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- 2021-05-10 发布
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2016年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题:每小题3分,共30分
1.下列四个数中,与﹣2的和为0的数是( )
A.﹣2 B.2 C.0 D.﹣
2.计算32×3﹣1的结果是( )
A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2
3.下列图形中,属于立体图形的是( )
A. B. C. D.
4. +的运算结果正确的是( )
A. B. C. D.a+b
5.某校对全体学生开展心理健康知识测试,七、八、九三个年级共有800名学生,各年级的合格人数如表所示,则下列说法正确的是( )
年级
七年级
八年级
九年级
合格人数
270
262
254
A.七年级的合格率最高
B.八年级的学生人数为262名
C.八年级的合格率高于全校的合格率
D.九年级的合格人数最少
6.下列一元二次方程没有实数根的是( )
A.x2+2x+1=0 B.x2+x+2=0 C.x2﹣1=0 D.x2﹣2x﹣1=0
7.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为( )
A.13 B.17 C.20 D.26
8.在直角坐标系中,点M,N在同一个正比例函数图象上的是( )
A.M(2,﹣3),N(﹣4,6) B.M(﹣2,3),N(4,6) C.M(﹣2,﹣3),N(4,﹣6) D.M(2,3),N(﹣4,6)
9.用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是( )
A. B. C. D.
10.如图,已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆,点D是上一点,BD交AC于点E,若BC=4,AD=,则AE的长是( )
A.3 B.2 C.1 D.1.2
二、填空题:每小题4分,共24分
11.分解因式:am﹣3a= .
12.如图,在△ABC中,∠A=63°,直线MN∥BC,且分别与AB,AC相交于点D,E,若∠AEN=133°,则∠B的度数为 .
13.箱子里放有2个黑球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,现从箱子里随机摸出两个球,恰好为1个黑球和1个红球的概率是 .
14.已知x2+2x﹣1=0,则3x2+6x﹣2= .
15.如图,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为点E,F,延长BD至G,使得DG=BD,连结EG,FG,若AE=DE,则= .
16.如图,一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A,B两点,与x轴、y轴分别交于C,D两点,连结OA,OB,过A作AE⊥x轴于点E,交OB于点F,设点A的横坐标为m.
(1)b= (用含m的代数式表示);
(2)若S△OAF+S四边形EFBC=4,则m的值是 .
三、解答题
17.计算:(﹣3)0﹣|﹣|+.
18.解不等式:3x﹣5<2(2+3x)
19.数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等,于是,小陆同学提出一个问题:如图,将一副三角板直角顶点重合拼放在一起,点B,C,E在同一直线上,若BC=2,求AF的长.
请你运用所学的数学知识解决这个问题.
20.为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作,某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩,并绘制成如图两个统计图,请结合统计图信息解决问题.
(1)“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍,求“跳绳”项目的女生人数;
(2)若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”,试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目,并说明理由;
(3)请结合统计图信息和实际情况,给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议.
21.2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行,某运动员从起点万地广场西门出发,途经紫金大桥,沿比赛路线跑回中点万地广场西门.设该运动员离开起点的路程S(千米)与跑步时间t(分钟)之间的函数关系如图所示,其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分,用时35分钟,根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)求图中a的值;
(2)组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C,该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟.
①求AB所在直线的函数解析式;
②该运动员跑完赛程用时多少分钟?
22.如图,AB是以BC为直径的半圆O的切线,D为半圆上一点,AD=AB,AD,BC的延长线相交于点E.
(1)求证:AD是半圆O的切线;
(2)连结CD,求证:∠A=2∠CDE;
(3)若∠CDE=27°,OB=2,求的长.
23.如图1,地面BD上两根等长立柱AB,CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子.
(1)求绳子最低点离地面的距离;
(2)因实际需要,在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图2),使左边抛物线F1的最低点距MN为1米,离地面1.8米,求MN的长;
(3)将立柱MN的长度提升为3米,通过调整MN的位置,使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为,设MN离AB的距离为m,抛物线F2的顶点离地面距离为k,当2≤k≤2.5时,求m的取值范围.
24.如图,矩形ABCD中,点E为BC上一点,F为DE的中点,且∠BFC=90°.
