中考数学模拟试卷含解析12 18页

‎2016年浙江省杭州市卓越教育集团中考数学模拟试卷 一、选择题(每题3分，共30分)‎ ‎1．如果向左2m记作﹣2m，那么向右5m记作（　　）‎ A．﹣2m B．+2m C．﹣5m D．+5m ‎2．下面四个立体图形，从正面、左面、上面观察看到都是长方形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．当分式有意义时，x的取值范围是（　　）‎ A．x＜2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≥2‎ ‎4．歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响（　　）‎ A．平均分 B．众数 C．中位数 D．极差 ‎5．在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（　　）‎ A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm ‎7．已知关于x的方程2x+a﹣9=0的解是x=2，则a的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎8．若2m+n=﹣3，则4﹣4m﹣2n的值是（　　）‎ A．﹣2 B．10 C．7 D．1‎ ‎9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（　　）‎ A．π B．6π C．3π D．1.5π ‎10．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（　　）‎ A．4 B．8 C．16 D．8‎ ‎　‎ 二、填空题(每题3分，共18分)‎ ‎11．用科学记数法表示数0.0002016为______．‎ ‎12．计算： =______．‎ ‎13．分解因式：﹣3x+6x2﹣3x3=______．‎ ‎14．若方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是______．‎ ‎15．在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tanA+tanB的值为______．‎ ‎16．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在边AD上，且AE：ED=1：3．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为______．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．解方程：﹣=0．‎ ‎18．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点O是底边BC的中点，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，证明OD=OE．‎ ‎19．在等式y=ax+b中，当x=1时，y=﹣3；当x=﹣3时，y=13．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）当﹣1＜x＜2，求y的取值范围．‎ ‎20．平面直角坐标系中，点A在函数y1=（x＞0）的图象上，点B在y2=﹣（x＜0）的图象上，设A的横坐标为a，B的横坐标为b．‎ ‎（1）当|a|=|b|=5时，求△OAB的面积；‎ ‎（2）当AB∥x轴时，求△OAB的面积．‎ ‎21．在一个不透明的盒子中，装有三张卡片，卡片上分别标有数字“1”，“2”和“3”，它们除了数字不同外，其余都相同．‎ ‎（1）随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？‎ ‎（2）若第一次从这三张卡片中随机抽取一张，设记下的数字为x，此卡片不放回盒中，第二次再从余下的两张卡片中随机抽取一张，设记下的数字为y，请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果，并求出x+y＜4的概率．‎ ‎22．某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获得利润100元，每生产一个乙种产品可获得利润180元．在这10名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．‎ ‎（1）请写出此车间每天获取利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；‎ ‎（2）若要使此车间每天获取利润为14400元，要派多少名工人去生产甲种产品？‎ ‎（3）若要使此车间每天获取利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适？‎ ‎23．如图，一张矩形纸片ABCD中，AD＞AB将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到BC边上的点D′，折痕AE交DC于点E．‎ ‎（1）试用尺规在图中作出点D′和折痕AE（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）若AD=5，AB=4．‎ ‎①求ED的长．‎ ‎②若痕AE上存在一点F，它到点D的距离等于它到边BC的距离，在图中画出这个点，并直接写出FD的长．‎ ‎24．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．‎ ‎（1）求证：AC平分∠BAD；‎ ‎（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AD=3，求△ABC的面积．‎ ‎25．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，4）．‎ ‎（1）试写出b，c之间的关系式；‎ ‎（2）当a＞0时，若一次函数y=x+4的图象与y轴及该抛物线的交点依次为D，E，F，且E，F的横坐标x1与x2之间满足关系x2=6x1．