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  • 2021-05-10 发布

2020年四川省达州市中考数学试卷(含解析)

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‎2020年四川省达州市中考数学试卷 一、单项选择题(每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)人类与病毒的斗争是长期的,不能松懈.据中央电视台报道,截止北京时间2020年6月30日凌晨,全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万.1002万用科学记数法表示,正确的是(  )‎ A.1.002×107 B.1.002×106 ‎ C.1002×104 D.1.002×102万 ‎2.(3分)下列各数中,比3大比4小的无理数是(  )‎ A.3.14 B.‎10‎‎3‎ C.‎12‎ D.‎‎17‎ ‎3.(3分)下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字.其中,手的对面是口的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4.(3分)下列说法正确的是(  )‎ A.为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用普查 ‎ B.确定事件一定会发生 ‎ C.某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96,那么这组数据的众数为98 ‎ D.数据6、5、8、7、2的中位数是6‎ ‎5.(3分)图2是图1中长方体的三视图,用S表示面积,S主=x2+3x,S左=x2+x,则S俯=(  )‎ 第31页(共31页)‎ A.x2+3x+2 B.x2+2x+1 C.x2+4x+3 D.2x2+4x ‎6.(3分)如图,正方体的每条棱上放置相同数目的小球,设每条棱上的小球数为m,下列代数式表示正方体上小球总数,则表达错误的是(  )‎ A.12(m﹣1) B.4m+8( m﹣2) C.12( m﹣2)+8 D.12m﹣16‎ ‎7.(3分)中国奇书《易经》中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.如图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满5进1,用来记录孩子自出生后的天数.由图可知,孩子自出生后的天数是(  )‎ A.10 B.89 C.165 D.294‎ ‎8.(3分)如图,在半径为5的⊙O中,将劣弧AB沿弦AB翻折,使折叠后的AB恰好与OA、OB相切,则劣弧AB的长为(  )‎ A.‎5‎‎3‎π B.‎5‎‎2‎π C.‎5‎‎4‎π D.‎5‎‎6‎π ‎9.(3分)如图,直线y1=kx与抛物线y2=ax2+bx+c交于A、B两点,则y=ax2+(b﹣k)x+c的图象可能是(  )‎ 第31页(共31页)‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.(3分)如图,∠BOD=45°,BO=DO,点A在OB上,四边形ABCD是矩形,连接AC、BD交于点E,连接OE交AD于点F.下列4个判断:①OE平分∠BOD;②OF=BD;③DF‎=‎‎2‎AF;④若点G是线段OF的中点,则△AEG为等腰直角三角形.正确判断的个数是(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ 二、填空题(每小题3分,共18分)‎ ‎11.(3分)2019年是中华人民共和国成立70周年,天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动.其中,群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题,包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分,某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分,制作扇形统计图.以下是打乱了的统计步骤:‎ ‎①绘制扇形统计图 ‎②收集三个部分本班学生喜欢的人数 ‎③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比 其中正确的统计顺序是   .‎ 第31页(共31页)‎ ‎12.(3分)如图,点P(﹣2,1)与点Q(a,b)关于直线1(y=﹣1)对称,则a+b=   .‎ ‎13.(3分)小明为测量校园里一棵大树AB的高度,在树底部B所在的水平面内,将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置,在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是1m,则大树AB的高度约为   .(结果精确到1m.参考数据:sin52°≈0.78,cos52°≈0.61,tan52°≈1.28)‎ ‎14.(3分)如图,点A、B在反比函数y‎=‎‎12‎x的图象上,A、B的纵坐标分别是3和6,连接OA、OB,则△OAB的面积是   .‎ ‎15.(3分)已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a=4b-1‎‎-‎19,则△ABC的内切圆半径=   .