全国各地中考数学压轴题专集答案反比例函数 30页

‎2012年全国各地中考数学压轴题专集答案 三、反比例函数 ‎1．（北京模拟）如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上任意一点（不与A、B重合），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D．设OC＝x，四边形OCPD的面积为S．‎ ‎（1）若已知A（4，0），B（0，6），求S与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）若已知A（a，0），B（0，b），且当x＝ 时，S有最大值 ，求a、b的值；‎ P B O C A x y D ‎（3）在（2）的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y轴的距离相等，点N在过M点的反比例函数图象上，且△OAN是直角三角形，求点N的坐标．‎ ‎1．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b 由A（4，0），B（0，6），得 解得 ‎∴直线AB的解析式为y＝－ x＋6‎ ‎∵OC＝x，∴P（x，－ x＋6）‎ ‎∴S＝x(－ x＋6)‎ 即S＝－ x 2＋6x（0＜x＜4）‎ ‎（2）设直线AB的解析式为y＝mx＋n ‎∵OC＝x，∴P（x，mx＋n）‎ ‎∴S＝mx 2＋nx ‎∵当x＝ 时，S有最大值 ‎ ‎∴ 解得 ‎∴直线AB的解析式为为y＝－2x＋3‎ ‎∴A（ ，0），B（0，3）‎ 即a＝ ，b＝3‎ ‎（3）设点M的坐标为（xM ，yM），‎ ‎∵点M在（2）中的直线AB上，∴yM＝－2xM＋3‎ ‎∵点M到x轴、y轴的距离相等，‎ ‎∴xM＝yM 或xM＝－yM 当xM＝yM 时，易得M点的坐标为（1，1）‎ ‎∴过M点的反比例函数的解析式为y＝ ‎∵点N在y＝ 的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形 ‎∴点N的坐标为（ ，）‎ 当xM＝－yM 时，M点的坐标为（3，－3）‎ 过M点的反比例函数的解析式为y＝－ ‎∵点N在y＝－ 的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形 ‎∴点N的坐标为（ ，－6）‎ 综上，点N的坐标为（ ，）或（ ，－6）‎ ‎2．（北京模拟）已知点A是双曲线y＝ （k1＞0）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线y＝ （k2＜0）交于点C．点D（m，0）是x轴上一点，且位于直线AC右侧，E是AD的中点．‎ ‎（1）如图1，当m＝4时，求△ACD的面积（用含k1、k2的代数式表示）；‎ ‎（2）如图2，若点E恰好在双曲线y＝ （k1＞0）上，求m的值；‎ ‎（3）如图3，设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当m＝2时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求k1的值，并直接写出线段CF的长．‎ 图2‎ E B O C A x y D 图3‎ E B O C A x y D F 图1‎ E B O C A x y D 解：（1）由题意得A，C两点的坐标分别为A（1，k1），C（1，k2）‎ ‎∵k1＞0，k2＜0，∴点A在第一象限，点C在第四象限，AC＝k1－k2‎ 当m＝4时，S△ACD ＝ AC·BD＝ ( k1－k2)‎ E B O C A x y D G ‎（2）作EG⊥x轴于点G，则EG∥AB ‎∵E是AD的中点，∴G是BD的中点 ‎∵A（1，k1），B（1，0），D（m，0）‎ ‎∴EG＝ AB＝ ，BG＝ BD＝ ，OG＝OB＋BG＝ ‎∴点E的坐标为E（ ，）‎ ‎∵点E恰好在双曲线y＝ （k1＞0）上 ‎∴· ＝k1 ①‎ ‎∵k1＞0，∴方程①可化为 ＝1，解得m＝3‎ ‎（3）当m＝2时，点D的坐标为D（2，0），由（2）可知点E的坐标为E（ ，）‎ E B O C A x y D F ‎∵S△BDF ＝1，∴ BD·OF＝1，∴OF＝2‎ 设直线BE的解析式为y＝ax＋b（a≠0）‎ ‎∵B（1，0），E（ ，）‎ ‎∴ 解得 ‎∴直线BE的解析式为y＝k1x－k1‎ ‎∵线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，k1＞0‎ ‎∴点F的坐标为F（0，－k1），∴OF＝k1‎ ‎∴k1＝2‎ 线段CF的长为 ‎3．（上海模拟）Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，tan∠BAC＝ ，反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．‎ ‎（1）求反比例函数和直线AB的解析式；‎ B O C A x y D E F ‎（2）设直线AB与y轴交于点F，点P是射线FD上一动点，是否存在点P使以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）∵点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上 B O C A x y D E H F ‎∴ 得n＝2m 过点E作EH⊥BC于H，连接DE 在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠BAC＝ ，EH＝2，∴BH＝1‎ ‎∴D（4，m），E（2，2m），B（4，2m＋1）‎ ‎∵S△BDE ＝ BD·EH＝ ( m＋1)×2＝2，m＝1‎ ‎∴D（4，1），E（2，2），B（4，3）‎ ‎∵点D（4，1）在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，∴k＝4‎ ‎∴反比例函数的解析式为y＝ 设直线AB的解析式为y＝k′x＋b，把B（4，3），E（2，2）代入 得 解得 ‎∴直线AB的解析式为y＝ x＋1‎ B O C A x y D E F P ‎（2）∵直线y＝ x＋1与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），‎ ‎∴FD∥x轴，∠EFP＝∠EAO 因此以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似有两种情况：‎ ‎①若 ＝ ，则△FEP∽△AEO ‎∵E（2，2），F（0，1），∴EF＝ ‎∵直线y＝ x＋1与x轴交于点A，∴A（0，－2）‎ B O C A x y D E F P ‎∴ ＝ ，∴FP＝1‎ ‎∴P（1，1）‎ ‎②若 ＝ ，则△FPE∽△AEO ‎∴ ＝ ，∴FP＝5‎ ‎∴P（5，1）‎ ‎4．