(1)当E为BC中点时,求证:△BCF≌△DEC;
(2)当BE=2EC时,求的值;
(3)设CE=1,BE=n,作点C关于DE的对称点C′,连结FC′,AF,若点C′到AF的距离是,求n的值.
2016年浙江省丽水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:每小题3分,共30分
1.下列四个数中,与﹣2的和为0的数是( )
A.﹣2 B.2 C.0 D.﹣
【考点】相反数.
【分析】找出﹣2的相反数即为所求.
【解答】解:下列四个数中,与﹣2的和为0的数是2,
故选B
2.计算32×3﹣1的结果是( )
A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2
【考点】负整数指数幂.
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加,可得答案.
【解答】解:32×3﹣1=32﹣1=3.
故选:A.
3.下列图形中,属于立体图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】认识立体图形.
【分析】根据平面图形所表示的各个部分都在同一平面内,立体图形是各部分不在同一平面内的几何,由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形,可得答案.
【解答】解:A、角是平面图形,故A错误;
B、圆是平面图形,故B错误;
C、圆锥是立体图形,故C正确;
D、三角形是平面图形,故D错误.
故选:C.
4. +的运算结果正确的是( )
A. B. C. D.a+b
【考点】分式的加减法.
【分析】首先通分,把、都化成以ab为分母的分式,然后根据同分母分式加减法法则,求出+的运算结果正确的是哪个即可.
【解答】解: +
=+
=
故+的运算结果正确的是.
故选:C.
5.某校对全体学生开展心理健康知识测试,七、八、九三个年级共有800名学生,各年级的合格人数如表所示,则下列说法正确的是( )
年级
七年级
八年级
九年级
合格人数
270
262
254
A.七年级的合格率最高
B.八年级的学生人数为262名
C.八年级的合格率高于全校的合格率
D.九年级的合格人数最少
【考点】统计表.
【分析】分析统计表,可得出各年级合格的人数,然后结合选项进行回答即可.
【解答】解:∵七、八、九年级的人数不确定,
∴无法求得七、八、九年级的合格率.
∴A错误、C错误.
由统计表可知八年级合格人数是262人,故B错误.
∵270>262>254,
∴九年级合格人数最少.
故D正确.
故选;D.
6.下列一元二次方程没有实数根的是( )
A.x2+2x+1=0 B.x2+x+2=0 C.x2﹣1=0 D.x2﹣2x﹣1=0
【考点】根的判别式.
【分析】求出每个方程的根的判别式,然后根据判别式的正负情况即可作出判断.
【解答】解:A、△=22﹣4×1×1=0,方程有两个相等实数根,此选项错误;
B、△=12﹣4×1×2=﹣7<0,方程没有实数根,此选项正确;
C、△=0﹣4×1×(﹣1)=4>0,方程有两个不等的实数根,此选项错误;
D、△=(﹣2)2﹣4×1×(﹣1)=8>0,方程有两个不等的实数根,此选项错误;
故选:B.
7.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为( )
A.13 B.17 C.20 D.26
【考点】平行四边形的性质.
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=3,OB=OD=6,BC=AD=8,即可求出△OBC的周长.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=3,OB=OD=6,BC=AD=8,
∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17.
故选:B.
8.在直角坐标系中,点M,N在同一个正比例函数图象上的是( )
A.M(2,﹣3),N(﹣4,6) B.M(﹣2,3),N(4,6) C.M(﹣2,﹣3),N(4,﹣6) D.M(2,3),N(﹣4,6)
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】设正比例函数的解析式为y=kx,根据4个选项中得点M的坐标求出k的值,再代入N点的坐标去验证点N是否在正比例函数图象上,由此即可得出结论.
【解答】解:设正比例函数的解析式为y=kx,
A、﹣3=2k,解得:k=﹣,
﹣4×(﹣)=6,6=6,
∴点N在正比例函数y=﹣x的图象上;
B、3=﹣2k,解得:k=﹣,
4×(﹣)=﹣6,﹣6≠6,
∴点N不在正比例函数y=﹣x的图象上;
C、﹣3=﹣2k,解得:k=,
4×=6,6≠﹣6,
∴点N不在正比例函数y=x的图象上;
D、3=2k,解得:k=,
﹣4×=﹣6,﹣6≠6,
∴点N不在正比例函数y=x的图象上.
