵tan45°= ，CD=40（千米）， ∴AD= （千米）， ∴AB=AD+BD=40+40 ≈40+40×1.73=109.2（千米）， ∴汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千 米）． 答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路程为 27.2 千米． 40．（2018•白银）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高 铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A， B 两地被大山阻隔，由 A 地到 B 地需要绕行 C 地，若打通穿山隧道，建成 A，B 两地的直达高铁，可以缩短从 A 地到 B 地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°， AC=640 公里，求隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短多少 公里？（参考数据： ≈1.7， ≈1.4） 【分析】过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，利用锐角三角函数的定义求出 CD 及 AD 的长， 进而可得出结论． 【解答】解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中， ∵∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640， ∴CD=320，AD=320 ， ∴BD=CD=320，BC=320 ， ∴AC+BC=640+320 ≈1088， ∴AB=AD+BD=320 +320≈864， ∴1088﹣864=224（公里）， 答：隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里． 41．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图 1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花， 采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为 258 米，宽 32 米，为双向六车道，2018 年 4 月 3 日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉 桥的部分截面图如图 2 所示，索塔 AB 和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索 DE 和最长的斜拉索 AC）均在同一水平面内，BC 在水平桥面上．已知∠ABC=∠ DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6 米，AB=5BD． （1）求最短的斜拉索 DE 的长； （2）求最长的斜拉索 AC 的长． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算 DE 的长； （2）作 AH⊥BC 于 H，如图 2，由于 BD=DE=3 ，则 AB=3BD=15 ，在 Rt△ABH 中，根据等腰直角三角形的性质可计算出 BH=AH=15，然后在 Rt△ACH 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系即可得到 AC 的长． 【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°， ∴△BDE 为等腰直角三角形， ∴DE= BE= ×6=3 ． 答：最短的斜拉索 DE 的长为 3 m； （2）作 AH⊥BC 于 H，如图 2， ∵BD=DE=3 ， ∴AB=3BD=5×3 =15 ， 在 Rt△ABH 中，∵∠B=45°， ∴BH=AH= AB= ×15 =15， 在 Rt△ACH 中，∵∠C=30°， ∴AC=2AH=30． 答：最长的斜拉索 AC 的长为 30m． 42．（2018•遵义）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳 BC 与地面保持 垂直，吊臂 AB 与水平线的夹角为 64°，吊臂底部 A 距地面 1.5m．（计算结果精 确到 0.1m，参考数据 sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） （1）当吊臂底部 A 与货物的水平距离 AC 为 5m 时，吊臂 AB 的长为 11.4 m． （2）如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高 度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计） 【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可； （2）过点 D 作 DH⊥地面于 H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可． 【解答】解：（1）在 Rt△ABC 中， ∵∠BAC=64°，AC=5m， ∴AB= （m）； 故答案为：11.4； （2）过点 D 作 DH⊥地面于 H，交水平线于点 E， 在 Rt△ADE 中， ∵AD=20m，∠DAE=64°，EH=1.5m， ∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18（m）， 即 DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m）， 答：如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度 是 19.5m． 43．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在 A 处 时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成 30°角，线段 AA1 表示小红身高 1.5 米． （1）当风筝的水平距离 AC=18 米时，求此时风筝线 AD 的长度； （2）当她从点 A 跑动 9 米到达点 B 处时，风筝线与水平线构成 45°角，此时 风筝到达点 E 处，风筝的水平移动距离 CF=10 米，这一过程中风筝线的长度保 持不变，求风筝原来的高度 C1D． 