‎ ‎16.(3分)已知k为正整数,无论k取何值,直线11:y=kx+k+1与直线12:y=(k+1)x+k+2都交于一个固定的点,这个点的坐标是   ;记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk,则S1=   ,S1+S2+S3+…+S100的值为   .‎ 三、解答题:解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共72分)‎ ‎17.(5分)计算:﹣22+(‎1‎‎3‎)﹣2+(π‎-‎‎5‎)0‎+‎‎3‎‎-125‎.‎ ‎18.(7分)求代数式(‎2x-1‎x-1‎‎-‎x﹣1)‎÷‎x-2‎x‎2‎‎-2x+1‎的值,其中x‎=‎2‎+‎1.‎ ‎19.(7分)如图,点O在∠ABC的边BC上,以OB为半径作⊙O,∠ABC的平分线BM交 第31页(共31页)‎ ‎⊙O于点D,过点D作DE⊥BA于点E.‎ ‎(1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹),补全图形;‎ ‎(2)判断⊙O与DE交点的个数,并说明理由.‎ ‎20.(7分)争创全国文明城市,从我做起.尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程,为了解学生的学习情况,随机抽取了20名学生的测试成绩,分数如下:‎ ‎94 83 90 86 94 88 96 100 89 82‎ ‎94 82 84 89 88 93 98 94 93 92‎ 整理上面的数据,得到频数分布表和扇形统计图:‎ 等级 成绩/分 频数 A ‎95≤x≤100‎ a B ‎90≤x<95‎ ‎8‎ C ‎85≤x<90‎ ‎5‎ D ‎80≤x<85‎ ‎4‎ 根据以上信息,解答下列问题.‎ ‎(1)填空:a=   ,b=   ;‎ ‎(2)若成绩不低于90分为优秀,估计该校1200名八年级学生中,达到优秀等级的人数;‎ ‎(3)已知A等级中有2名女生,现从A等级中随机抽取2名同学,试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率.‎ ‎21.(8分)如图,△ABC中,BC=2AB,D、E分别是边BC、AC的中点.将△CDE绕点E旋转180度,得△AFE.‎ 第31页(共31页)‎ ‎(1)判断四边形ABDF的形状,并证明;‎ ‎(2)已知AB=3,AD+BF=8,求四边形ABDF的面积S.‎ ‎22.(8分)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如下表:‎ 原进价(元/张)‎ 零售价(元/张)‎ 成套售价(元/套)‎ 餐桌 a ‎380‎ ‎940‎ 餐椅 a﹣140‎ ‎160‎ 已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同.‎ ‎(1)求表中a的值;‎ ‎(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张,且餐桌和餐椅的总数量不超过200张.若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售,其余餐桌、餐椅以零售方式销售,请问怎样进货,才能获得最大利润?最大利润是多少?‎ ‎23.(8分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=6cm,CD=2cm.P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连接PA,过点P作PE⊥PA交射线CD于点E.聪聪根据学习函数的经验,对这个问题进行了研究:‎ ‎(1)通过推理,他发现△ABP∽△PCE,请你帮他完成证明.‎ ‎(2)利用几何画板,他改变BC的长度,运动点P,得到不同位置时,CE、BP的长度的对应值:‎ 当BC=6cm时,得表1:‎ BP/cm ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ CE/cm ‎…‎ ‎0.83‎ ‎1.33‎ ‎1.50‎ ‎1.33‎ ‎0.83‎ ‎…‎ 当BC=8cm时,得表2:‎ BP/cm ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎…‎ CE/cm ‎…‎ ‎1.17‎ ‎2.00‎ ‎2.50‎ ‎2.67‎ ‎2.50‎ ‎2.00‎ ‎1.17‎ ‎…‎ 这说明,点P在线段BC上运动时,要保证点E总在线段CD上,BC的长度应有一定的限制.‎ 第31页(共31页)‎ ‎①填空:根据函数的定义,我们可以确定,在BP和CE的长度这两个变量中,   的长度为自变量,   的长度为因变量;‎ ‎②设BC=mcm,当点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上,求m的取值范围.‎ ‎24.(10分)(1)[阅读与证明]‎ 如图1,在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM,作点C关于AM的对称点E(点E在∠CAH内),连接BE,BE、CE分别交AM于点F、G.‎ ‎①完成证明:∵点E是点C关于AM的对称点,‎ ‎∴∠AGE=90°,AE=AC,∠1=∠2.‎ ‎∵正△ABC中,∠BAC=60°,AB=AC,‎ ‎∴AE=AB,得∠3=∠4.‎ 在△ABE中,∠1+∠2+60°+∠3+∠4=180°,∴∠1+∠3=   °.