故选A.
9.用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是( )
A. B. C. D.
【考点】作图—复杂作图.
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解.
【解答】解:A、根据垂径定理作图的方法可知,CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意;
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知,CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意;
C、根据相交两圆的公共弦的性质可知,CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意;
D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,符合题意.
故选:D.
10.如图,已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆,点D是上一点,BD交AC于点E,若BC=4,AD=,则AE的长是( )
A.3 B.2 C.1 D.1.2
【考点】三角形的外接圆与外心.
【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质,确定AB为圆的直径,利用相似三角形的判定及性质,确定△ADE和△BCE边长之间的关系,利用相似比求出线段AE的长度即可.
【解答】解:∵等腰Rt△ABC,BC=4,
∴AB为⊙O的直径,AC=4,AB=4,
∴∠D=90°,
在Rt△ABD中,AD=,AB=4,
∴BD=,
∵∠D=∠C,∠DAC=∠CBE,
∴△ADE∽△BCE,
∵AD:BC=:4=1:5,
∴相似比为1:5,
设AE=x,
∴BE=5x,
∴DE=﹣5x,
∴CE=28﹣25x,
∵AC=4,
∴x+28﹣25x=4,
解得:x=1.
故选:C.
二、填空题:每小题4分,共24分
11.分解因式:am﹣3a= a(m﹣3) .
【考点】因式分解-提公因式法.
【分析】根据提公因式法的一般步骤进行因式分解即可.
【解答】解:am﹣3a=a(m﹣3).
故答案为:a(m﹣3).
12.如图,在△ABC中,∠A=63°,直线MN∥BC,且分别与AB,AC相交于点D,E,若∠AEN=133°,则∠B的度数为 70° .
【考点】相似三角形的判定与性质;平行线的性质.
【分析】根据平行线的性质只要求出∠ADE,由∠AEN=∠A+∠ADE计算即可.
【解答】解:∵∠AEN=∠A+∠ADE,∠AEN=133°,∠A=63°,
∴∠ADE=70°,
∵MN∥BC,
∴∠B=∠ADE=70°,
故答案为70°.
13.箱子里放有2个黑球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,现从箱子里随机摸出两个球,恰好为1个黑球和1个红球的概率是 .
【考点】列表法与树状图法.
【分析】根据题意可以列出相应的树状图,从而可以得到恰好为1个黑球和1个红球的概率.
【解答】解:由题意可得,
故恰好为1个黑球和1个红球的概率是:,
故答案为;.
14.已知x2+2x﹣1=0,则3x2+6x﹣2= 1 .
【考点】代数式求值.
【分析】直接利用已知得出x2+2x=1,再代入原式求出答案.
【解答】解:∵x2+2x﹣1=0,
∴x2+2x=1,
∴3x2+6x﹣2=3(x2﹣2x)﹣2=3×1﹣2=1.
故答案为:1.
15.如图,在菱形ABCD中,过点B作BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别为点E,F,延长BD至G,使得DG=BD,连结EG,FG,若AE=DE,则= .
【考点】菱形的性质.
【分析】连接AC、EF,根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD,然后判断出△ABD是等边三角形,再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°,设EF与BD相交于点H,AB=4x,然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH,再求出DH,从而得到GH,利用勾股定理列式求出EG,最后求出比值即可.
【解答】解:如图,连接AC、EF,
在菱形ABCD中,AC⊥BD,
∵BE⊥AD,AE=DE,
∴AB=BD,
又∵菱形的边AB=AD,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ADB=60°,
设EF与BD相交于点H,AB=4x,
∵AE=DE,
∴由菱形的对称性,CF=DF,
∴EF是△ACD的中位线,
∴DH=DO=BD=x,
在Rt△EDH中,EH=DH=x,
∵DG=BD,
∴GH=BD+DH=4x+x=5x,
在Rt△EGH中,由勾股定理得,EG===2x,
所以, ==.
