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- 2021-05-10 发布
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辅助线的添加
【知识要点】
平面几何是中学数学的一个重要组成部分,证明是平面几何的重要内容。许多初中生对几何
证明题感到困难,尤其是对需要添加辅助线的证明题,往往束手无策。在这里我们介绍"添加辅
助线"在平面几何中的运用。
一 、三角形中常见辅助线的添加
1. 与角平分线有关的
ⅰ 可向两边作垂线。
ⅱ 可作平行线,构造等腰三角形
ⅲ 在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形
2. 与线段长度相关的
ⅰ 截长:证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,经常在较长的线段上截取一段,使得它
和其中的一条相等,再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可
ⅱ 补短:证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,也可以在较短的线段上延长一段,使得
延长的部分等于另外一条较短的线段,再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即
可
ⅲ 倍长中线:题目中如果出现了三角形的中线,方法是将中线延长一倍,再将端点连结,便可
得到全等三角形。
ⅳ 遇到中点,考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
3. 与等腰等边三角形相关的
ⅰ 考虑三线合一
ⅱ 旋转一定的度数,构造全都三角形,等腰一般旋转顶角的度数,等边旋转
二 、四边形
特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的
问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.
1、和平行四边形有关的辅助线作法
平行四边形是最常见的特殊四边形之一,它有许多可以利用性质,为了利用这些性质往往需
要添加辅助线构造平行四边形.
ⅰ.利用一组对边平行且相等构造平行四边形
ⅱ.利用两组对边平行构造平行四边形
ⅲ.利用对角线互相平分构造平行四边形
2、和菱形有关的辅助线的作法
和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定定理
解决问题.
ⅰ. 作菱形的高;
ⅱ.连结菱形的对角线.
3、与矩形有辅助线作法
和矩形有关的题型一般有两种:
ⅰ. 计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;
ⅱ.证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试
题的辅助线的作法较少.
4、与正方形有关辅助线的作法
正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题
°60
较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.
5、与梯形有关的辅助线的作法
和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型:
(1)作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形;
(2)作梯形的高,构造矩形和直角三角形;
(3)作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形;
(4) 延长两腰构成三角形;
(5)作两腰的平行线等.
三 、圆
1.遇到弦时(解决有关弦的问题时)
常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。
作用:① 利用垂径定理;
② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;
③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。
2.遇到有直径时
常常添加(画)直径所对的圆周角。
作用:利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
3.遇到 90 度的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用:利用圆周角的性质,可得到直径。
4.遇到弦时
常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用:①可得等腰三角形; ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5.遇到有切线时
(1)常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)
作用:利用切线的性质定理可得 OA⊥AB,得到直角或直角三角形。
(2)常常添加连结圆上一点和切点
作用:可构成弦切角,从而利用弦切角定理。
6.遇到证明某一直线是圆的切线时
(1) 若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段。 作用:若 OA=r,则 l 为
切线。
(2)若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径) 作用:只需证 OA⊥l,则 l 为
切线。
(3) 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线
7. 遇到两相交切线时(切线长)
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用:据切线长及其它性质,可得到:
① 角、线段的等量关系;
② 垂直关系;
③ 全等、相似三角形。
8.遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。
作用:利用内心的性质,可得:
① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线;
② 内心到三角形三条边的距离相等。
9.遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点
作用:外心到三角形各顶点的距离相等。
10.遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题)
常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线。
作用:①利用切线的性质; ②利用解直角三角形的有关知识。
11.遇到两圆相交时
常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。
作用:① 利用连心线的性质、解直角三角形有关知识;
② 利用圆内接四边形的性质;
③ 利用两圆公共的圆周的性质;
④ 垂径定理。
12.遇到两圆相切时
常常作连心线、公切线。
作用:① 利用连心线性质;
② 切线性质等。
13. 遇到三个圆两两外切时
常常作每两个圆的连心线。
作用:可利用连心线性质。
14.遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添
加辅助圆。
作用:以便利用圆的性质。
【历年考卷形势分析及中考预测】
平面几何是历年来中考和竞赛的必考内容,其题目的灵活性远远是代数题目所不能比
拟的,从简单的选择填空到较为复杂的中考压轴题甚至竞赛中的压轴题,出题范围极为广
泛,难易程度差距较大,对于学生的数学知识综合运用能力考察较多。纵观近 6 年广州市
的中考试题,分值分布大约在 60 分左右,其中简单的题目大约占 43 分,其余的 17 分较难,
每年必有一道几何压轴题,分值 14 分,经常和实际问题,动点问题及函数问题结合,难度
较大,应引起同学们的高度重视。
题目难主要难在辅助线的添加,尤其像特殊四边形及圆中的问题,从中考考纲来看,
2011 年广州市中考命题,同往年相比,变化不大,压轴题中可能会以三角形或四边形结合
动点问题给出,或者以圆中相关知识为背景,结合动点,函数问题给出,区分度较大。
【考点精析】
考点 1. 三角形:
例 1 如图,AB=CD,E 为 BC 中点,∠BAC=∠BCA,求证:AD=2AE。
例 2 如图,AB>AC, ∠1=∠2,求证:AB-AC>BD-CD。
例 3 如图 9—5,设 O 是正三角形 ABC 内一点,已知∠AOB=115°,∠BOC=125°。求以线段
OA,OB,OC 为边构成的三角形的各角。
例 4 如图所示,△ABC 是边长为 4 的正三角形,△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以 D
为顶点作一个 60°的角,角的两边分别交 AB,AC 于 M,N 两点,连结 MN,求△AMN 的周长.
