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  • 2021-05-10 发布

山东省济南市中考数学试卷解析

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‎2019年山东省济南市中考数学试卷 一、选择题(每小题4分,共48分)‎ ‎1.﹣7的相反数是(  )‎ A.﹣7 B.﹣ C.7 D.1‎ ‎2.以下给出的几何体中,主视图是矩形,俯视图是圆的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎3.2019年1月3日,“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近,实现了人类首次在月球背面软着陆.数字177.6用科学记数法表示为(  )‎ A.0.1776×103 B.1.776×102 C.1.776×103 D.17.76×102‎ ‎4.如图,DE∥BC,BE平分∠ABC,若∠1=70°,则∠CBE的度数为(  )‎ A.20° B.35° C.55° D.70°‎ ‎5.实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列关系式不成立的是(  )‎ A.a﹣5>b﹣5 B.6a>6b C.﹣a>﹣b D.a﹣b>0‎ ‎6.下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A.赵爽弦图 B.笛卡尔心形线 ‎ C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线 ‎7.化简+的结果是(  )‎ A.x﹣2 B. C. D.‎ ‎8.在学校的体育训练中,小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示,则这7次成绩的中位数和平均数分别是(  )‎ A.9.7m,9.9m B.9.7m,9.8m C.9.8m,9.7m D.9.8m,9.9m ‎9.函数y=﹣ax+a与y=(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.如图,在菱形ABCD中,点E是BC的中点,以C为圆心、CE为半径作弧,交CD于点F,连接AE、AF.若AB=6,∠B=60°,则阴影部分的面积为(  )‎ A.9﹣3π B.9﹣2π C.18﹣9π D.18﹣6π ‎11.某数学社团开展实践性研究,在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向,继续向北走105m后到达游船码头B,测得历下亭C在游船码头B的北编东53°方向.请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为(  )(参考数据:tan37°≈,tan53°≈)‎ A.225m B.275m C.300m D.315m ‎12.关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有一个根是﹣1,若二次函数y=ax2+bx+的图象的顶点在第一象限,设t=2a+b,则t的取值范围是(  )‎ A.<t< B.﹣1<t≤ C.﹣≤t< D.﹣1<t<‎ 二、填空题(每小题4分,共24分.)‎ ‎13.分解因式:m2﹣4m+4=   .‎ ‎14.如图,一个可以自由转动的转盘,被分成了6个相同的扇形,转动转盘,转盘停止时,指针落在红色区域的概率等于   .‎ ‎15.一个n边形的内角和等于720°,则n=   .‎ ‎16.代数式与代数式3﹣2x的和为4,则x=   .‎ ‎17.某市为提倡居民节约用水,自今年1月1日起调整居民用水价格.图中l1、l2分别表示去年、今年水费y(元)与用水量x(m3)之间的关系.小雨家去年用水量为150m3,若今年用水量与去年相同,水费将比去年多   元.‎ ‎18.如图,在矩形纸片ABCD中,将AB沿BM翻折,使点A落在BC上的点N处,BM为折痕,连接MN;再将CD沿CE翻折,使点D恰好落在MN上的点F处,CE为折痕,连接EF并延长交BM于点P,若AD=8,AB=5,则线段PE的长等于   .‎ 三、解答题 ‎19.(6分)计算:()﹣1+(π+1)0﹣2cos60°+‎ ‎20.(6分)解不等式组,并写出它的所有整数解.‎ ‎21.(6分)如图,在▱ABCD中,E、F分别是AD和BC上的点,∠DAF=∠BCE.求证:BF=DE.‎ ‎22.(8分)为提高学生的阅读兴趣,某学校建立了共享书架,并购买了一批书籍.