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- 2021-05-10 发布
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圆压轴题思路分析 姓名
一.指点迷津:
1.计算:勾股定理、相似、三角形函数(特殊角的三角形函数值顺、逆向运用)、方程思想、字母化。
2.圆知识:垂径定理、切线判定性质、圆周角与圆心角关系、圆内接四边形、同圆半径相等的转化、
五量定理。
3.圆的角的转移:圆外角、圆内角向圆上角转移;转移工具:平行线性质、相似(特别注意射影定理模型图转移)、圆内接四边形性质、关注公弧借圆周角定理转移、关注同弧所对的圆心角与圆周角
4.注重相关知识的运用:等腰三角形性质、角平分线、垂直平分线、全等三角形
5.热点考查预测:相似的“SAS”定理(S量的计算思路)、含两个特殊角的三角函数计算模型思路、从数据中寻找隐含关系-------特殊角和假射影定理相似模型
6.技巧:善于从图中寻找几何基本模型图
二.基本训练:
1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,D是劣弧AC的中点,BD交AC于点E.
⑴ 求证: ⑵若:,,求: DE的长
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC边为直径的⊙O交AB于D,连接OD并延长交CA的延长
线于点E,过点D作DF⊥OE交EC于点F.
(1)求证:AF=CF; (2)若ED=2,sin∠E=,求: AD的长.
3.如图,AB是△ABC的外接圆⊙O的直径,D是⊙O上一点,DE⊥AB于点E,且DE的延长线分别交AC。
⊙O和BC的延长线于点F、M、G.
(1)求证:AE·BE=EF·EG
(2)连接BD,若BD⊥BC,若EF=MF=2, 求: AE和MG的长.
4.如图,PAB、PDC为⊙O的割线,PE⊥AD于E,PF⊥BC于F. 求证:
巩固变式练习:
已知:如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,以BC为直径的⊙O交AB于E,D为AC的中点,连结BD交⊙O
于F, 求证:
5.如图,⊙O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C,过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE,E为切点,PE∥OD;延长直径AG交PE于点H;直线DG交OE于点F,交PE于点K.
(1)求证:四边形OCPE是矩形;
(2)求证:HK=HG;
(3)若:EF=2,FO=1,求:KE的长.
9.如图。D为⊙O直径AB上一点,CD⊥AB,P为⊙O外一点,AP=AC,连结PB交⊙O于F。
求证:∠ACF=∠APD
巩固变式练习:
如图10-1,在平面直角坐标系中,点在轴的正半轴上, ⊙交轴于 两点,交轴于两点,且为弧AE的中点,交轴于点,若点的坐标为(-2,0),
(1)求:点的坐标. (2)连结,求证:∥
(3) 如图10-2,过点作⊙的切线,交轴于点.动点在⊙的圆周上运动时,的比值是否发生变化,若不变,求出比值;若变化,说明变化规律.
10.已知:C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G.
(1)求证:点F是BD中点; (2)求证:CG是⊙O的切线;
(3)若FB=FE=2, 求:⊙O的半径.
三.综合训练:
1.如图所示,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,EF分别交AB、AC于P、Q,且∠B=∠CAE,FE:FD=4:3.
(1)连接DQ、DP,求证:四边形APDQ是菱形; (2)求:tan∠AED的值;
(3)如果半圆的半径为5,求:△ABD的面积.
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G,F,E点.
求证:(1)F是BC的中点; (2)∠A=∠GEF.
(3)若GE、CD的交点为M,且ME=,MD﹕CO=2﹕5,求:⊙O的直径CD的长
3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD垂直于AB,垂足为H
(1)求证:AC2=AH·AB; (2)当点B移动到点E的位置时,设弦AE的延长线与弦CD的延长线交于点F,此时是否仍有上面的结论成立(即AC2=AF·AE);
(3)过点F作⊙O的切线FP,切点为P,连接AP交CF于G,已知AC=,AE:EF=3:4,
求:FG的长.
4、已知:如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径,点E、F分别在AB、AC的延长线上,EF交⊙O于点M、N,交AD于点H,H是OD的中点,,EH-HF=2,设∠ACB=a,tana=,
EH和HF是方程x2-(k+2)x+4k=0的两个实数根。
(1)求:EH和HF的长, (2)求:BC的长。
(三)
1.如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,AB为直径,ABC=30°,CD是⊙O的切线,ED⊥AB于F,
(1)判断△DCE的形状;(2)设⊙O的半径为1,且OF=,求证: △DCE≌△OCB.
类型Ⅱ:字母型
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,⊙O经过A、B、D三点,CB的延长线交⊙O于点E.
(1) 求证: AE=CE; EF与⊙O相切于点E,交AC的延长线于点F,
(2) ①若CD=CF=2cm,求:⊙O的直径; ②若 (n>0), 求:sin∠CAB.
类型Ⅲ:隐含的“SAS”型
如图,已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为2,对角线AC与BD的交点为E,又知AE=EC,AB=AE,且BD=,求:四边形ABCD的面积。
类型Ⅳ:与方程的结合:
1.如图,已知△ABC内接于⊙O,弦BC所对的劣弧为120°,∠ABC、∠ACB的平分线BD、CE分别交AC于D,交AB于E,BD、CE相交于点F.
(1)求:cot∠EFB的值; (2)求证:EF=DF; (3) 若BF=3EF,且线段BF、CF的长是关于x
的方程的两个实根(m>0), 求:AB的长.
8. 如图所示,在平面直角坐标系中,以点M(2,3)为圆心,5为半径的圆交轴于A,B两点,过点M
作轴的垂线,垂足为D;过点B作⊙M的切线,与直线MD交于N点。
(1)求:点B、点N的坐标以及直线BN的解析式;
(2) 求: 过A、N、B、三点(对称轴与轴平行)的抛物线的解析式;
(3)设(2)中的抛物线与轴交于点P,以点D,B,P三点为顶点作平行四边形,请你求出第四个顶点Q的坐标,并判断Q是否在(2)中的抛物线上
A
D
O
B
M
N
x
y
9. 如图1,以点M(-1,0)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D,直线y=- x-
与⊙M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.
(1)请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长;
(2)如图2,弦HQ交x轴于点P,且DP:PH=3:2,求:cos∠QHC的值;
(3)如图3,点K为线段EC上一动点(不与E、C重合),连接BK交⊙M于点T,弦AT交x轴于点N.
是否存在一个常数a,始终满足MN·MK=a,如果存在,请求出a的值;如果不存在,请说明理由.
10.如图所示,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径、点E、F分别在AB、AC的延长线上,EF交⊙O于点M、N,交AD于点H,H是OD的中点,弧MD=弧DN,设,EH和HF是方程的两个实数根,且EH>HF (1)求:EH和HF的长; (2)求:BC的长。
12.已知:抛物线(a≠0),顶点C (1,),与x轴交于A、B两点,.
(1)求:这条抛物线的解析式.
(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A、D、B、E,点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合),过点P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,请判断
是否为定值? 若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作FG⊥EP ,FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合,G与E、B不重合),请判断是否成立.若成立,请给出证明;若不成立,
请说明理由.
第12题图
C
O
x
A
D
P
M
E
B
N
y