全国中考数学试题分类汇编函数的图像与性质 20页

‎2012年全国中考数学试题分类汇编：‎ 函数的图像与性质 一、 选择题 ‎1.（北京4分）抛物线=2﹣6+5的顶点坐标为 ‎ A、（3，﹣4） B、（3，4） C、（﹣3，﹣4） D、（﹣3，4）‎ ‎【答案】A。‎ ‎2.（天津3分）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网所用时间计算；方式B除收月基费20元外．再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费。若上网所用时问为分．计费为元，如图．是在同一直角坐标系中．分别描述两种计费方式的函救的图象，有下列结论：‎ ‎① 图象甲描述的是方式A：‎ ‎② 图象乙描述的是方式B；‎ ‎③ 当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱．‎ 其中，正确结论的个数是 ‎ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0‎ ‎【答案】A。‎ ‎3.（河北省2分）一次函数y=6x+1的图象不经过 ‎ ‎ A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 ‎【答案】D。‎ ‎4.（河北省3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是 ‎ ‎ A、1米 B、5米 C、6米 D、7米 ‎【答案】C。‎ ‎5.（河北省3分）如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为和，则与的函数图象大致是 ‎ ‎【答案】A 。‎ ‎6.（河北省3分）根据图1所示的程序，得到了与的函数图象，如图2．若点M是轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论：‎ ‎①＜0 时， ‎②△OPQ的面积为定值．‎ ‎③＞0时，随的增大而增大．‎ ‎④MQ=2PM．‎ ‎⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论是 ‎ ‎ A、①②④ B、②④⑤ C、③④⑤ D、②③⑤‎ ‎【答案】B。‎ ‎【分析】由图1知，该函数为，据此分析：‎ ‎①、＜0，=，∴①错误；‎ ‎②、当＜0时，=，当＞0时，=，设P（，），Q（，d），‎ 则=﹣2，=4，∴△OPQ的面积是d=3，∴②正确；‎ ‎③、＞0时，随的增大而减小，∴③错误；‎ ‎④、∵=﹣2，=4，∴④正确；‎ ‎⑤、因为∠POQ=90°也行，∴⑤正确，正确的有②④⑤。故选B。‎ ‎7.（山西省2分）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线=1，则下列结论正确的是 ‎ ‎ A， B．方程的两根是 ‎ C． D．当>0时，随的增大而减小．‎ ‎【答案】B。‎ ‎【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴、轴的交点，逐一判断：‎ ‎ A、∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴＜0，＞0，＜0，故本选项错误；‎ ‎ B、∵抛物线对称轴是=1，与轴交于（3，0），∴抛物线与轴另一交点为（－1，0），‎ 即方程的两根是，故本选项正确；‎ C、∵抛物线对称轴为，∴，故本选项错误；‎ ‎ D、∵抛物线对称轴为=1，开口向下，∴当＞1时，随的增大而减小，故本选项 错误。‎ 故选B。‎ ‎8.（内蒙古包头3分）已知二次函数y=ax2＋bx＋c同时满足下列条件：①对称轴是x=1；②最值是15；③二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15﹣a，则b的值是 ‎ ‎ A、4或﹣30 B、﹣30 C、4 D、6或﹣20‎ ‎【答案】C。‎ ‎【分析】由已知，二次函数图象的顶点为（1，15），可设解析式为：y=a（x－1）2+15，‎ ‎ 即y=ax2－2x＋15＋a。‎ ‎ ∵二次函数的图象与x轴有两个交点，设为x1，x2，它们是ax2－2x＋15＋a=0的两个根。‎ ‎ ∴根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2=2，。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∵由已知，，∴，即。‎ ‎ 解得a=－2或15。‎ ‎ 当a=－2时，y=－2x2＋4x＋13，b=4；‎ ‎ 当a=15时，y=15x2－30x＋30，此时，图象开口向上，顶点为（1，15），与x轴没有交点，与已知不符。‎ ‎ ∴b=4。故选C。‎ ‎9.（内蒙古呼和浩特3分）已知一元二次方程的一根为，在二次函数的图象上有三点、、，、、的大小关系是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【分析】把=﹣3代入中，得9﹣3﹣3=0，解得=2。‎ ‎∴二次函数解析式为。‎ ‎∴抛物线开口向上，对称轴为。‎ ‎∵＜﹣1＜＜，且﹣1﹣（）=，﹣（﹣1）=，而＞，‎ ‎∴。故选A。‎ ‎10.（内蒙古呼伦贝尔3分）双曲线经过点 ，则下列点在双曲线上的是 ‎ A. B. ( C. D. ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将代入，求得，从而得到双曲线。将各点代入，易得在双曲线上，故选D。‎ ‎11.（内蒙古呼伦贝尔3分） 抛物线的顶点坐标 ‎ A．( 1, 1 ) B．C． D. ‎ ‎【答案】A。‎ 一、 填空题 ‎1. （天津3分）) 已知一次函数的图象经过点(0．1)．且满足随的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为 ▲ (写出一一个即可)．‎ ‎【答案】（答案不唯一）。‎ ‎【考点】一次函数的图象和性质。‎ ‎【分析】根据一次函数的图象和性质，直接得出结果。答案不唯一，形如都可以。‎ ‎2.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）已知点A（﹣5，a），B（4，b）在直线y=﹣3x+2上，则a　 ▲ b．（填“＞”“＜”或“=”号 ）‎ ‎【答案】＞。‎ x y O C A B ‎3.（内蒙古包头3分）如图，点A(－1，m)和B(2，m＋3)在反比例函数的图象上，直线AB与轴的交于点C，则点C的坐标是　 ▲ 　．‎ ‎【答案】（1，0）。‎ ‎【分析】∵点A(－1，m)和B(2，m＋3)在反比例函数的图象上，‎ ‎∴，解得。∴A（﹣1，﹣2）与B（2，）。‎ 设直线AB的解析式为，则，解得。‎ ‎∴直线AB的解析式为。‎ 令=0，解得=。∴点C的坐标是（1，0）。‎ ‎4.（内蒙古呼和浩特3分）已知关于的一次函数的图象如图所示，则可化简为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】。‎ ‎5.（内蒙古乌兰察布4分）函数l= (≥0 ) , （> 0 ）的图象如图所示，则结论： ① 两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 ) ② 当 > 3 ，时， ③ 当 ＝1时， BC = 8 ④ 当 逐渐增大时，l 随着 的增大而增大，2随着 的增大而减小．其中正确结论的序号是 ▲ .‎ ‎【答案】①③④。‎ ‎【分析】①由(> 0 )解得，从而。即两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 )。‎ ‎②当 > 3时，l= (≥0 ) 的图象在（> 0 ）的图象之上，所以。‎ ‎③ 当 ＝1时，l=1，，所以BC =8。‎ ‎④ 当 逐渐增大时，l 随着 的增大而增大，2随着 的增大而减小。‎ 因此，正确结论的序号是①③④。‎ 一、 解答题 ‎1.（北京5分）如图，在平面直角坐标系O中，一次函数=﹣2的图象与反比例函数的图象的一个交点为A（﹣1，n）．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数=﹣2的图象上，‎ ‎∴n=﹣2×（﹣1）=2。‎ ‎ ∴点A的坐标为（﹣1，2）。‎ ‎ ∵点A在反比例函数的图象上，∴k=﹣2‎ ‎ ∴反比例函数的解析式是。‎ ‎ （2）点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）。‎ ‎2.（北京7分）在平面直角坐标系Oy中，二次函数的图象与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）当∠ABC=45°时，求m的值；‎ ‎（3）已知一次函数=k+b，点P（n，0）是轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数的图象于N．若只有当﹣2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．‎ ‎【答案】解：（1）∵点A、B是二次函数的图象与轴的交点，‎ ‎ ∴令=0，即m2+（m﹣3）﹣3=0解得1=﹣1，。 ‎ 又∵点A在点B左侧且m＞0，∴点A的坐标为（﹣1，0）。‎ ‎ （2）由（1）可知点B的坐标为，‎ ‎ ∵二次函数的图象与y轴交于点C，‎ ‎∴点C的坐标为（0，﹣3）。‎ ‎ ∵∠ABC=45°，∴。∴m=1。‎ ‎ （3）由（2）得，二次函数解析式为=2﹣2﹣3。‎ ‎ 依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2和2。‎ ‎ 由此可得交点坐标为（﹣2，5）和（2，﹣3），‎ 将交点坐标分别代入一次函数解析式=k+b中，‎ 得，解得：。‎ ‎ ∴一次函数解析式为y=﹣2+1。‎ ‎【分析】（1）令=0则求得两根，又由点A在点B左侧且m＞0，所以求得点A的坐标。‎ ‎ （2）二次函数的图象与y轴交于点C，即求得点C，由∠ABC=45°，从而求得。‎ ‎ （3）由m值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得。‎ ‎3.（天津8分）已知一次函数(b为常数)的图象与反比例函数（为常数．且）‎ 的图象相交于点P(3．1)．‎ ‎ (I) 求这两个函数的解析式；‎ ‎(II) 当>3时，试判断与的大小．井说明理由。‎ ‎【答案】解 ：(I)∵P(3．1)在一次函数一次函数上，∴1=3＋b。∴b=－2。‎ ‎ ∴一次函数的解析式为。‎ ‎ 同理，反比例函数的解析式为。‎ ‎ (II) ．理由如下：当时，，‎ ‎ 又当时．一次函数随的增大而增大．