（安徽某校自主招生）如图，直角梯形OABC的腰OC在y轴的正半轴上，点A（5n，0）在x轴的负半轴上，OA : AB : OC＝5 : 5 : 3．点D是线段OC上一点，且OD＝BD．‎ ‎（1）若直线y＝kx＋m（k≠0）过B、D两点，求k的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，反比例函数y＝ 的图象经过点B．‎ ‎①求证：反比例函数y＝ 的图象与直线AB必有两个不同的交点；‎ x y O C A B E F ‎②设反比例函数y＝ 的图象与直线AB的另一个交点为E，已知点P（p，－n－1），Q（q，－n－2）在线段AB上，当点E落在线段PQ上时，求n的取值范围．‎ 解：（1）∵A（5n，0），OA : OC＝5 : 3，点C在y轴的正半轴上 ‎∴C（0，－3n）‎ ‎∵BC∥OA，∴点B的纵坐标为－3n 过点B作BG⊥OA于G，则BG＝－3n x y O C A B E F G D 设OG＝x，在Rt△ABG中，(－5n－x )2＋(－3n )2＝(－5n )2‎ 解得x＝－n或x＝－9n（舍去）‎ ‎∴B（n，－3n）‎ 设OD＝t，∵点D是线段OC上一点，且OD＝BD ‎∴t 2＝(－3n－t )2＋(－n )2，∴t＝－ n ‎∴D（0，－ n）‎ 把B、D的坐标代入y＝kx＋m，得 解得k＝－ ‎（2）①∵比例函数y＝ 的图象经过点B，∴m＝n(－3n )＝－3n 2‎ ‎∴y＝－ 由A（5n，0），B（n，－3n）可得直线AB的解析式为y＝ x－ n 由y＝－ 和y＝ x－ n消去y并整理得：3x 2－15nx＋12n 2＝0‎ ‎∵△＝(－15n )2－4×3×12n 2＝9n 2＞0‎ ‎∴反比例函数y＝－ 的图象与直线AB必有两个不同的交点 联立 解得 ‎∴E（4n，－ n）‎ 当点E过点P时，有－n－1＝－ n，∴n＝－4‎ 当点E过点Q时，有－n－2＝－ n，∴n＝－8‎ ‎∴当点E落在线段PQ上时，n的取值范围是：－8≤n ≤－4‎ ‎5．（浙江杭州）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k( x 2＋x－1)的图象交于点A（1，k）和点B（－1，－k）．‎ ‎（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；‎ ‎（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．‎ 解：（1）当k＝－2时，A（1，－2）‎ 设反比例函数为y＝ ，则k′＝1×(－2)＝－2‎ ‎∴反比例函数的解析式为y＝－ ‎（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大 则反比例函数只能在二、四象限，k′＝k ＜0‎ 此时二次函数开口向下，故x ≤－ ＝－ 才满足要求 综上所述，k ＜0且x ≤－ ‎（3）∵y＝k( x 2＋x－1)＝k( x＋ )2－ k，∴Q（－ ，－ k）‎ ‎∵A（1，k），B（－1，－k），∴A、B两点关于原点O对称，即O是AB的中点 又∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，∴OQ＝OA ‎∴(－ )2＋( － k )2＝1 2＋k 2，解得k＝± ‎6．（浙江义乌）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝ 在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA＝ ．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ G B F C x O y A H D E ‎（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正轴交于点H、G，求线段OG的长．‎ 解：（1）在Rt△BOA中，∵OA＝4，tan∠BOA＝ ‎∴AB＝OA·tan∠BOA＝2，∴B（4，2）‎ ‎∵点D为对角线OB的中点，∴D（2，1）‎ G B F C x O y A H D E ‎∵点D在反比例函数y＝ 的图象上，∴1＝ ，∴k＝2‎ ‎∴反比例函数的解析式为y＝ ‎（2）设点F（a，2），则2a＝2，∴CF＝a＝1‎ 连接FG，设OG＝t，则OG＝FG＝t，CG＝2－t 在Rt△CGF中，FG 2＝CF 2＋CG 2‎ ‎∴t 2＝12＋( 2－t )2，解得t＝ ‎∴OG＝t＝ ‎7．（浙江某校自主招生）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P重合），以PQ为边，∠PQM＝60°作菱形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－ 的图象上．‎ ‎（1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点M1的坐标；‎ ‎（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M在第四象限，另一个菱形的顶点M1在第二象限．通过改变P点坐标，对直线MM1的解析式y＝kx＋b进行探究可得k＝__________，若点P的坐标为（m，0），则b＝__________（用含m的代数式表示）；‎ ‎（3）继续探究：①若点P的坐标为（m，0），则m在什么范围时，符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个？‎ x y O 备用图 ‎②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M坐标的所有情况．