中考数学专题复习二圆 41页

专题二：圆 知识要点扫描归纳 一 圆的基本概念 ‎（1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫半径。‎ ‎（2）确定圆的条件；‎ ‎①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；‎ ‎②不在同一条直线上的三点确定一个圆；‎ ‎③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；‎ ‎（3）点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。‎ ‎ ①点在圆外d＞r； ②点在圆上d=r； ③点在圆内 d＜r；‎ ‎（4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。‎ ‎（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。‎ ‎（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。‎ ‎（7） 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。‎ 二 圆中的重要定理 ‎1．垂径定理及其推论：‎ 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．‎ 推论1：一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质．‎ 推论2：圆的平行弦所夹的弧相等．‎ ‎2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论．‎ 在同圆或等圆中，四组量：①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距．其中任一组量相等，则其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中：‎ 圆心角相等 ‎3．圆周角 ‎①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角．‎ ‎②定理及推论 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．‎ 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o的圆周角所对的弦是直径．‎ 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．‎ 推论4：圆内接四边形定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．‎ 三、直线和圆的位置关系：‎ ‎ 1．直线和圆的位置关系的定义及有关概念 ‎ （1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线．‎ ‎ （2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2）‎ ‎ 这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．‎ ‎·‎ O 图2‎ ‎ （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）‎ ‎·‎ O 图2‎ ‎·‎ O 图1‎ ‎ 2．直线和圆的位置关系性质和判定 ‎ 如果⊙O的半径，圆心O割直线的距离为，那么（1）直线和⊙O相交（图 ‎ 1）；（2）直线和⊙O相切（图2）；（3）直线和⊙O相离（图3）．‎ ‎·‎ O 图2‎ ‎·‎ O 图3‎ ‎·‎ O 图1‎ 四、切线的判定和性质：‎ ‎ （一）切线的判定 ‎ 1．切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；‎ ‎ 2．和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；‎ ‎ 3．经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线．‎ ‎ （二）切线的性质 ‎ 1．切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径；‎ ‎ 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；‎ ‎ 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．‎ ‎ 2．切线的性质：‎ ‎ （1）切线和圆只有一个公共点；‎ ‎ （2）切线和圆心的距离等于圆的半径；‎ ‎ （3）切线垂直于过切点的半径；‎ ‎ （4）经过圆心垂直于切线的直线过切点；‎ ‎ （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．‎ 五、三角形的内切圆 ‎ 1．三角形的外接圆 ‎ 过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等．‎ ‎ 2．外心的位置 ‎ 锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径(C为斜边长)‎ ‎ 3．三角形的内切圆 ‎ 到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．若三角形的面积为，周长为a+b+c,则内切圆半径为:，当为直角三角形的直角边，为斜边时，内切圆半径或.‎ ‎ 4．圆内接四边形的性质 ‎ （1）圆内接四边形的对角互补；‎ ‎（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．‎ 注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形．‎ 六、切线长定理：‎ ‎ 1．切线长概念：‎ ‎ 在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R，叫做这点到圆的切线长．‎ ‎ 2．切线长和切线的区别 ‎ 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．‎ ‎ 3．切线长定理：‎ ‎ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．‎ ‎·‎ A A O A C A D A B A P A ‎ 要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，①PA=PB②PO平分．‎ ‎ 4．两个结论：‎ ‎ 圆的外切四边形对边和相等；‎ ‎ 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．‎ 七、弦切角定理： ‎ ‎ 1．弦切角概念：‎ ‎ 理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线．‎ ‎ 2．弦切角定理：‎ ‎ 弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．‎ ‎ 3．弦切角定理的推论：‎ P A B C D ‎ 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．‎ 八 与比例线段相关的定理（了解）‎ ‎1．相交弦定理及其推论：‎ ‎（1）定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．‎ P A B C D ‎·‎ O 如图，AB，CD相交余E，则AE·EB=CE·DE ‎ ‎（2），推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成 P A B T ‎·‎ ‎·‎ O 的两条线段的比例中项．如上右图，有AE·EB=CE成立 ‎2，切割线定理及其推论 （1） 定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项． 如上左图，PT切⊙O,PAB是⊙O的一条 P A B C D 割线，则有PT=PA·PB成立．‎ （2） 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等．