中考专题练习一线三等角 4页

‎ 一线三等角 理论：略 ‎ 范例点睛 ‎1.正方形ABCD边长为5，点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90°.当CQ=1时，写出线段BP的长 ‎2.如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°． （1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是 ； （2）若射线EF经过点C，则AE的长是 ． ‎ ‎3．（2007·南京）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．‎ ‎（1）求y与x的函数表达式；‎ ‎（2）当x何值时，y有最大值，最大值是多少？‎ Ａ Ｅ Ｄ Ｆ Ｃ Ｂ ‎4. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为BC边上动点（D不与B、C重合），∠ADE=45°，DE交AC于点E．‎ ‎（１）∠BAD与∠CDE的大小关系为　　．请证明你的结论；‎ ‎（２）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（３）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长；‎ ‎（４）是否存在x，使△DCE的面积是△ABD面积的2倍？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由．‎ B C A D E 本王闯关 一.基础技能 ‎1.（2015•连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC= ．‎ ‎ ‎ ‎2.如图，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sina值是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(2012·苏州)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B‎1C1D1的边长为1，∠B‎1C1O=60°，B‎1C1∥B‎2C2∥B‎3C3，则点A3到x轴的距离是（　　）‎ ‎ ‎ ‎4.如图，在边长为9正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE=　　．‎ ‎5.（2012·宁波）如图1是由边长相等小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°‎ ‎，AB=3，AC=4，则D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 ‎ （A）90 （B）100 （C）110 （D）121‎ ‎6. 如图，将矩形纸片的两只直角分别沿EF、DF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，点C恰好落在边B′F上．若AE=3，BE=5，则FC= ‎ ‎ ‎ ‎7.．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=，则BD的长为_______．‎ ‎8. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一动点（不与B、C重合），在AC边上取点E，使△ABD∽△DCE，当△ADE为等腰三角形时，则AE= .‎ ‎ 9.如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．下列结论中正确的结论是 ．‎ ① ‎△ADE∽△ACD；②0＜CE≤6.4．‎ ③ 当BD=6时，△ABD与△DCE全等 ‎④△DCE为直角三角形时，BD为8或；‎ 二.计算与证明 ‎1.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．当等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．‎ D C A B E P ‎2．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）． （1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长； （2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．这个过程中，请你观察、猜想，并解答： ①tan∠PEF的值是否发生变化？说明理由； ②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长． ‎ ‎3.如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC ‎ （1）求点C坐标，并求出直线AC的关系式． （2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE． （3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（-，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎4.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=‎ ‎3，P是线段AD边上任意一点（不含端点A、D），连结PC， 过点P作PE⊥PC交AB于E.‎ ‎（1）在线段AD上是否存在不同于P点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）当点P在AD上运动时，对应点E也随之在AB上运动，求BE取值范围．‎ A B C D P E ‎6.（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN． ‎ ‎（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．‎ ‎(3) ）在(2)的基础上,当点M在线段BC的延长线上，且满足CM=BC（其它条件不变）时，请直接写出△ABC与△AMN的面积之比．‎ ‎（4）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你做出猜想：当∠AMN= °时，结论AM=MN仍然成立． ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎7.在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．当点A横坐标为-时，将抛物线y=x2作关于x轴轴对称变换得到抛物线y2=-x2，试判断抛物线y=-x2经过平移交换后，能否经过A、B、C三点？如果可以，说出变换过程；如果不可以，请说明理由．‎ ‎8. 在矩形ABCD中，AB=‎13cm，AD=‎4cm，点E，F同时分别从D，B两点出发，以‎1cm/s的速度沿DC，BA向顶点C，A运动，点G，H分别为AE，CF的中点，设运动时间为t（s），‎ ‎(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．‎ ‎(2)填空：①当t为 s时，四边形EFGH是菱形；‎ ‎②当t为 s时，四边形EDFH是矩形 ‎9.（2013·福州）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y ‎（1）求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；‎ ‎（3）若∠APD=90°，求y的最小值．‎ ‎10、△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B． （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形． （2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论． （3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．‎