反比例函数随的增大而减小，‎ ‎ ∴当时。‎ ‎4.（天津8分）‎ ‎ 注意：为了使同学们更好她解答本题，我们提供了—种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答．也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．‎ ‎ 某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?‎ 设每件商品降价元．每天的销售额为元．‎ ‎(I) 分析：根据问题中的数量关系．用含的式子填表：‎ ‎ (Ⅱ) (由以上分析，用含的式子表示，并求出问题的解) ‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）根据题意，每天的销售额 ‎ 整理配方，得。‎ ‎ ∴当=5时，取得最大值1800。‎ ‎ 答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元。‎ ‎5.（天津10分）在平面直角坐标系中．已知O坐标原点．点A(3．0)，B(0，4)．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转转角为α．∠ABO为β．‎ ‎ (I) 如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时．求点D的坐标；‎ ‎ (Ⅱ) 如图②，当旋转后满足BC∥轴时．求α与β之闻的数量关系；‎ ‎(Ⅲ) 当旋转后满足∠AOD=β时．求直线CD的解析式(直接写出即如果即可)，‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：(I)∵点A(3，0)，B(0，4)，∴0A=3，OB=4。‎ ‎ ∴在Rt△ABO中．由勾股定理．得AB=。‎ ‎ 根据题意，有DA=OA=3。‎ ‎ 如图①．过点D作DM⊥轴于点M，则MD∥OB。‎ ‎ ∴△ADM∽△ABO。有，‎ ‎ 得， 。‎ ‎ 又OM=OA-AM，得OM=。‎ ‎ ∴点D的坐标为（）。‎ ‎ (Ⅱ)如图②．由己知，得∠CAB=α，AC=AB，∴∠ABC=∠ACB。‎ ‎ ∴在△ABC中，由∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，得α=180°—2∠ABC。‎ ‎ 又∵BC∥轴，得∠OBC=90°，有∠ABC=90°—∠ABO=90°—β。‎ ‎ ∴α=180°—2（90°—β）=2β。‎ ‎ （Ⅲ） 直线CD的解析式为，或。‎ ‎【分析】(I)作辅助线DM⊥轴，由勾股定理求出AB的长，由相似三角形对应边成比例的性质即可求出。‎ ‎ (Ⅱ)由旋转的性质，知∠ABC=∠ACB，由三角形三内角和1800的定理可得α=180°—2∠ABC。又由于BC∥轴，可得∠ABC=90°—β，从而α=2β从而的关系。‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎（Ⅲ）如图1，连接BD，作DF⊥轴于F。由∠AOD=β=∠ABO可证△AOB≌△ADB，‎ ‎∴∠ADB=∠AOB=900。又∵∠ADC=900，∴B在直线CD上。‎ ‎∴可设直线CD方程式为=k+4。‎ 由△AOE∽△ABO得。‎ 设D点坐标为，则有 ‎，解之得 。‎ ‎ 代入直线CD方程=k+4，得k=。∴直线CD的解析式为。‎ ‎ 同样考虑∠AOD在轴下方的情况，如图2，可得直线CD的解析式。‎ ‎6.（河北省9分）已知A、B两地的路程为240千米．某经销商每天都要用汽车或火车将吨保鲜品一次 性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．‎ 现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图1）、上周货运量折线统计图（如图2）等信息如下：‎ 货运收费项目及收费标准表 运输工具 运输费单价：元/（吨•千米）‎ 冷藏费单价：元/（吨•时）‎ 固定费用：元/次 汽车 ‎2‎ ‎5‎ ‎200‎ 火车 ‎1.6‎ ‎5‎ ‎2280‎ ‎ ‎ ‎（1）汽车的速度为60千米/时，火车的速度为100千米/时：‎ ‎（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为汽（元）和火（元），分别求汽、火与 的函数关系式（不必写出的取值范围），及为何值时汽＞火（总费用=运输费+冷藏费+固定费用）‎ ‎（3）请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？‎ ‎【答案】解：（1）根据图表上点的坐标为：（2，120），（2，200），‎ ‎∴汽车的速度为 60千米/时，火车的速度为 100千米/时，‎ ‎（2）依据题意得出：‎ 汽=240·2+·5+200=500+200；‎ 火=240·1.6+·5+2280=396+2280。‎ 若汽＞火，得500+200＞396+2280，∴＞20。‎ ‎∴当＞20时，汽＞火。‎ ‎（3）∵上周货运量=（17+20+19+22+22+23+24）÷7=21＞20，‎ ‎∴从平均数分析，建议预定火车费用较省。‎ 又从折线图走势分析，上周货运量周四（含周四）后大于20且呈上升趋势，建议预订火车费用较省。‎ ‎7.