故答案为:.
16.如图,一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A,B两点,与x轴、y轴分别交于C,D两点,连结OA,OB,过A作AE⊥x轴于点E,交OB于点F,设点A的横坐标为m.
(1)b= m+ (用含m的代数式表示);
(2)若S△OAF+S四边形EFBC=4,则m的值是 .
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)根据待定系数法点A的纵坐标相等列出等式即可解决问题.
(2)作AM⊥OD于M,BN⊥OC于N.记△AOF面积为S,则△OEF面积为2﹣S,四边形EFBN面积为4﹣S,△OBC和△OAD面积都是6﹣2S,△ADM面积为4﹣2S=2(2﹣s),所以S△ADM=2S△OEF,推出EF=AM=NB,得B(2m,)代入直线解析式即可解决问题.
【解答】解:(1)∵点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,且点A的横坐标为m,
∴点A的纵坐标为,即点A的坐标为(m,).
令一次函数y=﹣x+b中x=m,则y=﹣m+b,
∴﹣m+b=
即b=m+.
故答案为:m+.
(2)作AM⊥OD于M,BN⊥OC于N.
∵反比例函数y=,一次函数y=﹣x+b都是关于直线y=x对称,
∴AD=BC,OD=OC,DM=AM=BN=CN,记△AOF面积为S,
则△OEF面积为2﹣S,四边形EFBN面积为4﹣S,△OBC和△OAD面积都是6﹣2S,△ADM面积为4﹣2S=2(2﹣s),
∴S△ADM=2S△OEF,
∴EF=AM=NB,
∴点B坐标(2m,)代入直线y=﹣x+m+,
∴=﹣2m=m+,整理得到m2=2,
∵m>0,
∴m=.
故答案为.
三、解答题
17.计算:(﹣3)0﹣|﹣|+.
【考点】实数的运算;零指数幂.
【分析】原式利用零指数幂法则,绝对值的代数意义,以及二次根式性质计算即可得到结果.
【解答】解:原式=1﹣+2
=1+.
18.解不等式:3x﹣5<2(2+3x)
【考点】解一元一次不等式.
【分析】先去括号,然后移项及合并同类项,系数化为1,即可解答本题.
【解答】解:3x﹣5<2(2+3x),
去括号,得3x﹣5<4+6x,
移项及合并同类项,得﹣3x<9,
系数化为1,得x>﹣3.
故原不等式组的解集是:x>﹣3.
19.数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等,于是,小陆同学提出一个问题:如图,将一副三角板直角顶点重合拼放在一起,点B,C,E在同一直线上,若BC=2,求AF的长.
请你运用所学的数学知识解决这个问题.
【考点】特殊角的三角函数值.
【分析】根据正切的定义求出AC,根据正弦的定义求出CF,计算即可.
【解答】解:在Rt△ABC中,BC=2,∠A=30°,
AC==2,
则EF=AC=2,
∵∠E=45°,
∴FC=EF•sinE=,
∴AF=AC﹣FC=2﹣.
20.为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作,某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩,并绘制成如图两个统计图,请结合统计图信息解决问题.
(1)“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍,求“跳绳”项目的女生人数;
(2)若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”,试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目,并说明理由;
(3)请结合统计图信息和实际情况,给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议.
【考点】条形统计图;频数(率)分布折线图.
【分析】(1)先根据统计图得到“掷实心球”项目男、女生总人数,除以2可求“跳绳”项目男、女生总人数,再减去“跳绳”项目男生人数,即可得到“跳绳”项目的女生人数;
(2)根据平均数公式得到该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目即可求解;
(3)根据统计图提出合理化建议,合理即可.
【解答】解:(1)÷2﹣260
=1000÷2﹣260
=500﹣260
=240(人)
答:“跳绳”项目的女生人数是240人;
(2)“掷实心球”项目平均分:
÷
=÷1000
=9000÷1000
=9(分),
投篮项目平均分大于9分,
其余项目平均分小于9分.
故该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有投篮,掷实心球两个项目.
(3)如:游泳项目考试的人数最多,可以选考游泳.