‎ x y P O Q M N x y P O Q M N Q1‎ M1‎ N1‎ H 解：（1）过M1作M1H⊥PQ1于H，设Q1（x，0），‎ 显然点Q1在x轴的负半轴上，点M1在第二象限 ‎∵P（1，0），∴M1Q1＝PQ1＝1－x ‎∵∠PQM1＝60°，∴Q1H＝ (1－x )，M1H＝ (1－x )‎ ‎∴OH＝－x－ (1－x )＝－ (1＋x )‎ ‎∴M1（ (1＋x )，(1－x )）‎ x y P O Q3‎ M3‎ N3‎ ‎(Q1)‎ M1‎ N1‎ Q6‎ M6‎ N6‎ ‎∵点M1在反比例函数y＝－ 的图象上 ‎∴(1＋x )· (1－x )＝－2 ，解得：x＝3（舍去）或x＝－3‎ ‎∴M1（－1，2 ）‎ ‎（2）k＝－ ，b＝ m 提示：连接PM1、PM，则∠M1PQ1＝∠OPN＝∠MPN＝60°‎ ‎∴∠M1PM＝180°，即M1、P、M三点共线且∠M1MN＝60°‎ 可得直线MM1的解析式为y＝－ x＋b，∴k＝－ 若点P的坐标为（m，0），则直线MM1的解析式为y＝－ x＋ m ‎∴b＝ m ‎（3）①若符合条件的菱形有三个，则其中必有一个菱形的一条边PN或对角线PM所在直线与双曲线只有一个交点 由∠QPM＝60°或∠PNM＝60°，P（m，0），得直线PM或直线PN的解析式为y＝ x－ m x y P O Q5‎ M5‎ N5‎ ‎(Q4)‎ N2‎ Q2‎ M2‎ M4‎ N4‎ 令y＝ x－ m＝－ ，得x 2－mx＋2＝0‎ ‎△＝m 2－8＝0，得m＝±2 ‎∴当－2 ＜m ＜2 时，△＜0，满足条件的菱形有两个 当m＝±2 时，△＝0，满足条件的菱形有三个 当m ＞2 或m ＜－2 时，△＞0，满足条件的菱形有四个 ‎②由①知，当符合条件的菱形刚好有三个时，m＝±2 当m＝2 时，点P的坐标为（2 ，0）‎ 把m＝2 代入x 2－mx＋2＝0，得x 2－2 x＋2＝0‎ 解得x＝ ，∴M1（，－ ）‎ 设Q（x，0），由（1）知，(2 ＋x )· (2 －x )＝－2 解得：x＝4或x＝－4‎ ‎∴M2（2－ ，－2 － ），M3（－2＋ ，2 ＋ ）‎ 当m＝－2 时，由对称性可得：M4（－ ， ），M5（－2－ ，2 － ），M6（2＋ ，－2 ＋ ）‎ ‎8．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线y＝x对称，反比例函数y＝ （x＞0）图象经过点A，点P是直线y＝x上一动点．‎ ‎（1）填空：B点的坐标为（______，______）；‎ ‎（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE＋QF＋QB的值最小时，求出Q点坐标．‎ B x O y A B x O y A 备用图 B x O y A P C 图1‎ 解：（1）（3，1）‎ ‎（2）∵反比例函数y＝ （x＞0）图象经过点A（1，3）‎ ‎∴k＝1×3＝3‎ ‎∴反比例函数的解析式为y＝ ‎∵点P在直线y＝x上，∴设P（m，m）‎ ‎①若PC为平行四边形的边 ‎∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2‎ ‎∴若点C在点P下方，则点C的坐标为（m＋2，m－2），如图1‎ 若点C在点P上方，则点C的坐标为（m－2，m＋2），如图2‎ B x O y A P C 图2‎ 把C（m＋2，m－2）代入反比例函数的解析式，得：‎ m－2＝ ，解得m＝± ‎∵m＞0，∴m＝ ‎∴C1（＋2，－2）‎ 同理可得另一点C2（－2，＋2）‎ ‎②若PC为平行四边形的对角线，如图3‎ ‎∵A、B关于直线y＝x对称，∴OP⊥AB 此时点C在直线y＝x上，且为直线y＝x与双曲线y＝ 的交点 B x O y A P C 图3‎ 由 解得 （舍去）‎ ‎∴C3（，）‎ 综上所述，满足条件的点C有三个，坐标分别为：‎ C1（＋2，－2），C2（－2，＋2），C3（，）‎ ‎（3）连接AQ，设AB与OP的交点为D，如图4‎ ‎∵四边形AOBP是菱形，∴AO＝AP ‎∵S△AOP ＝S△AOQ ＋ S△APQ B x O y A P 图4‎ Q D E F ‎∴ OP·AD＝ AO·QE＋ AP·QF ‎∴QE＋QF＝ 为定值 ‎∴要使QE＋QF＋QB的值最小，只需QB的值 当QB⊥OP时，QB最小，所以D点即为所求的点 ‎∵A（1，3），B（3，1），∴D（2，2）‎ ‎∴当QE＋QF＋QB的值最小时，Q点坐标为（2，2）‎ ‎9．（浙江模拟）已知点P（m，n）是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y＝ （x＞0）的图象于点A、B，点C是直线y＝2x上的一点．‎ ‎（1）请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；‎ ‎（2）在点P运动过程中，连接AB，△PAB的面积是否变化，若不变，请求出△PAB的面积；若改变，请说明理由；‎ B x O y A P C y＝ y＝ y＝2x ‎（3）在点P运动过程中，以点P、A、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ A B P O x Q y 图1‎ 解：（1）P（m，），A（ ，），B（m，）‎ ‎（2）∵PA＝m－ ＝ ，PB＝ － ＝ ‎∴S△PAB ＝ PA·PB＝ ×× ＝ ‎∴△PAB的面积不变 ‎（3）①若AP是平行四边形的边，如图1、图2‎ 则AP∥BQ且AP＝BQ 得Q（，）或Q（，）‎ ‎∵点Q在直线y＝2x上 A B P O x Q y 图3‎ A B P O x Q y 图2‎ ‎∴ ＝2× 或 ＝2× 解得m＝ 或m＝1（舍去负值）‎ ‎∴P（，2）或P（1，6）‎ ‎②若AP是平行四边形的对角线，如图3‎ 则QA∥PB且QA＝PB 得Q（， ＋ ）‎ ‎∵点Q在直线y＝2x上 ‎∴ ＋ ＝2× ，解得m＝3（舍去负值）‎ ‎∴P（3，2）‎ ‎10．（江苏徐州）如图，直线y＝x＋b（b＞4）与x轴、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数y＝－ 的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆．CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E．‎ ‎（1）△CDE是______________三角形；点C的坐标为______________，点D的坐标为_____________（用含有b的代数式表示）；‎ ‎（2）b为何值时，点E在⊙O上？‎ ‎（3）随着b取值逐渐增大，直线y＝x＋b与⊙O有哪些位置关系？