‎ 如上右图，有PA·PB=PC·PD成立．‎ 九 圆中的相关计算 1． 弧长公式：半径为R的圆，其周长是，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长应是圆周长的，而为，因此，的弧的弧长就是，于是得到公式：。‎ 2． ‎（1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。‎ ‎（2）扇形的周长：‎ ‎（3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB的面积。‎ S扇形=‎ ‎·‎ A B O m 由上面两公式可知S扇形=．可据已知条件灵活选用公式。‎ ‎·‎ A B O m ‎·‎ O A B 1． 弓形的面积 ‎（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB。‎ ‎（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB。‎ 十．两圆的位置关系：‎ ‎1 圆与圆的位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 图形 ‎·‎ ‎·‎ O1‎ O2‎ ‎·‎ O1‎ ‎·‎ O2‎ O1‎ ‎·‎ O2‎ ‎·‎ O2‎ O1‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ O2‎ ‎·‎ O1‎ 公共点 ‎0个 ‎1个 ‎2个 ‎1个 ‎0个 d、r、R的关系 d>R+r d=R+r R-r0‎ ‎8 (年山东日照)．（本题满分10分） ‎ ‎（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，‎ 即AD是底边BC上的高． ………………………………………1分 又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形， ‎ ‎∴D是BC的中点；………… ……………………………………………3分 ‎ (2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，‎ ‎ ∴ ∠CBE=∠CAD．…………………………………………………5分 ‎ 又∵ ∠BCE=∠ACD，‎ ‎ ∴△BEC∽△ADC；…………………………………………………6分 ‎（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，‎ 即CD·BC=AC·CE． …………………………………………………8分 ‎∵D是BC的中点，∴CD=BC． ‎ ‎ 又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE 即BC=2AB·CE．……………………………………………………10分 ‎9.(年江苏泰州)‎ ‎.解：⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.‎ ‎②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.‎ ‎∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，‎ ‎∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，‎ ‎∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，‎ ‎∴OD＝PD＝，OP=.‎ ‎∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，‎ ‎∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2，‎ ‎∴ m2＋ (－m＋4)2＝（）2，‎ 解得m=1或3，‎ ‎∴P的坐标为（1，3）或（3，1）‎ ‎(2)分两种情形，y＝－x＋，或y＝－x－。‎ 直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°，如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=，又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为，即，∴AC=，进而可得AO=，即直线与与x轴交于点（，0）．所以直线与y轴交于点（，0），所以b的值为．‎ 当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为．‎ 综合以上得：b的值为或．‎ ‎10．(年湖南湘潭)（本题满分10分）‎ 解：（1）A（6，0），B（0，6） ……………………1分 连结OC,由于∠AOB=90o，C为AB的中点，则，‎ 所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．‎ 过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3．‎ 又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3） ……………………2分 抛物线过点O，所以c=0,‎ 又抛物线过点A、C，所以，解得： ‎ 所以抛物线解析式为 　 　…………………3分 ‎（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6 　 ……………………4分 ‎ 所以OD=OB=OA，∠DBA=90o． 　 ……………………5分 ‎ 又点B在圆上，故DB为⊙C的切线 　 ……………………6分 ‎（通过证相似三角形得出亦可）‎ ‎（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,‎ 要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，‎ 则 ∠CAP=90o或 ∠COP=90o, ……………………7分 若∠CAP=90o,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b．‎ 又AP过点A（6，0），则b=－6, ……………………8分 方程y=x－6与联立解得：，， ‎ ‎ 故点P1坐标为（－3，－9） ……………………9分 ‎ 若∠COP=90o,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9）‎ ‎ (用抛物线的对称性求出亦可)‎ ‎ 故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意．……10分 ‎11（年四川成都市）. ‎ ‎（1）解：（1）∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，‎ ‎ ∴，。‎ ‎ 将 代入，得。解得。‎ ‎ ∴直线AC的函数表达式为。‎ ‎ ∵抛物线的对称轴是直线 ‎∴解得 ‎∴抛物线的函数表达式为。‎ ‎（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。‎ ‎ ∵，‎ ‎∴ ‎ ‎∴。‎ 过点P作PE⊥x轴于点E，‎ ‎∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，‎ ‎∴， ∴‎ ‎∴，解得x= ，∴点P的坐标为 ‎（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。‎ ‎ 设点Q的坐标为。‎ ① 当⊙Q与y轴相切时，有，即。‎ 当时，得，∴‎ 当时，得，∴‎ ② 当⊙Q与x轴相切时，有，即 当时，得，即，解得，∴‎ 当时，得，即，解得，∴，。‎ 综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为，，，，。‎ ‎（Ⅱ）设点Q的坐标为。‎ 当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有。‎ 由，得，即，‎ ‎∵△=‎ ‎∴此方程无解。‎ 由，得，即，‎ 解得 ‎∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切。‎