其中购买A种图书花费了3000元,购买B种图书花费了1600元,A种图书的单价是B种图书的1.5倍,购买A种图书的数量比B种图书多20本.‎ ‎(1)求A和B两种图书的单价;‎ ‎(2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动,所有图书都按8折销售学校当天购买了 A种图书20本和B种图书25本,共花费多少元?‎ ‎23.(8分)如图,AB、CD是⊙O的两条直径,过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E,连接AC、BD.‎ ‎(1)求证;∠ABD=∠CAB;‎ ‎(2)若B是OE的中点,AC=12,求⊙O的半径.‎ ‎24.(10分)某学校八年级共400名学生,为了解该年级学生的视力情况,从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本,数据统计如下:‎ ‎4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1 5.2‎ ‎5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2‎ ‎4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1‎ ‎4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3‎ 根据数据绘制了如下的表格和统计图:‎ 等级 视力(x)‎ 频数 频率 A x<4.2‎ ‎4‎ ‎0.1‎ B ‎4.2≤x≤4.4‎ ‎12‎ ‎0.3‎ C ‎4.5≤x≤4.7‎ a D ‎4.8≤x≤5.0‎ b E ‎5.1≤x≤5.3‎ ‎10‎ ‎0.25‎ 合计 ‎40‎ ‎1‎ 根据上面提供的信息,回答下列问题:‎ ‎(1)统计表中的a=   ,b=   ;‎ ‎(2)请补全条形统计图;‎ ‎(3)根据抽样调查结果,请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人?‎ ‎(4)该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生,现从中随机挑选2名同学参加“‎ 防控近视,爱眼护眼”宣传活动,请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率.‎ ‎25.(10分)如图1,点A(0,8)、点B(2,a)在直线y=﹣2x+b上,反比例函数y=(x>0)的图象经过点B.‎ ‎(1)求a和k的值;‎ ‎(2)将线段AB向右平移m个单位长度(m>0),得到对应线段CD,连接AC、BD.‎ ‎①如图2,当m=3时,过D作DF⊥x轴于点F,交反比例函数图象于点E,求的值;‎ ‎②在线段AB运动过程中,连接BC,若△BCD是以BC为腰的等腰三形,求所有满足条件的m的值.‎ ‎26.(12分)小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.‎ ‎(一)猜测探究 在△ABC中, AB=AC,M是平面内任意一点,将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度,得到线段AN,连接NB.‎ ‎(1)如图1,若M是线段BC上的任意一点,请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是   ,NB与MC的数量关系是   ;‎ ‎(2)如图2,点E是AB延长线上点,若M是∠CBE内部射线BD上任意一点,连接MC,(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由.‎ ‎(二)拓展应用 如图3,在△A1B1C1中,A1B1=8,∠A1B1C1=60°,∠B1A1C1=75°,P是B1C1上的任意点,连接A1P,将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°,得到线段A1Q,连接B1Q.求线段B1Q长度的最小值.‎ ‎27.(12分)如图1,抛物线C:y=ax2+bx经过点A(﹣4,0)、B(﹣1,3)两点,G是其顶点,将抛物线C绕点O旋转180°,得到新的抛物线C′.