求出相应b的取值范围．‎ ‎－5‎ ‎5‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎2‎ ‎4‎ x O y 备用图 ‎－5‎ ‎5‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎2‎ ‎4‎ B x O y A D C E y＝－ y＝x＋b 解：（1）等腰直角 C（，），D（，）‎ ‎（2）当点E在⊙O上时，如图1，连接OE，则OE＝CD ‎ ∵直线y＝x＋b与x轴、y轴相交于点A（－b，0），B（0，b），CE∥x轴，DE∥y轴 ‎－5‎ ‎5‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎2‎ ‎4‎ B x O y A D C E y＝－ y＝x＋b F 图1‎ ‎∴△DCE、△BAO是等腰直角三角形 ‎∵整个图形是轴对称图形，∴OE平分∠AOB，∠AOE＝∠BOE＝45°‎ ‎∵CE∥x轴，DE∥y轴，∴四边形CAOE、OEDB为等腰梯形 ‎∴OE＝AC＝BD ‎∵OE＝CD，∴OE＝AC＝BD＝CD 过点C作CF⊥x轴于F，则△AFC∽△AOB ‎∴ ＝ ＝ ，∴yC＝CF＝ BO＝ b ‎∴ ＝ b，解得b＝±3 ‎∵b＞4，∴b＝3 ‎∴当b＝3 时，点E在⊙O上 ‎（3）当⊙O与直线y＝x＋b相切于点G时，如图2，连接OG ‎∵整个图形是轴对称图形，∴点O、E、G在对称轴上 ‎－5‎ ‎5‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎2‎ ‎4‎ B x O y A D C E y＝－ y＝x＋b H G 图2‎ ‎∴GC＝GD＝ CD＝ OG＝ AG ‎∴AC＝CG＝GD＝DB，∴AC＝ AB 过点C作CH⊥x轴于H，则△AHC∽△AOB ‎∴ ＝ ＝ ，∴yC＝CH＝ BO＝ b ‎∴ ＝ b，解得b＝± ‎∵b＞4，∴b＝ ‎∴当b＝ 时，直线y＝x＋b与⊙O相切 当4＜b ＜ 时，直线y＝x＋b与⊙O相离 当b ＞ 时，直线y＝x＋b与⊙O相交 ‎11．（江苏泰州）如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2＝ 的图象相交于B（－1，5）、C（ ，d）两点．点P（m、n）是一次函数y1＝kx＋b的图象上的动点．‎ ‎（1）求k、b的值；‎ ‎（2）设－1＜m ＜ ，过点P作x轴的平行线与函数y2＝ 的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ B x O y A D C P ‎（3）设m＝1－a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．‎ 解：（1）将点B（－1，5）代入y2＝ ，得5＝ ，∴c＝－5‎ ‎∴y2＝－ 将点C（ ，d）代入y2＝－ ，得d＝－ ＝－2‎ ‎∴C（ ，－2）‎ 将B（－1，5），C（ ，－2）代入y1＝kx＋b，得 解得 ‎（2）存在 由（1）知，y1＝－2x＋3，令y1＝0，即－2x＋3＝0，得x＝ ‎∴A（ ，0）‎ ‎∵－1＜m ＜ ，∴点P在线段AB上运动（不含A、B）‎ 设P（ ，n）‎ ‎∵DP∥x轴，且点D在y2＝－ 的图象上，∴D（－ ，n）‎ ‎∴S△PAD ＝ DP·yP＝ ( ＋ )·n＝－ ( n－ )2＋ ‎∵－ ＜0，∴S△PAD 有最大值 ‎∵n＝－2m＋3，－1＜m ＜ ，∴0＜n ＜5‎ ‎∴当n＝ 时，△PAD的面积最大，最大值为 ，此时点P的坐标为（ ， ）‎ ‎（3）∵m＝1－a，∴n＝1＋2a ‎∵在m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，∴m≠n 即1－a≠1＋2a，∴a≠0‎ ‎①当a ＞0时，则1－a ＜1＜1＋2a ‎∵在m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数 ‎∴ 解得0＜a ≤ ‎②当a ＜0时，则1＋2a ＜1＜1－a ‎∵在m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数 ‎∴ 解得－ ≤a ＜0‎ 综上所述，实数a的取值范围是－ ≤a ＜0或0＜a ≤ ‎12．（江苏模拟）如图，双曲线y＝ （x＞0）与过A（1，0）、B（0，1）的直线交于P、Q两点，连接OP、OQ．点C是线段OA上一点（不与O、A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．‎ ‎（1）求证：△OAQ≌△OBP；‎ ‎（2）当a为何值时，CE＝AC？‎ x y C A B E P Q D O F ‎（3）是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（1）证明：设直线AB的解析式为y＝kx＋b ‎∴ 解得 ∴y＝－x＋1‎ x y C A B E P Q D O G M N F 联立 解得 ‎∴P（ ，），Q（ ，）‎ 过P作PM⊥y轴于M，过Q作QN⊥x轴于N 则PM＝QN＝ ‎∵OA＝OB＝1，∴∠OAB＝∠OBA＝45°‎ ‎∴AQ＝QN，BP＝PM，∴AQ＝BP 在△△OAQ和△OBP中 ∴△△OAQ≌△OBP ‎（2）解：过D作DG⊥OA于G ‎∵∠OAB＝45°，CD⊥AB，∴△CDA是等腰直角三角形 ‎∴DG＝ CA＝ a ‎∵DE⊥OB，∴四边形OEDG是矩形，∴OE＝DG＝ a ‎∵CE＝AC，∴(1－a )2＋( a)2＝a 2‎ 解得：a＝4＋2（舍去）或a＝4－2 ‎∴当a＝4－2 时，CE＝AC ‎（3）存在 由（2）知，C（1－a，0），E（0，）‎ 可得直线EC的解析式为y＝ x＋ x y C A B E P Q O F N H D 由Q（ ，），得直线OQ的解析式为y＝ x 解方程组 得 ‎∴F（ ，）‎ ‎①若EF＝OF 过F作FH⊥OE于H，则OH＝ OE，∴ ＝ a ‎∵a≠0，∴ ＝ ，解得a＝ ‎∴C1（ ，0）‎ x y C A B E P Q D O F H ‎②若OE＝OF，则OF＝ a 过F作FH⊥OC于H ‎∵F（ ，），∴FH＝ OH ‎∴FH＝ OF＝ a，∴ ＝ a ‎∵a≠0，∴＝ ，解得a＝ ‎∴C2（ ，0）‎ x y C A B E P Q D O F H K ‎③若OE＝EF 过E作EK⊥OF于K，则OK＝ OF＝ FH 易证△EOK∽△OFH，得OE＝OK＝5FH 即FH＝ OE，∴ ＝ a ‎∵a≠0，∴ ＝ ，解得a＝ ‎∴C3（ ，0）‎ 综上所述，存在点C1（ ，0），C2（ ，0），C3（ ，0），使得△OEF为等腰三角形 ‎13．