勾股定理中考章节复习知识点经典题型分析总结 6页

勾股定理（知识点）‎ ‎【知识要点】‎ ‎ 1. 勾股定理的概念：‎ ‎ 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。‎ ‎2. 勾股定理的逆定理：‎ ‎ 如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。‎ ‎ 3. 勾股数：‎ ‎ ①满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）‎ ‎②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；；8,15,17等 ‎③用含字母的代数式表示组勾股数：‎ ‎（为正整数）；‎ ‎（为正整数）‎ ‎（，为正整数）‎ ‎4.命题、定理、证明 ‎ ‎⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。‎ 理解：命题的定义包括两层含义：‎ ‎（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。‎ ‎⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）‎ ‎ 真命题（正确的命题）‎ 命题 ‎ 假命题（错误的命题）‎ 所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。‎ 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。‎ ‎⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。‎ ‎⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。‎ ‎⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。‎ ‎⑹ 证明的一般步骤 ‎① 根据题意，画出图形。‎ ‎② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。‎ ‎③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。‎ ‎5.判断直角三角形：‎ ‎（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。‎ ‎（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 ‎ ‎（3）2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。‎ ‎（4）如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）‎ 用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：‎ ‎（1）确定最大边（不妨设为c）；‎ ‎（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；‎ 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；‎ 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）‎ ‎6.直角三角形的性质 ‎ ‎ （1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°‎ ‎ （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。‎ ‎ ∠A=30°‎ ‎ 可表示如下： BC =AB ‎ ∠C=90°‎ ‎ （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。‎ ‎ ∠ACB=90° ‎ ‎ 可表示如下： CD =AB = BD = AD ‎ D为AB的中点 ‎ ‎6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC ‎7.数轴上表示无理数 第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和 第二部：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度。连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数。‎ 勾股定理（习题）‎ 一、基本应用 考点1：勾股定理 ‎1.矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为______________cm2. ‎ ‎2.（易错题）已知直角三角形的两边，的长满足│x－4│+=0，则第三边的长为__________‎ ‎3．如图，在△ABC中，∠BAC=90º，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D，则△ABC斜边上的高AD= ．‎ ‎4．已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( )‎ A．12cm B． C． D．‎ ‎5.在Rt△ABC，∠C=90°‎ ‎（1） 已知c=17，b=8, 求a。‎ ‎（2） 已知a∶b=1∶2，c=5, 求a。‎ ‎（3） 已知b=15，∠A=30°，求a，c。‎ ‎6.如图：所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2。‎ 7. 如图，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 ．‎ ‎8.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．‎ 考点2.勾股定理逆定理 ‎1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________，能构成直角三角形的是____________．（填序号）‎ ‎①3，4，5 ② 1，3，4 ③ 4，4，6 ④ 6，8，10 ⑤ 5，7，2 ⑥ 13，5，12 ⑦ 7，25，24‎ ‎2、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　 　）‎ A、a=9，b=41，c=40 B、a=b=5，c= C 、a∶b∶c=3∶4∶5 D a=11，b=12，c=15‎ ‎3、若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（ ）‎ ‎ A．42 B．52 C．7 D．52或7‎ ‎4、已知的三边为、、，且，求三角形三个内角度数的比．‎ ‎5、的三边、、满足．试判断的形状．‎ 命题、真命题、假命题判定 ‎1.说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?‎ ‎（1）两条直线平行，内错角相等．‎ ‎（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．‎ ‎2.命题“全等三角形的对应角相等”‎ ‎（1）它的逆命题是 。‎ ‎（2）这个逆命题正确吗？‎ ‎（3）如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例。‎ ‎3.写出下列命题的逆命题，并判断它是否正确．‎ ‎(1)等腰三角形的两底角相等；‎ ‎(2)三角形的三内角之比为l：1：2，则三角形为等腰直角三角形；‎ ‎(3)正方形的四个内角都是直角．‎ 考点3.数轴表示无理数 ‎1.用圆规与尺子在数轴上作出表示的点，并补充完整作图方法 ‎2.在数轴上（如图9）作出表示3-的点（保留作图痕迹，不写作法）。‎ 考点4:勾股定理应用 ‎1.如图，在矩形ABCD中，M是CD中点，AB=8，AD=3．‎ ‎ （1）求AM的长；‎ ‎ （2）△MAB是直角三角形吗？为什么？‎ ‎2.如图所示，在中，，CD是AB边上高，若AD=8，BD=2，求CD．‎ ‎3.（易错题）如图，已知在中∠ACB=90°，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于 ．‎ ‎4.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF。‎ ‎（二）、实际应用：‎ ‎1. 梯子滑动问题：‎ ‎1.一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动 米 ‎ 第1题图 第2题图 ‎ ‎2.如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）‎ ‎3.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米 ‎ ‎2. 爬行距离最短问题：‎ ‎1.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm ‎2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 分米？‎ B C ‎ ‎ ‎3、实际问题 ‎1. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。‎ ‎2.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为 。‎ ‎4、方向问题：‎ ‎1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？‎ ‎2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．‎ ‎⑴ 此时轮船离开出发点多少km? ‎ ‎⑵ 若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?‎ ‎5、折叠问题：‎ ‎1.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？‎ ‎2.如图，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且，那么△DEF是直角三角形吗？为什么？‎ ‎3.如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F。‎ ‎（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长 ‎6、利用勾股定理测量长度 如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.‎