北京市各区中考二模数学试题分类汇编综合题含答案 60页

‎2013年初三二模分类试题—综合题 西城、解答题 ‎1．在平面直角坐标系xOy中， A，B两点在函数的图象上，‎ 其中．AC⊥轴于点C，BD⊥轴于点D，且 AC=1．‎ ‎ (1) 若=2，则AO的长为 ，△BOD的面积为 ；‎ ‎(2) 如图1，若点B的横坐标为，且，当AO=AB时，求的值；‎ ‎(3) 如图2，OC=4，BE⊥轴于点E，函数的图象分别与线段BE，‎ BD交于点M，N，其中．将△OMN的面积记为，△BMN的面积记为，若，求与的函数关系式以及的最大值．‎ 图2‎ 图1‎ ‎2．在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，且AD与CE交于点M．点N在射线AD上，且NA=NC．过点N作NF⊥CE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FH∥CE，且与AB交于点H．‎ ‎(1) 如图1，当∠BAC=60°时，点M，N，G重合．‎ ‎①请根据题目要求在图1中补全图形；‎ ‎②连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是__________；‎ ‎(2) 如图2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH；‎ 图1‎ 图2‎ 备用图 ‎(3) 当∠BAC=36°时，我们称△ABC为“黄金三角形”，此时．若EH=4，‎ 直接写出GM的长．‎ ‎3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点．当点A在直线上运动时，抛物线W随点A作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变． ‎ 图1‎ ‎ 应用上面的结论，解决下列问题：‎ ‎ 如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知直线．点A是直线上的一个动点，且点A的横坐标为．以A为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点B．‎ ‎ (1) 当时，求抛物线的解析式和AB的长；‎ ‎(2) 当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标；‎ ‎ (3) 过点A作垂直于轴的直线交直线于点C．以C为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点D．‎ ‎ ①当AC⊥BD时，求的值；‎ ‎②若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的的取值范围．‎ 图2‎ 备用图 海淀4．已知：抛物线过点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为．点在图象上，且．‎ ‎①求的取值范围；‎ ‎②若点也在图象上，且满足恒成立，则的取值范围为 ．‎ ‎5．如图1，在△ABC中，AB＝AC，. 过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD． ‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）点为线段延长线上一点，将射线GC绕着点G逆时针旋转，与射线BD交于点E．‎ ‎①若，，如图2所示，求证：；‎ ‎②若,，请直接写出的值（用含的代数式表示）．‎ ‎6. 在平面直角坐标系xOy中，点的坐标是，过点作直线垂直轴，点是直线上异于点的一点，且.过点作直线的垂线，点在直线上，且在直线的下方，.设点的坐标为.‎ （1） 判断△的形状，并加以证明；‎ （2） 直接写出与的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；‎ （3） 延长交（2）中所求函数的图象于点.求证：.‎ 东城7. 已知：关于的一元二次方程（m为实数）.‎ ‎（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；‎ ‎（2）求证：抛物线总过轴上的一个定点；‎ ‎（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根时，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．‎ ‎8. 在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点.‎ ‎（1）如图1，当点与点重合时，求的长；‎ ‎（2）如图2，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（3）连结，当以点E，F，H为顶点的三角形与△AEC相似时，求线段的长.‎ ‎9．定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角坐标系中的四点.‎ ‎ （1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____；‎ ‎ 当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是______ .‎ ‎（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d. ‎ ‎（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长 .‎ 朝阳10．已知关于x的一元二次方程x2+(4-m)x+1-m = 0．‎ ‎ （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎ （2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m 向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值．‎ ‎11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= ax2+bx+4与x轴交于点A(-2，0)、‎ B(6，0)，与y轴交于点C，直线CD∥x轴，且与抛物线交于点D，P是抛物线上一动 备用图 点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点P作PQ⊥CD于点Q，将△CPQ绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0º﹤α﹤90º），当cosα=，且旋转后点P的对应点恰好落在x轴上时，求点P的坐标．‎ ‎12. 在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.‎ ‎（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG =AG+BG；‎ ‎（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB= α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）； ‎ ‎（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.‎ 图3‎ 图1‎ 图2‎ 房山13.已知二次函数． ‎ ‎（1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；‎ ‎（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k2x2＋(2k＋3)x＋1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程 x2＋2(a＋k)x＋2a－k2＋6 k－4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值．‎ ‎14.（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；‎ ‎（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD.‎ 求证：①FG+BE≥BF;‎ ‎②∠HGF=∠HDF.‎ 第21题图3‎ 第24题图2‎ 第24题图1‎ ‎15.已知抛物线的最低点A的纵坐标是3，直线经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C.‎ ‎（1）求抛物线与直线AB的解析式.‎ ‎（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值.