（河北）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象一定过点C；‎ ‎（3）对于一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写出过程）．‎ B x O y A D C P 解：（1）由题意，AD＝BC＝2，故点D的坐标为（1，2）‎ ‎∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点D（1，2）‎ ‎∴2＝ ，∴m＝2‎ 反比例函数的解析式为y＝ ‎（2）当x＝3时，y＝3k＋3－3k＝3‎ ‎∴一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象一定过点C ‎（3）设点P的横坐标为a， ＜a ＜3‎ B x O y A D C ‎14．（山东济南）如图，已知双曲线y＝ 经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限分支上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；‎ ‎（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．‎ 解：（1）∵双曲线y＝ 经过点D（6，1）‎ ‎∴1＝ ，∴k＝6‎ ‎（2）设点C到BD的距离为h ‎∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，∴BD＝6‎ ‎∴S△BCD＝ ×6×h＝12，∴h＝4‎ B x O y A D C E F ‎∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1‎ ‎∴点C的纵坐标为－3‎ ‎∴－3＝ ，∴x＝－2‎ ‎∴点C的坐标为（－2，－3）‎ 设直线CD的解析式为y＝kx＋b 则 解得 ‎∴直线CD的解析式为y＝ x－2‎ ‎（3）AB∥CD 理由如下：‎ 设直线CD与x轴，y轴分别交于点E，F，则E（4，0），F（0，－2）‎ ‎∴OE＝4，OF＝2，∴tan∠EFO＝ ＝2‎ ‎∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，C（－2，－3），D（6，1）‎ ‎∴A（－2，0），B（0，1），∴OA＝2，OB＝1，∴tan∠ABO＝ ＝2‎ ‎∴∠ABO＝∠EFO，∴AB∥CD ‎15．（山东淄博）如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y＝－ x＋b过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；‎ ‎（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．‎ A B D O C E F y x ‎（4）若点P是x轴上的动点，点Q是（1）中的反比例在第一象限图象上的动点，且使得△PDQ为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标．‎ 解：（1）设反比例函数的解析式为y＝ ‎∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴4＝ ‎∴k＝12，∴y＝ ‎（2）由题意，点D的横坐标为4‎ 把x＝4代入y＝ ，得y＝3，∴D（4，3）‎ 把D（4，3）代入y＝－ x＋b，得3＝－ ×4＋b A B D O C E F y x G ‎∴b＝5，∴y＝－ x＋5‎ 把y＝4代入y＝－ x＋5，得4＝－ x＋5‎ ‎∴x＝2，∴F（2，4）‎ ‎（3）∠AOF＝ ∠EOC 证明：在AO上取点G，使GC＝GF，连接GF 则∠GOF＝∠GFO，∴∠AGF＝2∠AOF 设GC＝GF＝x，则AG＝4－x 在Rt△AGF中，2 2＋(4－x )2＝x 2‎ 解得x＝ ，∴AG＝4－ ＝ ‎∴tan∠AGF＝ ＝ ＝ ‎∵tan∠AEO＝ ＝ ，∴∠AGF＝∠AEO ‎∴∠AEO＝2∠AOF 又AB∥OC，∴∠AEO＝∠EOC ‎∴∠EOC＝2∠AOF，即∠AOF＝ ∠EOC ‎（4）P1（ ，0），P2（5，0），P3（ ，0）‎ ‎16．（湖北某校自主招生）在直角坐标系中，O为坐标原点，A是双曲线y＝ （k＞0）在第一象限图象上的一点，直线OA交双曲线于另一点C．‎ ‎（1）如图1，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移 个单位后与双曲线在第一象限的图象交于点M，交y轴于点N，若 ＝ ，求k的值；‎ O C A B x y 图2‎ D ‎（2）如图2，若k＝1，点B在双曲线的第一象限的图象上运动，点D在双曲线的第三象限的图象上运动，且使得四边形ABCD是凸四边形时，求证：∠BCD＝∠BAD．‎ O C A N x y M 图1‎ 解：（1）依题意，可得直线MN的解析式为y＝x，MN的解析式为y＝x＋ 解方程组 得点A的坐标为（，）‎ 设点M的坐标为（x1，y1），则 ＝ ＝2‎ ‎∴x1＝ ，y1＝2 ，代入y＝x＋ 中，解得k＝1‎ ‎（2）作BE⊥x轴交AD于E，作DH⊥x轴交BC于H O C A B x y D E H F 设A（a，），B（b，），D（d，），则C（－a，－ ）‎ 得直线AC的解析式为y＝ x 设BE交直线AC于点F，则F（b，）‎ ‎∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ‎∴ ＝ ，∴BF平分∠ABC 同理，DH平分∠ADC ‎∴在△ABE和△CDH中 ‎∠ABE＝∠EBC＝∠DHC，∠AEB＝∠ADH＝∠CDH ‎∴∠BCD＝∠BAD ‎17．（湖北模拟）如图，反比例函数y＝ 的图象经过点A（a，b）且| a＋2|＋( b－2)2＝0，直线y＝2x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）将线段BC绕坐标平面内的某点M旋转180° 后B、C两点恰好都落在反比例函数的图象上，求点M的坐标；‎ C B y x y＝2x－2‎ A O C B y x y＝2x－2‎ 备用图 A O ‎（3）在反比例函数的图象上是否存在点P，使以PB为直径的圆恰好过点C？