‎ 在△AEG中,∠FEG+∠3+∠1=90°,∴∠FEG=   °.‎ ‎②求证:BF=AF+2FG.‎ ‎(2)[类比与探究]‎ 把(1)中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”,其余条件不变,如图2.类比探究,可得:‎ ‎①∠FEG=   °;‎ ‎②线段BF、AF、FG之间存在数量关系   .‎ ‎(3)[归纳与拓展]‎ 如图3,点A在射线BH上,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<180°),在∠CAH内引射线AM,作点C关于AM的对称点E(点E在∠CAH内),连接BE,BE、CE分别交AM于点F、G.则线段BF、AF、GF之间的数量关系为   .‎ 第31页(共31页)‎ ‎25.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线y‎=‎‎1‎‎2‎x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点B,过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点C(﹣1,0).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)在抛物线上是否存在一点P,使S△PAB=S△OAB?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)点M为直线AB下方抛物线上一点,点N为y轴上一点,当△MAB的面积最大时,求MN‎+‎‎1‎‎2‎ON的最小值.‎ 第31页(共31页)‎ ‎2020年四川省达州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题(每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)人类与病毒的斗争是长期的,不能松懈.据中央电视台报道,截止北京时间2020年6月30日凌晨,全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万.1002万用科学记数法表示,正确的是(  )‎ A.1.002×107 B.1.002×106 ‎ C.1002×104 D.1.002×102万 ‎【解答】解:1002万用科学记数法表示为1.002×107,‎ 故选:A.‎ ‎2.(3分)下列各数中,比3大比4小的无理数是(  )‎ A.3.14 B.‎10‎‎3‎ C.‎12‎ D.‎‎17‎ ‎【解答】解:3‎=‎‎9‎,4‎=‎‎16‎,‎ A、3.14是有理数,故此选项不合题意;‎ B、‎10‎‎3‎是有理数,故此选项不符合题意;‎ C、‎12‎是比3大比4小的无理数,故此选项符合题意;‎ D、‎17‎比4大的无理数,故此选项不合题意;‎ 故选:C.‎ ‎3.(3分)下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字.其中,手的对面是口的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:A、手的对面是勤,不符合题意;‎ B、手的对面是口,符合题意;‎ 第31页(共31页)‎ C、手的对面是罩,不符合题意;‎ D、手的对面是罩,不符合题意;‎ 故选:B.‎ ‎4.(3分)下列说法正确的是(  )‎ A.为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用普查 ‎ B.确定事件一定会发生 ‎ C.某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96,那么这组数据的众数为98 ‎ D.数据6、5、8、7、2的中位数是6‎ ‎【解答】解:A.为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用抽样调查,此选项错误;‎ B.确定事件一定会发生,或一定不会发生,此选项错误;‎ C.某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96,那么这组数据的众数为98和99,此选项错误;‎ D.数据6、5、8、7、2的中位数是6,此选项正确;‎ 故选:D.‎ ‎5.(3分)图2是图1中长方体的三视图,用S表示面积,S主=x2+3x,S左=x2+x,则S俯=(  )‎ A.x2+3x+2 B.x2+2x+1 C.x2+4x+3 D.2x2+4x ‎【解答】解:∵S主=x2+3x=x(x+3),S左=x2+x=x(x+1),‎ ‎∴俯视图的长为x+3,宽为x+1,‎ 则俯视图的面积S俯=(x+3)(x+1)=x2+4x+3,‎ 故选:C.‎ ‎6.(3分)如图,正方体的每条棱上放置相同数目的小球,设每条棱上的小球数为m,下列代数式表示正方体上小球总数,则表达错误的是(  )‎ 第31页(共31页)‎ A.12(m﹣1) B.4m+8( m﹣2) C.12( m﹣2)+8 D.12m﹣16‎ ‎【解答】解:由题意得,当每条棱上的小球数为m时,正方体上的所有小球数为12m﹣8×2=12m﹣16.‎ 而12(m﹣1)=12m﹣12≠12m﹣16,4m+8( m﹣2)=12m﹣16,12( m﹣2)+8=12m﹣16,‎ 所以A选项表达错误,符合题意;‎ B、C、D选项表达正确,不符合题意;‎ 故选:A.‎ ‎7.