‎ ‎（3）过B点作x轴的平行线BG,点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N在直线BG上，请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=450的点N的坐标.‎ 第25题图 ‎ ‎ ‎ ‎ 门头沟16． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O， 点B(－2,n)在这条抛物线上.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）将直线沿y轴向下平移b个单位后得到直线l， 若直线l经过B点，求n、b的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标.‎ x y ‎1‎ ‎1‎ O ‎17．已知：在△AOB与△COD中，OA＝OB，OC＝OD，． ‎ ‎（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是 ，位置关系是 ；‎ ‎（2）如图2，将图1中的△COD绕点逆时针旋转，旋转角为 ()．连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）如图3，将图1中的 △COD绕点 O逆时针旋转到使 △COD的一边OD恰好与 ‎△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点．‎ 请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．‎ ‎18． 如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B（1，0）、C（3，0）．直线AC与y轴交于点G（0，6）．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点 Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）求直线AC的解析式；‎ ‎（2）当t为何值时，△CQE的面积最大？最大值为多少？‎ ‎（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形？ ‎ 怀柔19． 已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点.‎ ‎ （1）求C1的顶点坐标；‎ ‎ （2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（—3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；‎ ‎ （3）若直接写出实数n的取值范围.‎ 解：‎ ‎20. 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM.‎ ‎（1） 当M点在何处时，AM＋CM的值最小；‎ ‎（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；‎ ‎（3）当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.‎ 解： （1）‎ ‎21.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，‎ 抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）b= ,c= ；‎ ‎（2）点E是Rt△ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线 交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下,抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三 角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.‎ 解：（1）b= ， c= ；‎ ‎21题图 21题备用图 ‎（2）‎ ‎（3）‎ 大兴22．已知：如图，抛物线L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）直接写出点A和抛物线L1的顶点坐标；‎ ‎（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．‎ ‎ ①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；‎ ‎ ②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会因k值的变化而发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．‎ ‎23．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB =，AD = 3，BC = 4，以点D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转а至DE.‎ ‎（1）当а=90°时，连结AE，则△EAD的面积等于___________（直接写出结果）；‎ ‎（2）当0°<а< 180°时，连结BE，请问BE能否取得最大值，若能，请求出BE的最大值；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）当0°<а< 180°时，连结CE，请问а为多少度时，△CDE的面积是.‎ ‎ ‎ ‎24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．‎ ‎（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；‎ ‎（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．‎ 丰台 ‎25．已知关于的方程.‎ ‎（1）求证：此方程总有两个实数根；‎ ‎（2）设抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=－x的对称点恰好是点M，求的值.‎ ‎26．在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．‎ ‎（1）当点O为AC中点时，‎ ‎①如图1， 三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；‎ ‎②如图2， 三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（2）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若，求的值．‎ C O B A O E 图1‎ F B A O C E F ‎ ‎ A B C E F 图2‎ 图3‎ ‎27．如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，，，把△OAB沿轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE.‎ ‎（1）若过原点的抛物线经过点B、E，求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点在该抛物线上移动，当点P在第一象限内时，过点作轴于点，连结.若以、、为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似，直接写出点的坐标；‎ ‎（3）若点M(－4，n) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M′，点B的对应点为B′．‎ A O x B C D y E 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．‎ 石景山28．如图，抛物线过点A（－1，0），B（3，0），其对称轴与x轴的交点为C, 反比例函数（x>0，k是常数）的图象经过抛物线的顶点D．‎ ‎ （1）求抛物线和反比例函数的解析式．‎ y x O ‎ （2）在线段DC上任取一点E，过点E作轴平行线，交y轴于点F、交双曲线于点G，联结DF、DG、FC、GC．‎ ‎①若△DFG的面积为4，求点G的坐标；‎ ‎②判断直线FC和DG的位置关系，请说明理由；‎ ‎③当DF=GC时，求直线DG的函数解析式．‎ 解：‎ ‎29．如图，四边形、是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形可以绕中心旋转,正方形静止不动．‎ ‎（1）如图1，当四点共线时，四边形的面积为 __；‎ ‎（2）如图2，当三点共线时，请直接写出= _________；‎ ‎（3）在正方形绕中心旋转的过程中，直线与直线的位置关系是______________,请借助图3证明你的猜想．‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ 解：‎ ‎30．（1）如图1，把抛物线平移后得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则抛物线的解析式为____________；图中阴影部分的面积为_____．‎ ‎（2）若点为抛物线上的动点，我们把时的△称为抛物线的内接直角三角形.过点做轴的垂线，抛物线的内接直角三角形的两条直角边所在直线、与直线分别交于、两点，以为直径的⊙与轴交于、两点,如图2.请问：当点在抛物线上运动时，线段的长度是否会发生变化？请写出并证明你的判断．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图2‎ 图1‎ 解：‎ 昌平31. 已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.‎ ‎（1）求抛物线与x轴的交点坐标；‎ ‎（2）当a=1时，求△ABC的面积；‎ ‎（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.‎ ‎32．（1）如图1，以AC为斜边的Rt△ABC和矩形HEFG摆放在直线l上（点B、C、E、F在直线l上），已知BC=EF=1，AB=HE=2. △ABC沿着直线l向右平移，设CE=x，△ABC与矩形HEFG重叠部分的面积为y（y≠0）. 当x=时，求出y的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，如图2，将Rt△ABC绕AC的中点旋转180°后与Rt△ABC 形成一个新的矩形ABCD，当点C在点E的左侧，且x =2时，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将矩形HEFG绕着点E逆时针旋转相同的角度. 若旋转到顶点D、H重合时，连接AG，求点D到AG的距离；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如图3，当α=45°时，设AD与GH交于点M，CD与HE交于点N，求证：四边形MHND为正方形.‎ ‎ 33. 如图，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）求切线的函数解析式；‎ ‎（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 密云34．已知：关于的一元二次方程（m为实数）‎ ‎ （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；‎ ‎ （2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点；‎ ‎ （3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的 ‎ 解析式．‎ ‎35．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边 ‎ ‎ 上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．‎ ‎ （1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？ ‎ ‎ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎ （2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．‎ ‎ ①求证：BD⊥CF；‎ ‎ ②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．‎ ‎36．概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与 线段b的距离． 已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点． （1）根据上述概念，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是 2；‎ ‎ 当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为 ； （2）图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，‎ ‎ 求d关于m的函数解析式． （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M， ①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长； ②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MN⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值 ‎ 使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在 请 说明理由． ‎ 顺义37．已知抛物线． ‎ ‎（1）求证：无论为任何实数，抛物线与x轴 ‎ 总有两个交点；‎ ‎（2）若为整数，当关于x的方程的两个有理数根都在与之间 ‎ （不包括－1、）时，求的值． ‎ ‎（3）在(2）的条件下，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象，再将图象向上平移个单位，若图象与过点（0，3）且与x轴平行的直线有4个交点，直接写出n的取值范围是 ． ‎ ‎　　‎ ‎38．如图，直线与线段相交于点, 点和点在直线上，且.‎ ‎(1) 如图1所示，当点与点重合时 ，且，请写出与的数量关系和位置关系；‎ ‎（2）将图1中的绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，，（1）中的与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）将图2中的拉长为的倍得到如图3，求的值．‎ ‎39． 已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连结，是线段上一动点，以为一边向右侧作正方形，连结．若，．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求的度数；‎ ‎（4）当点沿轴正方向移动到点时，点也随着运动，则点所走过的路线长 是 ．‎ 参考答案 ‎1．解：(1) AO的长为，△BOD的面积为 1； ………………………… 2分 ‎(2) ∵A，B两点在函数的图象上，‎ ‎ ∴点A，B的坐标分别为，. ………………… 3分 ‎∵AO=AB，‎ 由勾股定理得，，‎ ‎ ∴.‎ ‎ 解得或. …………………………………………… 4分 ‎∵，‎ ‎∴. ………………… 5分 ‎(3) ∵OC=4，‎ ‎ ∴点A的坐标为.‎ ‎ ∴. ‎ ‎ 设点B的坐标为，‎ ‎ ∵BE⊥轴于点E，BD⊥轴于点D，‎ ‎ ∴四边形ODBE为矩形，且，‎ 点M的纵坐标为，点N的横坐标为.‎ ‎∵点M，N在函数的图象上，‎ ‎∴点M的坐标为，点N的坐标为. ‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴， ………………………… 6分 其中.‎ ‎∵，而，‎ ‎∴当时，的最大值为1. …………………………………… 7分 图1‎ ‎2．解：(1)补全图形见图1， ………1分 ‎ EF与HM的数量关系是EF=HM ； ………2分 ‎ (2)连接MF（如图2）.‎ ‎ ∵AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB，‎ 且∠BAC=120°，‎ ‎ ∴∠1=∠2=60°，∠3=∠4.‎ ‎ ∵AB=AC，‎ 图2‎ ‎ ∴AD⊥BC.‎ ‎ ∵NG⊥EC，‎ ‎ ∴∠MDC =∠NGM =90°.‎ ‎ ∴∠4+∠6=90°，∠5+∠6=90°.‎ ‎∴∠4=∠5.‎ ‎∴∠3=∠5.‎ ‎ ∵NA=NC，∠2=60°，‎ ‎∴△ANC是等边三角形.‎ ‎∴AN=AC.‎ ‎ 在△AFN和△AMC中，‎ ‎ ‎ ‎∴△AFN≌△AMC. …………………………………………… 3分 ‎∴AF=AM.‎ ‎∴△AMF是等边三角形.‎ ‎∴AF=FM，∠7=60°.‎ ‎∴∠7=∠1.‎ ‎∴FM∥AE.‎ ‎∵FH∥CE，‎ ‎∴四边形FHEM是平行四边形. ……………………………………… 4分 ‎∴EH=FM.‎ ‎∴AF=EH. …………………………………………… 5分 ‎ (3) GM的长为. …………………………………………… 7分 ‎3．解：(1) ∵点A在直线上，且点A的横坐标为0，‎ ‎∴点A的坐标为.‎ ‎∴抛物线的解析式为. …………………………… 1分 ‎∵点B在直线上，‎ ‎∴设点B的坐标为.