（山西省7分）)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥轴于点E。已知C点的坐标是(6，)，DE=3．‎ ‎（1）求反比例函数与一次函数的解析式。‎ ‎（2）根据图象直接回答：当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?‎ ‎【答案】解：（1）点C（6，－1）在反比例函数的图象上，∴=－6，‎ ‎∴反比例函数的解析式。‎ ‎∵点D在反比例函数上，且DE=3，∴=－2。∴点D的坐标为（－2，3）。‎ ‎∵C、D两点在直线上，∴，解得 。‎ ‎∴一次函数的解析式为。‎ ‎（2）由图象，得当x＜-2或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值。‎ ‎8.（内蒙古呼和浩特8分）在同一直角坐标系中反比例函数的图象与一次函数的图象相交，且其中一个交点A的坐标为（–2，3），若一次函数的图象又与x轴相交于点B，且△AOB的面积为6（点O为坐标原点）.求一次函数与反比例函数的解析式.‎ ‎【答案】解：将点A（－2，3）代入中得：，∴。‎ K] ∴反比例函数的解析式为。‎ 又∵△AOB的面积为6，∴。 ∴∴|OB|=4。‎ ‎∴B点坐标为（4，0）或（－4，0）。‎ ‎①当B（4，0）时，又∵点A（－2，3）是两函数图象的交点，‎ ‎∴代入中得，解得。∴。‎ ‎②当B（－4，0）时，又∵点A（—2，3）是两函数图象的交点，‎ ‎∴代入中得，解得。 ∴。‎ 综上所述，一次函数的解析式为或。‎ ‎9.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰10分）如图，点D双曲线上，AD垂直轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于x轴交曲线于点B，直线AB与y轴交于点F，已知AC：AD=1：3，点C的坐标为（2，2）．‎ ‎（1）求该双曲线的解析式；‎ ‎（2）求△OFA的面积．‎ ‎【答案】解：（1）∵点C的坐标为（2，2），AD垂直x轴，‎ ‎∴AC=2。‎ 又∵AC：AD=1：3，∴AD=6。‎ ‎∴D点坐标为（2，6）。‎ 设双曲线的解析式为，‎ 把D（2，6）代入得，=2×6=12。‎ ‎∴双曲线解析式为。‎ ‎（2）设直线AB的解析式为，得 把A（2，0）和B（6，2）代入得，，解得。‎ ‎∴直线AB的解析式为。‎ 令=0，得=﹣1，∴F点的坐标为（0，﹣1）。‎ ‎∴S△OFC=×OA×OF=×2×1=1。‎ ‎10.（内蒙古巴彦淖、赤峰尔12分）如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；‎ ‎（2）求证：四边形ABCD是直角梯形．‎ ‎【答案】解：（1）∵y=x+3与坐标轴分别交与A、B两点，‎ ‎∴A点坐标（﹣3，0）、B点坐标（0，3）。‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A、B两点，‎ ‎∴，解得。∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3。‎ ‎∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，‎ ‎∴顶点C的坐标为（﹣1，4）。‎ ‎（2）∵B、D关于MN对称，C（﹣1，4），B（0，3），∴D（﹣2，3）。‎ ‎∵B（3，0），A（﹣3，0），∴OA=OB。‎ 又∠AOB=90°，∴∠ABO=∠BAO=45°。‎ ‎∵B、D关于MN对称，∴BD⊥MN。‎ 又∵MN⊥X轴，∴BD∥X轴。‎ ‎∴∠DBA=∠BAO=45°。∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°。‎ ‎∴∠ABC=180°﹣∠DBO=90°。∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°。‎ ‎∵CM⊥BD，∴∠MCB=45°。‎ ‎∵B，D关于MN对称，∴∠CDM=∠CBD=45°，CD∥AB。‎ 又∵AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形。‎ ‎∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是直角梯形。‎ ‎11.（内蒙古呼伦贝尔6分）根据题意，解答问题： ‎ ‎（1）如图①，已知直线与轴、轴分别交于A、B两点，求勾股定理.‎ ‎（2）如图②，类比（1）的解题过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出点M（3，4）与点 N（－2，1）之间的距离.‎ ‎【答案】解：（1）根据题意得， A（0，4），B（－2，O），‎ 在Rt△AOB中，根据勾股定理，得 ‎ 。‎ ‎（2）过M点作轴的垂线MF, 过N作轴的垂线NE, MF, NE交于点D 。‎ 由 M（3，4），N（－2，1），得 MD=， ND=。‎ ‎ ∴MN= 。‎ ‎【分析】（1）由点在直线上，点的坐标满足方程的关系，可求出直线线与轴、轴的交点坐标，从而根据勾股定理求得勾股定理。‎ ‎ （2）构造直角三角形，过M点作轴的垂线MF, 过N作轴的垂线NE, MF, NE交于点D。‎ 在Rt△MND中，应用勾股定理即可求得点M（3，4）与点N（－2，1）之间的距离。‎