【举一反三】
1、如图,AB=6,AC=8,D 为 BC 的中点,求 AD 的取值范围。
1
2A
C
D
B
A
B E C D
图 9—5
B
A C
O
A
B C
D
M
N
2、如图,BC>BA,BD 平分∠ABC,且 AD=CD,求证:∠A+∠C=180。
3.如图 9—21,设 O 是正三角形 ABC 内一点,已知∠AOB=80°,∠BOC=135°,求以线段 OA、
OB、OC 为边构成的三角形的各角。
考点 2. 四边形:
例 5 如图 1,已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点,四边形 OCDE 是平行四边形. 求
证:OE 与 AD 互相平分.
例 6 如图 3,已知 AD 是△ABC 的中线,BE 交 AC 于 E,交 AD 于 F,且 AE=EF.求证 BF=AC.
B
O
A C图 9—21
B D
C
A
A
B CD
6 8
例 7 如图 7,已知矩形 ABCD 内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求 PD 的长.
例 8 如图,在正方形 ABCD 中,E 为内部一点且 是正三角形,求 的度数
例 9 如图,AB∥CD,M、N 分别为 AD、BC 中点,MN 交 AC、BD 于 G、H 点。
求证:GH= (CD-AB)
BCE∆ AED∠
1
2
A
B C
D
E
【举一反三】
1. 如图 2,在△ABC 中,E、F 为 AB 上两点,AE=BF,ED//AC,FG//AC 交 BC 分别为 D,G.求
证:ED+FG=AC.
2. 如图 6,四边形 ABCD 是菱形,E 为边 AB 上一个定点,F 是 AC 上一个动点,求证 EF+BF 的最
小值等于 DE 长.
A
D C
B
M NH G
3.如图:正方形 ABCD,AE+CF=EF,求证:
4、如图③,已知梯形 ABCD 中,AD=1.5cm,BC=3.5cm,对角线 AC⊥BD,且 BD=3cm,
AC=4cm,求梯形 ABCD 的面积。
考点 3. 圆:
例 10 (2010 江苏泰州,18,3 分)如图⊙O 的半径为 1cm,弦 AB 、CD 的长度分别为
,则试求弦 AC、BD 所夹的锐角 .
例 11 (2010 年安徽芜湖市)如图所示,在圆⊙O 内有折线 OABC,其中 OA=8,AB=12,
∠A=∠B=60°,试求 BC 的长为.
°=∠ 45EDF
2 ,1cm cm α
A E B
F
CD
例 12.(2010 山东临沂)如图, 是半圆的直径, 为圆心, 、 是半圆的弦,且
.
(1)判断直线 是否为 的切线,并说明理由;
(2)如果 , ,求 的长。
例 13.(2010 江苏宿迁)(本题满分 10 分)如图,AB 是⊙O 的直径, P 为 AB 延长线上任意
一点,C 为半圆 ACB 的中点,PD 切⊙O 于点 D,连结 CD 交 AB 于点 E.
求证:(1)PD=PE;
(2) .
【举一反三】
1.(番禺一模)
已知:如图 12,在 中, ,点 在 上,以 为圆心, 长为半径的
圆与 分别交于点 ,且 .
(1)判断直线 与⊙ 的位置关系,并证明你的结论;
(2)若 ,求⊙ 的面积.
AB O AD BD
PDA PBD∠ = ∠
PD O
60BDE∠ = 3PD = PA
PBPAPE ⋅=2
Rt ABC△ 90C∠ = O AB O OA
AC AB, D E, CBD A∠ = ∠
BD O
2AD BD= = O
• PB
A
E
O
C
D
O E
D C
BA
图 12
2.(天河一模)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD 是△ABC 的角平分线,
过 A、C、D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E,连接 DE。
(1)求证:AC=AE;
(2)求△ACD 外接圆的半径。
3.(荔湾十校一模)
如图,已知 AB 为⊙O 的弦,C 为⊙O 上一点,∠C=∠BAD,且 BD⊥AB 于 B.