‎ ‎①求△ODE与△OEF的面积比；‎ ‎②是否存在a，使得∠EPF=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年浙江省杭州市卓越教育集团中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题(每题3分，共30分)‎ ‎1．如果向左2m记作﹣2m，那么向右5m记作（　　）‎ A．﹣2m B．+2m C．﹣5m D．+5m ‎【考点】正数和负数．‎ ‎【分析】根据向左2m记作﹣2m，可以得到向右5m记作什么．‎ ‎【解答】解：∵向左2m记作﹣2m，‎ ‎∴向右5m记作+5m．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．下面四个立体图形，从正面、左面、上面观察看到都是长方形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单几何体的三视图．‎ ‎【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：A、从正面、左面、上面观察看到都是长方形，故A正确；‎ B、从正面、左面观察看到都是长方形，从上面看是圆，故B错误；‎ C、从正面、左面观察看到都是三角形，从上面看是圆，故C错误；‎ D、从正面、左面观察看到都是三角形，从上面看是正方形，故D错误；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．当分式有意义时，x的取值范围是（　　）‎ A．x＜2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≥2‎ ‎【考点】分式有意义的条件．‎ ‎【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．‎ ‎【解答】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式有意义．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响（　　）‎ A．平均分 B．众数 C．中位数 D．极差 ‎【考点】统计量的选择．‎ ‎【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．‎ ‎【解答】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】中心对称图形；轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，即可作出正确选择．‎ ‎【解答】解：菱形、矩形，线段、圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；‎ 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．‎ 共4个既是轴对称图形又是中心对称图形．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（　　）‎ A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm ‎【考点】垂径定理；勾股定理．‎ ‎【分析】连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．‎ ‎【解答】解：连接OA，‎ ‎∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，‎ ‎∴AC=AB=×6=3cm，‎ ‎∵⊙O的半径为5cm，‎ ‎∴OC===4cm，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．已知关于x的方程2x+a﹣9=0的解是x=2，则a的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】一元一次方程的解．‎ ‎【分析】根据方程的解的定义，把x=2代入方程，解关于a的一元一次方程即可．‎ ‎【解答】解；∵方程2x+a﹣9=0的解是x=2，‎ ‎∴2×2+a﹣9=0，‎ 解得a=5．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．若2m+n=﹣3，则4﹣4m﹣2n的值是（　　）‎ A．﹣2 B．10 C．7 D．1‎ ‎【考点】代数式求值．‎ ‎【分析】根据2m+n=﹣3，把4﹣4m﹣2n变形为4﹣2（2m+n），再整体代入即可．‎ ‎【解答】解：∵2m+n=﹣3，‎ ‎∴4﹣4m﹣2n=4﹣2（2m+n）=4﹣2×（﹣3）=4+6=10，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（　　）‎ A．π B．6π C．3π D．1.5π ‎【考点】旋转的性质；弧长的计算．‎ ‎【分析】根据弧长公式列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：的长==1.5π．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（　　）‎ A．4 B．8 C．16 D．8‎ ‎【考点】坐标与图形变化-平移；一次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y=2x﹣6上时的横坐标即可．‎ ‎【解答】解：如图所示．‎ ‎∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），‎ ‎∴AB=3．‎ ‎∵∠CAB=90°，BC=5，‎ ‎∴AC=4．‎ ‎∴A′C′=4．‎ ‎∵点C′在直线y=2x﹣6上，‎ ‎∴2x﹣6=4，解得 x=5．‎ 即OA′=5．‎ ‎∴CC′=5﹣1=4．‎ ‎∴S▱BCC′B′=4×4=16 （面积单位）．‎ 即线段BC扫过的面积为16面积单位．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题(每题3分，共18分)‎ ‎11．用科学记数法表示数0.0002016为　2.016×10﹣4　．