五年中考三年模拟九年级上数学北师大版 45页

‎[第1页 第2题]　如图1-1-1, 四边形ABCD中, AD∥BC且AD=BC, 当△ABC满足什么条件时, 四边形ABCD是菱形? 请说明理由. ‎ 图1-1-1‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　当△ABC为等腰三角形, 即AB=BC时, 四边形ABCD为菱形. 理由如下:‎ ‎∵四边形ABCD中, AD∥BC且AD=BC,‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形.‎ 又AB=BC, ∴平行四边形ABCD为菱形.‎ ‎[第1页 第3题]　(2012四川成都中考) 如图1-1-2, 在菱形ABCD中, 对角线AC, BD交于点O, 下列说法错误的是(　　) ‎ 图1-1-2‎ A. AB∥DC　　B. AC=BD　　C. AC⊥BD　　D. OA=OC ‎[答案]　B ‎[解析]　A选项, 菱形的对边平行且相等, 所以AB∥DC, 本选项正确; B选项, 菱形的对角线不一定相等, 本选项错误; C选项, 菱形的对角线一定互相垂直, 所以AC⊥BD, 本选项正确; D选项, 菱形的对角线互相平分, 所以OA=OC, 本选项正确. 故答案为B.‎ ‎[第1页 第4题]　(2013湖南怀化中考) 如图1-1-3, 在菱形ABCD中, AB=3, ∠ABC=60°, 则对角线AC=(　　) ‎ 图1-1-3‎ A. 12　　B. 9　　C. 6　　D. 3‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC, 又∵∠ABC=60°,‎ ‎∴△ABC为等边三角形, ∴AC=AB=3. 故选D.‎ ‎[第1页 第1题]　用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是(　　) ‎ A. 等腰梯形　　B. 正方形　　C. 矩形　　D. 菱形 ‎[答案]　D ‎[解析]　四条边相等的四边形是菱形.‎ ‎[第1页 第6题]　(2013山东淄博中考) 如图1-1-5, 菱形纸片ABCD中, ∠A=60°, 折叠菱形纸片ABCD, 使点C落在DP(P为AB中点) 所在的直线上, 得到经过点D的折痕DE. 则∠DEC的大小为(　　) ‎ 图1-1-5‎ A. 78°　　B. 75°　　C. 60°　　D. 45°‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　连接BD, ∵四边形ABCD为菱形, ∠A=60°, ∴△ABD为等边三角形, ∠ADC=120°, ∠C=60°, ∵P为AB的中点,‎ ‎∴DP为∠ADB的平分线, 即∠ADP=∠BDP=30°, ∴∠PDC=90°, ∴由折叠的性质得∠CDE=∠PDE=45°, 在△DEC中, ∠DEC=180°-(∠CDE+∠C) =75°. 故选B.‎ ‎[第1页 第7题]　(2013江苏无锡中考) 如图1-1-6, 菱形ABCD中, 对角线AC交BD于O, AB=8, E是CD的中点, 则OE的长等于　　　　.   ‎ 图1-1-6‎ ‎[答案]　4‎ ‎[解析]　∵四边形ABCD是菱形, ∴BC=AB=8, OD=BO,‎ ‎∵E是CD的中点, ∴OE是△DBC的中位线, ∴OE=BC=4.‎ ‎[第1页 第8题]　如图1-1-7, 在菱形ABCD中, 已知AB=10, AC=16, 那么菱形ABCD面积为　　　　.   ‎ 图1-1-7‎ ‎[答案]　96‎ ‎[解析]　由题意得AC⊥BD, OA=OC, OB=OD, 又AB=10, AC=16, ∴OA=8. ∴BO==6, ∴BD=12, ∴S菱形ABCD=AC·BD=×16×12=96.‎ ‎[第1页 第9题]　(2013四川内江中考) 如图1-1-8, 已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8, M、N分别是边BC、CD的中点, P是对角线BD上一点, 则PM+PN的最小值=　　　　.   ‎ 图1-1-8‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　作M关于BD的对称点Q, 连接NQ, 交BD于P, 连接MP、NP, 此时MP+NP的值最小, 连接AC, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, ∠QBP=∠MBP, 即Q在AB上, ∵MQ⊥BD, ∴AC∥MQ, ∵M为BC的中点, ∴Q为AB的中点, ∵N为CD的中点, 四边形ABCD是菱形, ∴BQ∥CD, BQ=CN, ∴四边形BQNC是平行四边形, ∴NQ=BC, ∵四边形ABCD是菱形, ∴CP=AP=3, BP=PD=4, 在Rt△BPC中, 由勾股定理得BC=5, 即NQ=5, ∴MP+NP=QP+NP=QN=5, 故答案为5.‎ ‎[第2页 第10题]　(2013广东广州中考) 如图1-1-9, 四边形ABCD是菱形, 对角线AC与BD相交于点O, AB=5, AO=4, 求BD的长. ‎ 图1-1-9‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AC⊥BD且BO=OD, 即△ABO是直角三角形,‎ 在Rt△ABO中, BO2=AB2-AO2, 其中AO=4, AB=5,‎ ‎∴BO=3, 又∵BO=OD, ∴BD=2BO=6, ∴BD的长为6.‎ ‎[第2页 第12题]　下列条件: ‎ ‎①四边相等的四边形; ‎ ‎②对角线互相垂直且平分的四边形; ‎ ‎③一组邻边相等的四边形; ‎ ‎④一条对角线平分一组对角的平行四边形. ‎ 其中能判断四边形是菱形的有(　　) ‎ A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个 ‎[答案]　C ‎[解析]　①四边相等的四边形是菱形, 故①正确. ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形, 故②正确. ③一组邻边相等的平行四边形是菱形, 故③错误. ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形, 故④正确. 故选C.‎ ‎[第2页 第13题]　(2013海南中考) 如图1-1-11, 将△ABC沿BC方向平移得到△DCE, 连接AD, 下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是(　　) ‎ 图1-1-11‎ A. AB=BC　　B. AC=BC　　C. ∠B=60°　　D. ∠ACB=60°‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由平移, 得AC∥DE, AC=DE, ∴四边形ACED是平行四边形, 又∵BC=CE, ∴当AC=BC时, AC=CE, ∴平行四边形ACED是菱形. 故选B.‎ ‎[第2页 第11题]　四边形ABCD是菱形, 点P是对角线AC上一点, 以点P为圆心, PB为半径画弧, 交BC的延长线于点F, 连接PF, PD, PB. ‎ ‎(1) 如图1-1-10①, 当点P是AC的中点时, 请直接写出PF和PD的数量关系; ‎ ‎(2) 如图1-1-10②, 当点P不是AC的中点时, 求证: PF=PD. ‎ 图1-1-10‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) PF=PD.‎ ‎(2) 证明: ∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=AD, ∠BAC=∠DAC.‎ 在△ABP和△ADP中,‎ ‎∴△ABP≌△ADP(SAS),‎ ‎∴PB=PD,‎ 又∵PB=PF,‎ ‎∴PF=PD.‎ ‎[第2页 第14题]　(2013四川遂宁中考) 如图1-1-12, 已知四边形ABCD是平行四边形, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是E, F, 并且DE=DF. ‎ 求证: (1) △ADE≌△CDF; ‎ ‎(2) 四边形ABCD是菱形. ‎ 图1-1-12‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) ∵DE⊥AB, DF⊥BC,‎ ‎∴∠AED=∠CFD=90°.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴∠A=∠C.‎ 在△ADE和△CDF中,‎ ‎∴△ADE≌△CDF(AAS).‎ ‎(2) ∵△ADE≌△CDF, ∴AD=CD,‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎[第2页 第15题]　(2013山东泰安中考) 如图1-1-13, 在四边形ABCD中, AB=AD, CB=CD, E是CD上一点, BE交AC于F, 连接DF. ‎ ‎(1) 证明: ∠BAC=∠DAC, ∠AFD=∠CFE; ‎ ‎(2) 若AB∥CD, 试证明四边形ABCD是菱形; ‎ ‎(3) 在(2) 的条件下, 试确定点E的位置, 使∠EFD=∠BCD, 并说明理由. ‎ 图1-1-13‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 证明: ∵AB=AD, CB=CD, AC=AC,‎ ‎∴△ABC≌△ADC,‎ ‎∴∠BAC=∠DAC.‎ ‎∵AB=AD, ∠BAF=∠DAF, AF=AF,‎ ‎∴△ABF≌△ADF, ∴∠AFB=∠AFD.‎ 又∵∠CFE=∠AFB, ∴∠AFD=∠CFE.‎ ‎(2) 证明: ∵AB∥CD,‎ 又∵∠BAC=∠DAC,‎ ‎∴∠DAC=∠ACD, ∴AD=CD.‎ ‎∵AB=AD, CB=CD,‎ ‎∴AB=CB=CD=AD,‎ ‎∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎(3) 当BE⊥CD时, ∠EFD=∠BCD. 理由:‎ ‎∵四边形ABCD为菱形,‎ ‎∴BC=CD, ∠BCF=∠DCF.‎ 又∵CF=CF, ∴△BCF≌△DCF,‎ ‎∴∠CBF=∠CDF.‎ ‎∵BE⊥CD, ∴∠BEC=∠DEF=90°,‎ ‎∴∠EFD=∠BCD.‎ ‎[第3页 第2题]　(2013山东滨州, 8, ★★☆) 如图1-1-20, 将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置, 连接AD、BD, 则下列结论: ①AD=BC; ②BD、AC互相平分; ③四边形ACED是菱形. 其中正确的个数是(　　) ‎ 图1-1-20‎ A. 0　　B. 1　　C. 2　　D. 3‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵△DCE是由△ABC平移得到的, ∴AB∥CD, AB=CD.‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形. ∴AD=BC, BD、AC互相平分, 即①②正确. 同理, 四边形ACED是平行四边形, 又∵△ABC是等边三角形, ∴AC=CE, ∴平行四边形ACED是菱形, 即③正确.‎ ‎[第3页 第3题]　(2014辽宁本溪期中, 23, ★★☆) 如图1-1-17, 在△ABC中, D、E分别是AB、AC的中点, BE=2DE, 延长DE到F, 使得EF=BE, 连接CF. (12分) ‎ ‎(1) 求证: 四边形BCFE是菱形; ‎ ‎(2) 若CE=4, ∠BCF=120°, 求四边形BCFE的面积. ‎ 图1-1-17‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 证明: ∵D、E分别是AB、AC的中点,‎ ‎∴DE∥BC, BC=2DE.‎ ‎∵BE=2DE, EF=BE, ∴BC=EF,‎ ‎∴四边形BCFE是平行四边形,‎ 又EF=BE, ∴平行四边形BCFE是菱形.‎ ‎(2) 连接BF交CE于点O.‎ 由(1) 知四边形BCFE是菱形.‎ ‎∴BF⊥CE, ∠BCO=∠BCF=60°, OC=CE=2.‎ 在Rt△BOC中, BO===2.‎ ‎∴BF=2BO=4,‎ ‎∴四边形BCFE的面积=CE·BF=×4×4=8.‎ ‎[第3页 第1题]　(2013广东佛山一模, 7, ★☆☆) 如图1-1-15, 在菱形ABCD中, 对角线AC与BD交于点O, OE⊥AB, 垂足为E, 若∠ADC=130°, 则∠AOE的大小为(　　) ‎ 图1-1-15‎ A. 75°　　B. 65°　　C. 55°　　D. 50°‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　在菱形ABCD中, ∠ADC=130°, ∴∠BAD=180°-130°=50°, ∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°, ∵OE⊥AB,‎ ‎∴∠AEO=90°, ∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°.‎ ‎[第3页 第16题]　如图1-1-14①所示, 在△ABC和△EDC中, AC=CE=CB=CD, ∠ACB=∠ECD=90°, AB与CE交于F, ED与AB, BC分别交于M, H. ‎ ‎①‎ ‎②‎ 图1-1-14‎ ‎(1) 求证: CF=CH; ‎ ‎(2) 如图1-1-14②所示, △ABC不动, 将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时, 试判断四边形ACDM是什么四边形, 并证明你的结论. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 证明: ∵∠ACB=∠ECD=90°,‎ ‎∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB, ∴∠1=∠2.‎ 又∵AC=CE=CB=CD,‎ ‎∴△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠A=∠D=45°.‎ ‎∴△ACF≌△DCH, ∴CF=CH.‎ ‎(2) 四边形ACDM是菱形. 证明如下:‎ ‎∵∠ACB=∠ECD=90°, ∠BCE=45°,‎ ‎∴∠1=45°, ∠2=45°.‎ 易知∠E=∠B=45°,‎ ‎∴∠1=∠E, ∠2=∠B.‎ ‎∴AC∥MD, CD∥AM,‎ ‎∴四边形ACDM是平行四边形.‎ 又∵AC=CD, ∴平行四边形ACDM是菱形.