‎ ‎∵点B在抛物线:上，‎ ‎∴.‎ 解得或.‎ ‎∵点A与点B不重合，‎ ‎∴点B的坐标为. …………………………… 2分 ‎∴由勾股定理得AB=. …………………… 3分 ‎ (2) 点A的坐标为. …………………………… 4分 ‎ (3) ①方法一：设AC，BD交于点E，直线分别与轴、轴交于点P和Q（如图1）.则点P和点Q的坐标分别为， .‎ 图1‎ ‎∴OP=OQ=2.‎ ‎∴∠OPQ =45°.‎ ‎∵AC⊥轴，‎ ‎∴AC∥轴.‎ ‎∴∠EAB =∠OPQ =45°.‎ ‎∵∠DEA =∠AEB=90°，AB =，‎ ‎∴EA=EB =1.‎ ‎∵点A在直线上，且点A的横坐标为，‎ ‎∴点A的坐标为.‎ ‎∴点B的坐标为. ‎ ‎∵AC∥轴，‎ ‎∴点C的纵坐标为. ‎ ‎∵点C在直线上，‎ ‎∴点C的坐标为. ‎ ‎∴抛物线的解析式为. ‎ ‎∵BD⊥AC，‎ ‎∴点D的横坐标为.‎ ‎∵点D在直线上，‎ ‎∴点D的坐标为. …………………………………………… 5分 ‎∵点D在抛物线：上，‎ ‎∴.‎ 解得或. ‎ ‎∵当时，点C与点D重合，‎ ‎∴. …………………………………………… 6分 图2‎ ‎ 方法二：设直线与轴交于点P，过点A作轴的平行线，过点B作轴的平行线，交于点N.（如图2）‎ 则∠ANB=90°，∠ABN=∠OPB.‎ 在△ABN中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN.‎ ‎∵在抛物线随顶点A平移的过程中，‎ AB的长度不变，∠ABN的大小不变，‎ ‎∴BN和AN的长度也不变，即点A与点B的横坐标 的差以及纵坐标的差都保持不变.‎ 同理，点C与点D的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变.‎ 由(1)知当点A的坐标为时，点B的坐标为，‎ ‎∴当点A的坐标为时，点B的坐标为. ‎ ‎∵AC∥轴，‎ ‎∴点C的纵坐标为. ‎ ‎∵点C在直线上，‎ ‎∴点C的坐标为. ‎ 令，则点C的坐标为. ‎ ‎∴抛物线的解析式为. ‎ ‎∵点D在直线上，‎ ‎∴设点D的坐标为. ‎ ‎∵点D在抛物线：上，‎ ‎∴.‎ 解得或.‎ ‎∵点C与点D不重合，‎ ‎∴点D的坐标为.‎ ‎∴当点C的坐标为时，点D的坐标为.‎ ‎∴当点C的坐标为时，点D的坐标为. …… 5分 ‎∵BD⊥AC，‎ ‎∴.‎ ‎∴. …………………………………………… 6分 ‎②的取值范围是或. ………………………………… 8分 说明：设直线与交于点M.随着点A从左向右运动，从点D与点M重合，到点B与点M重合的过程中，以A，B，C，D为顶点构成的图形不是凸四边形.‎ ‎4解：（1）∵抛物线过点，‎ ‎∴． ‎ 解得 ．‎ ‎∴抛物线的解析式为． --------------2分 ‎（2）①当时，．‎ ‎∴或.‎ ‎∴抛物线与轴交于点， .-----3分 当时，．‎ ‎∴或．‎ ‎∴抛物线与直线交于点, .‎ ‎∴,关于直线的对称点，.----4分 ‎∴根据图象可得≤≤0或≤≤．----------------5分 ‎②的取值范围为≥4或≤．----------------7分 ‎5．解:(1) ∵平分，‎ ‎∴．‎ ‎∵∥，‎ ‎∴．‎ ‎∴．---------------1分 ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．---------------2分 ‎ （2）①证明：过作于点．‎ ‎∴．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 由（1）得．‎ ‎∴点、、在以为圆心，为半径的圆上．‎ ‎∴．‎ ‎∴.----------3分 ‎∵==，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴△∽△．------------------4分 ‎∵，，‎ ‎∴=4．‎ ‎∵∥，‎ ‎∴．‎ 图1‎ ‎∴．----------------------5分 ‎②． -------------------------7分 ‎6．解：（1）△为等腰三角形．---------1分 证明：如图1，∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 图2‎ ‎∴．‎ ‎∴ △为等腰三角形．---------------2分 ‎（2）与的函数关系式为．----4分 ‎（3）过作于，于交直线于.‎ ‎ ∵为抛物线上异于顶点的任意一点，且，‎ ‎ ∴．-------------------------5分 设，,‎ 图3‎ 则，.‎ ‎①当点在轴下方时，如图2,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵∥，‎ ‎∴△∽△． ‎ ‎∴．‎ 图 4‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴.------------------------7分 ‎②当点在轴上方时，如图3,，.同理可证. ‎ ‎③当点在轴上时，如图4,.‎ ‎∴.‎ 综上所述，.------------------8分 ‎7．解：（1）. ‎ ‎∵方程有两个不相等的实数根，‎ ‎∴.……………………………………………………………………………1分 ‎∵，‎ ‎∴m的取值范围是.………………………………………………………2分 ‎（2）证明：令得，.‎ ‎∴. ‎ ‎∴，. …………………………………4分 ‎∴抛物线与x轴的交点坐标为（），（）.‎ ‎∴无论m取何值，抛物线总过定点（）.……5分 ‎（3）∵是整数 ∴只需是整数.‎ ‎∵是整数，且,‎ ‎∴.…………………………………………………………………………6分 当时，抛物线为．‎ 把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 ‎.…………………………………………………7分 ‎8．解：（1）∵，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，∴.…………………2分 ‎（2）过点作，垂足为点.‎ ‎∴.∵∥，∴，.‎ ‎∵，∴.∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，，，‎ ‎∴.…………………4分 ‎（3）∵矩形ABCD，‎ ‎∴.∴.‎ ‎∵ ，∴.‎ ‎∴.∴.‎ 当以点E，F，H为顶点的三角形与相似时，‎ ⅰ）若，‎ ‎∵，，∴‎ ‎.∴. ‎ ‎∴，∴.∴.∴.‎ ⅱ)若，如图所示，记与交于点.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，， ∴.‎ ‎∵∥，∴.∴.‎ ‎∴. ∴.‎ 设，则，‎ ‎∴. ∴.‎ ‎∴，. ∴.‎ 综上所述，线段的长为或1. ………………7分 ‎9.解：（1）2，； ………………4分 ‎（2）当时，；‎ 当时，. ………………6分 ‎（3）. ………………8分 ‎10. （1）证明：∵△=.……………………………………………… 1分 ‎ ‎ =‎ ‎ =…………………………………………………………2分 ‎ ∴△＞0. …………………………………………………………………3分 ‎∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.‎ ‎（2）把x=-3代入原方程，解得m=1. …………………………………………………4分 ‎ ∴.‎ ‎ 即.‎ ‎ 依题意，可知新的抛物线的解析式为. ………………………5分 即 ‎∵抛物线与直线只有一个公共点，‎ ‎∴..…………………………………………………………………6分 即.‎ ‎∵△=0.‎ ‎∴.‎ 解得b= -4. ……………………………………………………………………7分 ‎11. 解：（1）根据题意得 ‎ …………………………………………………………1分 ‎ 解得 ‎ ‎ 所以抛物线的解析式为.………………………………2分 ‎（2）如图1，过点Q的对应点作EF⊥CD于点E，交x轴于点F.‎ ‎ 设P(x，y)，则CQ= x，PQ=4- y.‎ ‎ 由题意可知= CQ= x，=PQ=4- y，∠CQP =∠C=90°.‎ ‎ ∴=90°.‎ ‎ ∴.……………………………………………………3分 又∵cosα=，‎ ‎∴，.‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ 整理可得.‎ ‎∴，（舍去）.‎ ‎∴.………………………………………………………………5分 如图2，过点Q的对应点作EF⊥CD于点E，交x轴于点F.‎ ‎ 设P(x，y)，则CQ=- x，PQ=4- y.‎ 可得.……………………………………………………6分 又∵cosα=，‎ ‎∴，.‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ 整理可得.‎ ‎∴（舍去），.‎ ‎∴.……………………………………………………………7分 ‎∴或.‎ ‎12. 