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- 2021-05-10 发布
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2020年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题(每小题3分,共30分)
1.(3分)人类与病毒的斗争是长期的,不能松懈.据中央电视台报道,截止北京时间2020年6月30日凌晨,全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万.1002万用科学记数法表示,正确的是( )
A.1.002×107 B.1.002×106
C.1002×104 D.1.002×102万
2.(3分)下列各数中,比3大比4小的无理数是( )
A.3.14 B.103 C.12 D.17
3.(3分)下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字.其中,手的对面是口的是( )
A. B.
C. D.
4.(3分)下列说法正确的是( )
A.为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用普查
B.确定事件一定会发生
C.某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96,那么这组数据的众数为98
D.数据6、5、8、7、2的中位数是6
5.(3分)图2是图1中长方体的三视图,用S表示面积,S主=x2+3x,S左=x2+x,则S俯=( )
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A.x2+3x+2 B.x2+2x+1 C.x2+4x+3 D.2x2+4x
6.(3分)如图,正方体的每条棱上放置相同数目的小球,设每条棱上的小球数为m,下列代数式表示正方体上小球总数,则表达错误的是( )
A.12(m﹣1) B.4m+8( m﹣2) C.12( m﹣2)+8 D.12m﹣16
7.(3分)中国奇书《易经》中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.如图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满5进1,用来记录孩子自出生后的天数.由图可知,孩子自出生后的天数是( )
A.10 B.89 C.165 D.294
8.(3分)如图,在半径为5的⊙O中,将劣弧AB沿弦AB翻折,使折叠后的AB恰好与OA、OB相切,则劣弧AB的长为( )
A.53π B.52π C.54π D.56π
9.(3分)如图,直线y1=kx与抛物线y2=ax2+bx+c交于A、B两点,则y=ax2+(b﹣k)x+c的图象可能是( )
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A. B.
C. D.
10.(3分)如图,∠BOD=45°,BO=DO,点A在OB上,四边形ABCD是矩形,连接AC、BD交于点E,连接OE交AD于点F.下列4个判断:①OE平分∠BOD;②OF=BD;③DF=2AF;④若点G是线段OF的中点,则△AEG为等腰直角三角形.正确判断的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(3分)2019年是中华人民共和国成立70周年,天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动.其中,群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题,包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分,某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分,制作扇形统计图.以下是打乱了的统计步骤:
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是 .
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12.(3分)如图,点P(﹣2,1)与点Q(a,b)关于直线1(y=﹣1)对称,则a+b= .
13.(3分)小明为测量校园里一棵大树AB的高度,在树底部B所在的水平面内,将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置,在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是1m,则大树AB的高度约为 .(结果精确到1m.参考数据:sin52°≈0.78,cos52°≈0.61,tan52°≈1.28)
14.(3分)如图,点A、B在反比函数y=12x的图象上,A、B的纵坐标分别是3和6,连接OA、OB,则△OAB的面积是 .
15.(3分)已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a=4b-1-19,则△ABC的内切圆半径= .
16.(3分)已知k为正整数,无论k取何值,直线11:y=kx+k+1与直线12:y=(k+1)x+k+2都交于一个固定的点,这个点的坐标是 ;记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk,则S1= ,S1+S2+S3+…+S100的值为 .
三、解答题:解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共72分)
17.(5分)计算:﹣22+(13)﹣2+(π-5)0+3-125.
18.(7分)求代数式(2x-1x-1-x﹣1)÷x-2x2-2x+1的值,其中x=2+1.
19.(7分)如图,点O在∠ABC的边BC上,以OB为半径作⊙O,∠ABC的平分线BM交
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⊙O于点D,过点D作DE⊥BA于点E.
(1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹),补全图形;
(2)判断⊙O与DE交点的个数,并说明理由.
20.(7分)争创全国文明城市,从我做起.尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程,为了解学生的学习情况,随机抽取了20名学生的测试成绩,分数如下:
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据,得到频数分布表和扇形统计图:
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
a
B
90≤x<95
8
C
85≤x<90
5
D
80≤x<85
4
根据以上信息,解答下列问题.
(1)填空:a= ,b= ;
(2)若成绩不低于90分为优秀,估计该校1200名八年级学生中,达到优秀等级的人数;
(3)已知A等级中有2名女生,现从A等级中随机抽取2名同学,试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率.