‎ ‎[第4页 第1题]　如图1-1-25所示, 已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△ACF, 请回答下列问题: ‎ ‎(1) 四边形ADEF是什么四边形? ‎ ‎(2) 当△ABC满足什么条件时, 四边形ADEF是菱形? ‎ ‎(3) 当△ABC满足什么条件时, 以A、D、E、F为顶点的四边形不存在? ‎ 图1-1-25‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 四边形ADEF是平行四边形.‎ 在等边△BCE和等边△ABD中, BD=AB, BE=BC.‎ 又∠DBA=∠EBC=60°, ∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA, 即∠DBE=∠ABC. ∴△DBE≌△ABC(SAS), ∴DE=AC=AF.‎ 同理, AD=AB=EF.‎ ‎∴四边形ADEF是平行四边形.‎ ‎(2) 若AD=AF, 则四边形ADEF为菱形,‎ ‎∴当△ABC满足AB=AC时, 四边形ADEF为菱形.‎ ‎(3) 由(1) 可得∠BAC=∠BDE=60°+∠ADE.‎ 当∠ADE=0°时, 以A、D、E、F为顶点的四边形不存在, 此时∠BAC=60°. ∴当∠BAC=60°时, 以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.‎ ‎[第4页 第2题]　某校九年级学习小组在探究学习过程中, 用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图1-1-26①所示位置放置, 现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°< α< 90°), 如图1-1-26②, AE与BC交于点M, AC与EF交于点N, BC与EF交于点P. ‎ ‎(1) 求证: AM=AN; ‎ ‎(2) 当旋转角α=30°时, 四边形ABPF是什么样的特殊四边形? 并说明理由. ‎ 图1-1-26‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 证明: ∵∠α+∠EAC=90°, ∠NAF+∠EAC=90°, ∴∠α=∠NAF. 又∵∠B=∠F, AB=AF, ∴△ABM≌△AFN, ∴AM=AN.‎ ‎(2) 四边形ABPF是菱形.‎ 理由: ∵∠α=30°, ∠EAF=90°, ∴∠BAF=120°.‎ 又∵∠B=∠F=60°, ∴∠B+∠BAF=60°+120°=180°, ∠F+∠BAF=60°+120°=180°, ∴AF∥BC, AB∥EF, ∴四边形ABPF是平行四边形.‎ 又∵AB=AF, ∴平行四边形ABPF是菱形.‎ ‎[第4页 第3题]　(2013福建泉州, 16, ★★☆) 如图1-1-21, 菱形ABCD的周长为8, 对角线AC和BD相交于点O, AC∶BD=1∶2, 则AO∶BO=　　　　, 菱形ABCD的面积S=　　.   ‎ 图1-1-21‎ ‎[答案]　1∶2; 16‎ ‎[解析]　∵四边形ABCD是菱形, ∴AO=AC, BO=BD, AC⊥BD, ∴AO∶BO=AC∶BD=1∶2. ∵菱形ABCD的周长为8, ∴AB=2, 设AO=k, BO=2k, 则AB==k=2, ∴k=2, ∴AO=2, BO=4, ∴菱形ABCD的面积S=4S△AOB=4××2×4=16. 故答案为16.‎ ‎[第4页 第4题]　(2013湖北黄冈, 17, ★★☆) 如图1-1-22, 四边形ABCD是菱形, 对角线AC、BD相交于点O, DH⊥AB于H, 连接OH, 求证: ∠DHO=∠DCO. (6分) ‎ 图1-1-22‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　∵四边形ABCD是菱形, ∴OD=OB, ∠COD=90°.‎ ‎∵DH⊥AB于H, ∴∠DHB=90°, ∴OH=BD=OB,‎ ‎∴∠OHB=∠OBH.‎ 又∵AB∥CD, ∴∠OBH=∠ODC, ∴∠OHB=∠ODC.‎ 在Rt△COD中, ∠ODC+∠OCD=90°,‎ 又∠DHO+∠OHB=90°,‎ ‎∴∠DHO=∠DCO.‎ ‎[第4页 第5题]　(2013江苏常州, 23, ★★☆) 如图1-1-23, 在△ABC中, AB=AC, ∠B=60°, ∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角, AD平分∠FAC, CD平分∠ECA. ‎ 求证: 四边形ABCD是菱形. (7分) ‎ 图1-1-23‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　证法一: ∵AB=AC, ∠B=60°,‎ ‎∴△ABC是正三角形,‎ ‎∴∠FAC=120°, AB=AC=BC. 又AD平分∠FAC, ∴∠DAC=∠FAC=60°. 同理可证∠DCA=60°, ∴△ADC是正三角形, ∴AD=AC=DC, ∴AB=BC=AD=DC, ∴四边形ABCD是菱形.‎ 证法二: ∵AB=AC, ∠B=60°, ∴△ABC是正三角形, ∴∠FAC=120°, AB=BC.‎ 又AD平分∠FAC, ∴∠DAF=∠FAC=60°, ∴∠B=∠DAF, ∴AD∥BC(同位角相等, 两直线平行).‎ 同理可证AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形.‎ 又AB=BC, ∴平行四边形ABCD是菱形.‎ ‎[第3页 第1题]　(2013四川凉山州, 9, ★★☆) 如图1-1-19, 菱形ABCD中, ∠B=60°, AB=4, 则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(　　) ‎ 图1-1-19‎ A. 14　　B. 15　　C. 16　　D. 17‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵四边形ABCD为菱形, ∠ABC=60°, ∴△ABC是等边三角形. ∴AB=BC=AC=4. ∴正方形ACEF的周长=4×4=16,‎ ‎∴选C.‎ ‎[第4页 第6题]　(2013新疆乌鲁木齐, 19, ★★☆) 如图1-1-24, 在△ABC中, ∠ACB=90°, CD⊥AB于D, AE平分∠BAC, 分别与BC, CD交于E, F, EH⊥AB于H, 连接FH. 求证: 四边形CFHE是菱形. (10分) ‎ 图1-1-24‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　证法一: ∵AE平分∠BAC, ∴∠CAE=∠HAE. ∵EH⊥AB于H, ∴∠AHE=∠ACB=90°. 又∵AE=AE, ∴△ACE≌△AHE. ∴EC=EH, AC=AH. 又∵∠CAE=∠HAE, AF=AF,‎ ‎∴△AFC≌△AFH. ∴FC=FH. ∵CD⊥AB于D, ∠ACB=90°,‎ ‎∴∠DAF+∠AFD=∠CAE+∠AEC=90°. 又∵∠DAF=∠CAE, ∠AFD=∠CFE. ∴∠CFE=∠CEF.‎ ‎∴CF=CE. ∴EC=EH=HF=FC. ∴四边形CFHE是菱形.‎ 证法二: ∵AE平分∠BAC, EH⊥AB, EC⊥AC, ∴∠1=∠2, EH=EC. ∵∠1+∠3=90°, ∠2+∠4=90°, ∠4=∠5, ∴∠3=∠5. ∴EC=CF. ∴EH=CF. ∵EH⊥AB, CD⊥AB, ∴EH∥CF. ∴四边形CFHE是平行四边形. 又∵EH=EC, ∴平行四边形CFHE是菱形.‎ ‎[第5页 第1题]　下面对矩形的定义正确的是(　　) ‎ A. 矩形的四个角都是直角 B. 矩形的对角线相等 C. 矩形是中心对称图形 D. 有一个角是直角的平行四边形 ‎[答案]　D ‎[解析]　A、B、C说的全部是矩形的性质, 故A、B、C选项错误, 有一个角是直角的平行四边形是矩形, 故D选项正确. 故选D.‎ ‎[第5页 第2题]　如图1-2-1, 要使▱ABCD成为矩形, 需添加的条件是(　　) ‎ 图1-2-1‎ A. AB=BC　　B. AC⊥BD　　C. ∠ABC=90°　　D. ∠1=∠2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　根据矩形的定义可知, 有一个角是直角的平行四边形是矩形.‎ ‎[第5页 第3题]　如图1-2-2所示, 在▱ABCD中, AC、BD交于点O, AE⊥BC于E, EF交AD于F, 求证: 四边形AECF是矩形. ‎ 图1-2-2‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC, BO=DO, ∴∠1=∠2,‎ 又∵∠FOD=∠EOB,‎ ‎∴△DOF≌△BOE, ∴DF=BE,‎ ‎∴AD-DF=BC-BE, 即AF=EC,‎ 又∵AF∥EC, ∴四边形AECF是平行四边形,‎ 又∵AE⊥BC, 所以∠AEC=90°,‎ ‎∴平行四边形AECF是矩形.‎ ‎[第5页 第5题]　(2013四川宜宾中考) 矩形具有而菱形不具有的性质是(　　) ‎ A. 两组对边分别平行　　B. 对角线相等　　C. 对角线互相平分　　D. 两组对角分别相等 ‎[答案]　B ‎[解析]　熟练掌握菱形与矩形的性质.‎ ‎[第5页 第4题]　如图1-2-3, 在△ABC中, D是BC边上的一点, E是AD的中点, 过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F, 且AF=BD, 连接BF. ‎ ‎(1) 线段BD与CD有何数量关系, 为什么? ‎ ‎(2) 当△ABC满足什么条件时, 四边形AFBD是矩形? 请说明理由. ‎ 图1-2-3‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) BD=CD.‎ 理由: ∵E是AD的中点, ∴AE=DE.‎ 又∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DCE.‎ 又∵∠AEF=∠DEC, ∴△AEF≌△DEC, ∴AF=CD.‎ ‎∵AF=BD, ∴BD=CD.‎ ‎(2) 当△ABC满足AB=AC时, 四边形AFBD是矩形.‎ 理由: ∵AF∥BD, AF=BD,‎ ‎∴四边形AFBD是平行四边形.‎ ‎∵AB=AC, BD=CD, ∴AD⊥BC, 即∠ADB=90°,‎ ‎∴平行四边形AFBD是矩形.‎ ‎[第3页 第4题]　(2014浙江杭州萧山党湾中学月考, 20, ★★☆) 如图1-1-18, 在▱ABCD中, E、F分别为边AB、CD的中点, BD是对角线, 过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G. (11分) ‎ ‎(1) 求证: DE∥BF; ‎ ‎(2) 若∠G=90°, 求证: 四边形DEBF是菱形. ‎ 图1-1-18‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 在▱ABCD中, AB∥CD, AB=CD.‎ ‎∵E、F分别为边AB、CD的中点,‎ ‎∴DF=DC, BE=AB,‎ ‎∴DF=BE.‎ ‎∴四边形DEBF为平行四边形,‎ ‎∴DE∥BF.‎ ‎(2) ∵AG∥BD, ∴∠G=∠DBC=90°,‎ ‎∴△DBC为直角三角形.‎ 又∵F为边CD的中点, ∴BF=DC=DF.‎ 又∵四边形DEBF为平行四边形,‎ ‎∴四边形DEBF是菱形.‎ ‎[第5页 第6题]　(2013广东茂名中考) 如图1-2-4, 矩形ABCD的两条对角线相交于点O, ∠AOD=60°, AD=2, 则AC的长是(　　) ‎ 图1-2-4‎ A. 2　　B. 4　　C. 2　　D. 4‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　在矩形ABCD中, OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC, ∵∠AOD=60°, ∴∠OCD=∠AOD=×60°=30°, 又∵∠ADC=90°, ∴AC=2AD=2×2=4. 故选B.‎ ‎[第5页 第7题]　(2013贵州遵义中考) 如图1-2-5, 在矩形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, 点E, F分别是AO, AD的中点, 若AB=6 cm, BC=8 cm, 则△AEF的周长=　　　　.   ‎ 图1-2-5‎ ‎[答案]　9 cm ‎[解析]　在Rt△ABC中, AC==10 cm, ∵点E, F分别是AO, AD的中点, ∴EF是△AOD的中位线, ∴EF=OD=BD=AC=2.5‎ ‎ cm, AF=AD=BC=4 cm, AE=AO=AC=2.5 cm, ∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9 cm.‎ ‎[第5页 第8题]　如图1-2-6所示, 矩形ABCD中, AE⊥BD, ∠DAE∶∠BAE=3∶1, 求∠BAE、∠EAO的度数. ‎ 图1-2-6‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠DAB=90°, ∴∠BAE+∠DAE=90°,‎ 又∵∠DAE∶∠BAE=3∶1, ∴∠BAE=22.5°, ∠DAE=67.5°.‎ ‎∵AE⊥BD, ∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°,‎ ‎∴∠OAB=∠ABO=67.5°,‎ ‎∴∠EAO=67.5°-22.5°=45°.‎ ‎[第5页 第9题]　如图1-2-7所示, 矩形ABCD中, E为AD上一点, EF⊥CE交AB于F, 若DE=2, 矩形的周长为16, 且CE=EF, 求AE的长. ‎ 图1-2-7‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠A=∠D=90°, AD=BC, AB=DC.‎ ‎∵EF⊥CE, ∴∠AEF+∠DEC=90°.‎ 又∵∠AEF+∠AFE=90°, ∴∠AFE=∠DEC.‎ 又∵EF=CE, ∴△AEF≌△DCE. ∴AE=DC.‎ ‎∵AB+BC+DC+AD=16, ∴AD+DC=8.‎ ‎∴AE+2+AE=8, ∴AE=3.‎ ‎[第6页 第10题]　如图1-2-8, 矩形ABCD的对角线相交于点O, OF⊥BC, CE⊥BD, OE∶BE=1∶3, OF=4, 求∠ADB的度数和BD的长. ‎ 图1-2-8‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　由矩形的性质可知OD=OC.‎ 又由OE∶BE=1∶3可知E是OD的中点.‎ 又因为CE⊥OD, 所以OC=CD,‎ 所以OC=CD=OD, 即△OCD是等边三角形.