解：（1）证明：如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.‎ ‎∴∠GAB=∠HAE. ………………………………………………………………1分 ‎ ∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，‎ ‎ ∴∠ABG=∠AEH.‎ ‎ ∵又AB=AE，‎ ‎ ∴△ABG≌△AEH. ………………2分 ‎∴BG=EH，AG=AH.‎ ‎∵∠GAH=∠EAB=60°，‎ ‎∴△AGH是等边三角形.‎ ‎∴AG=HG.‎ ‎∴EG =AG+BG. …………………………………………………………………3分 ‎(2) …………………………………………………………5分 ‎（3）……………………………………………………………6分 ‎ 如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.‎ ‎ ∴∠GAB=∠HAE.‎ ‎ ∵∠EGB=∠EAB=90°，‎ ‎ ∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH =180°.‎ ‎ ∴∠ABG=∠AEH.‎ ‎∵又AB=AE，‎ ‎ ∴△ABG≌△AEH. ………………7分 ‎ ∴BG=EH，AG=AH.‎ ‎∵∠GAH=∠EAB=90°，‎ ‎∴△AGH是等腰直角三角形.‎ ‎∴AG=HG.‎ ‎∴…………………………………………………………8分 ‎ ‎ ‎13.（1）证明：△1=‎ ‎＞0‎ ‎∴不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点 -------------1分 ‎（2）∵二次函数的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，‎ 且二次函数开口向上 ‎∴当x=1时，函数值y＜0,‎ 即＜0，解得k＜ -----------------------------2分 ‎∵关于x的一元二次方程k2x2＋(2k＋3)x＋1=0有两个不相等的实数根 ‎∴k≠0且△2=＞0‎ ‎∴k＞且k≠0 ------------------------------------4分 ‎∴＜k＜且k≠0‎ ‎∴k=1 --------------------------------5分 ‎（3）由（2）可知，k=1‎ ‎ ∴x2＋2(a＋1)x＋2a＋1=0‎ ‎ 解得x1=-1，x2=-2a-1 ---------------------------------6分 根据题意，0＜-2a-1＜3‎ ‎∴‎ ‎∴a的整数值为-1. -------------------------------7分 ‎14（1）AE=BF且AE⊥BF. -----------------------------------------------1分 ‎（2）判断：BF=GE. -------------------------------------------------2分 证明：过点A作AM∥GE交BC于M ‎ ‎∵EG⊥BF ‎∴AM⊥BF ‎∴∠BAM+∠ABF=90°‎ ‎∵正方形ABCD ‎∴AB=BC，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=90°‎ ‎∴∠CBF+∠ABF=90°‎ ‎∴∠BAM=∠CBF ‎∴△ABM≌△BCF ‎ ‎∴AM=BF -------------------------------------------------3分 ‎∵AM∥GE且AD∥BC ‎∴AM=GE ‎∴BF=GE -------------------------------------------------4分 ‎（3）①：过点B作BN∥FG，且使BN=FG 联结NG、NE ‎∴四边形NBFG是平行四边形 ‎∴BF=NG，BF∥NG 由（2）可知，BF⊥GE，且BF=GE ‎∴NG⊥EG且NG=EG ‎∴△NGE为等腰直角三角形 由勾股定理得NE=NG ‎∴NE=BF.‎ 当点F与点D不重合，点E与点C不重合时，N、B、E三点不共线 此时，在△BEN中，NB+BE＞NE，即FG+BE＞BF. -------------------------------5分 当点F与点D重合，点E与点C重合时，N、B、E三点共线 此时， NB+BE=NE，即FG+BE=BF. ----------------------------------------------6分 ‎②：∵正方形ABCD ‎∴∠ADC=90°‎ 以GF为直径作⊙P，则点D在⊙P上 ‎∵∠GHF=90°‎ ‎∴点H也在⊙P上 ‎∴∠HGF=∠HDF. ---------------------------------------------7分 ‎15. 解：（1）∵抛物线的对称轴x==1 ‎ 且抛物线的最低点A的纵坐标是3‎ ‎∴抛物线的顶点为A（1，3）‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴m=3或m=2,‎ ‎∵3-m﹥0， ∴ m=2, -----------------------------1分 ‎ ∴直线为 ‎ ∴抛物线的解析式为： --------------------------------2分 ‎ 直线AB为:y=2x+1； ----------------------------3分 ‎（2）令x=0,则y=1, ）令y=0,则x=,‎ ‎∴B（0,1），C（-，0） ‎ 将直线AB绕O点顺时针旋转900，设DE与BC交于点F ‎∴D(1,0),E(0, ) -------------------------4分 ‎∴OB=OD=1 OC=, ∴ CD= ‎ ‎∵‎ ‎∴ ------------------------5分 ‎∴ ‎ ‎ ∴ Sin∠BDE== -----------6分 ‎ (3) --------8分 ‎16．解：（1）∵拋物线经过原点，‎ ‎∴m2-6m+8=0．解得m1=2，m2=4．‎ ‎ 由题意知m¹4，‎ ‎∴m=2．………………………………………………………………………1分 ‎∴拋物线的解析式为． ………………………………………2分 ‎（2）∵点B(-2,n)在拋物线上，‎ ‎ ∴n=3．………………………………………………………………………3分 ‎∴B点的坐标为(–2，3) ． ‎ ‎∵直线l的解析式为，直线l经过B点，‎ ‎∴．‎ ‎∴．………………………………………………………………………4分 ‎（3）∵拋物线的对称轴为直线x=2，直线l的解析式为y=-2x-1，‎ ‎∴拋物线的对称轴与x轴的交点C的坐标为(2,0)，‎ A B C O E x y x=2‎ G F H 直线l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为 D(0,-1)、E(2,-5).‎ ‎ 过点B作BG⊥直线x=2于G，与y轴交于F.‎ ‎ 则BG=4. ‎ 在Rt△BGC中，.‎ ‎∵CE=5，∴ CB=CE. ‎ 过点E作EH⊥y轴于H.‎ 则点H的坐标为 (0,-5).‎ ‎∵点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，‎ ‎∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.‎ ‎∴△DFB≌△DHE . ‎ ‎∴DB=DE. ‎ ‎ ∵PB=PE，‎ ‎∴点P在直线CD上.‎ ‎∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.‎ 设直线CD的解析式为y=kx+a. ‎ 将D(0,-1)、C(2,0)代入，得 解得 ‎ ‎∴ 直线CD的解析式为. …………………………………………5分 设点P的坐标为(x，)，‎ ‎∴=. ‎ 解得 ，. ‎ ‎ ∴，.‎ ‎∴点P的坐标为(，)或(，).…………………7分 ‎17．解：（1）线段AD与OM之间的数量关系是AD =2OM，位置关系是.…2分 ‎（2）（1）的两个结论仍然成立. ‎ 证明：如图2，延长BO到F，使FO=BO，连结CF.‎ ‎∵M为BC中点，O为BF中点，∴MO为的中位线. ‎ ‎∴FC =2OM. ………………………………3分 ‎∵∠AOB =∠AOF=∠COD=90°，‎ ‎∴∠AOD =∠FOC .‎ ‎∵AO =FO，CO=DO， ‎ ‎∴△AOD≌△FOC. ‎ ‎∴FC=AD. ‎ ‎∴AD =2OM. ………………………………………4分 ‎∵MO为的中位线，∴MO∥CF .‎ ‎∴∠MOB =∠F.‎ 又∵≌，∴=.‎ ‎∵+=90°,‎ ‎∴+=90°.‎ 即. ……………………………………………………………5分 ‎（3）（1）中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化. ‎ ‎ 证明：如图3，延长DC交AB于E，连结ME，‎ 过点E作于N.