21.(8分)如图,△ABC中,BC=2AB,D、E分别是边BC、AC的中点.将△CDE绕点E旋转180度,得△AFE.
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(1)判断四边形ABDF的形状,并证明;
(2)已知AB=3,AD+BF=8,求四边形ABDF的面积S.
22.(8分)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如下表:
原进价(元/张)
零售价(元/张)
成套售价(元/套)
餐桌
a
380
940
餐椅
a﹣140
160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同.
(1)求表中a的值;
(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张,且餐桌和餐椅的总数量不超过200张.若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售,其余餐桌、餐椅以零售方式销售,请问怎样进货,才能获得最大利润?最大利润是多少?
23.(8分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=6cm,CD=2cm.P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连接PA,过点P作PE⊥PA交射线CD于点E.聪聪根据学习函数的经验,对这个问题进行了研究:
(1)通过推理,他发现△ABP∽△PCE,请你帮他完成证明.
(2)利用几何画板,他改变BC的长度,运动点P,得到不同位置时,CE、BP的长度的对应值:
当BC=6cm时,得表1:
BP/cm
…
1
2
3
4
5
…
CE/cm
…
0.83
1.33
1.50
1.33
0.83
…
当BC=8cm时,得表2:
BP/cm
…
1
2
3
4
5
6
7
…
CE/cm
…
1.17
2.00
2.50
2.67
2.50
2.00
1.17
…
这说明,点P在线段BC上运动时,要保证点E总在线段CD上,BC的长度应有一定的限制.
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①填空:根据函数的定义,我们可以确定,在BP和CE的长度这两个变量中, 的长度为自变量, 的长度为因变量;
②设BC=mcm,当点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上,求m的取值范围.
24.(10分)(1)[阅读与证明]
如图1,在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM,作点C关于AM的对称点E(点E在∠CAH内),连接BE,BE、CE分别交AM于点F、G.
①完成证明:∵点E是点C关于AM的对称点,
∴∠AGE=90°,AE=AC,∠1=∠2.
∵正△ABC中,∠BAC=60°,AB=AC,
∴AE=AB,得∠3=∠4.
在△ABE中,∠1+∠2+60°+∠3+∠4=180°,∴∠1+∠3= °.
在△AEG中,∠FEG+∠3+∠1=90°,∴∠FEG= °.
②求证:BF=AF+2FG.
(2)[类比与探究]
把(1)中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”,其余条件不变,如图2.类比探究,可得:
①∠FEG= °;
②线段BF、AF、FG之间存在数量关系 .
(3)[归纳与拓展]
如图3,点A在射线BH上,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<180°),在∠CAH内引射线AM,作点C关于AM的对称点E(点E在∠CAH内),连接BE,BE、CE分别交AM于点F、G.则线段BF、AF、GF之间的数量关系为 .
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25.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=12x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点B,过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点C(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在一点P,使S△PAB=S△OAB?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)点M为直线AB下方抛物线上一点,点N为y轴上一点,当△MAB的面积最大时,求MN+12ON的最小值.
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2020年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题(每小题3分,共30分)
1.(3分)人类与病毒的斗争是长期的,不能松懈.据中央电视台报道,截止北京时间2020年6月30日凌晨,全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万.1002万用科学记数法表示,正确的是( )
A.1.002×107 B.1.002×106
C.1002×104 D.1.002×102万
【解答】解:1002万用科学记数法表示为1.002×107,
故选:A.
2.(3分)下列各数中,比3大比4小的无理数是( )
A.3.14 B.103 C.12 D.17
【解答】解:3=9,4=16,
A、3.14是有理数,故此选项不合题意;
B、103是有理数,故此选项不符合题意;
C、12是比3大比4小的无理数,故此选项符合题意;
D、17比4大的无理数,故此选项不合题意;
故选:C.
3.(3分)下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字.其中,手的对面是口的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:A、手的对面是勤,不符合题意;
B、手的对面是口,符合题意;
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C、手的对面是罩,不符合题意;
D、手的对面是罩,不符合题意;
故选:B.