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较小的数．‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎【解答】解：0.0002016=2.016×10﹣4．‎ 故答案是：2.016×10﹣4．‎ ‎　‎ ‎12．计算： =　1　．‎ ‎【考点】分式的加减法．‎ ‎【分析】根据分式的加减法法则：同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减计算即可．‎ ‎【解答】解：原式==1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎13．分解因式：﹣3x+6x2﹣3x3=　﹣3x（x﹣1）2　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】首先提取公因式﹣3x，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．‎ ‎【解答】解：﹣3x+6x2﹣3x3=﹣3x（1﹣2x+x2）=﹣3x（x﹣1）2．‎ 故答案为：﹣3x（x﹣1）2．‎ ‎　‎ ‎14．若方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是　5　．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；勾股定理．‎ ‎【分析】先用二次三项式的因式分解法求出一元二次方程的解，然后用勾股定理求出斜边的长．‎ ‎【解答】解：解方程x2﹣7x+12=0‎ 解得x=3，x=4；‎ 由勾股定理得：斜边长==5．‎ 故这个直角三角形的斜边长是5．‎ ‎　‎ ‎15．在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tanA+tanB的值为　3　．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义．‎ ‎【分析】由△ABC的面积为6可得ab=12，再由勾股定理可得a2+b2=62=36，再由tanA+tanB=+=求解．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的面积为6，‎ ‎∴ab=12．‎ 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，‎ ‎∴a2+b2=62=36，‎ ‎∴tanA+tanB====3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在边AD上，且AE：ED=1：3．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为　9　．‎ ‎【考点】轨迹．‎ ‎【分析】过点M作GH⊥AD，证明△EGM≌△FHM，得到MG=MH，从而可知：点M的轨迹是一条平行于BC的线段，然后证明△EF1B∽△∠EF1F2，求得F1F2=18，最后根据三角形中位线定理可求得答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：过点M作GH⊥AD．‎ ‎∵AD∥CB，GH⊥AD，‎ ‎∴GH⊥BC．‎ 在△EGM和△FHM中，‎ ‎∴△EGM≌△FHM．‎ ‎∴MG=MH．‎ ‎∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段．‎ 当点P与A重合时，BF1=AE=2，‎ 当点P与点B重合时，∠F2+∠EBF1=90°，∠BEF1+∠EBF1=90°，‎ ‎∴∠F2=∠EBF1．‎ ‎∵∠EF1B=∠EF1F2，‎ ‎∴△EF1B∽△∠EF1F2．‎ ‎∴，即：，‎ ‎∴F1F2=18，‎ ‎∵M1M2是△EF1F2的中位线，‎ ‎∴M1M2=F1F2=9．‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．解方程：﹣=0．‎ ‎【考点】解分式方程．‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得3（x﹣1）﹣（x+1）=0，‎ 解这个方程，得x=2，‎ 检验：当x=2时，（x+1）（x﹣1）≠0，‎ 则x=2是原方程的解．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点O是底边BC的中点，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，证明OD=OE．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】根据线段中点定义可得BO=CO，然后证明△BDO≌△CEO可得DO=EO．‎ ‎【解答】证明：∵点O是底边BC的中点，‎ ‎∴BO=CO，‎ ‎∵OD⊥AB，OE⊥AC，‎ ‎∴∠BDO=∠CEO=90°，‎ 在△BDO和△CEO中，‎ ‎∴△BDO≌△CEO（AAS），‎ ‎∴DO=EO．‎ ‎　‎ ‎19．在等式y=ax+b中，当x=1时，y=﹣3；当x=﹣3时，y=13．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）当﹣1＜x＜2，求y的取值范围．‎ ‎【考点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】（1）将x与y的两对值代入y=ax+b，即可求出a与b的值；‎ ‎（2）将y看做已知数，求出x，根据x的范围求出y的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）将x=1时，y=﹣3；x=﹣3时，y=13代入得：，‎ 解得：；‎ ‎（2）由y=﹣4x+1，得到x=，‎ ‎∵﹣1＜x＜2，‎ ‎∴﹣1＜＜2，‎ 解得：﹣7＜y＜5．‎ ‎　‎ ‎20．平面直角坐标系中，点A在函数y1=（x＞0）的图象上，点B在y2=﹣（x＜0）的图象上，设A的横坐标为a，B的横坐标为b．‎ ‎（1）当|a|=|b|=5时，求△OAB的面积；‎ ‎（2）当AB∥x轴时，求△OAB的面积．‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义．‎ ‎【分析】（1）如图1，作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，先旅游反比例函数解析式确定当A（5，），B（﹣，5），再利用反比例函数系数k的几何意义得到S△BOD=S△AOC=1，然后利用S△AOB=S梯形ABDC﹣S△BOD﹣S△AOC进行计算；‎ ‎（2）如图2，AB交y轴于H，根据反比例函数系数k的几何意义，利用S△AOB=S△BOH+S△AOH进行计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，‎ ‎∵|a|=|b|=5，‎ ‎∴a=5，b=5，‎ 当x=5时，y1==，则A（5，），‎ 当y=5时，﹣=5，解得x=﹣，则B（﹣，5），‎ ‎∵S△BOD=×2=1，S△AOC=×2=1，‎ ‎∴S△AOB=S梯形ABDC﹣S△BOD﹣S△AOC=×（+5）（5+）﹣1﹣1=；‎ ‎（2）如图2，AB交y轴于H，‎ ‎∵AB∥x轴，‎ ‎∴S△AOB=S△BOH+S△AOH=×2+×2=2．‎ ‎　‎ ‎21．在一个不透明的盒子中，装有三张卡片，卡片上分别标有数字“1”，“2”和“3”，它们除了数字不同外，其余都相同．‎ ‎（1）随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？‎ ‎（2）若第一次从这三张卡片中随机抽取一张，设记下的数字为x，此卡片不放回盒中，第二次再从余下的两张卡片中随机抽取一张，设记下的数字为y，请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果，并求出x+y＜4的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；概率公式．‎ ‎【分析】（1）利用概率公式即可直接求解；‎ ‎（2）利用树状图法求出所有可能的情况，然后利用概率公式即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）抽出数字为“2”的卡片的概率是；‎ ‎（2）‎ 共有6种不同的结果，满足x+y＜4的有2种，‎ 则P（x+y＜4）==．‎ ‎　‎ ‎22．某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获得利润100元，每生产一个乙种产品可获得利润180元．在这10名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．‎ ‎（1）请写出此车间每天获取利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；‎ ‎（2）若要使此车间每天获取利润为14400元，要派多少名工人去生产甲种产品？‎ ‎（3）若要使此车间每天获取利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适？‎ ‎【考点】一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据每个工人每天生产的产品个数以及每个产品的利润，表示出总利润即可；‎ ‎（2）根据每天获取利润为14400元，则y=14400，求出即可；‎ ‎（3）根据每天获取利润不低于15600元即y≥15600，求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得出：‎ y=12x×100+10（10﹣x）×180‎ ‎=﹣600x+18000；‎ ‎（2）当y=14400时，有14400=﹣600x+18000，‎ 解得：x=6，‎ 故要派6名工人去生产甲种产品；‎ ‎（3）根据题意可得，‎ y≥15600，‎ 即﹣600x+18000≥15600，‎ 解得：x≤4，‎ 则10﹣x≥6，‎ 故至少要派6名工人去生产乙种产品才合适．‎ ‎　‎ ‎23．如图，一张矩形纸片ABCD中，AD＞AB将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到BC边上的点D′，折痕AE交DC于点E．‎ ‎（1）试用尺规在图中作出点D′和折痕AE（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）若AD=5，AB=4．‎ ‎①求ED的长．‎ ‎②若痕AE上存在一点F，它到点D的距离等于它到边BC的距离，在图中画出这个点，并直接写出FD的长．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）以AD长为半径画弧与BC交于点D′，再做出∠DAD′的平分线，即可得出符合要求的图形；‎ ‎（2）利用勾股定理以及翻折变换性质得出DE=D′E=x，EC=4﹣x，进而得出即可；‎ ‎②过D′作CB的垂线交AE于F，根据翻折变换的性质可知，F即为所求，证明△ABG∽△FD′G，根据相似三角形的性质列出比例式，求出FD′的值，得到FD的长．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：‎ ‎（2）①∵AD=5，AB=4，‎ ‎∴AD′=5，‎ ‎∴BD′==3，‎ ‎∴CD′=5﹣3=2，‎ 设DE=D′E=x，‎ 则EC=4﹣x，‎ 故EC2+D′C2=D′E2，‎ 即（4﹣x）2+22=x2，‎ 解得：x=，‎ 故ED的长为：．‎ ‎②如图所示，过D′作CB的垂线交AE于F，‎ 由翻折变换的性质可知，DF=FD′，‎ 分别延长AE，BC相交于点G，‎ ‎∵AD平行于CB，‎ ‎∴∠DAG=∠AGC，‎ ‎∵∠DAG=∠D′AG，AGC=∠D′AG，‎ ‎∴GD′=AD′=AD=5，‎ ‎∵D′F⊥CB，‎ ‎∴FD′∥AB，‎ ‎∴△ABG∽△FD′G，‎ ‎∵Rt△ABD′中，AD′=5，AB=4，‎ ‎∴BD′=3，BG=BD′+D′G=3+5=8，‎ ‎∴△ABG与△FD′G的相似比为8：5，‎ ‎∴AB：FD′=8：5，‎ ‎∵AB=4，‎ ‎∴FD′=2.5，即FD=2.5．‎ ‎　‎ ‎24．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．