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）∵| a＋2|＋( b－2)2＝0，∴a＝－2，b＝2 ‎∴k＝ab＝－2×2＝－12‎ ‎∴反比例函数的解析式为y＝－ ‎（2）∵直线y＝2x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C ‎∴B（1，0），C（0，－2）‎ 设线段BC绕坐标平面内的某点M旋转180° 后B、C两点的对应点 分别为D、E，并设D（m，n），则E（m＋1，n＋2），代入y＝－ 解得： 或 ‎∴D（2，－6）或D（－3，4）‎ 易知M为BD的中点 由B（1，0），D（2，－6），得M（ ，－3）‎ 由B（1，0），D（－3，4），得M（－1，2）‎ C B y x y＝2x－2‎ A D E M O C B y x y＝2x－2‎ A D E M O ‎∴点M的坐标为（ ，－3）或（－1，2）‎ C B y x y＝2x－2‎ A P P O H ‎（3）假设存在点P，使以PB为直径的圆恰好过点C 则∠PCB＝90°‎ 设P（x，－ ），过P作PH⊥y轴于H，易证△CHP∽△BOC 得 ＝ （或 ＝ ）‎ 解得x1＝－2＋2 ，x2＝－2－2 ‎∴P1（－2＋2 ，－1－ ），P2（－2－2 ，－1＋ ）‎ ‎18．（广西北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、B（0，1）、C（d，2）．‎ ‎（1）求d的值；‎ ‎（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′ 正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′ 的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设直线B′C′ 交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′ 是平行四边形．如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ O B C A G A′‎ B′‎ C′‎ x y 解：（1）作CN⊥x轴于N 在Rt△CNA和Rt△AOB中，∵NC＝OA＝2，AC＝AB ‎∴Rt△CNA≌Rt△AOB O B C A G A′‎ B′‎ C′‎ x y K Q P′‎ E H F M′‎ N ‎∴AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，且点C在第二象限 ‎∴d＝－3‎ ‎（2）设反比例函数为y＝ ，点C′ 和B′ 在该比例函数图像上 设C′（m，2），则B′（m＋3，1）‎ 把C′ 、B′ 的坐标分别代入y＝ ，得k＝2m，k＝m＋3‎ ‎∴2m＝m＋3，m＝3，则k＝6‎ ‎∴反比例函数解析式为y＝ 得点C′（3，2），B′（6，1）‎ 设直线B′C′ 的解析式为y＝ax＋b，把C′ 、B′ 的坐标分别代入，得 解得： ‎∴直线B′C′ 的解析式为y＝－ x＋3‎ ‎（3）设Q是GC′ 的中点，易知G（0，3）‎ 由G（0，3），C′（3，2），得Q（ ，）‎ 过点Q作直线l与x轴交于M ′ 点，与y＝ 的图象交于P′ 点 若四边形P′GM′C′ 的是平行四边形，则有P′Q＝QM ′‎ 易知点M ′ 的横坐标大于 ，点P′ 的横坐标小于 作P′H⊥x轴于H，QK⊥y轴于K，P′H与QK交于点E 作QF⊥x轴于F，则△P′EQ≌△QFM ′‎ 设EQ＝FM ′＝t，则点P′ 的横坐标为 －t，点P′ 的纵坐标为 ＝ ‎∴P′（ －t，），M ′（ ＋t，0），∴P′E＝ － 由P′E＝QF，得 － ＝ 解得t＝ （经检验，它是分式方程的解）‎ ‎∴ －t＝ ， ＝5， ＋t＝ ‎∴P′（ ，5），M ′（ ，0）‎ 则点P′ 为所求的点P，点M ′ 为所求的点M ‎19．（广西玉林、防城港）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y＝ 的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．‎ ‎（1）填空：双曲线的另一支在第_________象限，k的取值范围是_______________；‎ ‎（2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分面积S最小？‎ B x O y A D C E ‎（3）若 ＝ ，S△OAC ＝2，求双曲线的解析式．‎ 解：（1）三，k＞0‎ ‎（2）由C（2，2），则A（ ，2），E（2，）‎ ‎∴S＝S△AEC ＋ S△OBE＝ ( 2－ )( 2－ )＋ ×2×＝ ( k－2 )2＋ 当k＝2时，即E（2，1）为BC中点时，S最小 ‎（3）方法一：令C（a，b），则A（ ，b），由 ＝ ，则D（ a， b）‎ 又S△OAC＝ ( a－ )·b＝ ( ab－k )＝2‎ ‎∴ab＝4＋k ‎∵D（ a， b）在双曲线y＝ 上 ‎∴k＝ ab＝ ( 4＋k )，∴k＝ ‎∴双曲线解析式为y＝ 方法二：令D（a，b），由 ＝ ，则C（2a，2b），A（ ，2b）‎ 又S△OAC＝ ( 2a－ )·2b＝ ( 4ab－k )＝2‎ ‎∴ab＝ ( 4＋k )‎ ‎∵D（a，b）在双曲线y＝ 上 ‎∴k＝ab＝ ( 4＋k )，∴k＝ ‎∴双曲线解析式为y＝ ‎20．（福建厦门）已知点A（1，c）和点B（3，d）是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝ （k2＞0）的交点．‎ ‎（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM．若AM＝BM，求点B的坐标；‎ ‎（2）设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y＝ （k2＞0）于点N．当 取最大值时，有PN＝ ，求此时双曲线的解析式．