‎ ‎(1)求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标;‎ ‎(2)如图2,直线l:y=kx﹣经过点A,D是抛物线C上的一点,设D点的横坐标为m(m<﹣2),连接DO并延长,交抛物线C′于点E,交直线l于点M,若DE=2EM,求m的值;‎ ‎(3)如图3,在(2)的条件下,连接AG、AB,在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P,使得∠DEP=∠GAB?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.解:﹣7的相反数为7,‎ 故选:C.‎ ‎2.解:A、主视图是圆,俯视图是圆,故A不符合题意;‎ B、主视图是矩形,俯视图是矩形,故B不符合题意;‎ C、主视图是三角形,俯视图是圆,故C不符合题意;‎ D、主视图是个矩形,俯视图是圆,故D符合题意;‎ 故选:D.‎ ‎3.解:177.6=1.776×102.‎ 故选:B.‎ ‎4.解:∵DE∥BC,‎ ‎∴∠1=∠ABC=70°,‎ ‎∵BE平分∠ABC,‎ ‎∴∠CBE=∠ABC=35°,‎ 故选:B.‎ ‎5.解:由图可知,b<0<a,且|b|<|a|,‎ ‎∴a﹣5>b﹣5,6a>6b,﹣a<﹣b,a﹣b>0,‎ ‎∴关系式不成立的是选项C.‎ 故选:C.‎ ‎6.解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;‎ B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;‎ C、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确;‎ D、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;‎ 故选:C.‎ ‎7.解:原式=+==,‎ 故选:B.‎ ‎8.解:把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m,因此中位数是9.7m,‎ 平均数为:(9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2)÷7=9.8m,‎ 故选:B.‎ ‎9.解:a>0时,﹣a<0,y=﹣ax+a在一、二、四象限,y=在一、三象限,无选项符合.‎ a<0时,﹣a>0,y=﹣ax+a在一、三、四象限,y=(a≠0)在二、四象限,只有D符合;‎ 故选:D.‎ ‎10.解:连接AC,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=BC=6,‎ ‎∵∠B=60°,E为BC的中点,‎ ‎∴CE=BE=3=CF,△ABC是等边三角形,AB∥CD,‎ ‎∵∠B=60°,‎ ‎∴∠BCD=180°﹣∠B=120°,‎ 由勾股定理得:AE==3,‎ ‎∴S△AEB=S△AEC=×6×3×=4.5=S△AFC,‎ ‎∴阴影部分的面积S=S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF=4.5+4.5﹣=9﹣3π,‎ 故选:A.‎ ‎11.解:如图,作CE⊥BA于E.设EC=xm,BE=ym.‎ 在Rt△ECB中,tan53°=,即=,‎ 在Rt△AEC中,tan37°=,即=,‎ 解得x=180,y=135,‎ ‎∴AC===300(m),‎ 故选:C.‎ ‎12.解:∵关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有一个根是﹣1,‎ ‎∴二次函数y=ax2+bx+的图象过点(﹣1,0),‎ ‎∴a﹣b+=0,‎ ‎∴b=a+,t=2a+b,‎ 则a=,b=,‎ ‎∵二次函数y=ax2+bx+的图象的顶点在第一象限,‎ ‎∴﹣>0,﹣>0,‎ 将a=,b=代入上式得:‎ ‎>0,解得:﹣1<t<,‎ ‎﹣>0,解得:t或1<t<3,‎ 故:﹣1<t<,‎ 故选:D.‎ 二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)‎ ‎13.解:原式=(m﹣2)2,‎ 故答案为:(m﹣2)2‎ ‎14.解:由于一个圆平均分成6个相等的扇形,而转动的转盘又是自由停止的,‎ 所以指针指向每个扇形的可能性相等,‎ 即有8种等可能的结果,在这6种等可能结果中,指针指向红色部分区域的有2种可能结果,‎ 所以指针落在红色区域的概率是=;‎ 故答案为.‎ ‎15.解:依题意有:‎ ‎(n﹣2)•180°=720°,‎ 解得n=6.‎ 故答案为:6.‎ ‎16.解:根据题意得: +3﹣2x=4,‎ 去分母得:2x﹣1+9﹣6x=12,‎ 移项合并得:﹣4x=4,‎ 解得:x=﹣1,‎ 故答案为:﹣1‎ ‎17.