‎ 故∠CDB=60°, 所以∠ADB=30°.‎ 又OB=OC, OF⊥BC, 所以点F为BC的中点, 所以CD=2OF=8, 所以BD=2OD=2CD=16.‎ ‎[第6页 第14题]　如图1-2-12, 在△ABC中, D是AB边的中点, △ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形, 连接DE、DF. ‎ 求证: DE=DF. ‎ 图1-2-12‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　分别取AC、BC的中点M、N, 连接MD、ND、EM、FN, 又∵D为AB的中点, ∠AEC=90°, ∠BFC=90°,‎ ‎∴EM=DN=AC, FN=MD=BC,‎ DN∥CM且DN=CM,‎ ‎∴四边形MDNC为平行四边形,‎ ‎∴∠CMD=∠CND.‎ ‎∵∠EMC=∠FNC=90°,‎ ‎∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND,‎ 即∠EMD=∠FND,‎ ‎∴△EMD≌△DNF.‎ ‎∴DE=DF.‎ ‎[第6页 第11题]　(2013重庆A卷中考) 如图1-2-9, 在矩形ABCD中, E、F分别是AB、CD上的点, AE=CF, 连接EF、BF, EF与对角线AC交于点O, 且BE=BF, ∠BEF=2∠BAC. ‎ ‎(1) 求证: OE=OF; ‎ ‎(2) 若BC=2, 求AB的长. ‎ 图1-2-9‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) ∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴CD∥AB, ∴∠FCO=∠EAO.‎ 在△FCO与△EAO中,‎ ‎∴△FCO≌△EAO(AAS),‎ ‎∴OF=OE.‎ ‎(2) 如图, 连接OB,‎ ‎∵BE=BF, OE=OF, ∴BO⊥EF.‎ ‎∵△FCO≌△EAO, ∴OA=OC,‎ ‎∴OB=AC=OA, ∴∠BAC=∠ABO.‎ 在Rt△BEO中, ∠BEF=2∠BAC, ∠BAC=∠ABO,‎ ‎∴2∠BAC+∠BAC=90°, 解得∠BAC=30°.‎ ‎∵BC=2, ∴AC=2BC=4, ∴AB==6.‎ ‎[第6页 第15题]　如图1-2-13, E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点, 要使四边形EFGH为矩形, 四边形ABCD应具备的条件是(　　) ‎ 图1-2-13‎ A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 ‎[答案]　C ‎[解析]　因为E、H分别是AB、AD的中点, 所以EH是△ABD的中位线, 所以EH平行且等于BD, 同理, FG平行且等于BD, 故EH平行且等于FG. 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形, 可知四边形EFGH是平行四边形. 要使四边形EFGH为矩形, 只需满足一个角是直角即可. 由EH∥BD, 知只要满足AC⊥BD就能得到一个角为直角, 因此选C.‎ ‎[第6页 第12题]　如图1-2-10, △ABC中, ∠C=90°, D是AB边的中点, AC=3, BC=4, 则CD=　　　　.   ‎ 图1-2-10‎ ‎[答案]　2.5‎ ‎[解析]　由勾股定理可求得AB==5, 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD=2.5.‎ ‎[第6页 第16题]　如图1-2-14, ▱ABCD中, 点O是AC与BD的交点, 过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F. ‎ ‎(1) 求证: △AOE≌△COF; ‎ ‎(2) 请连接EC、AF, 则EF与AC满足什么条件时, 四边形AECF是矩形? 并说明理由. ‎ 图1-2-14‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴OA=OC, AB∥CD. ∴∠AEO=∠CFO.‎ 在△AOE和△COF中,‎ ‎∴△AOE≌△COF.‎ ‎(2) 当AC=EF时, 四边形AECF是矩形. 理由: ∵△AOE≌△COF, ∴OE=OF, AO=CO. ∴四边形AECF是平行四边形. 又∵AC=EF, ∴平行四边形AECF是矩形.‎ ‎[第6页 第13题]　如图1-2-11, 在▱ABCD中, AE⊥BD于点E, CF⊥BD于点F, G, H分别是AB, CD的中点, 求证: 四边形EGFH为平行四边形. ‎ 图1-2-11‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　∵AE⊥BD, G是AB的中点,‎ ‎∴EG=AB=BG, ∴∠GEB=∠GBE.‎ 同理可得FH=DC=DH, ∠DFH=∠FDH.‎ ‎∵在▱ABCD中, AB=CD, AB∥CD,‎ ‎∴EG=FH, ∠GBE=∠FDH.‎ ‎∴∠GEB=∠DFH, ∴EG∥FH.‎ ‎∴四边形EGFH为平行四边形.‎ ‎[第7页 第1题]　(2013辽宁沈阳一模, 5, ★★☆) 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是(　　) ‎ A. 正方形　　B. 矩形　　C. 菱形　　D. 等腰梯形 ‎[答案]　C ‎[解析]　如图所示, E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点, 连AC、BD,‎ 因为E、F分别是AB、BC的中点, 所以EF=AC, 同理, HG=AC, FG=BD, EH=BD. 又因为四边形ABCD是矩形, 所以AC=BD, 所以EF=FG=GH=HE, 所以四边形EFGH是菱形. 故选C.‎ ‎[第7页 第2题]　(2014山东泰安期中, 17, ★☆☆) 如图1-2-16, ▱ABCD的对角线相交于点O, 请你添加一个条件　　　　(只添一个即可), 使▱ABCD是矩形.   ‎ 图1-2-16‎ ‎[答案]　∠ABC=90°(答案不唯一)‎ ‎[解析]　（无解析）‎ ‎[第7页 第2题]　(2013湖南邵阳, 10, ★★☆) 如图1-2-20, 点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点, 且AD=DE, 连接BE交CD于点O, 连接AO, 下列结论不正确的是(　　) ‎ 图1-2-20‎ A. △AOB≌△BOC　　B. △BOC≌△EOD　　C. △AOD≌△EOD　　D. △AOD≌△BOC ‎[答案]　A ‎[解析]　∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC, ∠ADO=∠EDO=∠C=90°, ∵AD=DE, ∴BC=DE. 在△BOC与△EOD中, ∠EDO=∠C=90°, BC=DE, ∠BOC=∠DOE, ∴△BOC≌△EOD, 故B选项正确. 在△AOD和△EOD中, ∠ADO=∠EDO=90°, AD=DE, OD=OD, ∴△AOD≌△EOD, 故C选项正确. 由B、C知△AOD≌△BOC, 故D选项正确.‎ ‎[第7页 第1题]　(2013湖北宜昌, 7, ★★☆) 如图1-2-19, 在矩形ABCD中, AB< BC, AC, BD相交于点O, 则图中等腰三角形的个数是(　　) ‎ 图1-2-19‎ A. 8　　B. 6　　C. 4　　D. 2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵四边形ABCD是矩形, ∴OA=OB=OC=OD, 又∵AB< BC, ∴△AOB, △COB, △COD, △AOD都是等腰三角形. 故选C.‎ ‎[第7页 第3题]　(2013福建宁德质检, 18, ★★☆) 如图1-2-17, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=8, BC=6, 点P是AB上的任意一点, 作PD⊥AC于点D, PE⊥CB于点E, 连接DE, 则DE的最小值为　　　　.   ‎ 图1-2-17‎ ‎[答案]　4.8‎ ‎[解析]　∵Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=8, BC=6, ∴AB=10, 连接CP, ∵PD⊥AC, PE⊥CB, ∴四边形DPEC是矩形,‎ ‎∴DE=CP, 当DE最小时, CP最小, 根据垂线段最短可知, 当CP⊥AB时, CP最小, 且最小值为=4.8, 故答案为4.8.‎ ‎[第7页 第17题]　(2013湖南张家界中考) 如图1-2-15, △ABC中, 点O是边AC上一个动点, 过O作直线MN∥BC. 设MN交∠ACB的平分线于点E, 交∠ACB的外角平分线于点F. ‎ ‎(1) 求证: OE=OF; ‎ ‎(2) 若CE=12, CF=5, 求OC的长; ‎ ‎(3) 当点O在边AC上运动到什么位置时, 四边形AECF是矩形? 并说明理由. ‎ 图1-2-15‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 证明: ∵CF平分∠ACD, 且MN∥BD,‎ ‎∴∠ACF=∠FCD=∠CFO, ∴OF=OC,‎ 同理可证OC=OE, ∴OE=OF.‎ ‎(2) 由(1) 知OF=OC, OC=OE,‎ ‎∴∠OCF=∠OFC, ∠OCE=∠OEC,‎ ‎∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC,‎ 而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°,‎ ‎∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°, ∴△ECF是直角三角形,‎ ‎∴EF===13,‎ ‎∴OC=EF=.‎ ‎(3) 当点O移动到AC的中点时, 四边形AECF为矩形.‎ 理由如下: 由(1) 知OE=OF,‎ ‎∵O是AC的中点, ∴OA=OC,‎ ‎∴四边形AECF为平行四边形,‎ 又∵∠ECF=90°,‎ ‎∴平行四边形AECF为矩形.‎ ‎[第7页 第3题]　(2013北京, 11, ★★☆) 如图1-2-21, O是矩形ABCD的对角线AC的中点, M是AD的中点, 若AB=5, AD=12, 则四边形ABOM的周长为　　　　.   ‎ 图1-2-21‎ ‎[答案]　20‎ ‎[解析]　∵AB=5, AD=12, ∴AC=13, ∴BO=6.5. ∵M、O分别为AD、AC的中点, 又CD=5, ∴MO=2.5, AM=6, ∴C四边形ABOM=AM+MO+BO+AB=6+2.5+6.5+5=20.‎ ‎[第7页 第4题]　(2013浙江温州一模, 21, ★★☆) 已知: 如图1-2-18, D是△ABC的边AB上一点, CN∥AB, DN交AC于点M, MA=MC. ‎ ‎(1) 求证: CD=AN; ‎ ‎(2) 若∠AMD=2∠MCD, 求证: 四边形ADCN是矩形. ‎ 图1-2-18‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) ∵CN∥AB, ∴∠DAC=∠NCA,‎ 在△AMD和△CMN中,‎ ‎∵‎ ‎∴△AMD≌△CMN(ASA), ∴AD=CN, 又∵AD∥CN, ∴四边形ADCN是平行四边形, ∴CD=AN.‎ ‎(2) ∵∠AMD=2∠MCD, ∠AMD=∠MCD+∠MDC,‎ ‎∴∠MCD=∠MDC, ∴MD=MC,‎ 由(1) 知四边形ADCN是平行四边形, ∴MD=MN, MA=MC, ∴MD=MN=MA=MC, ∴AC=DN, ∴平行四边形ADCN是矩形.‎ ‎[第8页 第1题]　如图1-2-25, P是矩形ABCD内的任意一点, 连接PA、PB、PC、PD, 得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA, 设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4. 给出如下结论: ‎ 图1-2-25‎ ‎①S1+S4=S2+S3; ‎ ‎②S2+S4=S1+S3; ‎ ‎③若S3=2S1, 则S4=2S2; ‎ ‎④若S1=S2, 则P点在矩形的对角线上. ‎ 其中正确结论的序号是　　　(把所有正确结论的序号都填在横线上).   ‎ ‎[答案]　②④‎ ‎[解析]　因为△APB和△CPD的高的和恰好等于AD的长, △APD和△CBP的高的和恰好等于AB的长, 所以S1+S3=S矩形ABCD, S2+S4=S矩形ABCD, 所以S1+S3=S2+S4, 故②正确, ①③错误; 若S1=S2, 因为S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD, 所以S3=S4, 所以P点在矩形ABCD的对角线上, 故④正确.‎ ‎[第8页 第5题]　(2013云南西双版纳, 20, ★★☆) 如图1-2-23, 已知AB∥DE, AB=DE, AF=CD, ∠CEF=90°. ‎ ‎(1) 若∠ECF=30°, CF=8, 求CE的长; ‎ ‎(2) 求证: △ABF≌△DEC; ‎ ‎(3) 求证: 四边形BCEF是矩形. ‎ 图1-2-23‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) ∵∠CEF=90°, ∠ECF=30°, CF=8,‎ ‎∴EF=CF=4, ∴CE==4.‎ ‎(2) 证明: ∵AB∥DE, ∴∠A=∠D.‎ 在△ABF和△DEC中,‎ ‎∴△ABF≌△DEC(SAS).‎ ‎(3) 证明: 由(2) 可知△ABF≌△DEC,‎ ‎∴BF=CE, ∠AFB=∠DCE,‎ ‎∴∠BFC=∠ECF,‎ ‎∴BF∥EC, ∴四边形BCEF是平行四边形.‎ 又∵∠CEF=90°, ∴平行四边形BCEF是矩形.‎ ‎[第8页 第1题]　下面四个定义中不正确的是(　　) ‎ A. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B. 有一组邻边相等的四边形叫菱形 C. 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形 ‎ D. 两腰相等的梯形叫等腰梯形 ‎[答案]　B ‎[解析]　一组邻边相等的平行四边形是菱形, B错误.‎ ‎[第8页 第2题]　正方形具有而矩形不一定具有的特征是(　　) ‎ A. 四个角都相等　　B. 四边都相等　　C. 对角线相等　　D. 