启东中考数学二模试卷 34页

‎2018年启东中考数学二模试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（4分）国家主席习近平在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.34×107 B．3.4×106 C．3.4×105 D．34×105‎ ‎2．（4分）如图是某零件的直观图，则它的主视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（4分）如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A=120°，则∠D的度数为（　　）‎ A．30° B．60° C．50° D．40°‎ ‎4．（4分）下列计算正确的是（　　）‎ A．a4÷a3=1 B．a4+a3=a7 C．（2a3）4=8a12 D．a4•a3=a7‎ ‎5．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，∠C=40°，则∠OBA的度数是（　　）‎ A．60° B．50° C．45° D．40°‎ ‎6．（4分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（4分）初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 方差 平均成绩 得分 ‎38‎ ‎34‎ ‎■‎ ‎37‎ ‎40‎ ‎■‎ ‎37‎ 那么被遮盖的两个数据依次是（　　）‎ A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3‎ ‎9．（4分）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（　　）‎ A．47m B．51m C．53m D．54m ‎10．（4分）如果关于x的方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，那么m的取值范围是（　　）‎ A． B．且m≠1 C． D．且m≠1‎ ‎11．（4分）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，则点A′的坐标（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）‎ ‎12．（4分）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：‎ ‎①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD=5，‎ 其中正确的个数有（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎13．（4分）分解因式：2a2﹣8a+8=　 　．‎ ‎14．（4分）不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是　 　．‎ ‎15．（4分）已知方程组，则x+y的值为　 　．‎ ‎16．（4分）如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为　 　．‎ ‎17．（4分）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是　 　．‎ ‎18．（4分）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为4，则线段CF的最小值是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，共计78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（6分）计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+|2﹣|+2cos45°‎ ‎20．（6分）先化简再求值：（﹣）•，其中a=2．‎ ‎21．（6分）如图，在矩形ABCD，AD=AE，DF⊥AE于点F．求证：AB=DF．‎ ‎22．（8分）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？‎ ‎23．（8分）为响应“书香校园”号召，重庆一中在九年级学生中随机抽取某班学生对2016年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，每名学生阅读中外名著的本数，最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的折线统计图和扇形统计图．‎ ‎（1）该班学生共有　 　名，扇形统计图中阅读中外名著本数为7本所对应的扇形圆心角的度数是　 　度，并补全折线统计图；‎ ‎（2）根据调查情况，班主任决定在阅读中外名著本数为5本和8本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或表格求出这两名学生阅读的本数均为8本的概率．‎ ‎24．（10分）如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3，A（2，1），反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B．‎ ‎（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；‎ ‎（2）如图2，将线段OA延长交y=（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，‎ ‎①求直线BD的解析式；‎ ‎②求线段ED的长度．‎ ‎25．（10分）定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，作线段PB的“对角线正方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm2）．‎ ‎（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．‎ ‎（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．‎ ‎（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．‎ ‎（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．‎ ‎26．（12分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，cosA=，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．‎ ‎（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；‎ ‎（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；‎ ‎（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．