4.(3分)下列说法正确的是( )
A.为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用普查
B.确定事件一定会发生
C.某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96,那么这组数据的众数为98
D.数据6、5、8、7、2的中位数是6
【解答】解:A.为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用抽样调查,此选项错误;
B.确定事件一定会发生,或一定不会发生,此选项错误;
C.某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96,那么这组数据的众数为98和99,此选项错误;
D.数据6、5、8、7、2的中位数是6,此选项正确;
故选:D.
5.(3分)图2是图1中长方体的三视图,用S表示面积,S主=x2+3x,S左=x2+x,则S俯=( )
A.x2+3x+2 B.x2+2x+1 C.x2+4x+3 D.2x2+4x
【解答】解:∵S主=x2+3x=x(x+3),S左=x2+x=x(x+1),
∴俯视图的长为x+3,宽为x+1,
则俯视图的面积S俯=(x+3)(x+1)=x2+4x+3,
故选:C.
6.(3分)如图,正方体的每条棱上放置相同数目的小球,设每条棱上的小球数为m,下列代数式表示正方体上小球总数,则表达错误的是( )
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A.12(m﹣1) B.4m+8( m﹣2) C.12( m﹣2)+8 D.12m﹣16
【解答】解:由题意得,当每条棱上的小球数为m时,正方体上的所有小球数为12m﹣8×2=12m﹣16.
而12(m﹣1)=12m﹣12≠12m﹣16,4m+8( m﹣2)=12m﹣16,12( m﹣2)+8=12m﹣16,
所以A选项表达错误,符合题意;
B、C、D选项表达正确,不符合题意;
故选:A.
7.(3分)中国奇书《易经》中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.如图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满5进1,用来记录孩子自出生后的天数.由图可知,孩子自出生后的天数是( )
A.10 B.89 C.165 D.294
【解答】解:2×53+1×52+3×51+4×50=294,
故选:D.
8.(3分)如图,在半径为5的⊙O中,将劣弧AB沿弦AB翻折,使折叠后的AB恰好与OA、OB相切,则劣弧AB的长为( )
A.53π B.52π C.54π D.56π
【解答】解:如图,作O点关于AB的对称点O′,连接O′A、O′B,
∵OA=OB=O′A=O′B,
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∴四边形OAO′B为菱形,
∵折叠后的AB与OA、OB相切,
∴O′A⊥OA,O′B⊥OB,
∴四边形OAO′B为正方形,
∴∠AOB=90°,
∴劣弧AB的长=90⋅π⋅5180=52π.
故选:B.
9.(3分)如图,直线y1=kx与抛物线y2=ax2+bx+c交于A、B两点,则y=ax2+(b﹣k)x+c的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:设y=y2﹣y1,
∵y1=kx,y2=ax2+bx+c,
∴y=ax2+(b﹣k)x+c,
由图象可知,在点A和点B之间,y>0,在点A的左侧或点B的右侧,y<0,
故选项B符合题意,选项A、C、D不符合题意;
故选:B.
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10.(3分)如图,∠BOD=45°,BO=DO,点A在OB上,四边形ABCD是矩形,连接AC、BD交于点E,连接OE交AD于点F.下列4个判断:①OE平分∠BOD;②OF=BD;③DF=2AF;④若点G是线段OF的中点,则△AEG为等腰直角三角形.正确判断的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解答】解:①∵四边形ABCD是矩形,
∴EB=ED,
∵BO=DO,
∴OE平分∠BOD,
故①正确;
②∵四边形ABCD是矩形,
∴∠OAD=∠BAD=90°,
∴∠ABD+∠ADB=90°,
∵OB=OD,BE=DE,
∴OE⊥BD,
∴∠BOE+∠OBE=90°,
∴∠BOE=∠BDA,
∵∠BOD=45°,∠OAD=90°,
∴∠ADO=45°,
∴AO=AD,
∴△AOF≌△ABD(ASA),
∴OF=BD,
故②正确;
③∵△AOF≌△ABD,
∴AF=AB,
连接BF,如图1,
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∴BF=2AF,
∵BE=DE,OE⊥BD,
∴DF=BF,
∴DF=2AF,
故③正确;
④根据题意作出图形,如图2,
∵G是OF的中点,∠OAF=90°,
∴AG=OG,
∴∠AOG=∠OAG,
∵∠AOD=45°,OE平分∠AOD,
∴∠AOG=∠OAG=22.5°,
∴∠FAG=67.5°,∠ADB=∠AOF=22.5°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴EA=ED,
∴∠EAD=∠EDA=22.5°,
∴∠EAG=90°,
∵∠AGE=∠AOG+∠OAG=45°,
∴∠AEG=45°,
∴AE=AG,
∴△AEG为等腰直角三角形,
故④正确;
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故选:A.