对角线互相平分 ‎[答案]　B ‎[解析]　根据正方形和矩形的性质知, 它们具有的相同的特征有: 四个角都是直角, 对角线都相等, 对角线互相平分, 但矩形的长和宽不相等. 故选B.‎ ‎[第8页 第6题]　(2013辽宁锦州, 20, ★★☆) 如图1-2-24, 点O是菱形ABCD对角线的交点, DE∥AC, CE∥BD, 连接OE. ‎ 求证: OE=BC. ‎ 图1-2-24‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　∵DE∥AC, CE∥BD,‎ ‎∴四边形OCED是平行四边形.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AD=DC=BC, AC⊥BD,‎ ‎∴∠DOC=90°.‎ ‎∴四边形OCED是矩形.‎ ‎∴OE=CD.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴CD=BC.‎ ‎∴OE=BC.‎ ‎[第8页 第3题]　如图1-3-1, 四边形ABCD是正方形, 点G是BC上的任意一点, DE⊥AG于点E, BF∥DE, 且交AG于点F, 则下列结论不正确的是(　　) ‎ 图1-3-1‎ A. EF=CG　　B. BF=AE　　C. AF=DE　　D. AF-BF=EF ‎[答案]　A ‎[解析]　∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD, ∠BAD=90°, ∵DE⊥AG, ∴∠AED=90°, ∴∠ADE+∠DAE=90°, 又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°, ∴∠BAF=∠ADE, ∵BF∥DE,‎ ‎∴∠AED=∠BFA=90°,‎ 在△ABF和△DAE中, ‎ ‎∴△ABF≌△DAE(AAS), ∴BF=AE, AF=DE, ∴EF=AF-AE=AF-BF, 而EF与CG的关系无法确定. 故选A.‎ ‎[第8页 第4题]　(2013宁夏, 22, ★★☆) 如图1-2-22, 在矩形ABCD中, 点E是BC上一点, AE=AD, DF⊥AE, 垂足为F. ‎ 求证: DF=DC. (6分) ‎ 图1-2-22‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AB=CD, AD∥BC, ∠B=90°.‎ ‎∵DF⊥AE, ∴∠AFD=∠B=90°.‎ ‎∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠AEB.‎ 又∵AD=AE, ∴△ADF≌△EAB, ∴DF=AB,‎ ‎∴DF=DC.‎ ‎[第9页 第4题]　如图1-3-2, 已知正方形ABCD的边长为1, 连接AC、BD, CE平分∠ACD交BD于点E, 则DE=　　　　.   ‎ 图1-3-2‎ ‎[答案]　-1‎ ‎[解析]　设AC与BD的交点为O.‎ 过E作EF⊥DC于F, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,‎ 又∵CE平分∠ACD交BD于点E,‎ ‎∴EO=EF, ∵正方形ABCD的边长为1,‎ ‎∴AC=, ∴CO=AC=,‎ ‎∴易知CF=CO=,‎ ‎∴EF=DF=DC-CF=1-,‎ ‎∴DE==-1.‎ ‎[第9页 第9题]　如图1-3-7, 已知平行四边形ABCD中, 对角线AC, BD交于点O, E是BD延长线上的点, 且△ACE是等边三角形. ‎ ‎(1) 求证: 四边形ABCD是菱形; ‎ ‎(2) 若∠AED=2∠EAD, 求证: 四边形ABCD是正方形. ‎ 图1-3-7‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO.‎ 又∵△ACE是等边三角形,‎ ‎∴EO⊥AC(三线合一), 即AC⊥BD,‎ ‎∴平行四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).‎ ‎(2) ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO.‎ 又∵△ACE是等边三角形, ∴EO平分∠AEC(三线合一),‎ ‎∴∠AED=∠AEC=×60°=30°,‎ 又∵∠AED=2∠EAD, ∴∠EAD=15°, ∴∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和), ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠ADC=2∠ADO=90°,‎ ‎∴菱形ABCD是正方形.‎ ‎[第9页 第10题]　(2013江苏南京中考) 如图1-3-8, 在四边形ABCD中, AB=BC, 对角线BD平分∠ABC, P是BD上一点, 过点P作PM⊥AD, PN⊥CD, 垂足分别为M, N. ‎ ‎(1) 求证: ∠ADB=∠CDB; ‎ ‎(2) 若∠ADC=90°, 求证: 四边形MPND是正方形. ‎ 图1-3-8‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) ∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABD=∠CBD.‎ 又∵BA=BC, BD=BD,‎ ‎∴△ABD≌△CBD.‎ ‎∴∠ADB=∠CDB.‎ ‎(2) ∵PM⊥AD, PN⊥CD,‎ ‎∴∠PMD=∠PND=90°.‎ 又∵∠ADC=90°, ∴四边形MPND是矩形.‎ ‎∵∠ADB=∠CDB, PM⊥AD, PN⊥CD, ∴PM=PN.‎ ‎∴矩形MPND是正方形.‎ ‎[第9页 第5题]　(2013福建莆田中考) 如图1-3-3, 正方形ABCD的边长为4, 点P在DC边上且DP=1, 点Q是AC上一动点, 则DQ+PQ的最小值为　　　　.   ‎ 图1-3-3‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　连接BP交AC于点Q', 连接Q' D.‎ ‎∵点B与点D关于AC对称, ∴BP的长即为PQ+DQ的最小值, ∵CB=4, DP=1, ∴CP=3, 在Rt△BCP中, BP===5. 故答案为5.‎ ‎[第9页 第6题]　如图1-3-4, 四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形, 连接BG与DE相交于点H. 证明: △ABG≌△ADE. ‎ 图1-3-4‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　在正方形ABCD和正方形AEFG中,‎ ‎∠GAE=∠BAD=90°,‎ ‎∴∠GAE+∠EAB=∠BAD+∠EAB,‎ 即∠GAB=∠EAD,‎ 在△ABG和△ADE中,‎ ‎∴△ABG≌△ADE(SAS).‎ ‎[第9页 第7题]　如图1-3-5, 已知正方形ABDE和正方形ACFG, DM⊥BC, FN⊥BC, 垂足分别为M, N. 试说明: BC=DM+FN. ‎ 图1-3-5‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　过点A作AH⊥BC, 垂足为H.‎ ‎∵∠MDB+∠DBM=90°,‎ ‎∠DBM+∠ABH=90°,‎ ‎∴∠MDB=∠ABH.‎ 又AB=BD, ∠M=∠AHB,‎ ‎∴△DMB≌△BHA.‎ ‎∴DM=BH.‎ 同理可得FN=CH.‎ ‎∵BC=BH+CH,‎ ‎∴BC=DM+FN.‎ ‎[第9页 第8题]　如图1-3-6, E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点, 且AE=BF=CM=DN, 则四边形EFMN是什么特殊的四边形? 请证明你的结论. ‎ 图1-3-6‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　四边形EFMN是正方形.‎ 如下: ∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=BC=CD=DA.‎ 又AE=BF=CM=DN, ∴NA=EB=FC=MD.‎ ‎∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,‎ ‎∴Rt△AEN≌Rt△BFE≌Rt△CMF≌Rt△DNM.‎ ‎∴EF=FM=MN=NE. ∴四边形EFMN是菱形.‎ 又∠ANE=∠BEF, ∠ANE+∠AEN=90°,‎ ‎∴∠AEN+∠BEF=90°, ∴∠NEF=180°-90°=90°.‎ ‎∴菱形EFMN是正方形.‎ ‎[第10页 第1题]　(2013山东枣庄, 12, ★★☆) 如图1-3-13, 在边长为2的正方形ABCD中, M为边AD的中点, 延长MD至点E, 使ME=MC, 以DE为边作正方形DEFG, 点G在边CD上, 则DG的长为(　　) ‎ 图1-3-13‎ A. -1　　B. 3-　　C. +1　　D. -1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵四边形ABCD是边长为2的正方形,‎ ‎∴DC=DA=2.‎ ‎∵M为AD的中点, ∴DM=1.‎ ‎∴在Rt△MDC中, 根据勾股定理可得MC=.‎ ‎∵ME=MC, ∴ME=.‎ ‎∵四边形DEFG是正方形, ∴DG=DE=-1. 故选D.‎ ‎[第10页 第1题]　(2013山西临汾二模, 8, ★★☆) 如图1-3-9, 在四边形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O, 若AO=CO=BO=DO, AC⊥BD, 则四边形ABCD的形状是(　　) ‎ 图1-3-9‎ A. 平行四边形　　B. 矩形　　C. 菱形　　D. 正方形 ‎[答案]　D ‎[解析]　∵AO=CO=BO=DO, ∴四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∵AC⊥BD, ∴平行四边形ABCD是菱形, ∵AO=CO=BO=DO, ∴AC=DB, ∴平行四边形ABCD是正方形, 故选D.‎ ‎[第10页 第2题]　(2014辽宁沈阳振东中学第一次月考, 8, ★★☆) 如图1-3-10所示, 正方形ABCD的面积为12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 则PD+PE的最小值为(　　) ‎ 图1-3-10‎ A. 2　　B. 2　　C. 3　　D. ‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设BE与AC交于点F(P'), 连接BD,‎ ‎∵点B与D关于AC对称,‎ ‎∴P' D=P' B,‎ ‎∴P' D+P' E=P' B+P' E=BE, 此时PD+PE最小.‎ 即P在AC与BE的交点上时, PD+PE最小, 为BE的长度.‎ ‎∵正方形ABCD的面积为12, ∴AB=2,‎ 又∵△ABE是等边三角形, ∴BE=AB=2,‎ 故所求最小值为2.‎ ‎[第10页 第3题]　(2013广东深圳文汇中学期末, 22, ★☆☆) 如图1-3-11, 在一正方形ABCD中, E为对角线AC上一点, 连接EB、ED. (10分) ‎ ‎(1) 求证: △BEC≌△DEC; ‎ ‎(2) 延长BE交AD于点F, 若∠DEB=140°. 求∠AFE的度数. ‎ 图1-3-11‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 证明: ∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴CD=CB, ∠DCA=∠BCA,‎ 又∵CE=CE, ∴△BEC≌△DEC.‎ ‎(2) ∵∠DEB=140°, △BEC≌△DEC,‎ ‎∴∠DEC=∠BEC=70°, ∴∠AEF=∠BEC=70°,‎ ‎∵∠DAB=90°, ∴∠DAC=∠BAC=45°,‎ ‎∴∠AFE=180°-70°-45°=65°.‎ ‎[第10页 第4题]　(2014辽宁丹东七中第二次月考, 25, ★★☆) 已知: 正方形ABCD. (10分) ‎ ‎(1) 如图1-3-12①, 点E、F分别在边AB和AD上, 且AE=AF. 此时, 线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么? 请直接写出结论; ‎ ‎(2) 如图1-3-12②, 等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转角α, 当0°< α< 90°时, 连接BE、DF, 此时(1) 中结论是否成立? 如果成立, 请证明; 如果不成立, 请说明理由; ‎ ‎(3) 如图1-3-12③, 等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转角α, 当α=90°时, 连接BE、DF, 猜想当AE与AD满足什么数量关系时, 直线DF垂直平分BE. 请直接写出结论. ‎ 图1-3-12‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) BE=DF且BE⊥DF.‎ ‎(2) 成立.‎ ‎: 延长DF交AB于点H, 交BE于点G.‎ 在△DAF和△BAE中,‎ ‎∠DAF=90°-∠FAB, ∠BAE=90°-∠FAB,‎ ‎∴∠DAF=∠BAE.‎ 又AB=AD, AE=AF, ∴△DAF≌△BAE,‎ ‎∴DF=BE, ∠ADF=∠ABE,‎ 又∵∠AHD=∠BHG, ∴∠DAH=∠BGH=90°,‎ ‎∴BE=DF且BE⊥DF仍成立.‎ ‎(3) AE=(-1) AD.‎ ‎[第11页 第2题]　(2011山东烟台, 17, ★★☆) 如图1-3-14, 三个边长均为2的正方形重叠在一起, O1、O2是其中两个正方形的中心, 则阴影部分的面积是　　　　.   ‎ 图1-3-14‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　如图: 连接O1B、O1C,‎ ‎∵∠BO1F+∠FO1C=90°, ∠FO1C+∠CO1G=90°,‎ ‎∴∠BO1F=∠CO1G,‎ ‎∵O1B=O1C, ∠O1BF=∠O1CG=45°,‎ ‎∴△O1BF≌△O1CG,‎ ‎∴中心为O1、O2的两个正方形重叠部分的面积是S正方形.‎ 同理, 另一重叠部分的面积也是S正方形.‎ ‎∴S阴影部分=S正方形=2.‎ ‎[第11页 第3题]　(2013山东德州, 17, ★★☆) 如图1-3-15, 在正方形ABCD中, 边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上. 下列结论: ①CE=CF; ②∠AEB=75°; ③BE+DF=EF; ④S正方形ABCD=2+. 