【分析】（1）在 Rt△ACD 中，由 AD= 可得答案； （ 2 ） 设 AF=x 米 ， 则 BF=AB+AF=9 +x ， 在 Rt △ BEF 中 求 得 AD=BE= =18+ x，由 cos∠CAD= 可建立关于 x 的方程，解之求得 x 的值，即可得出 AD 的长，继而根据 CD=ADsin∠CAD 求得 CD 从而得出答案． 【解答】解：（1）∵在 Rt△ACD 中，cos∠CAD= ，AC=18、∠CAD=30°， ∴AD= = = =12 （米）， 答：此时风筝线 AD 的长度为 12 米； （2）设 AF=x 米，则 BF=AB+AF=9 +x（米）， 在 Rt△BEF 中，BE= = =18+ x（米）， 由题意知 AD=BE=18+ x（米）， ∵CF=10 ， ∴AC=AF+CF=10 +x， 由 cos∠CAD= 可得 = ， 解得：x=3 +2 ， 则 AD=18+ （3 +2 ）=24+3 ， ∴CD=ADsin∠CAD=（24+3 ）× = ， 则 C1D=CD+C1C= + = ， 答：风筝原来的高度 C1D 为 米． 44．（2018•山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合 而成，全桥共设 13 对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某 数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题 活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测 量结果如下表． 项目 内容 课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离 测量示意图 说明：两侧最长斜拉索 AC，BC 相交于点 C， 分别与桥面交于 A，B 两点，且点 A，B，C 在同一竖直平面内． 测量数据 ∠A 的度数 ∠B 的度数 AB 的长度 38° 28° 234 米 … … （1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离（参 考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28° ≈0.5） （2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要 补充哪些项目（写出一个即可）． 【分析】（1）过点 C 作 CD⊥AB 于点 D．解直角三角形求出 DC 即可； （2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活 动感受等 【解答】解：（1）过点 C 作 CD⊥AB 于点 D． 设 CD=x 米，在 Rt△ADC 中，∠ADC=90°，∠A=38°． ∵ ，∴ ． 在 Rt△BDC 中，∠BDC=90°，∠B=28°． ∵ ，∴ ． ∵AD+BD=AB=234，∴ ． 解得 x=72． 答：斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离为 72 米． （2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活 动感受等．（答案不唯一） 45．（2018•常德）图 1 是一商场的推拉门，已知门的宽度 AD=2 米，且两扇门 的大小相同（即 AB=CD），将左边的门 ABB1A1 绕门轴 AA1 向里面旋转 37°，将右 边的门 CDD1C1 绕门轴 DD1 向外面旋转 45°，其示意图如图 2，求此时 B 与 C 之间 的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， ≈1.4） 【分析】作 BE⊥AD 于点 E，作 CF⊥AD 于点 F，延长 FC 到点 M，使得 BE=CM， 则 EM=BC，在 Rt△ABE、Rt△CDF 中可求出 AE、BE、DF、FC 的长度，进而可得 出 EF 的长度，再在 Rt△MEF 中利用勾股定理即可求出 EM 的长，此题得解． 【解答】解：作 BE⊥AD 于点 E，作 CF⊥AD 于点 F，延长 FC 到点 M，使得 BE=CM， 如图所示． ∵AB=CD，AB+CD=AD=2， ∴AB=CD=1． 在 Rt△ABE 中，AB=1，∠A=37°， ∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8． 在 Rt△CDF 中，CD=1，∠D=45°， ∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7． ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴BE∥CM， 又∵BE=CM， ∴四边形 BEMC 为平行四边形， ∴BC=EM，CM=BE． 在 Rt△MEF 中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3， ∴EM= ≈1.4， ∴B 与 C 之间的距离约为 1.4 米． 46．（2018•台州）图 1 是一辆吊车的实物图，图 2 是其工作示意图，AC 是可以 伸缩的起重臂，其转动点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 3.4m．当起重臂 AC 长度为 9m，张角∠HAC 为 118°时，求操作平台 C 离地面的高度（结果保留小数点后一 位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） 【分析】作 CE⊥BD 于 F，AF⊥CE 于 F，如图 2，易得四边形 AHEF 为矩形，则 EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在 Rt△ACF 中利用正弦可计算 出 CF，然后计算 CF+EF 即可． 【解答】解：作 CE⊥BD 于 F，AF⊥CE 于 F，如图 2， 易得四边形 AHEF 为矩形， ∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°， ∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°， 在 Rt△ACF 中，∵sin∠CAF= ， ∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23， ∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m）， 答：操作平台 C 离地面的高度为 7.6m． 47．（2018•岳阳）图 1 是某小区入口实景图，图 2 是该入口抽象成的平面示意 图．