解:设当x>120时,l2对应的函数解析式为y=kx+b,‎ ‎,得,‎ 即当x>120时,l2对应的函数解析式为y=6x﹣240,‎ 当x=150时,y=6×150﹣240=660,‎ 由图象可知,去年的水价是480÷160=3(元/m3),故小雨家去年用水量为150m3,需要缴费:150×3=450(元),‎ ‎660﹣450=210(元),‎ 即小雨家去年用水量为150m3,若今年用水量与去年相同,水费将比去年多210元,‎ 故答案为:210.‎ ‎18.解:过点P作PG⊥FN,PH⊥BN,垂足为G、H,‎ 由折叠得:ABNM是正方形,AB=BN=NM=MA=5,‎ CD=CF=5,∠D=∠CFE=90°,ED=EF,‎ ‎∴NC=MD=8﹣5=3,‎ 在Rt△FNC中,FN==4,‎ ‎∴MF=5﹣4=1,‎ 在Rt△MEF中,设EF=x,则ME=3﹣x,由勾股定理得,‎ ‎12+(3﹣x)2=x2,‎ 解得:x=,‎ ‎∵∠CFN+∠PFG=90°,∠PFG+∠FPG=90°,‎ ‎∴△FNC∽△PGF,‎ ‎∴FG:PG:PF=NC:FN:FC=3:4:5,‎ 设FG=3m,则PG=4m,PF=5m,‎ ‎∴GN=PH=BH=4﹣3m,HN=5﹣(4﹣3m)=1+3m=PG=4m,‎ 解得:m=1,‎ ‎∴PF=5m=5,‎ ‎∴PE=PF+FE=5+=,‎ 故答案为:.‎ 三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎19.解:()﹣1+(π+1)0﹣2cos60°+‎ ‎=2+1﹣2×+3‎ ‎=3﹣1+3‎ ‎=5‎ ‎20.解:‎ 解①得:x≤4;‎ 解②得:x>2;‎ ‎∴原不等式组的解集为2<x≤10;‎ ‎∴原不等式组的所有整数解为3、4、5、6、7、8、9、10.‎ ‎21.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴∠B=∠D,∠BAD=∠BCD,AB=CD,‎ ‎∵∠DAF=∠BCE,‎ ‎∴∠ABF=∠DCE,‎ 在△ABF和△CDE中,,‎ ‎∴△ABF≌△CDE(ASA),‎ ‎∴BF=DE.‎ ‎22.解:(1)设B种图书的单价为x元,则A种图书的单价为1.5x元,‎ 依题意,得:﹣=20,‎ 解得:x=20,‎ 经检验,x=20是所列分式方程的解,且符合题意,‎ ‎∴1.5x=30.‎ 答:A种图书的单价为30元,B种图书的单价为20元.‎ ‎(2)30×0.8×20+20×0.8×25=880(元).‎ 答:共花费880元.‎ ‎23.解:(1)证明:∵AB、CD是⊙O的两条直径,‎ ‎∴OA=OC=OB=OD,‎ ‎∴∠OAC=∠OCA,∠ODB=∠OBD,‎ ‎∵∠AOC=∠BOD,‎ ‎∴∠OAC=∠OCA=∠ODB=∠OBD,‎ 即∠ABD=∠CAB;‎ ‎(2)连接BC.‎ ‎∵AB是⊙O的两条直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∵CE为⊙O的切线,‎ ‎∴∠OCE=90°,‎ ‎∵B是OE的中点,‎ ‎∴BC=OB,‎ ‎∵OB=OC,‎ ‎∴△OBC为等边三角形,‎ ‎∴∠ABC=60°,‎ ‎∴∠A=30°,‎ ‎∴BC=AC=4,‎ ‎∴OB=4,‎ 即⊙O的半径为4.‎ ‎24.解:(1)由题意知C等级的频数a=8,‎ 则C组对应的频率为8÷40=0.2,‎ ‎∴b=1﹣(0.1+0.3+0.2+0.25)=0.15,‎ 故答案为:8、0.15;‎ ‎(2)‎ D组对应的频数为40×0.15=6,‎ 补全图形如下:‎ ‎(3)估计该校八年级学生视力为“E级”的有400×0.25=100(人);‎ ‎(4)列表如下:‎ ‎ ‎ 男 男 女 女 男 ‎(男,男)‎ ‎(女,男)‎ ‎(女,男)‎ 男 ‎(男,男)‎ ‎(女,男)‎ ‎(女,男)‎ 女 ‎(男,女)‎ ‎(男,女)‎ ‎(女,女)‎ 女 ‎(男,女)‎ ‎(男,女)‎ ‎(女,女)‎ 得到所有等可能的情况有12种,其中恰好抽中一男一女的情况有8种,‎ 所以恰好选到1名男生和1名女生的概率=.‎ ‎25.