‎ ‎27．（12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+经过A（1，0），B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM=S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．‎ ‎①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；‎ ‎②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（4分）国家主席习近平在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.34×107 B．3.4×106 C．3.4×105 D．34×105[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【解答】解：3400000用科学记数法表示为3.4×106，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）如图是某零件的直观图，则它的主视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：从正面看是一个大正方形的左上角去掉一个小正方形，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A=120°，则∠D的度数为（　　）‎ A．30° B．60° C．50° D．40°‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠A+∠C=180°，‎ ‎∵∠A=120°，‎ ‎∴∠C=60°，‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴∠DEC=90°，‎ ‎∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）下列计算正确的是（　　）‎ A．a4÷a3=1 B．a4+a3=a7 C．（2a3）4=8a12 D．a4•a3=a7‎ ‎【解答】解：A、a4÷a3=a，故本选项错误；‎ B、a4+a3≠a7，不能合并；故本选项错误；‎ C、（2a3）4=16a12，故本选项错误；‎ D、a4•a3=a7，故本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB，∠C=40°，则∠OBA的度数是（　　）‎ A．60° B．50° C．45° D．40°‎ ‎【解答】解：∵∠C=40°，‎ ‎∴∠AOB=80°，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA=50°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；‎ B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；‎ C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；‎ D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：，由①得，x≥﹣2；由②得，x＜1，‎ 故此不等式组的解集为：﹣2≤x＜1．‎ 在数轴上表示为：‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 方差 平均成绩 得分[来源:Zxxk.Com]‎ ‎38‎ ‎34‎ ‎■‎ ‎37‎ ‎40‎ ‎■‎ ‎37‎ 那么被遮盖的两个数据依次是（　　）‎ A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3‎ ‎【解答】解：∵这组数据的平均数是37，‎ ‎∴编号3的得分是：37×5﹣（38+34+37+40）=36；‎ 被遮盖的方差是： [（38﹣37）2+（34﹣37）2+（36﹣37）2+（37﹣37）2+（40﹣37）2]=4；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（　　）‎ A．47m B．51m C．53m D．54m ‎【解答】解：根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，‎ ‎∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°，‎ ‎∴∠ADB=∠A=30°，‎ ‎∴BD=AB=60m，‎ ‎∴CD=BD•sin60°=60×=30≈51（m）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）如果关于x的方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，那么m的取值范围是（　　）‎ A． B．且m≠1 C． D．且m≠1‎ ‎【解答】解：当m﹣1=0时，x+1=0，解得x=﹣1；‎ 当m﹣1≠0时，△=12﹣4×（m﹣1）×1≥0，解得m≤且m≠1，‎ 所以m的取值范围为m≤．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，则点A′的坐标（　　）‎ A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）‎ ‎【解答】解：∵tan∠BOC=，∴OC=2BC．‎ ‎∵OC2+BC2=OB2=5，∴BC=1，OC=2．‎ 所以A（1，0），B（1，2）．‎ 直线OB方程：y﹣2=2（x﹣1），‎ A′和A关于OB对称，假设A′（x0，y0），‎ AA'中点：x=，y=．在直线OB y﹣2=2（x﹣1）上，‎ ‎﹣2=2（﹣1），y0=2（x0+1）．‎ x02+y02=OA'2=OA2=1，‎ x02+4（x0+1）2=1，‎ ‎5X02+8X0+3=0．‎ X0=﹣1或者﹣，‎ y0=0或者．‎ x0=﹣1，y0=0不合题意，舍去．‎ 所以A（﹣，）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：‎ ‎①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD=5，‎ 其中正确的个数有（　　）[来源:学科网]‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【解答】解：∵直线l1：y=﹣3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，‎ ‎∴A（1，0），B（0，3），‎ ‎∵点A、E关于y轴对称，‎ ‎∴E（﹣1，0）．