(3分)中国奇书《易经》中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.如图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满5进1,用来记录孩子自出生后的天数.由图可知,孩子自出生后的天数是(  )‎ A.10 B.89 C.165 D.294‎ ‎【解答】解:2×53+1×52+3×51+4×50=294,‎ 故选:D.‎ ‎8.(3分)如图,在半径为5的⊙O中,将劣弧AB沿弦AB翻折,使折叠后的AB恰好与OA、OB相切,则劣弧AB的长为(  )‎ A.‎5‎‎3‎π B.‎5‎‎2‎π C.‎5‎‎4‎π D.‎5‎‎6‎π ‎【解答】解:如图,作O点关于AB的对称点O′,连接O′A、O′B,‎ ‎∵OA=OB=O′A=O′B,‎ 第31页(共31页)‎ ‎∴四边形OAO′B为菱形,‎ ‎∵折叠后的AB与OA、OB相切,‎ ‎∴O′A⊥OA,O′B⊥OB,‎ ‎∴四边形OAO′B为正方形,‎ ‎∴∠AOB=90°,‎ ‎∴劣弧AB的长‎=‎90⋅π⋅5‎‎180‎=‎‎5‎‎2‎π.‎ 故选:B.‎ ‎9.(3分)如图,直线y1=kx与抛物线y2=ax2+bx+c交于A、B两点,则y=ax2+(b﹣k)x+c的图象可能是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:设y=y2﹣y1,‎ ‎∵y1=kx,y2=ax2+bx+c,‎ ‎∴y=ax2+(b﹣k)x+c,‎ 由图象可知,在点A和点B之间,y>0,在点A的左侧或点B的右侧,y<0,‎ 故选项B符合题意,选项A、C、D不符合题意;‎ 故选:B.‎ 第31页(共31页)‎ ‎10.(3分)如图,∠BOD=45°,BO=DO,点A在OB上,四边形ABCD是矩形,连接AC、BD交于点E,连接OE交AD于点F.下列4个判断:①OE平分∠BOD;②OF=BD;③DF‎=‎‎2‎AF;④若点G是线段OF的中点,则△AEG为等腰直角三角形.正确判断的个数是(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【解答】解:①∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴EB=ED,‎ ‎∵BO=DO,‎ ‎∴OE平分∠BOD,‎ 故①正确;‎ ‎②∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠OAD=∠BAD=90°,‎ ‎∴∠ABD+∠ADB=90°,‎ ‎∵OB=OD,BE=DE,‎ ‎∴OE⊥BD,‎ ‎∴∠BOE+∠OBE=90°,‎ ‎∴∠BOE=∠BDA,‎ ‎∵∠BOD=45°,∠OAD=90°,‎ ‎∴∠ADO=45°,‎ ‎∴AO=AD,‎ ‎∴△AOF≌△ABD(ASA),‎ ‎∴OF=BD,‎ 故②正确;‎ ‎③∵△AOF≌△ABD,‎ ‎∴AF=AB,‎ 连接BF,如图1,‎ 第31页(共31页)‎ ‎∴BF‎=‎2‎AF,‎ ‎∵BE=DE,OE⊥BD,‎ ‎∴DF=BF,‎ ‎∴DF‎=‎2‎AF,‎ 故③正确;‎ ‎④根据题意作出图形,如图2,‎ ‎∵G是OF的中点,∠OAF=90°,‎ ‎∴AG=OG,‎ ‎∴∠AOG=∠OAG,‎ ‎∵∠AOD=45°,OE平分∠AOD,‎ ‎∴∠AOG=∠OAG=22.5°,‎ ‎∴∠FAG=67.5°,∠ADB=∠AOF=22.5°,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴EA=ED,‎ ‎∴∠EAD=∠EDA=22.5°,‎ ‎∴∠EAG=90°,‎ ‎∵∠AGE=∠AOG+∠OAG=45°,‎ ‎∴∠AEG=45°,‎ ‎∴AE=AG,‎ ‎∴△AEG为等腰直角三角形,‎ 故④正确;‎ 第31页(共31页)‎ 故选:A.‎ 二、填空题(每小题3分,共18分)‎ ‎11.(3分)2019年是中华人民共和国成立70周年,天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动.其中,群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题,包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分,某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分,制作扇形统计图.以下是打乱了的统计步骤:‎ ‎①绘制扇形统计图 ‎②收集三个部分本班学生喜欢的人数 ‎③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比 其中正确的统计顺序是 ②③① .‎ ‎【解答】解:正确的统计顺序是:‎ ‎②收集三个部分本班学生喜欢的人数;‎ ‎③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比;‎ ‎①绘制扇形统计图;‎ 故答案为:②③①.‎ ‎12.(3分)如图,点P(﹣2,1)与点Q(a,b)关于直线1(y=﹣1)对称,则a+b= ﹣5 .‎ ‎【解答】解:∵点P(﹣2,1)与点Q(a,b)关于直线1(y=﹣1)对称,‎ ‎∴a=﹣2,b=﹣3,‎ ‎∴a+b=﹣2﹣3=﹣5,‎ 故答案为﹣5.‎ ‎13.(3分)小明为测量校园里一棵大树AB的高度,在树底部B所在的水平面内,将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置,在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是1m,则大树AB的高度约为 11 .