21.2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行,某运动员从起点万地广场西门出发,途经紫金大桥,沿比赛路线跑回中点万地广场西门.设该运动员离开起点的路程S(千米)与跑步时间t(分钟)之间的函数关系如图所示,其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分,用时35分钟,根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)求图中a的值;
(2)组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C,该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟.
①求AB所在直线的函数解析式;
②该运动员跑完赛程用时多少分钟?
【考点】一次函数综合题.
【分析】(1)根据路程=速度×时间,即可解决问题.
(2)①先求出A、B两点坐标即可解决问题.
②令s=0,求出x的值即可解决问题.
【解答】解:(1)∵从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分,用时35分钟,
∴a=0.3×35=10.5千米.
(2)①∵线段OA经过点O(0,0),A(35,10.5),
∴直线OA解析式为y=0.3t(0≤t≤35),
∴当s=2.1时,0.3t=2.1,解得t=7,
∵该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟,
∴该运动员从起点点到第二次经过C点所用的时间是7+68=75分钟,
∴直线AB经过(35,10.5),(75,2.1),
设直线AB解析式s=kt+b,
∴解得,
∴直线AB 解析式为s=﹣0.21t+17.85.
②该运动员跑完赛程用的时间即为直线AB与x轴交点的横坐标,
∴当s=0,时,﹣0.21t+17.85=0,解得t=85
∴该运动员跑完赛程用时85分钟.
22.如图,AB是以BC为直径的半圆O的切线,D为半圆上一点,AD=AB,AD,BC的延长线相交于点E.
(1)求证:AD是半圆O的切线;
(2)连结CD,求证:∠A=2∠CDE;
(3)若∠CDE=27°,OB=2,求的长.
【考点】切线的判定与性质;弧长的计算.
【分析】(1)连接OD,BD,根据圆周角定理得到∠ABO=90°,根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB,∠DBO=∠BDO,根据等式的性质得到∠ADO=∠ABO=90°,根据切线的判定定理即可得到即可;
(2)由AD是半圆O的切线得到∠ODE=90°,于是得到∠ODC+∠CDE=90°,根据圆周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°,等量代换得到∠DOC=2∠BDO,∠DOC=2∠CDE即可得到结论;
(3)根据已知条件得到∠DOC=2∠CDE=54°,根据平角的定义得到∠BOD=180°﹣54°=126°,然后由弧长的公式即可计算出结果.
【解答】(1)证明:连接OD,BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴AB⊥BC,即∠ABO=90°,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∵OB=OD,
∴∠DBO=∠BDO,
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO,
∴∠ADO=∠ABO=90°,
∴AD是半圆O的切线;
(2)证明:由(1)知,∠ADO=∠ABO=90°,
∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD,
∵AD是半圆O的切线,
∴∠ODE=90°,
∴∠ODC+∠CDE=90°,
∵BC是⊙O的直径,
∴∠ODC+∠BDO=90°,
∴∠BDO=∠CDE,
∵∠BDO=∠OBD,
∴∠DOC=2∠BDO,
∴∠DOC=2∠CDE,
∴∠A=∠CDE;
(3)解:∵∠CDE=27°,
∴∠DOC=2∠CDE=54°,
∴∠BOD=180°﹣54°=126°,
∵OB=2,
∴的长==π.
23.如图1,地面BD上两根等长立柱AB,CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子.
(1)求绳子最低点离地面的距离;
(2)因实际需要,在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图2),使左边抛物线F1的最低点距MN为1米,离地面1.8米,求MN的长;
(3)将立柱MN的长度提升为3米,通过调整MN的位置,使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为,设MN离AB的距离为m,抛物线F2的顶点离地面距离为k,当2≤k≤2.5时,求m的取值范围.
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)直接利用配方法求出二次函数最值得出答案;
(2)利用顶点式求出抛物线F1的解析式,进而得出x=3时,y的值,进而得出MN的长;
(3)根据题意得出抛物线F2的解析式,得出k的值,进而得出m的取值范围.