已知入口 BC 宽 3.9 米，门卫室外墙 AB 上的 O 点处装有一盏路灯，点 O 与 地面 BC 的距离为 3.3 米，灯臂 OM 长为 1.2 米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°． （1）求点 M 到地面的距离； （2）某搬家公司一辆总宽 2.55 米，总高 3.5 米的货车从该入口进入时，货车需 与护栏 CD 保持 0.65 米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计 算说明；若不能，请说明理由．（参考数据： ≈1.73，结果精确到 0.01 米） 【分析】（1）构建直角△OMN，求 ON 的长，相加可得 BN 的长，即点 M 到地 面的距离； （2）左边根据要求留 0.65 米的安全距离，即取 CE=0.65，车宽 EH=2.55，计算高 GH 的长即可，与 3.5 作比较，可得结论． 【解答】解：（1）如图，过 M 作 MN⊥AB 于 N，交 BA 的延长线于 N， Rt△OMN 中，∠NOM=60°，OM=1.2， ∴∠M=30°， ∴ON= OM=0.6， ∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9； 即点 M 到地面的距离是 3.9 米； （2）取 CE=0.65，EH=2.55， ∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7， 过 H 作 GH⊥BC，交 OM 于 G，过 O 作 OP⊥GH 于 P， ∵∠GOP=30°， ∴tan30°= = ， ∴GP= OP= ≈0.404， ∴GH=3.3+0.404=3.704≈3.70＞3.5， ∴货车能安全通过． 48．（2018•徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求 坝高和坝底宽（精确到 0.1m）参考数据： ≈1.414， ≈1.732 【分析】利用锐角三角函数，在 Rt△CDE 中计算出坝高 DE 及 CE 的长，通过矩 形 ADEF．利用等腰直角三角形的边角关系，求出 BF 的长，得到坝底的宽． 【解答】解：在 Rt△CDE 中， ∵sin∠C= ，cos∠C= ∴DE=sin30°×DC= ×14=7（m）， CE=cos30°×DC= ×14=7 ≈12.124≈12.12， ∵四边形 AFED 是矩形， ∴EF=AD=6m，AF=DE=7m 在 Rt△ABF 中， ∵∠B=45° ∴DE=AF=7m， ∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m） 答：该坝的坝高和坝底宽分别为 7m 和 25.1m． 49．（2018•河南）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、 低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调 节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数 学问题，请你解答． 如图所示，底座上 A，B 两点间的距离为 90cm．低杠上点 C 到直线 AB 的距离 CE 的长为 155cm，高杠上点 D 到直线 AB 的距离 DF 的长为 234cm，已知低杠的支 架 AC 与直线 AB 的夹角∠CAE 为 82.4°，高杠的支架 BD 与直线 AB 的夹角∠DBF 为 80.3°．求高、低杠间的水平距离 CH 的长．（结果精确到 1cm，参考数据 sin82.4° ≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168， tan80.3°≈5.850） 【分析】利用锐角三角函数，在 Rt△ACE 和 Rt△DBF 中，分别求出 AE、BF 的长．计 算出 EF．通过矩形 CEFH 得到 CH 的长． 【解答】解：在 Rt△ACE 中， ∵tan∠CAE= ， ∴AE= = ≈ ≈21（cm） 在 Rt△DBF 中， ∵tan∠DBF= ， ∴BF= = ≈ =40（cm） ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm） ∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF ∴四边形 CEFH 是矩形， ∴CH=EF=151cm 答：高、低杠间的水平距离 CH 的长为 151cm． 50．（2018•嘉兴）如图 1，滑动调节式遮阳伞的立柱 AC 垂直于地面 AB，P 为立 柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F 为 PD 的中点，AC=2.8m， PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°，当点 P 位于初始位置 P0 时，点 D 与 C 重合（图 2）．根 据生活经验，当太阳光线与 PE 垂直时，遮阳效果最佳． （1）上午 10：00 时，太阳光线与地面的夹角为 65°（图 3），为使遮阳效果最 佳，点 P 需从 P0 上调多少距离？（结果精确到 0.1m） （2）中午 12：00 时，太阳光线与地面垂直（图 4），为使遮阳效果最佳，点 P 在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到 0.1m）（参考数据：sin70° ≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75， ≈1.41， ≈1.73） 【分析】（1）只要证明△CFP1 是等腰直角三角形，即可解决问题； （2）解直角三角形求出 CP2 的长即可解决问题； 【解答】解：（1）如图 2 中，当 P 位于初始位置时，CP0=2m， 如图 3 中，上午 10：00 时，太阳光线与地面的夹角为 65°，上调的距离为 P0P1． ∵∠1=90°，∠CAB=90°，∠ABE=65°， ∴∠AP1E=115°， ∴∠CP1E=65°， ∵∠DP1E=20°， ∴∠CP1F=45°， ∵CF=P1F=1m， ∴∠C=∠CP1F=45°， ∴△CP1F 是等腰直角三角形， ∴P1C= m， ∴P0P1=CP0﹣P1C=2﹣ ≈0.6m， 即为使遮阳效果最佳，点 P 需从 P0 上调 0.6m． （2）如图 4 中，中午 12：00 时，太阳光线与地面垂直（图 4），为使遮阳效果 最佳，点 P 调到 P2 处． ∵P2E∥AB， ∴∠CP2E=∠CAB=90°， ∵∠DP2E=20°， ∴∠CP2F=70°，作 FG⊥AC 于 G，则 CP2=2CG=1×cos70°≈0.68m， ∴P1P2=CP1﹣CP2= ﹣0.68≈0.7m， 即点 P 在（1）的基础上还需上调 0.7m．