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(3分)2019年是中华人民共和国成立70周年,天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动.其中,群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题,包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分,某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分,制作扇形统计图.以下是打乱了的统计步骤:
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是 ②③① .
【解答】解:正确的统计顺序是:
②收集三个部分本班学生喜欢的人数;
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比;
①绘制扇形统计图;
故答案为:②③①.
12.(3分)如图,点P(﹣2,1)与点Q(a,b)关于直线1(y=﹣1)对称,则a+b= ﹣5 .
【解答】解:∵点P(﹣2,1)与点Q(a,b)关于直线1(y=﹣1)对称,
∴a=﹣2,b=﹣3,
∴a+b=﹣2﹣3=﹣5,
故答案为﹣5.
13.(3分)小明为测量校园里一棵大树AB的高度,在树底部B所在的水平面内,将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置,在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是1m,则大树AB的高度约为 11 .(结果精确到1m.参考数据:sin52°≈0.78,cos52°≈0.61,tan52°≈1.28)
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【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E,由题意得,BC=DE=8,∠ADE=52°,DE=CD=1
在Rt△ADE中,AD=DE•tan∠ADE=8×tan52°≈10.24,
∴AB=AE+BE=10.24+1≈11(米)
故答案为:11.
14.(3分)如图,点A、B在反比函数y=12x的图象上,A、B的纵坐标分别是3和6,连接OA、OB,则△OAB的面积是 9 .
【解答】解:∵点A、B在反比函数y=12x的图象上,A、B的纵坐标分别是3和6,
∴A(4,3),B(2,6),
作AD⊥y轴于D,BE⊥y轴于E,
∴S△AOD=S△BOE=12×12=6,
∵S△OAB=S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE=S梯形ABED,
∴S△AOB=12(4+2)×(6﹣3)=9,
故答案为9.
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15.(3分)已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a=4b-1-19,则△ABC的内切圆半径= 1 .
【解答】解:∵b+|c﹣3|+a2﹣8a=4b-1-19,
∴|c﹣3|+(a﹣4)2+(b-1-2)2=0,
∴c=3,a=4,b=5,
∵32+42=25=52,
∴c2+a2=b2,
∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,
设内切圆的半径为r,
根据题意,得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5,
∴r=1,
故答案为:1.
16.(3分)已知k为正整数,无论k取何值,直线11:y=kx+k+1与直线12:y=(k+1)x+k+2都交于一个固定的点,这个点的坐标是 (﹣1,1) ;记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk,则S1= 14 ,S1+S2+S3+…+S100的值为 50101 .
【解答】解:∵直线11:y=kx+k+1=k(x+1)+1,
∴直线12:y=(k+1)x+k+2经过点(﹣1,1);
∵直线12:y=(k+1)x+k+2=k(x+1)+(x+1)+1=(k+1)(x+1)+1,
∴直线12:y=(k+1)x+k+2经过点(﹣1,1).
∴无论k取何值,直线l1与l2的交点均为定点(﹣1,1).
∵直线11:y=kx+k+1与x轴的交点为(-k+1k,0),
直线12:y=(k+1)x+k+2与x轴的交点为(-k+2k+1,0),
∴SK=12×|-k+1k+k+2k+1|×1=12k(k+1),
第31页(共31页)
∴S1=12×11×2=14;
∴S1+S2+S3+…+S100=12[11×2+12×3+⋯1100×101]
=12[(1-12)+(12-13)+…+(1100-1101)]
=12×(1-1101)
=12×100101
=50101.
故答案为(﹣1,1);14;50101.
三、解答题:解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共72分)
17.(5分)计算:﹣22+(13)﹣2+(π-5)0+3-125.
【解答】解:原式=﹣4+9+1﹣5
=1.
18.(7分)求代数式(2x-1x-1-x﹣1)÷x-2x2-2x+1的值,其中x=2+1.