‎ ‎（1）求证：AC平分∠BAD；‎ ‎（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AD=3，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）首先连接OC，由PE是⊙O的切线，AE和过点C的切线互相垂直，可证得OC∥AE，又由OA=OC，易证得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠BAD；‎ ‎（2）由AB是⊙O的直径，PE是切线，可证得∠PCB=∠PAC，即可证得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的对应边成比例与PB：PC=1：2，即可求得答案；‎ ‎（3）首先过点O作OH⊥AD于点H，则AH=AD=，四边形OCEH是矩形，即可得AE=+OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OC的长，再由△PBC∽△PCA，证得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得（2BC）2+BC2=52，即可求得BC的长，继而求得答案．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，‎ ‎∵PE是⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥PE，‎ ‎∵AE⊥PE，‎ ‎∴OC∥AE，‎ ‎∴∠DAC=∠OCA，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OCA=∠OAC，‎ ‎∴∠DAC=∠OAC，‎ ‎∴AC平分∠BAD；‎ ‎（2）线段PB，AB之间的数量关系为：AB=3PB．‎ 理由：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠BAC+∠ABC=90°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠OCB=∠ABC，‎ ‎∵∠PCB+∠OCB=90°，‎ ‎∴∠PCB=∠PAC，‎ ‎∵∠P是公共角，‎ ‎∴△PCB∽△PAC，‎ ‎∴，‎ ‎∴PC2=PB•PA，‎ ‎∵PB：PC=1：2，‎ ‎∴PC=2PB，‎ ‎∴PA=4PB，‎ ‎∴AB=3PB；‎ ‎（3）解：过点O作OH⊥AD于点H，则AH=AD=，四边形OCEH是矩形，‎ ‎∴OC=HE，‎ ‎∴AE=+OC，‎ ‎∵OC∥AE，‎ ‎∴△PCO∽△PEA，‎ ‎∴，‎ ‎∵AB=3PB，AB=2OB，‎ ‎∴OB=PB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴OC=，‎ ‎∴AB=5，‎ ‎∵△PBC∽△PCA，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC=2BC，‎ 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴（2BC）2+BC2=52，‎ ‎∴BC=，‎ ‎∴AC=2，‎ ‎∴S△ABC=AC•BC=5．‎ ‎　‎ ‎25．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，4）．‎ ‎（1）试写出b，c之间的关系式；‎ ‎（2）当a＞0时，若一次函数y=x+4的图象与y轴及该抛物线的交点依次为D，E，F，且E，F的横坐标x1与x2之间满足关系x2=6x1．‎ ‎①求△ODE与△OEF的面积比；‎ ‎②是否存在a，使得∠EPF=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）把抛物线解析式写成顶点式，可用a分别表示出b和c，可得到b和c之间的关系式；‎ ‎（2）①由条件可知△ODE和△ODF同底，且高的比为E、F两点的横坐标之比，可求得△ODE和△ODF的面积之间的关系，可求得答案；‎ ‎②可设出E点坐标为（m，m+4），表示出F点的坐标，由条件可证明△EPM∽△PFN，根据相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m，可求得E、F点的坐标，把F点坐标代入抛物线解析式可求得a的值，再把E点坐标代入验证即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线顶点坐标为（2，4），‎ ‎∴抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+4=ax2﹣4ax+4a+4，‎ ‎∴b=﹣4a，c=4a+4，‎ ‎∴b+c=4；‎ ‎（2）①由题意可知△ODE和△ODF的底边DE、DF边上的高相同，‎ ‎∴S△ODE：S△ODF=DE：DF=x1：x2=1：6，‎ ‎∴S△ODE：S△OEF=1：5；‎ ‎②如图，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，交直线DP于点M、N，‎ ‎∵直线y=x+4，‎ ‎∴设点E坐标为（m，m+4），则点F的坐标为（6m，6m+4），‎ ‎∴EM=EG﹣MG=m+4﹣4=m，FN=FH﹣NH=6m+4﹣4=6m，PM=PD﹣MD=2﹣m，PN=DN﹣PD=6m﹣2，‎ ‎∵∠EPF=90°，‎ ‎∴∠EPM+∠FPN=90°，且∠FPN+∠PFN=90°，‎ ‎∴∠EPM=∠PFN，‎ ‎∴△EPM∽△PEN，‎ ‎∴=，即=，‎ 整理可得6m2+7m+2=0，解得m=或m=，‎ 当m=时，点E（，），F（3，7），把F点坐标代入抛物线解析式可得a+4=7，解得a=3，‎ ‎∴抛物线解析式为y=3（x﹣2）2+4，当x=时，代入可求得y=≠，即点E不在该抛物线图象上，不符合题意，‎ 当m=时，点E（，4），F（4，8），把F点坐标代入抛物线解析式可求得a=1，‎ ‎∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+4，当x=时，代入可求得y=≠4，即点E不在抛物线图象上，不符合题意，‎ 综上可知不存在满足条件的a的值．‎