‎ ‎ ∵OA＝OB，OC＝OD，，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴AE＝DE，BE＝CE，∠AED=90°. ‎ ‎ ∴DN=AN. ∴AD＝2NE.‎ ‎∵M为BC的中点，∴.‎ ‎ ∴四边形ONEM是矩形.‎ ‎ ∴NE＝OM.‎ ‎ ∴AD＝2OM. ………………………………………………………………7分 ‎18. 解：（1） 设直线AC的解析式为 ‎∵直线AC经过G(0，6)、C（3，0）两点，‎ ‎∴ 解这个方程组，得 …………………………1分 ‎∴直线AC的解析式为． ……………………………………2分 ‎（2） 当x=1时，y=4. ∴A（1，4）. ‎ ‎∵AP=CQ= t，‎ ‎∴点P（1，4-t）.……………………………………………………………3分 将y=4–t代入中，得点E的横坐标为x=. ‎ ‎∴点E到CD的距离为.‎ ‎∴S△CQE=== ……………………4分 ‎∴当t=2时，S△CQE最大，最大值为1.……………………………………5分 ‎（3） 过点E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．‎ ‎ 当点H在点E的下方时，连结CH.‎ ‎ ∵，∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵四边形CQEH为菱形，∴.‎ 在Rt△HMC中，由勾股定理得.‎ ‎∴.‎ 整理得 .‎ 解得 ，（舍）.‎ ‎∴当时，以C，Q，E，H为顶点的四边形是菱形. ………………7分 当点H在点E的上方时，同理可得当时. 以C，Q，E，H为顶点的四边形是菱形. ………………………………………………………8分 ‎∴的值是或.‎ ‎19． 解：（1）……1分 轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0.‎ ‎∴C1的顶点坐标为（—1，0） ……………2分 ‎ （2）设C2的函数关系式为……………3分 把A（—3，0）代入上式得 ‎∴C2的函数关系式为 ……………4分 ‎∵抛物线的对称轴为轴的一个交点为A（—3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）. ……………5分 ‎ （3）n>2或n<-4……………7分 ‎20. 解：（1）当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ……………………………1分 ‎（2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小. ‎ 理由如下：‎ ‎∵M是正方形ABCD对角线上一点 ‎∴AM=CM 又AB=BC,BM=BM ‎∴△ABM≌△CBM ‎∴∠BAM=∠BCM ……………………………3分 又BE=BA=BC ‎∴∠BEC=∠BCM ‎∴∠BEC=∠BAM 在EC上取一点N使得EN=AM,连结BN 又∵EB=AB ‎∴△BNE≌△ABM……………………3分 ‎∴∠EBN=∠ABM,BN=BM 又∵∠EBN+∠NBA=60°‎ ‎∴∠ABM+∠NBA=60°‎ 即∠NBM=60°‎ ‎∴△BMN是等边三角形.‎ ‎∴BM＝MN. ……………………………4分 ‎∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ‎ 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ‎∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ‎ ‎……………………………5分 ‎（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F ‎∴∠EBF＝90°－60°＝30°‎ 设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝……………………………6分 在Rt△EFC中，‎ ‎∵EF2＋FC2＝EC2，‎ ‎∴（）2＋（x＋x）2＝. ‎ 解得，x＝（舍去负值）.‎ ‎∴正方形的边长为.……………………………7分 ‎21．解：（1）b=-2 c=-3　　　　　　　　　　　……………………2分 ‎（2∵直线AB经过点A（-1，0） B(4,5)‎ ‎∴直线AB的解析式为：y=x+1‎ ‎∵二次函数 ‎∴设点E(t， t+1) ……………………3分 ‎ 则F（t，） ‎ ‎∴EF= ‎ ‎ 　　=‎ ‎∴当时，EF的最大值= ……………………4分 ‎∴点E的坐标为（，）　……………………5分 ‎（3 ）ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)‎ 则有： 解得:, ‎ ‎∴,　‎ ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）‎ 则有： 　　解得： ，（与点F重合，舍去）∴‎ 综上所述：所有点P的坐标：，（. 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．……………………8分 ‎22 ．解：‎ ‎（1）A（1,0），B（3,0），C（0,3），顶点坐标（2，﹣1）．…………2分 ‎（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：‎ ‎（i）对称轴为x=2或顶点的横坐标为2，‎ ‎（ii）都经过A（1，0），B（3，0）两点； …………………4分 ‎②线段EF的长度不会发生变化． …………………………………5分 ‎ ∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，‎ ‎ ∴kx2﹣4kx+3k=8k，‎ ‎ ∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8，‎ ‎ 解得：x1=﹣1，x2=5，‎ ‎ ∴EF=x2﹣x1=6， …………………………………………………7分 ‎ ∴线段EF的长度不会发生变化．‎ ‎24解：‎ ‎ （1）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinÐADC=；‎ ‎ 在Rt△OCD中，‎ ‎ OC=CD•sinD=4.‎ ‎∴ OD=3；‎ ‎∴OA=AD﹣OD=2，‎ ‎∴ A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；‎ ‎ 设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），‎ ‎ 得：2×（﹣3）a=4，‎ ‎∴a=﹣； ‎ ‎∴抛物线：y=﹣x2+x+4．…………………………………………………2分 ‎（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1=﹣x﹣；‎ 由（1）得：y2=﹣x2+x+4，则：‎ ‎，‎ 解得：，；‎ 由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5．…………………………………………5分 ‎（3）∵S△APE=AE•h，‎ ‎∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABC最大；‎ 若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；‎ 设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，‎ ‎﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；‎ 求得：b=，即直线L：y=﹣x+；‎ 可得点P（，）．‎ 由（2）得：E（5，﹣），则直线PE：y=﹣x+9；‎ 则点F（，0），AF=OA+OF=；‎ ‎∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．‎ 综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．……………………8分 ‎25、（1）证明： ，----------- 1分 ‎∴此方程总有两个实数根. ------------------------- 2分 ‎（2）解：抛物线与y轴交点为M（0，）．---------------------3分 抛物线与x轴的交点为（1,0）和（,0），它们关于直线的对称点分别为（0,）和 ‎（0, ）.-----------------5分 由题意，可得：‎ ‎，即m=2或m=3. -------------------------7分 C B A O E F ‎26解：（1）‎ ① 猜想：.-------------------------1分 ② 成立. ------------------------2分 证明：连结OB.‎ ‎∵AB=BC , ∠ABC=90°,O点为AC的中点，‎ ‎∴,∠BOC=90°,∠ABO=∠BCO=45°.