‎ 解：（1）∵A（1，c）和点B（3，d）在双曲线y＝ （k2＞0）上 ‎∴c＝k2＝3d ‎∵k2＞0，∴c＞0，d＞0，∴点A和点B都在第一象限 O T x y B A M ‎∴AM＝3d 过点B作BT⊥AM，垂足为T，则BT＝d，MT＝2‎ ‎∵AM＝BM，∴BM＝3d 在Rt△BMT中，MT 2＋BT 2＝BM 2‎ ‎∴4＋d 2＝9d 2，∴d＝ （舍去负值）‎ ‎∴点B的坐标为（3，）‎ ‎（2）方法一：∵点A（1，c）和点B（3，d）是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝ （k2＞0）的交点 ‎∴c＝k2,，3d＝k2，c＝k1＋b，d＝3k1＋b ‎∴k1＝－ k2，b＝ k2‎ ‎∵点A（1，c）和点B（3，d）都在第一象限，∴点P在第一象限 B O C E x y A P N ‎∴ ＝ ＝ x 2＋ x＝－ x 2＋ x＝－ ( x－2)2＋ ‎∵当x＝1或x＝3时， ＝1‎ 又∵当x＝2时， 的最大值是 ‎∴1≤ ≤ ，∴PE≥NE ‎∴ ＝ ＝ －1＝－ x 2＋ x－1‎ ‎∴当x＝2时， 的最大值是 ‎∵此时PN＝ ，∴NE＝ ‎∴N（2，），∴k2＝3‎ ‎∴此时双曲线的解析式为y＝ 方法二：∵点A（1，c）和点B（3，d）都在第一象限，∴点P在第一象限 ‎∴ ＝ ＝ x 2＋ x 当点P与点A、B重合时， ＝1‎ 即当x＝1或x＝3时， ＝1‎ ‎∴ 解得： ‎∴ ＝－ x 2＋ x ‎∵k2＝－3k1，k2＞0，∴k1＜0‎ ‎∵PE－NE＝k1x＋b－ ＝k1x－4k1＋ ＝k1( )＝ ‎∵当1≤x ≤3时，( x－1)( x－3)≤0，∴ ≥0‎ ‎∴PE－NE ≥0‎ ‎∴ ＝ ＝ －1＝－ x 2＋ x－1＝－ ( x－2)2＋ ‎∴当x＝2时， 的最大值是 ‎∵此时PN＝ ，∴NE＝ ‎∴N（2，），∴k2＝3‎ ‎∴此时双曲线的解析式为y＝ 方法三：∵点A（1，c）和点B（3，d）是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝ （k2＞0）的交点 ‎∴c＝k2,，3d＝k2，c＝k1＋b，d＝3k1＋b k2＝3d，k1＝－d，b＝4d ‎∴直线y＝－dx＋4d，双曲线y＝ ‎∵点A（1，c）和点B（3，d）都在第一象限，∴点P在第一象限 ‎∴PN＝PE－NE＝－dx＋4d－ ＝－d( )＝－ ‎∵当1≤x≤3时，( x－1)( x－3)≤0，∴－ ≥0‎ ‎∴PN＝PE－NE ≥0‎ ‎∴ ＝ ＝－ x 2＋ x－1＝－ ( x－2)2＋ ‎∴当x＝2时， 的最大值是 ‎∵此时PN＝ ，∴NE＝ ‎∴N（2，），∴k2＝3‎ ‎∴此时双曲线的解析式为y＝ x O y B C A ‎21．（福建莆田）如图，一次函数y＝k1x＋b的图象过点A（0，3），且与反比例函数y＝ （x＞0）的图象相交于B、C两点．‎ ‎（1）若B（1，2），求k1·k2的值；‎ ‎（2）若AB＝BC，则k1·k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ 解：（1）把B（1，2）代入y＝ ，得k2＝2‎ 把A（0，3），B（1，2）代入y＝k1x＋b，得 解得 ‎∴k1·k2＝－2‎ ‎（2）k1·k2＝－2‎ x O y B C A G H 过点B作BG⊥y轴于点G，过点C作CH⊥y轴于点H ‎∴BG∥CH ‎∵AB＝BC，∴AG＝GH，∴CH＝2BG 设B（m，），则C（2m，）‎ ‎∴AG＝3－ ，GH＝ － ‎∴3－ ＝ － ，∴m＝ ，∴B（ ，2）‎ 把B（ ，2）代入y＝k1x＋3，得2＝k1· ＋3‎ ‎∴k1·k2＝－2‎ ‎22．（福建某校自主招生）如图1，已知直线y＝－ x＋m与反比例函数y＝ 的图象在第一象限内交于A、B两点（点A在点B的左侧），分别与x、y轴交于点C、D，AE⊥x轴于E．‎ ‎（1）若OE·CE＝12，求k的值；‎ ‎（2）如图2，作BF⊥y轴于F，求证：EF∥CD；‎ ‎（3）在（1）（2）的条件下，EF＝，AB＝2，P是x轴正半轴上一点，且△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求P点的坐标．‎ 图1‎ A B D C E x O y A B D C E x O y 图2‎ F A B D C E x O y 备用图 F A B D C E x O y F M N 解：（1）设OE＝a，则A（a，－ a＋m）‎ ‎∵点A在反比例函数图象上，∴a(－ a＋m)＝k 即k＝－ a 2＋am 由直线y＝－ x＋m可得C（2m，0），∴CE＝2m－a ‎∴OE·CE＝a(2m－a )＝－a 2＋2am＝12‎ ‎∴k＝－ a 2＋am＝ (－a 2＋2am )＝ ×12＝6‎ ‎（2）连接AF、BE，过E、F分别作FM⊥AB，EN⊥AB，则FM∥EN ‎∵AE⊥x轴，BF⊥y轴，∴AE⊥BF A B D C E x O y F M N P S△AEF ＝ AE·OE＝ ，S△BEF ＝ BF·OF＝ ‎∴S△AEF ＝S△BEF ，∴FM＝EN，∴四边形EFMN是矩形 ‎∴EF∥CD ‎（3）由（2）可知，EF＝AD＝BC＝ 又AB＝2，∴CD＝4 由直线y＝－ x＋m可得OD＝m，OC＝2m，∴OD＝4‎ 又EF∥CD，∴OE＝2OF，∴OF＝1，OE＝2‎ ‎∴DF＝3，∴AE＝DF＝3‎ ‎∵AB＝2，∴AP＝，∴EP＝1‎ ‎∴P（3，0）‎ ‎23．（上海模拟）已知点P是函数y＝ x（x＞0）图象上一点，PA⊥x轴于点A，交函数y＝ （x＞0）图象于点E，PB⊥y轴于点B，交函数y＝ （x＞0）图象于点F．‎ ‎（点E、F不重合）‎ A O y x B E F P ‎（1）求证：EF∥AB；‎ ‎（2）若k＝1，试问：△OEF能否为直角三角形？若能，请求出 此时点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ 解：（1）设P（2a，a）（a＞0），则A（2a，0），B（0，a），E（2a，），F（ ，a）‎ ‎∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ‎∴ ＝ ，∴EF∥AB ‎（2）设P（2a，a），∵k＝1，∴A（2a，0），B（0，a），E（2a，），F（ ，a）‎ ‎∴OE 2＝4a 2＋ ，OF 2＝a 2＋ ，EF 2＝(2a－ )2＋( －a )2＝5a 2＋ －5‎ 易知∠EOF＜90°‎ 当∠OEF＝90°时，有OE 2＋EF 2＝OF 2‎ ‎∴4a 2＋ ＋5a 2＋ －5＝a 2＋ ，解得a1＝ ，a2＝ 当a＝ 时，E（，），F（，），此时点E、F重合，不合题意，舍去 ‎∴a＝ ，∴P（，）‎ 同理当∠OFE＝90°时，可得a＝，∴P（2，）‎ 综上所述，当点P为（，）或（2，）时，能使△OEF为直角三角形 ‎24．