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- 2021-05-10 发布
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2019年中考数学 一轮复习专题
矩形 综合复习
一 选择题:
1.下列命题是假命题的是( )
A.矩形的对角线相等
B.矩形的对边相等
C.矩形的对角线互相平分
D.矩形的对角线互相垂直
2.下列说法:
①矩形是轴对称图形,两条对角线所在的直线是它的对称轴;
②两条对角线相等的四边形是矩形;
③有两个角相等的平行四边形是矩形;
④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形;
⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形.其中,正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
4.如图,矩形ABCD中,E在AD上,且EF⊥EC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则AE的长是( )
A.3 B.4 C.5 D.7
5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE长为( )
A.3 B.3.5 C.2.5 D.2.8
6.如图,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
7.如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10 cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则CD=( )
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
8.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动,则线段EF的值大小变化情况是( )
A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减少
9.如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′.若边A′B交线段CD于H,且BH=DH,则DH的值是( )
A. B.8-2 C. D.6
10.如图,矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上),AB=5,BC=12,点A表示的数是-1,则对角线AC、BD的交点表示的数是( )
A.5.5 B.5 C.6 D.6.5
11.如图在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF=3,BC=8,则△EFM的周长是( )
A.21 B.15 C.13 D.11
12.如图,已知矩形ABCD中,R、P分别是DC、BC上的点,E、F分别是AP、RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,那么下列结论成立的是( )
A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不改变 D.线段EF的长不能确定
13.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,动点P从点A出发,沿路线A→B→C做匀速运动,那么△CDP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
14.如图,四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在EF边上,若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是( )
A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.3S1=2S2
15.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是( )
A.12 B.24 C.12 D.16
16.如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°,则下列结论:
△ODC是等边三角形;②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S△AOE=S△COE,其中正确的结论的个数有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
17.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.则EF的最小值为( )
A.4 B.4.8 C.5.2 D.6
18.如图4,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE平分∠DAC,则下列结论:
(1)∠E=22.50.(2)∠AFC=112.50.(3)∠ACE=1350.(4)AC=CE. (5) AD∶CE=1:.
其中正确的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
19.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点.设AM的长为x,则x的取值范围是( )
A.4≥x>2.4 B.4≥x≥2.4 C.4>x>2.4 D.4>x≥2.4
20.如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,顺次连结各边中点得到四边形A1B1C1D1,再顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2…,依此类推,则四边形A7B7C7D7的周长为( )
A.14 B.10 C.5 D.2.5
二 填空题:
21.如图,矩形ABCD中,点E在线段AD延长线上,AD=DE,连接BE与DC相交于点F,连接AF,请从图中找出一个等腰三角形 .
22.如图,在矩形ABCD中,AB=5cm,且∠BOC=120°,则AC 的长为____________;
23.如图矩形ABCD中,AB=8㎝,CB=4㎝,E是DC的中点,BF=BC,则四边形DBFE的面积为______________。
24.如图,已知矩形ABCD,P、R分别是BC和DC上的点,E、F分别是PA、PR的中点.如果DR=3,AD=4,则EF的长为________.
25.如图,O为矩形ABCD的中心,将直角三角板的直角顶点与O点重合,转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交,交点分别为M、N.如果AB=4,AD=6,OM=x,ON=y,则y与x的函数关系式是 .
26.如图,矩形ABCD 的边长AB=8,AD=4,若将△DCB沿BD所在直线翻折,点C落在点F处,DF与AB交于点E. 则cos∠ADE= .
27.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4cm,则四边形CODE的周长为
28.如图,将矩形纸片ABC(D)折叠,使点(D)与点B重合,点C落在点处,折痕为EF,若,那么的度数为 度.
29.如图,矩形ABCD中,AD=4,∠CAB=30o,点P是线段AC上的动点,点Q是线段CD上的动点,则AQ+QP的最小值是
30.小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图①,AD>CD)沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,折痕为AE(如图②);再沿过D点的直线折叠,使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处,折痕为DG(如图③).如果第二次折叠后,M点正好在∠NDG的平分线上,那么矩形ABCD长与宽的比值为 .
三 简答题:
31.如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.求证:DF=DC.
32.如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.
33.长为1,宽为a的矩形纸片(
<a<1),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去,若在第n次操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.
(I)第二次操作时,剪下的正方形的边长为 ;
(Ⅱ)当n=3时,a的值为 .(用含a的式子表示)
34.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.
35.如图,在矩形OABC中,点A、C的坐标分别为(10,0),(0,2),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交线段OA于点E.
(1)矩形OABC的周长是 ;
(2)连结OD,当OD=DE时,求的值;
(3)若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否会随着E点位置的变化而变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
36.如图,长方形ABCD,AB=9,AD=4.E为CD边上一点,CE=6.
(1)求AE的长.
(2)点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动,连接PE.设点P运动的时间为t秒,则当t为何值时,△PAE为等腰三角形?
37.长方形ABCD中,AD=10,AB=8,将长方形ABCD折叠,折痕为EF
(1)当A′与B重合时(如图1),EF= ;
(2)当直线EF过点D时(如图2),点A的对应点A′落在线段BC上,求线段EF的长;
(3)如图3,点A的对应点A′落在线段BC上,E点在线段AB上,同时F点也在线段AD上,则A′在BC上的运动距离是 ;
38.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E.
(1)试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明;
(2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,试求PG+PH的值,并说明理由.