(结果精确到1m.参考数据:sin52°≈0.78,cos52°≈0.61,tan52°≈1.28)‎ 第31页(共31页)‎ ‎【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E,由题意得,BC=DE=8,∠ADE=52°,DE=CD=1‎ 在Rt△ADE中,AD=DE•tan∠ADE=8×tan52°≈10.24,‎ ‎∴AB=AE+BE=10.24+1≈11(米)‎ 故答案为:11.‎ ‎14.(3分)如图,点A、B在反比函数y‎=‎‎12‎x的图象上,A、B的纵坐标分别是3和6,连接OA、OB,则△OAB的面积是 9 .‎ ‎【解答】解:∵点A、B在反比函数y‎=‎‎12‎x的图象上,A、B的纵坐标分别是3和6,‎ ‎∴A(4,3),B(2,6),‎ 作AD⊥y轴于D,BE⊥y轴于E,‎ ‎∴S△AOD=S△BOE‎=‎1‎‎2‎×‎12=6,‎ ‎∵S△OAB=S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE=S梯形ABED,‎ ‎∴S△AOB‎=‎‎1‎‎2‎(4+2)×(6﹣3)=9,‎ 故答案为9.‎ 第31页(共31页)‎ ‎15.(3分)已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a=4b-1‎‎-‎19,则△ABC的内切圆半径= 1 .‎ ‎【解答】解:∵b+|c﹣3|+a2﹣8a=4b-1‎‎-‎19,‎ ‎∴|c﹣3|+(a﹣4)2+(b-1‎‎-2‎)2=0,‎ ‎∴c=3,a=4,b=5,‎ ‎∵32+42=25=52,‎ ‎∴c2+a2=b2,‎ ‎∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,‎ 设内切圆的半径为r,‎ 根据题意,得S△ABC‎=‎1‎‎2‎×‎3×4‎=‎1‎‎2‎×‎3×r‎+‎1‎‎2‎×‎4×r‎+‎1‎‎2‎×‎r×5,‎ ‎∴r=1,‎ 故答案为:1.‎ ‎16.(3分)已知k为正整数,无论k取何值,直线11:y=kx+k+1与直线12:y=(k+1)x+k+2都交于一个固定的点,这个点的坐标是 (﹣1,1) ;记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk,则S1= ‎1‎‎4‎ ,S1+S2+S3+…+S100的值为 ‎50‎‎101‎ .‎ ‎【解答】解:∵直线11:y=kx+k+1=k(x+1)+1,‎ ‎∴直线12:y=(k+1)x+k+2经过点(﹣1,1);‎ ‎∵直线12:y=(k+1)x+k+2=k(x+1)+(x+1)+1=(k+1)(x+1)+1,‎ ‎∴直线12:y=(k+1)x+k+2经过点(﹣1,1).‎ ‎∴无论k取何值,直线l1与l2的交点均为定点(﹣1,1).‎ ‎∵直线11:y=kx+k+1与x轴的交点为(‎-‎k+1‎k,0),‎ 直线12:y=(k+1)x+k+2与x轴的交点为(‎-‎k+2‎k+1‎,0),‎ ‎∴SK‎=‎1‎‎2‎×‎|‎-k+1‎k+‎k+2‎k+1‎|×1‎=‎‎1‎‎2k(k+1)‎,‎ 第31页(共31页)‎ ‎∴S1‎=‎1‎‎2‎×‎1‎‎1×2‎=‎‎1‎‎4‎;‎ ‎∴S1+S2+S3+…+S100‎=‎‎1‎‎2‎[‎1‎‎1×2‎‎+‎1‎‎2×3‎+⋯‎‎1‎‎100×101‎]‎ ‎=‎‎1‎‎2‎‎[(1‎-‎‎1‎‎2‎)+(‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎)+…+(‎1‎‎100‎‎-‎‎1‎‎101‎)]‎ ‎=‎1‎‎2‎×‎‎(1‎-‎‎1‎‎101‎)‎ ‎=‎1‎‎2‎×‎‎100‎‎101‎‎ ‎ ‎=‎‎50‎‎101‎‎.‎ 故答案为(﹣1,1);‎1‎‎4‎;‎50‎‎101‎.‎ 三、解答题:解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共72分)‎ ‎17.(5分)计算:﹣22+(‎1‎‎3‎)﹣2+(π‎-‎‎5‎)0‎+‎‎3‎‎-125‎.‎ ‎【解答】解:原式=﹣4+9+1﹣5‎ ‎=1.‎ ‎18.(7分)求代数式(‎2x-1‎x-1‎‎-‎x﹣1)‎÷‎x-2‎x‎2‎‎-2x+1‎的值,其中x‎=‎2‎+‎1.‎ ‎【解答】解:原式=(‎2x-1‎x-1‎‎-‎x‎2‎‎-1‎x-1‎)‎‎÷‎x-2‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎ ‎=‎‎-x‎2‎+2xx-1‎‎)‎÷‎x-2‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎ ‎ ‎=‎‎-x(x-2)‎x-1‎‎•‎(x-1‎‎)‎‎2‎x-2‎ ‎ ‎=﹣x(x﹣1)‎ 当x‎=‎2‎+‎1时,‎ 原式=﹣(‎2‎‎+‎1)(‎2‎‎+‎1﹣1)‎ ‎=﹣(‎2‎‎+‎1)‎‎×‎‎2‎ ‎=﹣2‎-‎‎2‎.‎ ‎19.(7分)如图,点O在∠ABC的边BC上,以OB为半径作⊙O,∠ABC的平分线BM交⊙O于点D,过点D作DE⊥BA于点E.‎ ‎(1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹),补全图形;‎ ‎(2)判断⊙O与DE交点的个数,并说明理由.