【解答】解:原式=(2x-1x-1-x2-1x-1)÷x-2(x-1)2
=-x2+2xx-1)÷x-2(x-1)2
=-x(x-2)x-1•(x-1)2x-2
=﹣x(x﹣1)
当x=2+1时,
原式=﹣(2+1)(2+1﹣1)
=﹣(2+1)×2
=﹣2-2.
19.(7分)如图,点O在∠ABC的边BC上,以OB为半径作⊙O,∠ABC的平分线BM交⊙O于点D,过点D作DE⊥BA于点E.
(1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹),补全图形;
(2)判断⊙O与DE交点的个数,并说明理由.
第31页(共31页)
【解答】解:(1)如图,⊙O,射线BM,直线DE即为所求.
(2)直线DE与⊙O相切,交点只有一个.
理由:∵OB=OD,
∴∠ODB=∠OBD,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABM=∠CBM,
∴∠ODB=∠ABD,
∴OD∥AB,
∵DE⊥AB,
∴DE⊥OD,
∴直线AE是⊙O的切线,
∴⊙O与直线DE只有一个交点.
20.(7分)争创全国文明城市,从我做起.尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程,为了解学生的学习情况,随机抽取了20名学生的测试成绩,分数如下:
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据,得到频数分布表和扇形统计图:
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
a
B
90≤x<95
8
第31页(共31页)
C
85≤x<90
5
D
80≤x<85
4
根据以上信息,解答下列问题.
(1)填空:a= 3 ,b= 40 ;
(2)若成绩不低于90分为优秀,估计该校1200名八年级学生中,达到优秀等级的人数;
(3)已知A等级中有2名女生,现从A等级中随机抽取2名同学,试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率.
【解答】解:(1)由题意知a=20﹣(8+5+4)=3,b%=820×100%=40%,即b=40;
故答案为:3、40;
(2)估计该校1200名八年级学生中,达到优秀等级的人数为1200×8+320=660(人);
(3)列表如下:
男
女
女
男
(男,女)
(男,女)
女
(男,女)
(女,女)
女
(男,女)
(女,女)
所有等可能的结果有6种,其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种,
∴恰好抽到一男一女的概率为46=23.
21.(8分)如图,△ABC中,BC=2AB,D、E分别是边BC、AC的中点.将△CDE绕点E旋转180度,得△AFE.
(1)判断四边形ABDF的形状,并证明;
(2)已知AB=3,AD+BF=8,求四边形ABDF的面积S.
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【解答】解:(1)结论:四边形ABDF是菱形.
∵CD=DB,CE=EA,
∴DE∥AB,AB=2DE,
由旋转的性质可知,DE=EF,
∴AB=DF,AB∥DF,
∴四边形ABDF是平行四边形,
∵BC=2AB,BD=DC,
∴BA=BD,
∴四边形ABDF是菱形.
(2)连接BF,AD交于点O.
∵四边形ABDF是菱形,
∴AD⊥BF,OB=OF,AO=OD,设OA=x,OB=y,
则有2x+2y=8x2+y2=32,
∴x+y=4,
∴x2+2xy+y2=16,
∴2xy=7,
∴S菱形ABDF=12×BF×AD=2xy=7.
22.(8分)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如下表:
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原进价(元/张)
零售价(元/张)
成套售价(元/套)
餐桌
a
380
940
餐椅
a﹣140
160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同.
(1)求表中a的值;
(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张,且餐桌和餐椅的总数量不超过200张.若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售,其余餐桌、餐椅以零售方式销售,请问怎样进货,才能获得最大利润?最大利润是多少?
【解答】解:(1)根据题意得:600a-140=1300a,
解得a=260,
经检验,a=260是原分式方程的解.
答:表中a的值为260.
(2)设购进餐桌x张,则购进餐椅(5x+20)张,
根据题意得:x+5x+20≤200,
解得:x≤30.
设销售利润为y元,
根据题意得:y=[940﹣260﹣4×(260﹣140)]×12x+(380﹣260)×12x+[160﹣(260﹣140)]×(5x+20﹣4×12x)=280x+800,
∵k=280>0,
∴当x=30时,y取最大值,最大值为:280×30+800=9200.
答:当购进餐桌30张、餐椅170张时,才能获得最大利润,最大利润是9200元.