【解答】解:(1)∵a=>0,
∴抛物线顶点为最低点,
∵y=x2﹣x+3=(x﹣4)2+,
∴绳子最低点离地面的距离为: m;
(2)由(1)可知,BD=8,
令x=0得y=3,
∴A(0,3),C(8,3),
由题意可得:抛物线F1的顶点坐标为:(2,1.8),
设F1的解析式为:y=a(x﹣2)2+1.8,
将(0,3)代入得:4a+1.8=3,
解得:a=0.3,
∴抛物线F1为:y=0.3(x﹣2)2+1.8,
当x=3时,y=0.3×1+1.8=2.1,
∴MN的长度为:2.1m;
(3)∵MN=DC=3,
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上,
∴抛物线F2的顶点坐标为:( m+4,k),
∴抛物线F2的解析式为:y=(x﹣m﹣4)2+k,
把C(8,3)代入得:(4﹣m﹣4)2+k=3,
解得:k=﹣(4﹣m)2+3,
∴k=﹣(m﹣8)2+3,
∴k是关于m的二次函数,
又∵由已知m<8,在对称轴的左侧,
∴k随m的增大而增大,
∴当k=2时,﹣(m﹣8)2+3=2,
解得:m1=4,m2=12(不符合题意,舍去),
当k=2.5时,﹣(m﹣8)2+3=2.5,
解得:m18﹣24,m2=8+2(不符合题意,舍去),
∴m的取值范围是:4≤m≤8﹣2.
24.如图,矩形ABCD中,点E为BC上一点,F为DE的中点,且∠BFC=90°.
(1)当E为BC中点时,求证:△BCF≌△DEC;
(2)当BE=2EC时,求的值;
(3)设CE=1,BE=n,作点C关于DE的对称点C′,连结FC′,AF,若点C′到AF的距离是,求n的值.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF=DE=EF,由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠FCE,证出CF=CE,由ASA证明△BCF≌△DEC即可;
(2)设CE=a,则BE=2a,BC=3a,证明△BCF∽△DEC,得出对应边成比例=,得出ED2=6a2,由勾股定理得出DC=a,即可得出结果;
(3)过C′作C′H⊥AF于点H,连接CC′交EF于M,由直角三角形斜边上的中线性质得出∠FEC=∠FCE,证出∠ADF=∠BCF,由SAS证明△ADF≌△BCF,得出∠AFD=∠BFC=90°,证出四边形C′MFH是矩形,得出FM=C′H=,设EM=x,则FC=FE=x+,由勾股定理得出方程,解方程求出EM=,FC=FE=+;由(2)得:,把CE=1,BE=n代入计算即可得出n的值.
【解答】(1)证明;∵在矩形ABCD中,∠DCE=90°,F是斜边DE的中点,
∴CF=DE=EF,
∴∠FEC=∠FCE,
∵∠BFC=90°,E为BC中点,
∴EF=EC,
∴CF=CE,
在△BCF和△DEC中,,
∴△BCF≌△DEC(ASA);
(2)解:设CE=a,由BE=2CE,得:BE=2a,BC=3a,
∵CF是Rt△DCE斜边上的中线,
∴CF=DE,
∵∠FEC=∠FCE,∠BFC=∠DCE=90°,
∴△BCF∽△DEC,
∴=,
即: =,
解得:ED2=6a2,
由勾股定理得:DC===a,
∴==;
(3)解:过C′作C′H⊥AF于点H,连接CC′交EF于M,如图所示:
∵CF是Rt△DCE斜边上的中线,
∴FC=FE=FD,
∴∠FEC=∠FCE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠ADF=∠CEF,
∴∠ADF=∠BCF,
在△ADF和△BCF中,,
∴△ADF≌△BCF(SAS),
∴∠AFD=∠BFC=90°,
∵CH⊥AF,C′C⊥EF,∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90°,
∴四边形C′MFH是矩形,
∴FM=C′H=,
设EM=x,则FC=FE=x+,
在Rt△EMC和Rt△FMC中,
由勾股定理得:CE2﹣EM2=CF2﹣FM2,
∴12﹣x2=(x+)2﹣()2,
解得:x=,或x=﹣(舍去),
∴EM=,FC=FE=+;
由(2)得:,
把CE=1,BE=n代入计算得:CF=,
∴,
解得:n=4
2016年6月21日