‎ 第31页(共31页)‎ ‎【解答】解:(1)如图,⊙O,射线BM,直线DE即为所求.‎ ‎(2)直线DE与⊙O相切,交点只有一个.‎ 理由:∵OB=OD,‎ ‎∴∠ODB=∠OBD,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABM=∠CBM,‎ ‎∴∠ODB=∠ABD,‎ ‎∴OD∥AB,‎ ‎∵DE⊥AB,‎ ‎∴DE⊥OD,‎ ‎∴直线AE是⊙O的切线,‎ ‎∴⊙O与直线DE只有一个交点.‎ ‎20.(7分)争创全国文明城市,从我做起.尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程,为了解学生的学习情况,随机抽取了20名学生的测试成绩,分数如下:‎ ‎94 83 90 86 94 88 96 100 89 82‎ ‎94 82 84 89 88 93 98 94 93 92‎ 整理上面的数据,得到频数分布表和扇形统计图:‎ 等级 成绩/分 频数 A ‎95≤x≤100‎ a B ‎90≤x<95‎ ‎8‎ 第31页(共31页)‎ C ‎85≤x<90‎ ‎5‎ D ‎80≤x<85‎ ‎4‎ 根据以上信息,解答下列问题.‎ ‎(1)填空:a= 3 ,b= 40 ;‎ ‎(2)若成绩不低于90分为优秀,估计该校1200名八年级学生中,达到优秀等级的人数;‎ ‎(3)已知A等级中有2名女生,现从A等级中随机抽取2名同学,试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率.‎ ‎【解答】解:(1)由题意知a=20﹣(8+5+4)=3,b%‎=‎8‎‎20‎×‎100%=40%,即b=40;‎ 故答案为:3、40;‎ ‎(2)估计该校1200名八年级学生中,达到优秀等级的人数为1200‎×‎8+3‎‎20‎=‎660(人);‎ ‎(3)列表如下:‎ ‎ ‎ 男 女 女 男 ‎ ‎ ‎(男,女)‎ ‎(男,女)‎ 女 ‎(男,女)‎ ‎ ‎ ‎(女,女)‎ 女 ‎(男,女)‎ ‎(女,女)‎ ‎ ‎ 所有等可能的结果有6种,其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种,‎ ‎∴恰好抽到一男一女的概率为‎4‎‎6‎‎=‎‎2‎‎3‎.‎ ‎21.(8分)如图,△ABC中,BC=2AB,D、E分别是边BC、AC的中点.将△CDE绕点E旋转180度,得△AFE.‎ ‎(1)判断四边形ABDF的形状,并证明;‎ ‎(2)已知AB=3,AD+BF=8,求四边形ABDF的面积S.‎ 第31页(共31页)‎ ‎【解答】解:(1)结论:四边形ABDF是菱形.‎ ‎∵CD=DB,CE=EA,‎ ‎∴DE∥AB,AB=2DE,‎ 由旋转的性质可知,DE=EF,‎ ‎∴AB=DF,AB∥DF,‎ ‎∴四边形ABDF是平行四边形,‎ ‎∵BC=2AB,BD=DC,‎ ‎∴BA=BD,‎ ‎∴四边形ABDF是菱形.‎ ‎(2)连接BF,AD交于点O.‎ ‎∵四边形ABDF是菱形,‎ ‎∴AD⊥BF,OB=OF,AO=OD,设OA=x,OB=y,‎ 则有‎2x+2y=8‎x‎2‎‎+y‎2‎=‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴x+y=4,‎ ‎∴x2+2xy+y2=16,‎ ‎∴2xy=7,‎ ‎∴S菱形ABDF‎=‎1‎‎2‎×‎BF×AD=2xy=7.‎ ‎22.(8分)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如下表:‎ 第31页(共31页)‎ 原进价(元/张)‎ 零售价(元/张)‎ 成套售价(元/套)‎ 餐桌 a ‎380‎ ‎940‎ 餐椅 a﹣140‎ ‎160‎ 已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同.‎ ‎(1)求表中a的值;‎ ‎(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张,且餐桌和餐椅的总数量不超过200张.若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售,其余餐桌、餐椅以零售方式销售,请问怎样进货,才能获得最大利润?最大利润是多少?‎ ‎【解答】解:(1)根据题意得:‎600‎a-140‎‎=‎‎1300‎a,‎ 解得a=260,‎ 经检验,a=260是原分式方程的解.‎ 答:表中a的值为260.‎ ‎(2)设购进餐桌x张,则购进餐椅(5x+20)张,‎ 根据题意得:x+5x+20≤200,‎ 解得:x≤30.‎ 设销售利润为y元,‎ 根据题意得:y=[940﹣260﹣4×(260﹣140)]‎×‎‎1‎‎2‎x+(380﹣260)‎×‎‎1‎‎2‎x+[160﹣(260﹣140)]×(5x+20﹣4‎×‎‎1‎‎2‎x)=280x+800,‎ ‎∵k=280>0,‎ ‎∴当x=30时,y取最大值,最大值为:280×30+800=9200.‎ 答:当购进餐桌30张、餐椅170张时,才能获得最大利润,最大利润是9200元.‎ ‎23.(8分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=6cm,CD=2cm.P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连接PA,过点P作PE⊥PA交射线CD于点E.聪聪根据学习函数的经验,对这个问题进行了研究:‎ ‎(1)通过推理,他发现△ABP∽△PCE,请你帮他完成证明.