23.(8分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=6cm,CD=2cm.P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连接PA,过点P作PE⊥PA交射线CD于点E.聪聪根据学习函数的经验,对这个问题进行了研究:
(1)通过推理,他发现△ABP∽△PCE,请你帮他完成证明.
(2)利用几何画板,他改变BC的长度,运动点P,得到不同位置时,CE、BP的长度的对应值:
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当BC=6cm时,得表1:
BP/cm
…
1
2
3
4
5
…
CE/cm
…
0.83
1.33
1.50
1.33
0.83
…
当BC=8cm时,得表2:
BP/cm
…
1
2
3
4
5
6
7
…
CE/cm
…
1.17
2.00
2.50
2.67
2.50
2.00
1.17
…
这说明,点P在线段BC上运动时,要保证点E总在线段CD上,BC的长度应有一定的限制.
①填空:根据函数的定义,我们可以确定,在BP和CE的长度这两个变量中, BP 的长度为自变量, EC 的长度为因变量;
②设BC=mcm,当点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上,求m的取值范围.
【解答】(1)证明:∵AB∥CD,
∴∠B+∠C=90°,
∵∠B=90°,
∴∠B=∠C=90°,
∵AP⊥PE,
∴∠APE=90°,
∴∠APB+∠EPC=90°,
∵∠EPC+∠PEC=90°,
∴∠APB=∠PEC,
∴△ABP∽△PCE.
(2)解:①根据函数的定义,我们可以确定,在BP和CE的长度这两个变量中,BP
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的长度为自变量,EC的长度为因变量,
故答案为:BP,EC.
②设BP=xcm,CE=ycm.
∵△ABP∽△PCE,
∴ABPC=BPCE,
∴6m-x=xy,
∴y=-16x2+16mx=-16(x-12m)2+m224,
∵-16<0,
∴x=12m时,y有最大值m224,
∵点E在线段CD上,CD=2cm,
∴m224≤2,
∴m≤43,
∴0<m≤43.
24.(10分)(1)[阅读与证明]
如图1,在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM,作点C关于AM的对称点E(点E在∠CAH内),连接BE,BE、CE分别交AM于点F、G.
①完成证明:∵点E是点C关于AM的对称点,
∴∠AGE=90°,AE=AC,∠1=∠2.
∵正△ABC中,∠BAC=60°,AB=AC,
∴AE=AB,得∠3=∠4.
在△ABE中,∠1+∠2+60°+∠3+∠4=180°,∴∠1+∠3= 60 °.
在△AEG中,∠FEG+∠3+∠1=90°,∴∠FEG= 30 °.
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②求证:BF=AF+2FG.
(2)[类比与探究]
把(1)中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”,其余条件不变,如图2.类比探究,可得:
①∠FEG= 45 °;
②线段BF、AF、FG之间存在数量关系 BF=2AF+2FG .
(3)[归纳与拓展]
如图3,点A在射线BH上,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<180°),在∠CAH内引射线AM,作点C关于AM的对称点E(点E在∠CAH内),连接BE,BE、CE分别交AM于点F、G.则线段BF、AF、GF之间的数量关系为 BF=2AF•sin12α+FGsin12α .
【解答】(1)①解:如图1中,∵点E是点C关于AM的对称点,
∴∠AGE=90°,AE=AC,∠1=∠2.
∵正△ABC中,∠BAC=60°,AB=AC,
∴AE=AB,得∠3=∠4.
在△ABE中,∠1+∠2+60°+∠3+∠4=180°,
∴∠1+∠3=60°.
在△AEG中,∠FEG+∠3+∠1=90°,
∴∠FEG=30°.
故答案为60,30.
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②证明:如图1中,连接CF,在FB上取一点T,使得FT=CF,连接CT.
∵C,E关于AM对称,
∴AM垂直平分线段EC,
∴FE=FC,
∴∠FEC=∠FCE=30°,EF=2FG,
∴∠CFT=∠FEC+∠FCE=60°,
∵FC=FT,
∴△CFT是等边三角形,
∴∠ACB=∠FCT=60°,CF=CT=FT,
∴∠BCT=∠ACF,
∵CB=CA,
∴△BCT≌△ACF(SAS),
∴BT=AF,
∴BF=BT+FT=AF+EF=AF+2FG.