其中正确的序号是　　　　. (把你认为正确的都填上)   ‎ 图1-3-15‎ ‎[答案]　①②④‎ ‎[解析]　在Rt△ABE和Rt△ADF中, 因为AB=AD, AE=AF, 所以Rt△ABE≌Rt△ADF, 所以BE=DF, 所以BC-BE=DC-DF, 即CE=CF, ①正确. 由①得∠CEF=45°, 又∠AEF=60°, 所以∠AEB=75°, ②正确. 连接AC, 交EF于M, 则AC⊥EF, 所以EM=CM=1, 所以AC=+1, 所以正方形的面积为=2+, ④正确. ③EF与BE+DF之间没有关系.‎ ‎[第11页 第4题]　(2013山东济宁, 20, ★★☆) 如图1-3-16①, 在正方形ABCD中, E、F分别是边AD、DC上的点, 且AF⊥BE. (6分) ‎ ‎(1) 求证: AF=BE; ‎ ‎(2) 如图1-3-16②, 在正方形ABCD中, M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点, 且MP⊥NQ. MP与NQ是否相等? 并说明理由. ‎ 图1-3-16‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 证明: 在正方形ABCD中, AB=AD, ∠BAE=∠D=90°,‎ ‎∴∠DAF+∠BAF=90°,‎ ‎∵AF⊥BE,‎ ‎∴∠ABE+∠BAF=90°,‎ ‎∴∠ABE=∠DAF.‎ 在△ABE和△DAF中,‎ ‎∵‎ ‎∴△ABE≌△DAF(ASA),‎ ‎∴AF=BE.‎ ‎(2) MP与NQ相等.‎ 理由如下: 如图, 过点A作AG∥MP交CD于G, 过点B作BH∥NQ交AD于H, 则BH⊥AG, 四边形AMPG, 四边形BNQH是平行四边形,‎ ‎∴MP=AG, BH=NQ.‎ 在正方形ABCD中, AB=AD, ∠BAH=∠D=90°,‎ ‎∴∠DAG+∠BAG=90°.‎ ‎∵BH⊥AG, ∴∠BAG+∠ABH=90°,‎ ‎∴∠ABH=∠DAG,‎ 在△ABH和△ADG中,‎ ‎∵∴△ABH≌△ADG, ∴BH=AG, 即MP=NQ.‎ ‎[第11页 第5题]　(2012内蒙古赤峰, 21, ★★☆) 如图1-3-17, 点O是线段AB上的一点, OA=OC, OD平分∠AOC交AC于点D, OF平分∠COB, CF⊥OF于点F. (10分) ‎ ‎(1) 求证: 四边形CDOF是矩形; ‎ ‎(2) 当∠AOC为多少度时, 四边形CDOF是正方形? 并说明理由. ‎ 图1-3-17‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 证明: ∵OD平分∠AOC, OF平分∠COB,‎ ‎∴∠AOC=2∠COD, ∠COB=2∠COF,‎ ‎∵∠AOC+∠BOC=180°,‎ ‎∴2∠COD+2∠COF=180°,‎ ‎∴∠COD+∠COF=90°, ∴∠DOF=90°.‎ ‎∵OA=OC, OD平分∠AOC,‎ ‎∴OD⊥AC, AD=DC(等腰三角形“三线合一” 的性质),‎ ‎∴∠CDO=90°,‎ ‎∵CF⊥OF, ∴∠CFO=90°,‎ ‎∴四边形CDOF是矩形.‎ ‎(2) 当∠AOC=90°时, 四边形CDOF是正方形.‎ 理由如下: ∵∠AOC=90°, AD=DC, ∴OD=DC.‎ 又由(1) 知四边形CDOF是矩形, 所以矩形CDOF是正方形.‎ ‎[第11页 第6题]　(2013吉林长春, 22, ★★★) 探究: 如图1-3-18①, 在四边形ABCD中, ∠BAD=∠BCD=90°, AB=AD, AE⊥CD于点E, 若AE=10, 求四边形ABCD的面积. ‎ 拓展: 如图1-3-18②, 在四边形ABCD中, ∠ABC+∠ADC=180°, AB=AD, AE⊥BC于点E, 若AE=19, BC=10, CD=6, 则四边形ABCD的面积为　　　　.   ‎ 图1-3-18‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　探究: 如图, 过A点作AF⊥BC, 交CB的延长线于点F, 则∠AFC=90°.‎ ‎∵AE⊥DC于点E, ∴∠AEC=90°, 又∠C=90°,‎ ‎∴∠AEC=∠AFC=∠C=90°,‎ ‎∴四边形AECF是矩形.‎ ‎∴∠EAF=90°.‎ ‎∴∠FAB+∠BAE=90°.‎ ‎∵∠EAD+∠BAE=90°,‎ ‎∴∠FAB=∠EAD,‎ 又∵AB=AD, ∠AED=∠AFB=90°,‎ ‎∴△ADE≌△ABF(AAS),‎ ‎∴AE=AF,‎ ‎∴矩形AECF为正方形,‎ 而AE=10,‎ ‎∴S四边形ABCD=S正方形AECF=AE2=102=100.‎ 拓展: 152.‎ 如图, 连接AC, 过A点作AF⊥DC, 交CD的延长线于点F, 则∠AFD=90°.‎ ‎∵AE⊥BC于点E, ∴∠AEC=90°,‎ ‎∴∠AEB=∠AFD=90°,‎ 又∵∠ABC+∠ADC=180°, ∠ADF+∠ADC=180°,‎ ‎∴∠ABC=∠ADF,‎ 又∵AB=AD, ∠AEB=∠AFD=90°,‎ ‎∴△ABE≌△ADF(AAS),‎ ‎∴AE=AF=19,‎ ‎∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×10×19+×6×19=152.‎ ‎[第12页 第1题]　在▱ABCD中, AC, BD交于点O, 过点O作直线EF, GH, 分别交平行四边形的四条边于E, G, F, H四点, 连接EG, GF, FH, HE. ‎ ‎(1) 如图1-3-19①, 试判断四边形EGFH的形状, 并说明理由; ‎ ‎(2) 如图1-3-19②, 当EF⊥GH时, 四边形EGFH的形状是　　　　;   ‎ 图1-3-19‎ ‎(3) 如图1-3-19③, 在(2) 的条件下, 若AC=BD, 则四边形EGFH的形状是　　　　;   ‎ ‎(4) 如图1-3-19④, 在(3) 的条件下, 若AC⊥BD, 试判断四边形EGFH的形状, 并说明理由. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 四边形EGFH是平行四边形. 理由如下:‎ ‎∵▱ABCD的对角线AC, BD交于点O,‎ 易证△BOG≌△DOH, △AOE≌△COF,‎ ‎∴GO=HO, EO=FO.‎ ‎∴四边形EGFH是平行四边形.‎ ‎(2) 菱形.‎ ‎(3) 菱形.‎ ‎(4) 四边形EGFH是正方形. 理由如下:‎ ‎∵AC=BD, ∴平行四边形ABCD是矩形.‎ 又∵AC⊥BD, ∴矩形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠BOC=90°, ∠OBG=∠OCF=45°, OB=OC.‎ ‎∵EF⊥GH, ∴∠GOF=90°, ∴∠GOB+∠BOF=90°,‎ 又∠COF+∠BOF=90°,‎ ‎∴∠GOB=∠COF.‎ ‎∴△BOG≌△COF, ∴OG=OF.‎ 同理, HO=OE, ∴GH=EF.‎ 由(3) 知四边形EGFH是菱形.‎ 又∵EF=GH, ∴菱形EGFH是正方形.‎ ‎[第12页 第2题]　如图1-3-20①, 四边形ABCD是正方形, 点E是边BC的中点, ∠AEF=90°, 且EF交正方形外角平分线CF于点F. 请你认真阅读下面关于这个图的探究片段, 完成所提出的问题. ‎ 图1-3-20‎ ‎(1) 探究1: 小强看到图后, 很快发现AE=EF. 这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等, 但△ABE和△ECF显然不全等(一个是直角三角形, 一个是钝角三角形). 考虑到点E是边BC的中点, 因此可以选取AB的中点M, 连接EM后尝试着去证明△AEM≌△EFC就行了. 随即小强写出了如下的证明过程: ‎ 证明: 如图1-3-20②, 取AB的中点M, 连接EM. ‎ ‎∵∠AEF=90°, ‎ ‎∴∠FEC+∠AEB=90°, ‎ 又∵∠EAM+∠AEB=90°, ‎ ‎∴∠EAM=∠FEC. ‎ ‎∵点E、M分别为正方形ABCD的边BC和AB的中点, ∴AM=EC. ‎ ‎∵△BME是等腰直角三角形, ‎ ‎∴∠AME=135°, ‎ 又∵CF是正方形ABCD外角的平分线, ‎ ‎∴∠FCD=45°, ‎ ‎∴∠FCE=90°+45°=135°, ‎ ‎∴∠AME=∠FCE, ‎ ‎∴△AEM≌△EFC(ASA), ‎ ‎∴AE=EF. ‎ ‎(2) 探究2: 小强继续探索, 如图1-3-20③, 若把条件“点E是边BC的中点” 改为“点E是边BC上的任意一点”, 其余条件不变, 发现AE=EF仍然成立. 请你证明这一结论. ‎ ‎(3) 探究3: 小强还想进一步试试, 如图1-3-20④, 若把条件“点E是边BC的中点” 改为“点E是边BC延长线上的一点”, 其余条件不变, 那么结论AE=EF是否成立呢? 若成立, 请你完成证明过程; 若不成立, 请你说明理由. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(2) 在AB上截取AM=EC, 连接ME.‎ 由(1) 知∠EAM=∠FEC.‎ ‎∵AM=EC, AB=BC, ∴BM=BE,‎ ‎∴∠BME=45°, ∴∠AME=135°.‎ ‎∵CF是正方形ABCD的外角平分线, ∴∠FCD=45°,‎ ‎∴∠FCE=90°+45°=135°, ∴∠AME=∠FCE,‎ ‎∴△AEM≌△EFC(ASA), ∴AE=EF.‎ ‎(3) 成立. 证明如下: 延长BA到M, 使得AM=CE, 连接ME.‎ ‎∴BM=BE, ∴∠BME=45°, ∴∠BME=∠ECF. 又∵AD∥BE, ∴∠DAE=∠BEA, ∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF, 即∠MAE=∠CEF. ∴△MAE≌△CEF(ASA),‎ ‎ ∴AE=EF.‎ ‎[第13页 第1题]　命题: ‎ ‎①两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ‎ ‎②对角线互相垂直的四边形是菱形; ‎ ‎③对角线相等的四边形是矩形; ‎ ‎④对角线相等的菱形是正方形. ‎ 其中正确的是(　　) ‎ A. ①④　　B. ①②③　　C. ②③④　　D. ①②③④‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　两组对边分别相等的四边形是平行四边形, 所以①正确; 对角线互相垂直平分的四边形是菱形, 所以②错误; 对角线相等的平行四边形是矩形, 所以③错误; 对角线相等的菱形是正方形, 所以④正确. 故选A.‎ ‎[第13页 第2题]　菱形的两条对角线分别是6、8, 则该菱形的周长是(　　) ‎ A. 40　　B. 20　　C. 48　　D. 24‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　因为菱形的对角线互相垂直平分, 所以根据勾股定理可得菱形的边长为5, 则该菱形的周长是20. 故选B.‎ ‎[第13页 第4题]　若矩形对角线相交所成钝角为120°, 短边长3.6 cm, 则对角线的长为(　　) ‎ A. 3.6 cm　　B. 7.2 cm　　C. 1.8 cm　　D. 14.4 cm ‎[答案]　B ‎[解析]　∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD, AO=OC=AC, BO=OD=BD, ∴OA=OB, ∵∠AOD=120°, ∴∠AOB=180°-120°=60°, ∴△AOB是等边三角形, ∴AB=AO=OB=3.6 cm, ∴BD=AC=2AO=7.2 cm, 故选B.‎ ‎[第13页 第3题]　▱ABCD中, AC、BD是两条对角线, 如果添加一个条件, 即可推出平行四边形ABCD是矩形, 那么这个条件是(　　) ‎ A. AB=BC　　B. AC=BD　　C. AC⊥BD　　D. AB⊥BD ‎[答案]　B ‎[解析]　两条对角线相等的平行四边形是矩形, 故选B.‎ ‎[第13页 第5题]　红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志, 人们将红丝带剪成小段, 并用别针将折叠好的红丝带别在胸前, 如图1-4-1所示. 红丝带重叠部分形成的图形是(　　) ‎ 图1-4-1‎ A. 正方形　　B. 等腰梯形　　C. 菱形　　D. 矩形 ‎[答案]　C ‎[解析]　过点A作AE⊥BC于E, AF⊥CD于F, 则AE=AF, ∵AB∥CD, AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵S▱ABCD=BC·AE=CD·AF. 又AE=AF. ∴BC=CD, ∴平行四边形ABCD是菱形. 故选C.‎ ‎[第13页 第10题]　如图1-4-6, 已知P是正方形ABCD对角线BD上一点, 且BP=BC, 则∠ACP=　　　　°.   ‎ 图1-4-6‎ ‎[答案]　22.5‎ ‎[解析]　在正方形ABCD中, ∠DBC=∠ACB=45°,‎ ‎∵BP=BC, ∴∠BCP=67.5°,‎ ‎∴∠ACP=∠BCP-∠ACB=67.5°-45°=22.5°.‎ ‎[第13页 第9题]　如图1-4-5, 菱形ABCD中, 点O是对角线AC上的一点, 且OA=AB, OB=OC=OD, 则∠BAD的度数是　　　　.   ‎ 图1-4-5‎ ‎[答案]　72°‎ ‎[解析]　设∠ACB=x°, 则∠BAC=x°, ∠OBC=x°, ∠AOB=2x°, ∵∠CAB+∠AOB+∠ABO=x°+2x°+2x°=180°, ∴x=36, 故∠BAD=72°.‎ ‎[第13页 第8题]　如图1-4-4, 边长为6的大正方形中有两个小正方形, 若两个小正方形的面积分别为S1, S2, 则S1+S2的值为(　　) ‎ 图1-4-4‎ A. 16　　B. 17　　C. 18　　D. 19‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知, AC=BC, BC=CE=CD, ∴AC=2CD, CD==2, ∴EC2=22+22, 即EC=2, ∴S2=2×2=8. 由题意知S1=3×3=9, ∴S1+S2=9+8=17. 故选B.‎ ‎[第13页 第7题]　如图1-4-3, 正方形ABCD中, E、F是对角线AC上两点, 连接BE、BF、DE、DF, 则添加下列条件: ①∠ABE=∠CBF; ②AE=CF; ③AB=AF; ④BE=BF. 