‎ ‎∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC. 又∵∠EBO=∠FCO，‎ ‎∴△OEB≌△OFC（ASA）.∴BE=CF. -------------------------3分 又∵BA=BC, ∴AE=BF.‎ 在RtΔEBF中，∵∠EBF=90°, .. -------------------------4分 ‎（2）解：如图，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N.‎ ‎∵∠B=90°, ∴∠MON=90°. ‎ ‎∵∠EOF=90°,‎ ‎∴∠EOM=∠FON. ‎ A O ‎ ‎ B C E F M N ‎∵∠EMO=∠FNO=90°，∴△OME∽△ONF. -------------------------5分 ‎∴‎ ‎∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，‎ ‎∴△AOM∽△OCN ∴.‎ ‎∵， ∴. -------------------------7分 ‎27．解：(1)依题意得：.‎ ‎∵OC=2,CE=,∴.‎ ‎ ∵抛物线经过原点和点B、E,∴设抛物线的解析式为.‎ ‎∵抛物线经过点,∴ .解得：a=.‎ ‎∴抛物线的解析式为.-------------------------2分 ‎(2) 或 .-------------------------4分 ‎(3)存在.‎ ‎　因为线段和CD的长是定值，所以要使四边形的周长最短，只要使最短.如果将抛物线向右平移，显然有M′D+CB′>MD+CB ‎，因此不存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短, 显然应该将抛物线向左平移.‎ M′‎ y ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ M′‎ ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ ‎6‎ B′‎ C D ‎-4‎ ‎4‎ B′′‎ 由题知. -------------------------5分 设抛物线向左平移了n个单位，则点和B′的坐标分别为M′(-4-n，6)和B′(2-n，)．‎ 因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-n，)． ‎ 要使最短，只要使+DB′′最短． ‎ 点M′关于x轴对称点的坐标为M′′(-4-n，-6). 设直线M′′B′′的解析式，‎ 点D应在直线M′′B′′上， ∴直线M′′B′′的解析式为.----------------6分 将B′′(-n，)代入，求得.--------------7分 故将抛物线向左平移个单位时，四边形M′B′CD的周长最短，此时抛物线的解析式为 ． -------------------------8分 ‎28．解：‎ ‎（1）抛物线过点A（-1，0），B（3，0）‎ ‎ ‎ ‎ 解得：‎ ‎ ∴抛物线的解析式为 ‎ ‎ 顶点 函数，是常数）图象经过，‎ ‎ ．………………………………………………………………… 2分 ‎（2）①设G点的坐标为，‎ 据题意，可得E点的坐标为，F点的坐标为， ‎ ‎ ，，．‎ ‎ 由的面积为4，即，得，点G的坐标为．‎ ‎………………………………………… 3分 ‎ ②直线FC和DG平行.理由如下： ‎ ‎ 方法1：利用相似三角形的性质.‎ ‎ 据题意，点的坐标为，，‎ ‎ ，易得，，‎ ‎ ，．‎ ‎ ．‎ ‎ ‎ ‎ ∴△∽△‎ ‎ ‎ ‎ ……………………………………… 5分 ‎ 方法2：利用正切值.‎ ‎ 据题意，点的坐标为，，‎ ‎ ，易得，，‎ ‎ ，． ‎ ‎ ‎ ‎ ． ‎ ‎ ③解：方法1：‎ ‎ ，当时，有两种情况：‎ ‎ 当时，四边形是平行四边形，‎ ‎ 由上题得，，，得．‎ ‎ 点G的坐标是（2，2）．‎ ‎ 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，‎ ‎ 得解得 ‎ 直线的函数解析式是．……………………………… 6分 ‎ 当FD与CG所在直线不平行时，四边形是等腰梯形，‎ ‎ 则，，点G的坐标是（4，1）．‎ ‎ 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，‎ ‎ 得解得 ‎ 直线的函数解析式是．……………………………… 7分 ‎ 综上所述，所求直线的函数解析式是或．‎ 方法2.‎ 在Rt⊿DFE中，，‎ 在Rt⊿GEC中，，， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解方程得：或 当时，点G的坐标是（2，2）．‎ 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，‎ 得解得 直线的函数解析式是．‎ 当时，点G的坐标是（4，1）．‎ 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，‎ 得解得 直线的函数解析式是．‎ 综上所述，所求直线的函数解析式是或． ‎ 注：不同解法酌情给分 ‎29. 解：（1）==6；…………………………1分 ‎ （2）=； ……………………2分 ‎ （3）. ……………………3分 ‎ 证明：连接，延长 ‎ 交于点.如图所示：……4分 ‎ 由正方形的性质可知： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 即：‎ ‎ △≌△ ………………………………………5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即：. ………………………………………7分 ‎30.解：（1）抛物线的解析式为；‎ 图中阴影部分的面积与△的面积相同，.‎ ‎∴阴影部分的面积为8. …………………………………… 2分 ‎（2）由题意可知，抛物线只存在两个内接直角三角形.‎ 当点在抛物线上运动时线段的长度不会发生变化.‎ 证明: ∵为⊙的直径,‎ ‎∴,‎ ‎∵，‎ ‎∴△∽△ ‎ ‎∴，‎ 连接，，在△和△中，‎ ‎，‎ ‎∴△∽△ …………………………………… 6分 ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴. …………………………………… 8分 ‎31．解：（1）由=0，得，．‎ ‎∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）． 2分 ‎（2）当a=1时，得A（1，0）、B（2，1）、C（3，3）， 3分 分别过点B、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则有 ‎= - - ‎ ‎ =（个单位面积）…………………………………4分 ‎（3）如： ． ‎ ‎∵，，‎ ‎， ‎ ‎ 又∵3（）=‎ ‎ =． 5分 ‎∴． 6分 ‎32．（1）解：如图1，当x=时，设AC与HE交与点P.‎ ‎ 由已知易得∠ABC=∠HEC=90°.‎ ‎ ∴tan∠PCE = tan∠ACB.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴PE= . …………………………………… 1分 ‎ ∴ . …………… 2分 ‎（2）如图2，作DK⊥AG于点K.‎ ‎∵CD=CE=DE=2，‎ ‎∴△CDE是等边三角形. ………………………… 3分 ‎∴∠CDE=60°.‎ ‎∴∠ADG=360°- 290°- 60°=120°. ‎ ‎∵AD=DG=1，‎ ‎∴∠DAG=∠DGA=30°. ………………… 4分 ‎∴DK=DG=.‎ ‎∴点D到AG的距离为. ……………………………………………………5分 ‎（3）如图3，‎ ‎∵α=45°，‎ ‎∴∠NCE=∠NEC=45°.‎ ‎∴∠CNE=90°.‎ ‎∴∠DNH=90°. ‎ ‎∵∠D=∠H=90°，‎ ‎∴四边形MHND是矩形. ………………6分 ‎∵CN=NE，CD＝HE.‎ ‎∴DN=NH.‎ ‎∴矩形MHND是正方形. ……………………………………………… 7分 ‎33．解：（1）圆心的坐标为，半径为1，‎ ‎， . ………………………………………………1分 二次函数的图象经过点，‎ 可得方程组 解得： .‎ 二次函数解析式为 2分 ‎（2）如图，过点作轴，垂足为．‎ 是的切线，为切点，‎ ‎．‎ 在中，，‎ 为锐角，‎ ‎ 4分 ‎，‎ 在中，，‎ ‎．‎ 点坐标为 5分 设切线的函数解析式为，由题意可知，‎ ‎.‎ 切线的函数解析式为 6分 ‎（3）存在．‎ ‎①如图，过点作轴于A，与交于点．‎ 可得.‎ ‎，‎ ‎. 7分 ‎②过点作，垂足为，过点作，垂足为．‎ 可得. ‎ 在中，，‎ ‎.‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎. 9分 综上所述，符合条件的点坐标有，.‎ ‎34．