(2)解:①如图2中,∵AB=AC=AE,
∴点A是△ECB的外接圆的圆心,
∴∠BEC=12∠BAC,
∵∠BAC=90°,
∴∠FEG=45°.
故答案为45.
②结论:BF=2AF+2FG.
理由:如图2中,连接CF,在FB上取一点T,使得FT=CF,连接CT.
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∵AM⊥EC,CG=CE,
∴FC=EF,
∴∠FEC=∠FCE=45°,EF=2FG,
∴∠CFT=∠FEC+∠FCE=90°,
∵CF=CT,
∴△CFT是等腰直角三角形,
∴CT=2CF,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴BC=2AC,
∴CTCF=CBCA,
∵∠BCA=∠TCF=45°,
∴∠BCT=∠ACF,
∴△BCT∽△ACF,
∴BTAF=BCAC=2,
∴BT=2CF,
∴BF=BT+TF=2AF+E2AF+2FG..
(3)如图3中,连接CF,BC,在BF上取一点T,使得FT=CF.
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∵AB=AC,∠BAC=α,
∴12BCAC=sin12α,
∴BCAC=2•sin12α,
∵AB=AC=AE,
∴∠BEC=12∠BAC=12α,EF=FGsin12α,
∵FC=FE,
∴∠FEC=∠FCE=12α,
∴∠CFT=∠FEC+∠FCE=α,
同法可证,△BCT∽△ACF,
∴BTAF=BCAC=2•sin12α,
∴BT=2AF•sin12α,
∴BF=BT+FT=2AF•sin12α+EF.即BF=2AF•sin12α+FGsin12α.
故答案为:BF=2AF•sin12α+FGsin12α.
25.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=12x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点B,过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点C(﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在一点P,使S△PAB=S△OAB?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
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(3)点M为直线AB下方抛物线上一点,点N为y轴上一点,当△MAB的面积最大时,求MN+12ON的最小值.
【解答】解:(1)∵直线y=12x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴点A(4,0),点B(0,﹣2),
设抛物线解析式为:y=a(x+1)(x﹣4),
∴﹣2=﹣4a,
∴a=12,
∴抛物线解析式为:y=12(x+1)(x﹣4)=12x2-32x﹣2;
(2)如图,当点P在直线AB上方时,过点O作OP∥AB,交抛物线与点P,
∵OP∥AB,
∴△ABP和△ABP是等底等高的两个三角形,
∴S△PAB=S△ABO,
∵OP∥AB,
∴直线PO的解析式为y=12x,
联立方程组可得y=12xy=12x2-32x-2,
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解得:x=2+22y=1+2或x=2-22y=1-2,
∴点P(2+22,1+2)或(2﹣22,1-2);
当点P'在直线AB下方时,在OB的延长线上截取BE=OB=2,过点E作EP'∥AB,交抛物线于点P',
∴AB∥EP'∥OP,OB=BE,
∴S△ABP'=S△ABO,
∵EP'∥AB,且过点E(0,﹣4),
∴直线EP'解析式为y=12x﹣4,
联立方程组可得y=12x-4y=12x2-32x-2,
解得x=2y=-3,
∴点P'(2,﹣3),
综上所述:点P坐标为(2+22,1+2)或(2﹣22,1-2)或(2,﹣3);
(3)如图2,过点M作MF⊥AC,交AB于F,
设点M(m,12m2-32m﹣2),则点F(m,12m﹣2),
∴MF=12m﹣2﹣(12m2-32m﹣2)=-12(m﹣2)2+2,
∴△MAB的面积=12×4×[-12(m﹣2)2+2]=﹣(m﹣2)2+4,
∴当m=2时,△MAB的面积有最大值,
∴点M(2,﹣3),
如图3,过点O作∠KOB=30°,过点N作KN⊥OK于K点,过点M作MR⊥OK于R,延长MF交直线KO于Q,
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∵∠KOB=30°,KN⊥OK,
∴KN=12ON,
∴MN+12ON=MN+KN,
∴当点M,点N,点K三点共线,且垂直于OK时,MN+12ON有最小值,即最小值为MP,
∵∠KOB=30°,
∴直线OK解析式为y=3x,
当x=2时,点Q(2,23),
∴QM=23+3,
∵OB∥QM,
∴∠PQM=∠PON=30°,
∴PM=12QM=3+32,
∴MN+12ON的最小值为3+32.
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