（广东模拟）“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y＝ 的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB＝ ∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：‎ ‎（1）设P（a，）、R（b，），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）；‎ ‎（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB＝ ∠AOB；‎ ‎（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．‎ B S A O x Q R P H M y 解：（1）设直线OM的函数关系式为y＝kx ‎∵P（a，）、R（b，），∴M（b，）‎ ‎∴k＝ ÷b＝ ‎∴直线OM的函数关系式为y＝ x ‎（2）由题意知点Q的坐标为（a，），满足y＝ x ‎∴点Q在直线OM上 易知四边形PQRM是矩形，∴SP＝SQ＝SR＝SM＝ PR ‎∴∠SQR＝∠SRQ ‎∵PR＝2OP，∴PS＝OP＝ PR，∴∠POS＝∠PSO ‎∵∠PSQ是△SQR的一个外角 ‎∴∠PSQ＝2∠SQR，∴∠POS＝2∠SQR ‎∵QR∥OB，∴∠SOB＝∠SQR，∴∠POS＝2∠SOB ‎∴∠MOB＝ ∠AOB ‎（3）以下方法只要回答一种即可 方法一：先把钝角平分为两个锐角，再利用上述结论把锐角三等分 方法二：先把钝角分为一个直角和一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分，再利用作等边三角形（或其它方法）将直角三等分 方法三：若设所给钝角为α，则先把钝角的补角（锐角）三等分，得角 ( 180°－α )，即60°－ α，然后利用作等边三角形作一个60° 的角，从中去掉60°－ α即可 ‎25．（四川德阳）已知一次函数y1＝2x＋m的图象与反比例函数y2＝ 的图象交于A、B两点，且当x ＞1时，y1＞y2；当0＜x ＜1时，y1＜y2．‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ ‎（2）若反比例函数在第一象限的图象上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积；‎ ‎（3）在直线AB上是否存在一点P，使△AOP∽△AOB，若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ B A O x y 解：（1）∵当x ＞1时，y1＞y2；当0＜x ＜1时，y1＜y2‎ ‎∴点A的横坐标为1，代入反比例函数解析式，得y2＝ ＝6‎ ‎∴A（1，6）‎ 又∵点A在一次函数y1＝2x＋m的图象上 B D A O x C y ‎∴2＋m＝6，∴m＝4‎ ‎∴一次函数的解析式为y1＝2x＋4‎ ‎（2）由题意知点C的横坐标为3，代入反比例函数解析式 得y2＝ ＝2，∴C（3，2）‎ 过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2‎ ‎∴2x＋4＝2，∴x＝－1，∴D（－1，2）‎ ‎∴CD＝4‎ 由 解得 ‎∴B（－3，－2）‎ S△ABC ＝S△ACD ＋S△BCD ＝ CD·( yA－yB )＝ ×4×( 6＋2 )＝16‎ B P A O x y ‎（3）假设存在一点P，使△APO∽△AOB ‎∵点P在直线y＝2x＋4上，∴可设P（a，2a＋4）‎ ‎∵△APO∽△AOB，∴ ＝ ‎∵AP＝＝ AO＝＝，AB＝＝4 ‎∴ ＝ ，即a－1＝± ‎∴a＝ （不合题意，舍去），或a＝－ ‎∴P点的坐标为（－ ，）‎ ‎26．（四川某校自主招生）如图1，在平面直角坐标系中，A（0，n），C（m，0），双曲线y＝ （x ＞0）与矩形OABC的两边AB、BC分别交于D、E两点，连接OD、OE、DE，将△BDE沿DE翻折后得到△B′DE．‎ 探究一：如图2，若点D为AB中点时，点B′ 又恰好落在线段OD上．证明：OE平分∠DOC；‎ 探究二：如图3，若OE平分∠DOC，当四边形DB′EB是正方形时，求矩形OABC的面积；‎ 图1‎ A O y B x B′‎ C E D 图2‎ A O y B x C E D 探究三：如图4，若点D在直线y＝ x上，是否存在m的值使B′ 点落在x轴上，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 图3‎ A O y B x C E D 图4‎ A O y B x B′‎ C E D 图2‎ A O y B x C E D 解：探究一：由题意知，D（ m，），E（m，）‎ ‎∴B（m，），∴BE＝ － ＝ ＝CE ‎∵B′E＝BE，∴B′E＝CE ‎∵∠DB′E＝∠B＝90°，∴∠OB′E＝90°＝∠OCE 在Rt△OB′E和Rt△OCE中 B′E＝CE，OE＝OE，∴Rt△OB′E≌Rt△OCE ‎∴∠B′OE＝∠COE，即OE平分∠DOC 图3‎ A O y B x C E D 探究二：由题意知，B（m，n），D（ ，n），E（m，）‎ ‎∵四边形DB′EB是正方形，∴BD＝BE ‎∴m－ ＝n－ ，∴( m－n )( 1－ )＝0‎ ‎∴m－n＝0或1－ ＝0‎ 当1－ ＝0，即mn＝12时，点B在双曲线上，舍去 ‎∴m－n＝0，即m＝n，∴矩形OABC是正方形 ‎∴AB＝BC，∴AD＝CE ‎∴Rt△OAD≌Rt△OCE，∴∠AOD＝∠COE ‎∵∠DOE＝∠COE，∴∠AOD＝∠DOE＝∠COE ‎∴∠COE＝30°，∴OC＝CE 即m＝× ，∴m 2＝12 即正方形OABC的面积是12 图4‎ A O y B x B′‎ C E D F 探究三：联立 解得 （舍去）或 ‎∴D（3，4）‎ ‎∴BD＝m－3，BE＝4－ ‎∴ ＝ ，即 ＝ 过点D作DF⊥OC于F 易证Rt△B′DF≌Rt△EB′C，∴ ＝ ＝ ＝ ‎∴ ＝ ，∴B′C＝ ，∴B′F＝m－3－ ‎∴ ＝ ，解得m1＝－2（舍去），m2＝8‎ ‎∴存在m的值使B′ 点落在x轴上，此时点E的坐标为（8，）‎