(1)求证:AD 是⊙O 的切线;
(2)若⊙O 的半径为 3,AB=4,求 AD 的长.
综合
例 14.(2010 宁夏回族自治区)在△ABC 中,∠BAC=45°,AD⊥BC 于 D,将△ABD 沿 AB 所在
的直线折叠,使点 D 落在点 E 处;将△ACD 沿 AC 所在的直线折叠,使点 D 落在点 F 处,分别延长
EB、FC 使其交于点 M.
(1)判断四边形 AEMF 的形状,并给予证明.
(2)若 BD=1,CD=2,试求四边形 AEMF 的面积. A
B CD
A
C BD
E
A
B
C
D
O
例 15.(2010 河北)观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图 14-1,图 14-2
是它的示意图.其工作原理是:滑块 Q 在平直滑道 l 上可以
左右滑动,在 Q 滑动的过程中,连杆 PQ 也随之运动,并且
PQ 带动连杆 OP 绕固定点 O 摆动.在摆动过程中,两连杆的接点 P 在以 OP 为半
径的⊙O 上运动.数学兴趣小组为进一步研
究其中所蕴含的数学知识,过点 O 作 OH ⊥l 于点 H,并测得
OH = 4 分米,PQ = 3 分米,OP = 2 分米.
解决问题
(1)点 Q 与点 O 间的最小距离是 分米;
点 Q 与点 O 间的最大距离是 分米;
点 Q 在 l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间
的距离是 分米.
(2)如图 14-3,小明同学说:“当点 Q 滑动到点 H 的位
置时,PQ 与⊙O 是相切的.”你认为他的判断对吗?
为什么?
(3)①小丽同学发现:“当点 P 运动到 OH 上时,点 P 到 l
的距离最小.”事实上,还存在着点 P 到 l 距离最大
的位置,此时,点 P 到 l 的距离是 分米;
②当 OP 绕点 O 左右摆动时,所扫过的区域为扇形,
求这个扇形面积最大时圆心角的度数.
【举一反三】
H
l
O
图 14-3
P
(Q)
Hl
O
P
Q
图 14-2
图 14-1
连杆
滑块滑道
• PB
A
E
O
C
D
1.(2010 年宁德市)(本题满分 13 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M
为对角线 BD(不含 B 点)上任意一点,将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN,连接 EN、AM、
CM.
⑴ 求证:△AMB≌△ENB;
⑵ ①当 M 点在何处时,AM+CM 的值最小;
②当 M 点在何处时,AM+BM+CM 的值最小,并说明理由;
⑶ 当 AM+BM+CM 的最小值为 时,求正方形的边长.13 +
E
A D
B C
N
M
2.(广雅一模)平面直角坐标系中有一张矩形纸片 OABC,O 为坐标原点,A 点坐标为(10,
0),C 点坐标为(0,6),D 是 BC 边上的动点(与点 B、C 不重合).如图②,将△COD 沿 OD 翻
折,得到△FOD;再在 AB 边上选取适当的点 E,将△BDE 沿 DE 翻折,得到△GDE,并使直线 DG,
DF 重合.
(1)图①中,若△COD 翻折后点 F 落在 OA 边上,写出 D、E 点坐标,并且
求出直线 DE 的解析式.
(2)设(1)中所求直线 DE 与 x 轴交于点 M,请你猜想过点 M、C 且关于 y 轴对称的抛物线与直
线 DE 的公共点的个数,在图①的图形中,通过计算验证你的猜想.
(3)图②中,设 E(10,b),求 b 的最小值.
图① 图②
3、(2010 年福建省南安市)(13 分)如图 1,在 中, , ,
,另有一等腰梯形 ( )的底边 与 重合,两腰分别落
在 AB、AC 上,且 G、F 分别是 AB、AC 的中点.
(1)直接写出△AGF 与△ABC 的面积的比值;
(2)操作:固定 ,将等腰梯形 以每秒 1 个单位的速度沿 方向向右运动,
直到点 与点 重合时停止.设运动时间为 秒,运动后的等腰梯形为 (如
图 2).
①探究 1:在运动过程中,四边形 能否是菱形?若能,请求出此时 的值;若
不能,请说明理由.
②探究 2:设在运动过程中 与等腰梯形 重叠部分的面积为 ,求 与
的函数关系式.
Rt ABC△ 90A∠ = AB AC=
4 2BC = DEFG GF DE∥ DE BC
ABC△ DEFG BC
D C x DEF G′ ′
x
ABC△ DEFG y y
x
FFCE ′
A
FG
(D)B C(E)
图 1
FG
A
F′G′
B D C E
图 2