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- 2021-05-10 发布
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历届中考数学试题——2013江苏南京
南京市2013年初中毕业生学业考试
数 学
一、 选择题 (本大题共6小题，每小题2分，共12分)
1. 计算12-7´(-4)+8¸(-2)的结果是 (A) -24 (B) -20 (C) 6 (D) 36
2. 计算a3．( )2的结果是 (A) a (B) a5 (C) a6 (D) a9
3. 设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法： a是无理数； a可以
用数轴上的一个点来表示； 30 (C) k1k2<0 (D) k1k2>0
6. 如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂
有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分)
7. -3的相反数是 ；-3的倒数是 。
8. 计算 - 的结果是 。
9. 使式子1+ 有意义的x的取值范围是 。
10. 第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13000
名青少年志愿者提供服务，将13000用科学记数法表示为 。
A
B
C
D
B’
1
C’
D’
11. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A’B’C’D’的位置，
旋转角为a (0°226。
综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优或额不少于226元，
那么该商品的标价至少为630元。 (8分)
24. (本题8分)
解：(1) 60；(1分)
(2) 当20£x£30时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b。
根据题意，当x=20时，y=60；当x=30时，y=24。
历届中考数学试题——2013江苏南京（第10页，共10页）
历届中考数学试题——2013江苏南京
所以，解得。所以，y与x之间的函数关系式为y= -3.6x+132。
当x=22时，y= -3.6´22+132=52.8。
所以，小丽出发第22min时的速度为52.8km/h。(5分)
(3) 小丽驾车从甲地到乙地行驶的路程为
´+´+60´+´+´+48´+´
=33.5(km)。
所以，小丽驾车从甲地到乙地共耗油33.5´=3.35(L) (8分)
25. (本题8分)
解法一：(1) 直线PC与圆O相切。
j
A
B
C
D
O
M
P
N
如图j，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。
∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。
∵ÐBAC=ÐBNC，∴ÐBNC=ÐACD。
∵ÐBCP=ÐACD，∴ÐBNC=ÐBCP。
∵CN是圆O的直径，∴ÐCBN=90°。
∴ÐBNC+ÐBCN=90°，∴ÐBCP+ÐBCN=90°。
∴ÐPCO=90°，即PC^OC。
又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (4分)
(2) ∵AD是圆O的切线，∴AD^OA，即ÐOAD=90°。
∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC。
∴MC=MB。∴AB=AC。
在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= BC=3，
由勾股定理，得AM===6。
设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(6-r)2+32=r2。解得r= 。
在△OMC和△OCP中，
∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，
∴△OMC～△OCP。∴ = ，即 = 。
∴PC= 。(8分)
A
B
C
D
O
M
P
k
解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图k，连接OC。
∵AD是圆O的切线，∴AD^OA，
即ÐOAD=90°。
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∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，
即OM^BC。
∴MC=MB。∴AB=AC。∴ÐMAB=ÐMAC。
∴ÐBAC=2ÐMAC。又∵ÐMOC=2ÐMAC，∴ÐMOC=ÐBAC。
∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。∴ÐMOC=ÐACD。又∵ÐBCP=ÐACD，
∴ÐMOC=ÐBCP。∵ÐMOC+ÐOCM=90°，∴ÐBCP+ÐOCM=90°。
∴ÐPCO=90°，即PC^OC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。
(2) 在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= BC=3，
由勾股定理，得AM===6。
设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(6-r)2+32=r2。解得r= 。
在△OMC和△OCP中，∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，
∴△OMC～△OCP，∴ = ，即 = 。
∴PC= 。(8分)
26. (本题9分)
(1) 证明：y=a(x-m)2-a(x-m)=ax2-(2am+a)x+am2+am。
因为当a¹0时，[-(2am+a)]2-4a(am2+am)=a2>0。
所以，方程ax2-(2am+a)x+am2+am=0有两个不相等的实数根。
所以，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。(3分)
(2) 解：j y=a(x-m)2-a(x-m)=(x- )2- ，
所以，点C的坐标为(,- )。
当y=0时，a(x-m)2-a(x-m)=0。解得x1=m，x2=m+1。所以AB=1。
当△ABC的面积等于1时，´1´| - |=1。
所以´1´( -)=1，或´1´=1。
所以a= -8，或a=8。
k 当x=0时，y=am2+am，所以点D的坐标为(0, am2+am)。
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，
´1´| - |= ´1´| am2+am |。
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所以´1´( -)= ´1´(am2+am)，或´1´ = ´1´(am2+am)。
所以m= - ，或m= ，或m= 。 (9分)
27. (本题10分)
(1) jk；l (4分)
(2) 解：根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。
第一种情况：如图j，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、
PQ2，分别使ÐCPQ1=ÐA，ÐBPQ2=ÐA，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似。
第二种情况：如图k，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作ÐCBM=ÐA，BM交AC
于点M。
当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使ÐAP1Q=ÐABC，此
时△AP1Q与△ABC互为逆相似；
当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使ÐAP2Q1=ÐABC，
ÐCP2Q2=ÐABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似。
第三种情况：如图l，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作ÐBCD=ÐA，ÐACE=ÐB，
CD、CE分别交AC于点D、E。
当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使ÐAP1Q=ÐABC，此时
△AQP1与△ABC互为逆相似；
当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使ÐAP2Q1=ÐACB，
ÐBP2Q2=ÐBCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；
当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q’，使ÐBP3Q’=ÐBCA，
此时△Q’BP3与△ABC互为逆相似。 (10分)
A
B
C
Q1
P
j
Q2
A
B
C
Q1
M
Q2
Q
P1
P2
A
B
C
Q1
Q’
Q
P1
P2
D’
E
Q2
P3
k
l
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