解:(1)∵点A(0,8)在直线y=﹣2x+b上,‎ ‎∴﹣2×0+b=8,‎ ‎∴b=8,‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣2x+8,‎ 将点B(2,a)代入直线AB的解析式y=﹣2x+8中,得﹣2×2+8=a,‎ ‎∴a=4,‎ ‎∴B(2,4),‎ 将B(2,4)在反比例函数解析式y=(x>0)中,得k=xy=2×4=8;‎ ‎(2)①由(1)知,B(2,4),k=8,∴反比例函数解析式为y=,‎ 当m=3时,‎ ‎∴将线段AB向右平移3个单位长度,得到对应线段CD,‎ ‎∴D(2+3,4),‎ 即:D(5,4),‎ ‎∵DF⊥x轴于点F,交反比例函数y=的图象于点E,‎ ‎∴E(5,),‎ ‎∴DE=4﹣=,EF=,‎ ‎∴==;‎ ‎②如图,∵将线段AB向右平移m个单位长度(m>0),得到对应线段CD,‎ ‎∴CD=AB,AC=BD=m,‎ ‎∵A(0,8),B(2,4),‎ ‎∴C(m,8),D((m+2,4),‎ ‎∵△BCD是以BC为腰的等腰三形,‎ ‎∴Ⅰ、当BC=CD时,‎ ‎∴BC=AB,‎ ‎∴点B在线段AC的垂直平分线上,‎ ‎∴m=2×2=4,‎ Ⅱ、当BC=BD时,‎ ‎∵B(2,4),C(m,8),‎ ‎∴BC=,‎ ‎∴=m,‎ ‎∴m=5,‎ 即:△BCD是以BC为腰的等腰三形,满足条件的m的值为4或5.‎ ‎26.解:(一)(1)结论:∠NAB=∠MAC,BN=MC.‎ 理由:如图1中,‎ ‎∵∠MAN=∠CAB,‎ ‎∴∠NAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC,‎ ‎∴∠NAB=∠MAC,‎ ‎∵AB=AC,AN=AM,‎ ‎∴△NAB≌△MAC(SAS),‎ ‎∴BN=CM.‎ 故答案为∠NAB=∠MAC,BN=CM.‎ ‎(2)如图2中,①中结论仍然成立.‎ 理由:∵∠MAN=∠CAB,‎ ‎∴∠NAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC,‎ ‎∴∠NAB=∠MAC,‎ ‎∵AB=AC,AN=AM,‎ ‎∴△NAB≌△MAC(SAS),‎ ‎∴BN=CM.‎ ‎(二)如图3中,在A1C1上截取A1N=A1Q,连接PN,作NH⊥B1C1于H,作A1M⊥B1C1于M.‎ ‎∵∠C1A1B1=∠PA1Q,‎ ‎∴∠QA1B1=∠PA1N,‎ ‎∵A1A=A1P,A1B1=AN,‎ ‎∴△QA1B1≌△PA1N(SAS),‎ ‎∴B1Q=PN,‎ ‎∴当PN的值最小时,QB1的值最小,‎ 在Rt△A1B1M中,∵∠A1B1M=60°,A1B1=8,‎ ‎∴A1M=A1B1•sin60°=4,‎ ‎∵∠MA1C1=∠B1A1C1﹣∠B1A1M=75°﹣30°=45°,‎ ‎∴A1C1=4,‎ ‎∴NC1=A1C1﹣A1N=4﹣8,‎ 在Rt△NHC1,∵∠C1=45°,‎ ‎∴NH=4﹣4,‎ 根据垂线段最短可知,当点P与H重合时,PN的值最小,‎ ‎∴QB1的最小值为4﹣4.‎ ‎27.解:(1)将A(﹣4,0)、B(﹣1,3)代入y=ax2+bx中,得 解得 ‎∴抛物线C解析式为:y=﹣x2﹣4x,‎ 配方,得:y=﹣x2﹣4x=﹣(x+2)2+4,∴顶点为:G(﹣2,4);‎ ‎(2)∵抛物线C绕点O旋转180°,得到新的抛物线C′.‎ ‎∴新抛物线C′的顶点为:G′(2,﹣4),二次项系数为:a′=1‎ ‎∴新抛物线C′的解析式为:y=(x﹣2)2﹣4=x2﹣4x 将A(﹣4,0)代入y=kx﹣中,得0=﹣4k﹣,解得k=,‎ ‎∴直线l解析式为y=x﹣,‎ ‎∵D(m,﹣m2﹣4m),‎ ‎∴直线DO的解析式为y=﹣(m+4)x,‎ 由抛物线C与抛物线C′关于原点对称,可得点D、E关于原点对称,‎ ‎∴E(﹣m,m2+4m)‎ 如图2,过点D作DH∥y轴交直线l于H,过E作EK∥y轴交直线l于K,‎ 则H(m, m﹣),K(﹣m, m﹣),‎ ‎∴DH=﹣m2﹣4m﹣(m﹣)=﹣m2m+,EK=m2+4m﹣(m﹣)=m2+m+,‎ ‎∵DE=2EM ‎∴=,‎ ‎∵DH∥y轴,EK∥y轴 ‎∴DH∥EK ‎∴△MEK∽△MDH ‎∴==,即DH=3EK ‎∴﹣m2m+=3(m2+m+)‎ 解得:m1=﹣3,m2=,‎ ‎∵m<﹣2‎ ‎∴m的值为:﹣3;‎ ‎(3)由(2)知:m=﹣3,‎ ‎∴D(﹣3,3),E(3,﹣3),OE=3,‎ 如图3,连接BG,在△ABG中,∵AB2=(﹣1+4)2+(3﹣0)2=18,BG2=2,AG2=20‎ ‎∴AB2+BG2=AG2‎ ‎∴△ABG是Rt△,∠ABG=90°,‎ ‎∴tan∠GAB===,‎ ‎∵∠DEP=∠GAB ‎∴tan∠DEP=tan∠GAB=,‎ 在x轴下方过点O作OH⊥OE,在OH上截取OH=OE=,‎ 过点E作ET⊥y轴于T,连接EH交抛物线C于点P,点P即为所求的点;‎ ‎∵E(3,﹣3),‎ ‎∴∠EOT=45°‎ ‎∵∠EOH=90°‎ ‎∴∠HOT=45°‎ ‎∴H(﹣1,﹣1),设直线EH解析式为y=px+q,‎ 则,解得 ‎∴直线EH解析式为y=﹣x,‎ 解方程组,得,,‎ ‎∴点P的横坐标为:或.‎