可以判定四边形BEDF是菱形的条件有(　　) ‎ 图1-4-3‎ A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个 ‎[答案]　C ‎[解析]　连接BD, 交AC于点O, 在正方形ABCD中, AB=BC, ∠BAC=∠ACB, AC⊥BD, OB=OD, ①在△ABE与△BCF中, ∴△ABE≌△BCF(ASA), ∴BE=BF, ∵AC⊥BD, ∴OE=OF, ∴四边形BEDF是菱形, 故①正确. ②正方形ABCD中, OA=OB=OC=OD, ∵AE=CF, ∴OE=OF, 又EF⊥BD, BO=OD,‎ ‎∴四边形BEDF是菱形, 故②正确. 错误. ③AB=AF, 不能推出四边形BEDF其他边的关系, 故不能判定它是菱形, 故③错误. ④在正方形ABCD中, OA=OC=OB=OD, AC⊥BD, ∵BE=BF, EF⊥BD, ∴OE=OF, ∴四边形BEDF是菱形, 故④正确. ∴①②④, 共3个可以判定四边形BEDF是菱形. 故选C.‎ ‎[第13页 第6题]　如图1-4-2, 菱形ABCD中, ∠B=60°, AB=2, E、F分别是BC、CD的中点, 连接AE、EF、AF, 则△AEF的周长为(　　) ‎ 图1-4-2‎ A. 2　　B. 3　　C. 4　　D. 3‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD=BC=CD, ∠B=∠D, ∵E、F分别是BC、CD的中点, ∴BE=DF,‎ 在△ABE和△ADF中, ∴△ABE≌△ADF(SAS),‎ ‎∴AE=AF, ∠BAE=∠DAF. 连接AC, ∵∠B=∠D=60°,‎ ‎∴△ABC与△ACD是等边三角形,‎ ‎∴AE⊥BC, AF⊥CD, ∴∠BAE=∠DAF=30°,‎ ‎∴∠EAF=60°, ∴△AEF是等边三角形.‎ ‎∵AE=AB=, ∴△AEF的周长是3. 故选B.‎ ‎[第14页 第11题]　如图1-4-7, 矩形纸片ABCD中, AD=9, AB=3, 将其折叠, 使点D与点B重合, 折痕为EF, 那么折痕EF的长为　　　　.   ‎ 图1-4-7‎ ‎[答案]　‎ ‎[解析]　连接BD交EF于点O, 连接DF.‎ 根据折叠, 知BD垂直平分EF.‎ 易证△DOE≌△BOF,‎ 所以OD=OB,‎ 则四边形BEDF是菱形.‎ 设DE=x, 则CF=9-x.‎ 在直角三角形DCF中, 根据勾股定理, 得x2=(9-x) 2+9.‎ 解得x=5.‎ 在直角三角形BCD中, 根据勾股定理, 得BD=3, 则OB=.‎ 在直角三角形BOF中, 根据勾股定理, 得OF==, 则EF=.‎ ‎[第14页 第15题]　将矩形纸片ABCD按如图1-4-11所示的方式折叠, 得到菱形AECF. 若AB=3, 则BC的长为　　　　.   ‎ 图1-4-11‎ ‎[答案]　‎ ‎[解析]　由折叠知AC=2BC. 在Rt△ABC中, AC2=AB2+BC2, 即(2BC) 2=32+BC2, ∴BC=.‎ ‎[第14页 第12题]　菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图1-4-8所示, ∠AOC=45°, OC=, 则点A的坐标为　　　　; 点B的坐标为　　　　.   ‎ 图1-4-8‎ ‎[答案]　(, 0); (+1,1)‎ ‎[解析]　过点C作CD⊥OA于点D, 过点B作BE⊥OA于点E,‎ ‎∵四边形OABC是菱形,‎ ‎∴OA=BC=OC=AB=, OA∥BC,‎ ‎∴CD=BE,‎ 在Rt△OCD和Rt△ABE中,‎ ‎∴Rt△OCD≌Rt△ABE(HL),‎ ‎∴OD=AE.‎ ‎∵∠AOC=45°, OC=,‎ ‎∴OD2+CD2=OC2, 即OD2+CD2=2, ∴OD=CD=1,‎ ‎∴BE=CD=1, AE=OD=1,‎ ‎∴OE=OA+AE=+1,‎ ‎∴点A的坐标为(, 0), 点B的坐标为(+1,1).‎ ‎[第14页 第16题]　如图1-4-12, 在△ABC中, ∠ACB=90°. D是AC的中点, DE⊥AC, AE∥BD, 若BC=4, AE=5, 则四边形ACBE的周长是　　　　.   ‎ 图1-4-12‎ ‎[答案]　18‎ ‎[解析]　∵AE∥BD, ∴∠CDB=∠DAE, ∵∠ACB=90°, DE⊥AC, ∴∠C=∠ADE=90°, ∴DE∥BC, ∵D为AC中点,‎ ‎∴AD=CD, 在△ADE和△DCB中, ∵‎ ‎∴△ADE≌△DCB(ASA), ∴DE=BC=4, AE=BD=5,‎ 在Rt△DCB中, BC=4, BD=5, 由勾股定理得DC=3,‎ ‎∴AD=DC=3, ∵ED=BC, DE∥BC, ∴四边形DEBC是平行四边形, ∴BE=CD=3, ∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE=AD+CD+BC+BE+AE=3+3+4+3+5=18.‎ ‎[第14页 第13题]　如图1-4-9, 菱形ABCD中, AE垂直平分BC, 垂足为E, AB=4, 那么菱形ABCD的面积是　　　　.   ‎ 图1-4-9‎ ‎[答案]　8‎ ‎[解析]　∵AE垂直平分BC, ∴AB=AC,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC, ∴AB=BC=AC,‎ ‎∴△ABC是等边三角形.‎ ‎∵AB=4, ∴由勾股定理得, AE=2,‎ ‎∴菱形ABCD的面积=2S△ABC=2××4×2=8.‎ ‎[第14页 第17题]　(10分) 已知: 如图1-4-13, 四边形ABCD是菱形, E是BD延长线上一点, F是DB延长线上一点, 且DE=BF. 请你以F为一个端点, 和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段, 猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可). ‎ ‎(1) 连接　　　　;   ‎ ‎(2) 猜想: 　　　　=　　　　;   ‎ ‎(3) 证明. ‎ 图1-4-13‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 如图, 连接AF.‎ ‎(2) AF=AE.‎ ‎(3) 证明: ∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=AD,‎ ‎∴∠ABD=∠ADB,‎ ‎∴∠ABF=∠ADE,‎ 在△ABF和△ADE中,‎ ‎∴△ABF≌△ADE,‎ ‎∴AF=AE.‎ ‎[第14页 第14题]　如图1-4-10, 菱形花坛ABCD的边长为6 m, ∠B=60°, 在其中由两个正六边形组成的图形部分种花, 则种花部分的图形的周长为　　　　m.   ‎ 图1-4-10‎ ‎[答案]　20‎ ‎[解析]　如图, ∵菱形花坛ABCD的边长为6 m, ∠B=60°, ∴△BMG是正三角形, ∴BG=MG. 又∵图中种花部分是由两个正六边形组成的, ∴GM=GF=EF, ∴AF=GF=BG=2, ∴正六边形的边长为2, 又两个正六边形有一条公共边OE,‎ ‎ 所以可得两个正六边形的周长为6×2+6×2-4=20, ∴可得种花部分的图形周长为20 m.‎ ‎[第14页 第18题]　(10分) 已知: 如图1-4-14, 在△ABC中, AB=AC, M是BC的中点, MD⊥AB, ME⊥AC, DF⊥AC, EG⊥AB, 垂足分别为点D、E、F、G, DF、EG相交于点P. 判断四边形MDPE的形状, 并说明理由. ‎ 图1-4-14‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　四边形MDPE为菱形. 理由:‎ 连接AM. ∵ME⊥AC, DF⊥AC, ∴ME∥DF,‎ ‎∵MD⊥AB, EG⊥AB, ∴MD∥EG,‎ ‎∴四边形MDPE是平行四边形.‎ ‎∵AB=AC, M是BC的中点,‎ ‎∴AM是∠BAC的平分线, 又MD⊥AB, ME⊥AC,‎ ‎∴MD=ME, ∴平行四边形MDPE为菱形.‎ ‎[第15页 第19题]　(10分) 如图1-4-15, ▱ABCD中, EF过AC的中点O, 与边AD、BC分别相交于点E、F. ‎ ‎(1) 证明: △AOE≌△COF; ‎ ‎(2) 证明: 四边形AECF是平行四边形; ‎ ‎(3) 在已知条件外, 请你再添加一个条件, 使四边形AECF是矩形. ‎ 图1-4-15‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC, OA=OC,‎ ‎∴∠1=∠2, ∠3=∠4,‎ 在△AOE和△COF中,‎ ‎∴△AOE≌△COF(AAS).‎ ‎(2) 证明: 由(1) 知△AOE≌△COF,‎ ‎∴OE=OF(全等三角形的对应边相等), 又OA=OC,‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形).‎ ‎(3) 若添加AC=EF. 理由:‎ 由(2) 知四边形AECF是平行四边形, 且对角线AC=EF,‎ ‎∴AECF为矩形(对角线相等的平行四边形为矩形).‎ 若添加AF⊥BC. 理由:‎ 由(2) 知四边形AECF是平行四边形,‎ 又AF⊥BC, ∴∠AFC=90°(垂直定义),‎ ‎∴AECF为矩形(有一个角为直角的平行四边形为矩形).‎ ‎(答案不唯一, 只需满足题意即可)‎ ‎[第15页 第20题]　(10分) 如图1-4-16所示, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC的垂直平分线DE交BC于点D, 交AB于点E, 点E恰好为AB的中点, 点F在DE上, EF=AC. ‎ ‎(1) 当∠B的大小满足什么条件时, 四边形ACEF是菱形? ‎ ‎(2) 四边形ACEF有可能是正方形吗? 为什么? ‎ 图1-4-16‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 当∠B=30°时, 四边形ACEF是菱形.‎ ‎∵∠ACB=90°, 又∵DE是BC的垂直平分线,‎ ‎∴∠FDC=90°, ∴FD∥AC.‎ 又∵EF=AC, ∴四边形ACEF是平行四边形.‎ 在Rt△ABC中, ∠B=30°, E为AB的中点,‎ ‎∴AC=CE=AB.‎ ‎∴平行四边形ACEF是菱形.‎ ‎(2) 四边形ACEF不可能是正方形.‎ 理由如下: ∵E是AB的中点,‎ ‎∴CE在△ABC的内部.‎ ‎∴∠ACE< ∠ACB=90°.‎ ‎∴四边形ACEF不可能是正方形.‎ ‎[第15页 第21题]　(12分) 在平行四边形ABCD中, ∠BAD的平分线交BC于点E, 交DC的延长线于点F, 以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG. ‎ ‎(1) 如图1-4-17①, 证明平行四边形ECFG为菱形; ‎ ‎(2) 如图1-4-17②, 若∠ABC=90°, M是EF的中点, 求∠BDM的度数; ‎ ‎(3) 如图1-4-17③, 若∠ABC=120°, 求∠BDG的度数. ‎ 图1-4-17‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 证明: ∵AF平分∠BAD, ∴∠BAF=∠DAF,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC, AB∥CD, ∴∠DAF=∠CEF, ∠BAF=∠CFE,‎ ‎∴∠CEF=∠CFE, ∴CE=CF,‎ 又∵四边形ECFG是平行四边形, ∴四边形ECFG为菱形.‎ ‎(2) 如图, 连接BM, MC, ∵∠ABC=90°, 四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是矩形,‎ 又由(1) 可知四边形ECFG为菱形, 又∠ECF=90°, ∴菱形ECFG为正方形. ∵AE平分∠BAD, ∴∠BAF=∠DAF, ∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠AEB, ∴∠BAE=∠AEB, ∴BE=AB=DC, ∵M为EF的中点, ∴∠CEM=∠ECM=45°, ∴∠BEM=∠DCM=135°, 在△BME和△DMC中,‎ ‎∵‎ ‎∴△BME≌△DMC(SAS),‎ ‎∴MB=MD, ∠DMC=∠BME.‎ ‎∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°,‎ ‎∴△BMD是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠BDM=45°.‎ ‎(3) 延长AB、FG交于H, 连接HD. ∵AD∥GF, AB∥DF,‎ ‎∴四边形AHFD为平行四边形, ∵∠ABC=120°, AF平分∠BAD, ∴∠DAF=30°, ∠ADC=120°, ∴∠DFA=30°,‎ ‎∴∠DAF=∠DFA=30°, ∴AD=DF, ∴平行四边形AHFD为菱形, ∴△ADH与△DHF为全等的等边三角形, ∴DH=DF, ∠BHD=∠GFD=60°, ∵FG=CE, CE=CF, CF=BH, ∴BH=GF,‎ 在△BHD与△GFD中,‎ ‎∵‎ ‎∴△BHD≌△GFD(SAS),‎ ‎∴∠BDH=∠GDF,‎ ‎∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.‎ ‎[第16页 第1题]　下列方程中, 一元二次方程有(　　) ‎ ‎①ax2+bx+c=0; ②=5-6x; ③2x(x-3) =2x2+1; ④=2x2; ⑤y2-2xy+3=0; ⑥(3x2-1) 2-3=0; ⑦x2=4; ⑧x2+3x-7=0. ‎ A. 0个　　B. 1个　　C. 2个　　D. 3个 ‎[答案]　C ‎[解析]　①没有确定a的范围; ③化简后是一元一次方程; ②④分母含未知数; ⑤含有两个未知数; ⑥化简后未知数的最高次数是4; ⑦⑧符合一元二次方程的定义.‎ ‎[第16页 第2题]　若方程(m-1) x2+x=1是关于x的一元二次方程, 则m的取值范围是(　　) ‎ A. m≠1　　B. m≥0　　C. m≥0且m≠1　　D. m是任意实数 ‎[答案]　C ‎[解析]　由一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件得解得m≥0且m≠1.‎ ‎[第16页 第3题]　当a为何值时, 关于x的方程(a-3) x|a|-1+(a+3) x+4=0. ‎ ‎(1) 是一元一次方程; ‎ ‎(2) 是一元二次方程. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 若已知方程为一元一次方程, 则有三种情况, 分别如下:‎ ‎①∴∴a=3;‎ ‎②∴∴a=±1;‎ ‎③∴∴a=±2.‎ 即当a=3, ±1, ±2时, 原方程是一元一次方程.‎ ‎(2) 若原方程是一元二次方程, 则有 ‎∴∴a=-3.‎ 即当a=-3时, 原方程是一元二次方程.‎ ‎[第16页 第5题]　小红不小心将两滴墨水滴到了一道一元二次方程题上: ●x2+4x+●=0. 