‎ ‎(2)利用几何画板,他改变BC的长度,运动点P,得到不同位置时,CE、BP的长度的对应值:‎ 第31页(共31页)‎ 当BC=6cm时,得表1:‎ BP/cm ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ CE/cm ‎…‎ ‎0.83‎ ‎1.33‎ ‎1.50‎ ‎1.33‎ ‎0.83‎ ‎…‎ 当BC=8cm时,得表2:‎ BP/cm ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎…‎ CE/cm ‎…‎ ‎1.17‎ ‎2.00‎ ‎2.50‎ ‎2.67‎ ‎2.50‎ ‎2.00‎ ‎1.17‎ ‎…‎ 这说明,点P在线段BC上运动时,要保证点E总在线段CD上,BC的长度应有一定的限制.‎ ‎①填空:根据函数的定义,我们可以确定,在BP和CE的长度这两个变量中, BP 的长度为自变量, EC 的长度为因变量;‎ ‎②设BC=mcm,当点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上,求m的取值范围.‎ ‎【解答】(1)证明:∵AB∥CD,‎ ‎∴∠B+∠C=90°,‎ ‎∵∠B=90°,‎ ‎∴∠B=∠C=90°,‎ ‎∵AP⊥PE,‎ ‎∴∠APE=90°,‎ ‎∴∠APB+∠EPC=90°,‎ ‎∵∠EPC+∠PEC=90°,‎ ‎∴∠APB=∠PEC,‎ ‎∴△ABP∽△PCE.‎ ‎(2)解:①根据函数的定义,我们可以确定,在BP和CE的长度这两个变量中,BP 第31页(共31页)‎ 的长度为自变量,EC的长度为因变量,‎ 故答案为:BP,EC.‎ ‎②设BP=xcm,CE=ycm.‎ ‎∵△ABP∽△PCE,‎ ‎∴ABPC‎=‎BPCE,‎ ‎∴‎6‎m-x‎=‎xy,‎ ‎∴y‎=-‎‎1‎‎6‎x2‎+‎‎1‎‎6‎mx‎=-‎‎1‎‎6‎(x‎-‎‎1‎‎2‎m)2‎+‎m‎2‎‎24‎,‎ ‎∵‎-‎1‎‎6‎<‎0,‎ ‎∴x‎=‎‎1‎‎2‎m时,y有最大值m‎2‎‎24‎,‎ ‎∵点E在线段CD上,CD=2cm,‎ ‎∴m‎2‎‎24‎‎≤‎2,‎ ‎∴m≤4‎3‎,‎ ‎∴0<m≤4‎3‎.‎ ‎24.(10分)(1)[阅读与证明]‎ 如图1,在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM,作点C关于AM的对称点E(点E在∠CAH内),连接BE,BE、CE分别交AM于点F、G.‎ ‎①完成证明:∵点E是点C关于AM的对称点,‎ ‎∴∠AGE=90°,AE=AC,∠1=∠2.‎ ‎∵正△ABC中,∠BAC=60°,AB=AC,‎ ‎∴AE=AB,得∠3=∠4.‎ 在△ABE中,∠1+∠2+60°+∠3+∠4=180°,∴∠1+∠3= 60 °.‎ 在△AEG中,∠FEG+∠3+∠1=90°,∴∠FEG= 30 °.‎ 第31页(共31页)‎ ‎②求证:BF=AF+2FG.‎ ‎(2)[类比与探究]‎ 把(1)中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”,其余条件不变,如图2.类比探究,可得:‎ ‎①∠FEG= 45 °;‎ ‎②线段BF、AF、FG之间存在数量关系 BF‎=‎‎2‎AF‎+‎‎2‎FG .‎ ‎(3)[归纳与拓展]‎ 如图3,点A在射线BH上,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<180°),在∠CAH内引射线AM,作点C关于AM的对称点E(点E在∠CAH内),连接BE,BE、CE分别交AM于点F、G.则线段BF、AF、GF之间的数量关系为 BF=2AF•sin‎1‎‎2‎α‎+‎FGsin‎1‎‎2‎α .‎ ‎【解答】(1)①解:如图1中,∵点E是点C关于AM的对称点,‎ ‎∴∠AGE=90°,AE=AC,∠1=∠2.‎ ‎∵正△ABC中,∠BAC=60°,AB=AC,‎ ‎∴AE=AB,得∠3=∠4.‎ 在△ABE中,∠1+∠2+60°+∠3+∠4=180°,‎ ‎∴∠1+∠3=60°.‎ 在△AEG中,∠FEG+∠3+∠1=90°,‎ ‎∴∠FEG=30°.‎ 故答案为60,30.‎ 第31页(共31页)‎ ‎②证明:如图1中,连接CF,在FB上取一点T,使得FT=CF,连接CT.‎ ‎∵C,E关于AM对称,‎ ‎∴AM垂直平分线段EC,‎ ‎∴FE=FC,‎ ‎∴∠FEC=∠FCE=30°,EF=2FG,‎ ‎∴∠CFT=∠FEC+∠FCE=60°,‎ ‎∵FC=FT,‎ ‎∴△CFT是等边三角形,‎ ‎∴∠ACB=∠FCT=60°,CF=CT=FT,‎ ‎∴∠BCT=∠ACF,‎ ‎∵CB=CA,‎ ‎∴△BCT≌△ACF(SAS),‎ ‎∴BT=AF,‎ ‎∴BF=BT+FT=AF+EF=AF+2FG.‎ ‎(2)解:①如图2中,∵AB=AC=AE,‎ ‎∴点A是△ECB的外接圆的圆心,‎ ‎∴∠BEC‎=‎‎1‎‎2‎∠BAC,‎ ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∴∠FEG=45°.‎ 故答案为45.‎ ‎②结论:BF‎=‎‎2‎AF‎+‎‎2‎FG.‎ 理由:如图2中,连接CF,在FB上取一点T,使得FT=CF,连接CT.