39.如图1,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E、F分别是BC、CD边上的点,且AE⊥EF,BE=2,
(1)求证:AE=EF;
(2)延长EF交矩形∠BCD的外角平分线CP于点P(图2),试求AE与EP的数量关系;
40.如图,把宽为2cm的纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B、C两点恰好落在AD边的P点处,若△PFH的周长为10cm,求长方形ABCD的面积.
参考答案
1、D 2、A 3、A 4、A 5、C 6、C 7、A 8、C 9、C 10、A 11、D 12、C 13、A
14、B 15、D 16、C 17、B 18、A. 19、D; 20、D 21、△AFB或△AFE, 22、10cm; 23、10㎝2;
24、2.5; 25、 26、 27、8 cm 28、125º 29、 30、
31、证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD∥BC,∠B=90°.
∵DF⊥AE,∴∠AFD=∠B=90°.∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB.
又∵AD=AE,∴△ADF≌△EAB(AAS).∴DF=AB.又∵AB=DC,∴DF=DC.
32、【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠A=90°,∴∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO,
∵在△DMO和△BNO中,,∴△DMO≌△BNO(AAS),∴OM=ON,
∵OB=OD,∴四边形BMDN是平行四边形,∵MN⊥BD,∴平行四边形BMDN是菱形.
(2)解:∵四边形BMDN是菱形,∴MB=MD,设MD长为x,则MB=DM=x,
在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2即x2=(8﹣x)2+42,解得:x=5,所以MD长为5.
33、【解答】解:由题意,可知当<a<1时,第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为1﹣a,所以第二次操作时正方形的边长为1﹣a,第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1﹣a,2a﹣1.
故答案为:1﹣a;此时,分两种情况:
①如果1﹣a>2a﹣1,即a<,那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣1.
∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形,∴矩形的宽等于1﹣a,
即2a﹣1=(1﹣a)﹣(2a﹣1),解得a=;
②如果1﹣a<2a﹣1,即a>,那么第三次操作时正方形的边长为1﹣a.
则1﹣a=(2a﹣1)﹣(1﹣a),解得a=.故答案为:或.
34、(1)证明:∵CF平分∠ACD,且MN∥BD,∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.∴OF=OC.
同理:OC=OE.∴OE=OF.
(2)由(1)知:OF=OC,OC=OE,∴∠OCF=∠OFC,∠OCE=∠OEC.∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC.
而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°,∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°.
∴EF===13.∴OC=EF=.
(3)连接AE、AF.当点O移动到AC中点时,四边形AECF为矩形.
理由如下:由(1)知OE=OF,当点O移动到AC中点时,有OA=OC,∴四边形AECF为平行四边形.
又∵∠ECF=90°,∴四边形AECF为矩形.
35、(1)24
(2)∵OC=2 OA=10 ∴D(2-4,2),E(2,0) ∵OD=DE ∴OE=2CD 2=2(2-4) ∴=4
(3)设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,
则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积.
由题意知,DM∥NE,DN∥ME, ∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知,∠MED=∠NED∵DM∥NE ∴∠MDE=∠NED
∴∠MED=∠MDE ∴MD=ME ∴平行四边形DNEM为菱形
过点D作DH⊥OA,垂足为H, ∴DH=2
设菱形DNEM 的边长为,∴HN=HE-NE=OE-OH-NE=4-,
在RT△DHN中, 解得
∴菱形DNEM的面积=NE·DH=5
∴矩形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积不会随着点E位置的变化而变化,面积始终为5.
36、(1)在长方形ABCD中,∠D=90°,CD=AB=9
在Rt△ADE中,DE=9-6=3,AD=4,∴AE=5
(2)若△PAE为等腰三角形,则有三种可能.
当EP=EA时,AP=6,∴t=BP=3
当AP=AE时,则9-t=5,∴t=4
当PE=PA时,则(6-t)2+42=(9-t)2,∴t=综上所述,符合要求的t值为3或4或.
37、1)EF=10 (2)5 (3)4
38、【解答】解:(1)△AED≌△CEB′
证明:∵四边形ABCD为矩形,∴B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°,又∵∠B′EC=∠DEA,∴△AED≌△CEB′;
(2)由折叠的性质可知,∠EAC=∠CAB,∵CD∥AB,∴∠CAB=∠ECA,∴∠EAC=∠ECA,∴AE=EC=8﹣3=5.
在△ADE中,AD===4,延长HP交AB于M,则PM⊥AB,∴PG=PM.
∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4.
39、(1)∵AE⊥EF,∴∠BEA+∠CEF=90°。∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=∠C=90°。
∴∠BAE +∠BEA =90°。∴∠BA E=∠CEF。又∵AB=DC=6,BC=8,BE=2,∴AB=EC=6。
∴△ABE≌△ECF(ASA)。∴AE=EF。
(2)如图,在AB上取一点M,使BM=BE,连接ME。
∴AM=CE。∴∠BME=45°。∴∠AME=135°。
∵CP是外角平分线,∴∠DCP=45°。∴∠ECP=135°。∴∠AME=∠ECP。
由(1)知∠MA E=∠CEP,∴△AME∽△ECP。∴。
∵AM=2,EC=3,∴。∴AE与EP的数量关系是。
40、解:∵把宽为2cm的纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B、C两点恰好落在AD边的P点处,
∴BF=PF,PH=CH,∵△PFH的周长为10cm,∴PF+FH+HC=BC=10cm,∴长方形ABCD的面积为:2×10=20