已知小红解题的正确答案是x1=, x2=-, 则该一元二次方程的二次项系数及常数项分别是　　　　.   ‎ ‎[答案]　4, -3‎ ‎[解析]　设一元二次方程为ax2+4x+c=0(a≠0), 则 解得 ‎[第16页 第4题]　把一元二次方程(x-) (x+) +(2x-1) 2=0化成一般形式是(　　) ‎ A. x2-5=0‎ B. 5x2-2x+1=0‎ C. 5x2-4x-4=0‎ D. 5x2-4x+6=0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　(x-) (x+) +(2x-1) 2=0, 化简得x2-5+4x2-4x+1=0, 即5x2-4x-4=0.‎ ‎[第16页 第6题]　将下列方程化成一元二次方程的一般形式, 并写出二次项系数、一次项系数和常数项. ‎ ‎(1) 3x(x+1) =(x+2) 2+3; ‎ ‎(2) (5-2y) 2-2(y+1) 2=0; ‎ ‎(3) -=; ‎ ‎(4) 关于x的方程mx2-nx+mx+nx2=q-p(m+n≠0). ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 去括号, 得3x2+3x=x2+4x+4+3.‎ 移项、合并同类项, 得2x2-x-7=0.‎ 其中二次项系数为2, 一次项系数为-1, 常数项为-7.‎ ‎(2) 去括号, 得25-20y+4y2-2y2-4y-2=0.‎ 合并同类项, 得2y2-24y+23=0.‎ 其中二次项系数为2, 一次项系数为-24, 常数项为23.‎ ‎(3) 去分母, 得2x2-3(x+1) =3(-x-1).‎ 去括号、移项、合并同类项, 得2x2=0.‎ 其中二次项系数为2, 一次项系数为0, 常数项为0.‎ ‎(4) 移项、合并同类项, 得(m+n) x2+(m-n) x+p-q=0.‎ 其中二次项系数为m+n, 一次项系数为m-n, 常数项为p-q.‎ ‎[第16页 第7题]　方程x2+2x-3=0的解是(　　) ‎ A. x=1　　B. x=-3　　C. x=3　　D. x=1或x=-3‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　把各个选项代入方程, 使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解.‎ ‎[第16页 第9题]　现有一张长方形纸片, 长为19 cm, 宽为15 cm, 需要剪切去边长是多少厘米的小正方形才能将其做成底面积为81 cm2的无盖长方体的纸盒? 请根据题意列出方程, 并估算出小正方形的边长的大致范围. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　设需要剪切的小正方形的边长为x cm, 则盒子底面长方形的长为(19-2x) cm, 宽为(15-2x) cm, 由题意可列方程为(19-2x) (15-2x) =81, 化为一般形式得x2-17x+51=0.‎ ‎∵19-2x> 0,15-2x> 0, ∴x< 7.5, 又∵x为小正方形的边长, ∴x> 0. 列下表:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ x2-17x+51‎ ‎35‎ ‎21‎ ‎9‎ ‎-1‎ ‎-9‎ ‎-15‎ ‎-19‎ 观察上表可知, 3< x< 4, 即小正方形的边长的取值范围是3< x< 4.‎ ‎[第16页 第8题]　如果2是关于x的一元二次方程x2+bx+2=0的一个根, 那么常数b的值为　　　　.   ‎ ‎[答案]　-3‎ ‎[解析]　把x=2代入方程得4+2b+2=0, 解得b=-3.‎ ‎[第16页 第10题]　目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系. 某校去年上半年发给每个经济困难学生389元, 今年上半年发放了438元, 设发放的资助金额的平均增长率为x, 则下面列出的方程中, 正确的是(　　) ‎ A. 438(1+x) 2=389‎ B. 389(1+x) 2=438‎ C. 389(1+2x) =438‎ D. 438(1+2x) =389‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由于每半年发放的资助金额的平均增长率为x, 则去年下半年发放的资助金额为389(1+x) 元, 今年上半年发放的资助金额为389(1+x) 2元, 根据相等关系“今年上半年发放了438元”, 可建立一元二次方程389(x+1) 2=438, 故选B.‎ ‎[第17页 第1题]　(2013山东济南, 11, ★☆☆) 已知x2-2x-8=0, 则3x2-6x-18的值为(　　) ‎ A. 54　　B. 6　　C. -10　　D. -18‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由x2-2x-8=0可得x2-2x=8, 所以3x2-6x-18=3(x2-2x) -18=3×8-18=6. 故选B.‎ ‎[第17页 第1题]　(2014北京海淀期中, 1, ★☆☆) 一元二次方程x2-2x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　) ‎ A. 1, -2, -3　　B. 1, -2,3　　C. 1,2, 3　　D. 1,2, -3‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　一元二次方程的一般形式: ax2+bx+c=0(a, b, c是常数, 且a≠0), 其中ax2是二次项, bx是一次项, c是常数项. 其中a, b分别是二次项系数, 一次项系数, 由此直接进行判断即可.‎ ‎[第17页 第1题]　已知关于x的方程x2+px+q=0与x2+qx+p=0(p≠q) 有一个公共根, 求(p+q) 2 013的值. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　设a是这两个方程的公共根,‎ 则a2+pa+q=0, a2+qa+p=0,‎ ‎∴a2+pa+q=a2+qa+p,‎ ‎∴pa-qa=p-q, 即(p-q) a=p-q.‎ ‎∵p≠q, ∴a=, 即a=1.‎ 把x=a=1代入x2+px+q=0(或x2+qx+p=0), 得1+p+q=0, 即p+q=-1, ∴(p+q) 2 013=(-1) 2 013=-1.‎ ‎[第17页 第2题]　(2014福建泉州一中期中, 3, ★☆☆) 若关于x的方程x2+x+m=0的一个根为-2, 则m的值为(　　) ‎ A. -2　　B. 2　　C. -1　　D. 1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　因为-2是关于x的方程x2+x+m=0的一个根, 所以将-2代入原方程得4-2+m=0, 解得m=-2.‎ ‎[第17页 第2题]　(2013甘肃兰州, 10, ★☆☆) 据调查, 2011年5月兰州市的房价均价为7 600元/m2, 2013年同期将达到8 200元/m2, 假设这两年兰州市房价的平均增长率为x, 根据题意, 所列方程为(　　) ‎ A. 7 600(1+x%) 2=8 200‎ B. 7 600(1-x%) 2=8 200‎ C. 7 600(1+x) 2=8 200‎ D. 7 600(1-x) 2=8 200‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　因为增长率为x, 不是x%, 故A、B排除; 又房价增长到8 200元/m2, 故排除D. 故选C.‎ ‎[第17页 第3题]　(2014北京东城期中, 3, ★☆☆) 一元二次方程x(x-1) =0的解是(　　) ‎ A. x=0　　B. x=1　　C. x=0或x=-1　　D. x=0或x=1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵x(x-1) =0, ∴x=0或x-1=0, ∴x=0或x=1. 故答案为D.‎ ‎[第17页 第4题]　(2014福建泉州一中, 10, ★★☆) 某品牌手机经过九、十月份连续两次降价, 每部售价由3 200元降到2 500元, 设平均每月降价的百分率为x, 根据题意, 所列方程是　　　　　　　　.   ‎ ‎[答案]　3 200(1-x) 2=2 500‎ ‎[解析]　由题意得, 第一次降价后每部手机的售价为3 200(1-x) 元, 第二次降价后每部手机的售价为3 200(1-x) ·(1-x) 元, 即3 200(1-x) 2元, 则列出的方程为3 200(1-x) 2=2 500.‎ ‎[第17页 第3题]　(2013黑龙江龙东, 5, ★★☆) 若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解, 则6m+2n=　　　　.   ‎ ‎[答案]　-2‎ ‎[解析]　把x=1代入一元二次方程x2+3mx+n=0, 得1+3m+n=0, 所以3m+n=-1, 两边同时乘以2, 得6m+2n=-2.‎ ‎[第17页 第4题]　(2013江苏南京, 14, ★★☆) 已知如图2-1-2所示的图形的面积为24. 根据图中的条件, 可列出方程: 　　　　　　　.   ‎ 图2-1-2‎ ‎[答案]　答案不唯一, 如(x+1) 2=25‎ ‎[解析]　可以利用将图形补全成一个大正方形的方法, 确定大正方形的边长为x+1, 补全的小正方形的面积为1, 从而可以列出方程(x+1) 2=25. 也可以利用分割的方式列出其他形式的方程.‎ ‎[第17页 第11题]　如图2-1-1①, 要设计一幅宽20 cm, 长30 cm的矩形图案, 其中有两横两竖的彩条, 横、竖彩条的宽度比为2∶3, 如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的, 应如何设计每个彩条的宽度? ‎ 图2-1-1‎ 分析: 由横、竖彩条的宽度比为2∶3, 可设每个横彩条的宽为2x cm, 则每个竖彩条的宽为3x cm. 为更好地寻找题目中的等量关系, 将横、竖彩条分别集中, 将原图形转化为如图2-1-1②的情况, 得到矩形ABCD. ‎ ‎(1) 结合以上分析完成填空: 如图2-1-1②, 用含x的代数式表示: ‎ AB=　　　　cm;   ‎ AD=　　　　cm;   ‎ 矩形ABCD的面积为　　　　cm2;   ‎ ‎(2) 列出方程不解答. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) (20-6x); (30-4x); (24x2-260x+600).‎ ‎(2) 根据题意得24x2-260x+600=×20×30.‎ ‎[第18页 第1题]　方程4x2=1的解为(　　) ‎ A. x=±　　B. x=±　　C. x=　　D. x=‎ ‎[答案]　 A　‎ ‎[解析]　4x2=1, x2=, x=±.‎ ‎[第18页 第1题]　(2013山东威海, 6, ★☆☆) 已知关于x的一元二次方程(x+1) 2-m=0有两个实数根. 则m的取值范围是(　　) ‎ A. m≥-　　B. m≥0　　C. m≥1　　D. m≥2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　(x+1) 2-m=0, (x+1) 2=m, ∵一元二次方程(x+1) 2-m=0有两个实数根, ∴m≥0, 故选B.‎ ‎[第18页 第1题]　(2014广东云浮邓发纪念中学期中, 2, ★☆☆) 一元二次方程(x-1) 2=2的解是(　　) ‎ A. x1=-1-, x2=-1+‎ B. x1=1-, x2=1+‎ C. x1=3, x2=-1‎ D. x1=1, x2=-3‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵(x-1) 2=2, ∴x-1=±, ∴x=1±. 故选B.‎ ‎[第18页 第2题]　方程(x-2) 2-3=0的解是(　　) ‎ A. x1=2+, x2=2-‎ B. x1=2+, x2=-2+‎ C. x1=-2-, x2=2+‎ D. x1=-2+, x2=-2-‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　(x-2) 2-3=0, (x-2) 2=3, x-2=±, x1=+2, x2=-+2.‎ ‎[第18页 第3题]　将4个数a, b, c, d排成2行2列, 两边各加一条竖直线记成, 定义=ad-bc, 上述记号就叫做2阶行列式. 若=6, 则x=　　　　.   ‎ ‎[答案]　±‎ ‎[解析]　=6可转化为(x+1) 2-(x-1) (1-x) =6, 整理得x2=2, 所以x=±.‎ ‎[第18页 第3题]　(2014贵州毕节期中, 26, ★☆☆) 解方程: x2+4x-2=0. (4分) ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　移项, 得x2+4x=2,‎ 两边同加上22, 得x2+4x+22=2+22,‎ 即(x+2) 2=6,‎ 开平方, 得x+2=或x+2=-,‎ ‎∴原方程的根是x1=-2+, x2=-2-.‎ ‎[第18页 第4题]　解下列方程: ‎ ‎(1) 3x2-27=0; ‎ ‎(2) (x+6) 2-9=0; ‎ ‎(3) 3(x-1) 2-24=0; ‎ ‎(4) x2+10x+25=1. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 原方程可化为x2=9,‎ 开平方得x=±3,‎ ‎∴ x1=3, x2=-3.‎ ‎(2) 原方程可化为(x+6) 2=9,‎ 开平方得x+6=±3,‎ ‎∴ x1=-3, x2=-9.‎ ‎(3) 原方程可化为(x-1) 2=8,‎ 开平方得x-1=±2,‎ ‎∴ x1=1+2, x2=1-2.‎ ‎(4) 原方程可化为(x+5) 2=1,‎ 开平方得x+5=±1,‎ ‎∴ x1=-4, x2=-6.‎ ‎[第18页 第5题]　把方程x2-6x+5=0化成(x+m) 2=n的形式, 则m, n的值分别是(　　) ‎ A. 3,4　　B. -3, -4　　C. 4,3　　D. -3,4‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　x2-6x+5=0, 移项得x2-6x=-5, 配方得x2-6x+(-3) 2=-5+(-3) 2, 即(x-3) 2=4, ∴m=-3, n=4. 故选D.‎ ‎[第18页 第2题]　(2014北京海淀期中, 5, ★☆☆) 用配方法解方程x2+10x+9=0, 配方正确的是(　　) ‎ A. (x+5) 2=16‎ B. (x+5) 2=34‎ C. (x-5) 2=16‎ D. (x+5) 2=25‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵x2+10x+9=0, ∴x2+10x=-9, ∴x2+10x+25=-9+25, 即(x+5) 2=16, 故选A.