（1）△=‎ ‎ ∵方程有两个不相等的实数根,‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴m的取值范围是.………………2分 ‎ （2）证明：令得，.‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ∴，. ……………4分 ‎ ∴抛物线与x轴的交点坐标为（），（）,‎ ‎ ∴无论m取何值，抛物线总过定点（）. ………5 分 ‎ （3）∵是整数 ∴只需是整数.‎ ‎ ∵是整数，且,‎ ‎ ∴. ………………………………………………………6分 ‎ 当时，抛物线为．‎ ‎ 把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 ‎ . …………………7分 ‎35．‎ ‎ ‎ ‎（1）BD=CF成立．‎ ‎ 理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形， ‎ ‎∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，‎ ‎∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，‎ ‎∴∠BAD=∠CAF，‎ 在△BAD和△CAF中，‎ ‎∴△BAD≌△CAF（SAS）．‎ ‎∴BD=CF．…………………………………2分 ‎（2）①证明：设BG交AC于点M．‎ ‎ ∵△BAD≌△CAF（已证），‎ ‎ ∴∠ABM=∠GCM．‎ ‎ ∵∠BMA=∠CMG，‎ ‎ ∴△BMA∽△CMG．‎ ‎ ∴∠BGC=∠BAC=90°．‎ ‎ ∴BD⊥CF………………………………4分 ‎②过点F作FN⊥AC于点N．‎ ‎ ∵在正方形ADEF中，AD=DE=，‎ ‎ ∴AE==2，‎ ‎ ∴AN=FN=AE=1． ‎ ‎∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，‎ ‎∴CN=AC﹣AN=3，BC==4．‎ ‎∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．‎ ‎∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．‎ ‎∴AM=AB=．‎ ‎∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM==．…………………………5分 ‎∵△BMA∽△CMG，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴CG=．………………………………………………………6分 ‎∴在Rt△BGC中，BG==．………………………………7分 ‎36．（1）当m=2，n=2时， 如题图1，线段BC与线段OA的距离等于平行线之间的距离，即为2； 当m=5，n=2时， B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，‎ ‎ 如答图1，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2， 在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB==…2分 （2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6： 当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2； 当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN ‎ 长， ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：‎ ‎ ∴d===．………4分 ‎（3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线 ‎ 所示:由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，‎ ‎ 以及左右两侧半 径为2的半圆所组成，其周长为：‎ ‎ 2×8+2×π×2=16+4π， ∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π． …5分 ‎ ②结论：存在． ∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限． ∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD． 如图4所示，相似三角形有三种情形：‎ ‎ （I）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧． 如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m， 由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2-m）， ∴m=1；………………………………………………6分 ‎（II）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧． 如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2， 由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m-2）， ∴m=3；………………………………………………………7分 （III）△AM3H3，此时点B落在⊙A上． 如图，OH3=m+2，AH3=OH3-OA=m-2， 过点B作BN⊥x轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m-4，‎ ‎ 由相似关系可知，AH3=2M3H3，即m-2=2n  （1） 在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m-4）2+n2  （2） 由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2， 当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去， ∴m=．……………………………………………………………………8分 综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，m的取值为：1、3或．‎ ‎37．解：（1）∵△=，‎ ‎ ∴无论为任何实数，都有………………………… 1分 ‎ ∴抛物线与x轴总有两个交点． …………………………………… 2分 ‎ （2）由题意可知：抛物线的开口向上，与y轴交于（0，-2）点，‎ ‎∵方程的两根在-1与之间，‎ ‎∴当x=-1和时，．‎ 即 ………………………………………… 4分 解得 ． ………………………………………… 5分 因为 m为整数，所以 m=-2，-1，0 ．‎ 当 m=-2时， 方程的判别式△=28，根为无理数，不合题意. ‎ 当 m=-1时， 方程的判别式△=25，根为，符合题意.‎ 当 m=0时， 方程的判别式△=24，根为无理数，不合题意. ‎ 综上所述 m=-1 . ………………………………………… 6分 ‎ （3）n的取值范围是．………………………………… 7分 ‎38.‎ ‎ (1) ； ………………………………………… 2分 ‎ （2） 仍然成立.‎ ‎ 证明: 过点作于,过点作于 ‎ ∴‎ ‎∵,‎ ‎ ∴≌‎ ‎∴ ………………………………………… 3分 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ ………………………………………… 4分 延长与的延长线相交点 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴ ………………………………………… 5分 ‎(3) 过点作于,过点作于 ‎ 易证 ∽‎ ‎ ∴ ． ………………………………………… 6分 ‎ ∵ ，‎ ‎∴ ．‎ 由（2）知 ．‎ ‎ ．………………………………………7分 ‎39. 解：（1）由，可知此抛物线的对称轴是轴，即 ‎ 所以 ‎ 由，得 ‎ 抛物线解析式为 …………………………………………2分 ‎（2）由（1）得 ‎ 所以 ………………………………3分 ‎ 在和中 ‎ ，‎ ‎ 所以≌ ………………………………………… 4分 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 …………………………………………5分 ‎ （3）作轴，交于点 ‎ 易证≌‎ ‎ 所以，‎ ‎ 又因为 ‎ 所以 ‎ ‎ 因为 ‎ 所以 …………………………………………7分 ‎ （4）由（3）知，点在定直线上 ‎ 当点沿轴正方向移动到点时，‎ ‎ 点所走过的路线长等于 ………………………………8分