‎ 第31页(共31页)‎ ‎∵AM⊥EC,CG=CE,‎ ‎∴FC=EF,‎ ‎∴∠FEC=∠FCE=45°,EF‎=‎‎2‎FG,‎ ‎∴∠CFT=∠FEC+∠FCE=90°,‎ ‎∵CF=CT,‎ ‎∴△CFT是等腰直角三角形,‎ ‎∴CT‎=‎‎2‎CF,‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形,‎ ‎∴BC‎=‎‎2‎AC,‎ ‎∴CTCF‎=‎CBCA,‎ ‎∵∠BCA=∠TCF=45°,‎ ‎∴∠BCT=∠ACF,‎ ‎∴△BCT∽△ACF,‎ ‎∴BTAF‎=BCAC=‎‎2‎,‎ ‎∴BT‎=‎‎2‎CF,‎ ‎∴BF=BT+TF‎=‎‎2‎AF+E‎2‎AF‎+‎‎2‎FG..‎ ‎(3)如图3中,连接CF,BC,在BF上取一点T,使得FT=CF.‎ 第31页(共31页)‎ ‎∵AB=AC,∠BAC=α,‎ ‎∴‎1‎‎2‎BCAC‎=‎sin‎1‎‎2‎α,‎ ‎∴BCAC‎=‎2•sin‎1‎‎2‎α,‎ ‎∵AB=AC=AE,‎ ‎∴∠BEC‎=‎‎1‎‎2‎∠BAC‎=‎‎1‎‎2‎α,EF‎=‎FGsin‎1‎‎2‎α,‎ ‎∵FC=FE,‎ ‎∴∠FEC=∠FCE‎=‎‎1‎‎2‎α,‎ ‎∴∠CFT=∠FEC+∠FCE=α,‎ 同法可证,△BCT∽△ACF,‎ ‎∴BTAF‎=BCAC=‎2•sin‎1‎‎2‎α,‎ ‎∴BT=2AF•sin‎1‎‎2‎α,‎ ‎∴BF=BT+FT=2AF•sin‎1‎‎2‎α+EF.即BF=2AF•sin‎1‎‎2‎α‎+‎FGsin‎1‎‎2‎α.‎ 故答案为:BF=2AF•sin‎1‎‎2‎α‎+‎FGsin‎1‎‎2‎α.‎ ‎25.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线y‎=‎‎1‎‎2‎x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点B,过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点C(﹣1,0).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)在抛物线上是否存在一点P,使S△PAB=S△OAB?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;‎ 第31页(共31页)‎ ‎(3)点M为直线AB下方抛物线上一点,点N为y轴上一点,当△MAB的面积最大时,求MN‎+‎‎1‎‎2‎ON的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)∵直线y‎=‎‎1‎‎2‎x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点B,‎ ‎∴点A(4,0),点B(0,﹣2),‎ 设抛物线解析式为:y=a(x+1)(x﹣4),‎ ‎∴﹣2=﹣4a,‎ ‎∴a‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴抛物线解析式为:y‎=‎‎1‎‎2‎(x+1)(x﹣4)‎=‎‎1‎‎2‎x2‎-‎‎3‎‎2‎x﹣2;‎ ‎(2)如图,当点P在直线AB上方时,过点O作OP∥AB,交抛物线与点P,‎ ‎∵OP∥AB,‎ ‎∴△ABP和△ABP是等底等高的两个三角形,‎ ‎∴S△PAB=S△ABO,‎ ‎∵OP∥AB,‎ ‎∴直线PO的解析式为y‎=‎‎1‎‎2‎x,‎ 联立方程组可得y=‎1‎‎2‎xy=‎1‎‎2‎x‎2‎-‎3‎‎2‎x-2‎,‎ 第31页(共31页)‎ 解得:x=2+2‎‎2‎y=1+‎‎2‎或x=2-2‎‎2‎y=1-‎‎2‎,‎ ‎∴点P(2+2‎2‎,1‎+‎‎2‎)或(2﹣2‎2‎,1‎-‎‎2‎);‎ 当点P'在直线AB下方时,在OB的延长线上截取BE=OB=2,过点E作EP'∥AB,交抛物线于点P',‎ ‎∴AB∥EP'∥OP,OB=BE,‎ ‎∴S△ABP'=S△ABO,‎ ‎∵EP'∥AB,且过点E(0,﹣4),‎ ‎∴直线EP'解析式为y‎=‎‎1‎‎2‎x﹣4,‎ 联立方程组可得y=‎1‎‎2‎x-4‎y=‎1‎‎2‎x‎2‎-‎3‎‎2‎x-2‎,‎ 解得x=2‎y=-3‎,‎ ‎∴点P'(2,﹣3),‎ 综上所述:点P坐标为(2+2‎2‎,1‎+‎‎2‎)或(2﹣2‎2‎,1‎-‎‎2‎)或(2,﹣3);‎ ‎(3)如图2,过点M作MF⊥AC,交AB于F,‎ 设点M(m,‎1‎‎2‎m2‎-‎‎3‎‎2‎m﹣2),则点F(m,‎1‎‎2‎m﹣2),‎ ‎∴MF‎=‎‎1‎‎2‎m﹣2﹣(‎1‎‎2‎m2‎-‎‎3‎‎2‎m﹣2)‎=-‎‎1‎‎2‎(m﹣2)2+2,‎ ‎∴△MAB的面积‎=‎1‎‎2‎×‎4×[‎-‎‎1‎‎2‎(m﹣2)2+2]=﹣(m﹣2)2+4,‎ ‎∴当m=2时,△MAB的面积有最大值,‎ ‎∴点M(2,﹣3),‎ 如图3,过点O作∠KOB=30°,过点N作KN⊥OK于K点,过点M作MR⊥OK于R,延长MF交直线KO于Q,‎ 第31页(共31页)‎ ‎∵∠KOB=30°,KN⊥OK,‎ ‎∴KN‎=‎‎1‎‎2‎ON,‎ ‎∴MN‎+‎‎1‎‎2‎ON=MN+KN,‎ ‎∴当点M,点N,点K三点共线,且垂直于OK时,MN‎+‎‎1‎‎2‎ON有最小值,即最小值为MP,‎ ‎∵∠KOB=30°,‎ ‎∴直线OK解析式为y‎=‎‎3‎x,‎ 当x=2时,点Q(2,2‎3‎),‎ ‎∴QM=2‎3‎‎+‎3,‎ ‎∵OB∥QM,‎ ‎∴∠PQM=∠PON=30°,‎ ‎∴PM‎=‎‎1‎‎2‎QM‎=‎3‎+‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴MN‎+‎‎1‎‎2‎ON的最小值为‎3‎‎+‎‎3‎‎2‎.‎ 第31页(共31页)‎