‎ ‎[第18页 第6题]　已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p) 2=7的形式, 那么x2-6x+q=2配方正确的是(　　) ‎ A. (x-p) 2=5‎ B. (x-p) 2=9‎ C. (x-p+2) 2=9‎ D. (x-p+2) 2=5‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵x2-6x+q=0可化为(x-p) 2=7, 即(x-p) 2-7=0, 则x2-6x+q=(x-p) 2-7=2, 即(x-p) 2=9. 故选B.‎ ‎[第18页 第7题]　x2-5x+　　　　=(x-　　　　) 2.   ‎ ‎[答案]　; ‎ ‎[解析]　根据配方法的步骤可得答案.‎ ‎[第18页 第9题]　用配方法解下列方程: ‎ ‎(1) 2x2+5x+3=0; ‎ ‎(2) 2x2-6x+1=0. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 移项, 得2x2+5x=-3.‎ 方程两边同时除以2, 得x2+x=-.‎ 配方, 得x2+x+=-+, 即=.‎ ‎∴x+=±. ∴x1=-, x2=-1.‎ ‎(2) 将方程两边同除以2, 得x2-3x+=0.‎ 移项并配方, 得x2-3x+=-+,‎ 即=. ∴x1=+, x2=-.‎ ‎[第18页 第8题]　若x2-4x+y2+6y+13=0, 则yx=　　　　.   ‎ ‎[答案]　9‎ ‎[解析]　由原式得x2-4x+4+y2+6y+9=0, 即(x-2) 2+(y+3) 2=0, 根据“如果几个非负数的和等于0, 那么这几个非负数都等于0” 可得x-2=0, y+3=0, ∴x=2, y=-3, ∴yx=(-3) 2=9.‎ ‎[第18页 第10题]　试证明: 关于x的方程(a2-8a+20) x2+2ax+1=0, 不论a为何值, 该方程都是一元二次方程. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　a2-8a+20=a2-8a+16+4‎ ‎=(a-4) 2+4.‎ ‎∵(a-4) 2≥0,‎ ‎∴(a-4) 2+4> 0.‎ ‎∴不论a为何值, 方程(a2-8a+20) x2+2ax+1=0都是一元二次方程.‎ ‎[第19页 第1题]　已知代数式5x2-6x+11, 按要求计算比较: ‎ ‎(1) 当x=-3时, 5x2-6x+11=　　　　, 结果与0比较, 有何关系?   ‎ ‎(2) 当x=-1时, 5x2-6x+11=　　　　, 结果与0比较, 有何关系?   ‎ ‎(3) 当x=0时, 5x2-6x+11=　　　　, 结果与0比较, 有何关系?   ‎ ‎(4) 当x=2时, 5x2-6x+11=　　　　, 结果与0比较, 有何关系?   ‎ ‎(5) 当x=6时, 5x2-6x+11=　　　　, 结果与0比较, 有何关系?   ‎ ‎……‎ 由此你能发现什么结论? 你能证明你发现的结论吗? ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 74, 大于0. (2) 22, 大于0. (3) 11, 大于0.‎ ‎(4) 19, 大于0. (5) 155, 大于0.‎ 不论x取何值, 代数式5x2-6x+11的值恒大于零. 证明如下:‎ ‎5x2-6x+11=5+11‎ ‎=5+11-‎ ‎=5+,‎ ‎∵≥0, ∴5+> 0.‎ 即5x2-6x+11的值恒大于零.‎ ‎[第19页 第1题]　用公式法解方程3x2+4=12x, 下列代入公式正确的是(　　) ‎ A. x=‎ B. x=‎ C. x=‎ D. x=‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　原方程化为一般式为3x2-12x+4=0, 所以a=3, b=-12, c=4. 所以x=.‎ ‎[第19页 第2题]　用公式法解下列方程. ‎ ‎(1) x2-5x+4=0; ‎ ‎(2) 2x2+4x+1=0; ‎ ‎(3) (x+3) 2=5(3+x); ‎ ‎(4) 2x2+2x+1=0. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) ∵a=1, b=-5, c=4,‎ ‎∴b2-4ac=(-5) 2-4×1×4=9> 0,‎ ‎∴x==, 即x1=4, x2=1.‎ ‎(2) ∵a=2, b=4, c=1, ∴b2-4ac=42-4×2×1=8> 0, ∴x=, ∴x1=, x2=.‎ ‎(3) 原方程可化为x2+6x+9=15+5x, 整理, 得x2+x-6=0.‎ ‎∵a=1, b=1, c=-6, ∴b2-4ac=12-4×1×(-6) =25> 0.‎ ‎∴x==,‎ 即x1=2, x2=-3.‎ ‎(4) ∵a=2, b=2, c=1,‎ ‎∴b2-4ac=20-8=12> 0.‎ ‎∴x=,‎ 即x1=, x2=.‎ ‎[第19页 第2题]　(2013浙江丽水, 7, ★☆☆) 一元二次方程(x+6) 2=16可转化为两个一元一次方程, 其中一个一元一次方程是x+6=4, 则另一个一元一次方程是(　　) ‎ A. x-6=-4　　B. x-6=4　　C. x+6=4　　D. x+6=-4‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　(x+6) 2=16, 直接开平方得x+6=±4, 即x+6=4或x+6=-4, 故选D.‎ ‎[第19页 第3题]　(2013山西, 20, ★☆☆) 解方程: (2x-1) 2=x(3x+2) -7. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　原方程可化为4x2-4x+1=3x2+2x-7.‎ ‎∴x2-6x=-8, ∴x2-6x+(-3) 2=-8+(-3) 2,‎ 即x2-6x+9=1, ∴(x-3) 2=1,‎ ‎∴x-3=±1, ∴x1=4, x2=2.‎ ‎[第19页 第3题]　三角形的两边长分别为8和6, 第三边长是方程x2-16x+60=0的一个实数根, 求该三角形的面积. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　∵a=1, b=-16, c=60,‎ ‎∴b2-4ac=(-16) 2-4×1×60=16> 0,‎ ‎∴x=,‎ ‎∴x1=10, x2=6,‎ ‎∴这个三角形的三边长为6,8, 10或6,6, 8.‎ ‎(1) 当三边长为6,8, 10时, 三角形的面积S=6×8÷2=24.‎ ‎(2) 当三边长为6,6, 8时, 三角形的面积S=8×2÷2=8.‎ ‎[第19页 第4题]　关于x的方程x2-2(m-2) x+m2=0有两个不相等的实数根, 则m的取值范围是(　　) ‎ A. m> 1　　B. m< 1　　C. m> -1　　D. m< -1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知[-2(m-2) ]2-4m2> 0, 解得m< 1.‎ ‎[第19页 第6题]　不解方程, 判断下列方程根的情况: ‎ ‎(1) 2x2+3x-4=0; ‎ ‎(2) 16y2+9=24y; ‎ ‎(3) 5(x2+1) -7x=0. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) ∵ b2-4ac=32-4×2×(-4) =9+32> 0,‎ ‎∴ 原方程有两个不相等的实数根.‎ ‎(2) 原方程移项, 得16y2-24y+9=0.‎ ‎∵ b2-4ac=(-24) 2-4×16×9=576-576=0,‎ ‎∴ 原方程有两个相等的实数根.‎ ‎(3) 原方程可变形为5x2-7x+5=0.‎ ‎∵ b2-4ac=(-7) 2-4×5×5=49-100< 0,‎ ‎∴ 原方程没有实数根.‎ ‎[第19页 第5题]　已知方程2x2-4x+k=0. ‎ ‎(1) 当k　　　　时, 方程有两个不相等的实数根;   ‎ ‎(2) 当k　　　　时, 方程有两个相等的实数根;   ‎ ‎(3) 当k　　　　时, 方程无实数根.   ‎ ‎[答案]　(1) < 2　(2) =2　(3) > 2‎ ‎[解析]　(1) 当方程有两个不相等的实数根时, Δ> 0, 即(-4) 2-4×2k> 0, ∴k< 2.‎ ‎(2) 当方程有两个相等的实数根时, Δ=0, 即(-4) 2-4×2k=0, ∴k=2.‎ ‎(3) 当方程无实数根时, Δ< 0, 即(-4) 2-4×2k< 0, ∴k> 2.‎ ‎[第20页 第1题]　(2014北京海淀期中, 14, ★★☆) 用公式法解一元二次方程: x2+4x=1. (5分) ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　原方程可化为x2+4x-1=0,‎ a=1, b=4, c=-1,‎ Δ=42-4×1×(-1) =20> 0,‎ x===-2±,‎ 即x1=-2+, x2=-2-.‎ ‎[第20页 第1题]　(2013上海, 2, ★☆☆) 下列关于x的一元二次方程有实数根的是(　　) ‎ A. x2+1=0‎ B. x2+x+1=0‎ C. x2-x+1=0‎ D. x2-x-1=0‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　在x2-x-1=0中, Δ=b2-4ac=(-1) 2-4×(-1) =5> 0. 故选D.‎ ‎[第20页 第1题]　按下列提供的方法及范例解方程49x2+6x-=0. ‎ 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根为x=, 方程y2+by+ac=0的根为y=, 显然x=, 因此要求ax2+bx+c=0(a≠0) 的根, 只要求出y2+by+ac=0的根, 再除以a就可以了. ‎ 范例: 解方程72x2+8x+=0. ‎ 解: 先解方程y2+8y+72×=0, 由求根公式解得y1=-2, y2=-6. ‎ ‎∴方程72x2+8x+=0的两根为x1==-, x2==-. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　先解方程y2+6y-×49=0, 由求根公式解得y1=1, y2=-7. ∴方程49x2+6x-=0的两根为x1=, x2==-.‎ ‎[第20页 第2题]　(2014北京东城期中, 23, ★★☆) 已知: 关于x的方程kx2+(2k-3) x+k-3=0. (7分) ‎ ‎(1) 求证: 方程总有实数根; ‎ ‎(2) 当k取哪些整数时, 关于x的方程kx2+(2k-3) x+k-3=0的两个实数根均为负整数? ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 证明: 分类讨论:‎ 若k=0, 则此方程为一元一次方程, 即-3x-3=0, ∴x=-1, 符合题意;‎ 若k≠0, 则此方程为一元二次方程,‎ ‎∴Δ=(2k-3) 2-4k(k-3) =9> 0,‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根.‎ 综上所述, 方程总有实数根.‎ ‎(2) ∵方程有两个实数根, ∴方程为一元二次方程,‎ 利用求根公式求得x=,‎ 即x1==-1, x2=-1.‎ ‎∵方程有两个负整数根, ∴-1是负整数, 即k是3的约数,‎ ‎∴k=±1, ±3, 但k=1或k=3时, 根不是负整数, ∴k=-1或k=-3.‎ ‎[第20页 第2题]　(2013广东广州, 9, ★☆☆) 若5k+20< 0, 则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是(　　) ‎ A. 没有实数根　　B. 有两个相等的实数根　　C. 有两个不相等的实数根　　D. 无法判断 ‎[答案]　A ‎[解析]　因为5k+20< 0, 所以k< -4. 而判别式Δ=16-4(-k) =16+4k< 16+4×(-4) =0, 因此原方程无实数根.‎ ‎[第20页 第4题]　(2013北京, 18, ★★☆) 已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根. ‎ ‎(1) 求k的取值范围; ‎ ‎(2) 若k为正整数, 且该方程的根都是整数, 求k的值. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) 由题意, 得Δ=4-4(2k-4) > 0.‎ ‎∴k< .‎ ‎(2) ∵k为正整数, ∴k=1,2.‎ 当k=1时, 方程为x2+2x-2=0, 它的根为x=-1±, 不是整数;‎ 当k=2时, 方程为x2+2x=0, 它的根为x1=-2, x2=0, 都是整数.‎ 综上所述, k=2.‎ ‎[第20页 第3题]　(2013山东滨州, 16, ★★☆) 一元二次方程2x2-3x+1=0的解为　　　　　　　　.   ‎ ‎[答案]　x1=1, x2=‎ ‎[解析]　∵a=2, b=-3, c=1, ∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×1=1> 0, ∴x===, 即x1=1, x2=.‎ ‎[第20页 第7题]　已知a、b、c分别是△ABC的三边长, 其中a=1, c=4, 且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根, 试判断△ABC的形状. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　因为方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,‎ 所以Δ=(-4) 2-4b=0, 所以b=4, 又因为c=4, 所以b=c=4,‎ 所以△ABC是等腰三角形.‎ ‎[第20页 第5题]　(1) (2013江苏无锡, 20(1), ★★☆) 解方程: x2+3x-2=0; ‎ ‎(2) (2013浙江义乌, 18(1), ★★☆) 解方程: x2-2x-1=0. ‎ ‎[答案]　(答案详见解析)‎ ‎[解析]　(1) ∵a=1, b=3, c=-2,‎ ‎∴b2-4ac=32-4×1×(-2) =17> 0,‎ ‎∴x=,‎ 即x1=, x2=.‎ ‎(2) ∵a=1, b=-2, c=-1, ∴b2-4ac=(-2) 2-4×1×(-1) =8> 0,‎ ‎∴x=,‎ 即x=,‎ ‎∴x1=1+, x2=1-.‎