‎ ‎∵直线l2：y=﹣3x+9交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，‎ ‎∴D（3，0），C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，‎ 把y=3代入y=﹣3x+9，得3=﹣3x+9，解得x=2，‎ ‎∴C（2，3）．‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴y=﹣x2+2x+3．‎ ‎①∵抛物线y=ax2+bx+c过E（﹣1，0），‎ ‎∴a﹣b+c=0，故①正确；‎ ‎②∵a=﹣1，b=2，c=3，‎ ‎∴2a+b+c=﹣2+2+3=3≠5，故②错误；‎ ‎③∵抛物线过B（0，3），C（2，3）两点，‎ ‎∴对称轴是直线x=1，‎ ‎∴抛物线关于直线x=1对称，故③正确；‎ ‎④∵b=2，c=3，抛物线过C（2，3）点，‎ ‎∴抛物线过点（b，c），故④正确；‎ ‎⑤∵直线l1∥l2，即AB∥CD，又BC∥AD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴S四边形ABCD=BC•OB=2×3=6≠5，故⑤错误．‎ 综上可知，正确的结论有3个．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎13．（4分）分解因式：2a2﹣8a+8=　2（a﹣2）2　．‎ ‎【解答】解：2a2﹣8a+8‎ ‎=2（a2﹣4a+4）‎ ‎=2（a﹣2）2．‎ 故答案为：2（a﹣2）2．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是　　．‎ ‎【解答】解：画树状图如下：‎ 由树状图知共有9种等可能，两次摸到球的颜色相同的有5种，‎ 所以两次摸到球的颜色相同的概率是．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）已知方程组，则x+y的值为　3　．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎①+②得：3x+3y=3（x+y）=9，‎ 则x+y=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为　　．‎ ‎【解答】解：过点O作OD⊥AB，‎ ‎∵∠AOB=120°，OA=2，‎ ‎∴∠OAD==30°，‎ ‎∴OD=OA=×2=1，AD===．‎ ‎∴AB=2AD=2，‎ ‎∴S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB=﹣×2×1=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是　2≤k≤　．‎ ‎【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，‎ ‎∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y=，‎ ‎∴k≥2．‎ 随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，‎ 经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y=﹣x+7，‎ ‎，得x2﹣7x+k=0‎ 根据△≥0，得k≤，‎ 综上可知2≤k≤．‎ 故答案为2≤k≤．‎ ‎　‎ ‎18．（4分）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为4，则线段CF的最小值是　2﹣2　．‎ ‎【解答】解：在正方形ABCD中，AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE，‎ 在Rt△ADM和Rt△BCN中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），‎ ‎∴∠1=∠2，‎ 在△DCE和△BCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△DCE≌△BCE（SAS），‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∵∠ADF+∠3=∠ADC=90°，‎ ‎∴∠1+∠ADF=90°，‎ ‎∴∠AFD=180°﹣90°=90°，‎ 取AD的中点O，连接OF、OC，‎ 则OF=DO=AD=2，‎ 在Rt△ODC中，OC===2，‎ 根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，‎ ‎∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，‎ 最小值=OC﹣OF=2﹣2．‎ 故答案为：2﹣2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共9小题，共计78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（6分）计算：（3﹣π）0﹣（）﹣1+|2﹣|+2cos45°‎ ‎【解答】解：原式=1﹣3+2﹣2+=3﹣4．‎ ‎　‎ ‎20．（6分）先化简再求值：（﹣）•，其中a=2．‎ ‎【解答】解：原式=•=2（a﹣1）=2a﹣2，‎ 当a=2时，原式=2×2﹣2=2．‎ ‎　‎ ‎21．（6分）如图，在矩形ABCD，AD=AE，DF⊥AE于点F．求证：AB=DF．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，∠B=90°，‎ ‎∴∠AEB=∠DAE，‎ ‎∵DF⊥AE，‎ ‎∴∠AFD=∠B=90°，‎ 在△ABE和△DFA中 ‎∵‎ ‎∴△ABE≌△DFA，‎ ‎∴AB=DF．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？‎ ‎【解答】解：设裁掉的正方形的边长为xdm 由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12‎ 即x2﹣8x+12=0，‎ 解得x=2或x=6（舍去）‎ 答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）为响应“书香校园”号召，重庆一中在九年级学生中随机抽取某班学生对2016年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，每名学生阅读中外名著的本数，最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的折线统计图和扇形统计图．‎ ‎（1）该班学生共有　50　名，扇形统计图中阅读中外名著本数为7本所对应的扇形圆心角的度数是　108　度，并补全折线统计图；‎ ‎（2）根据调查情况，班主任决定在阅读中外名著本数为5本和8本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或表格求出这两名学生阅读的本数均为8本的概率．‎ ‎【解答】解：（1）该班学生共有30÷60%=50名，‎ 圆心角的度数是15÷50×360°=108°，‎ ‎50﹣2﹣30﹣15=3（人）‎ 补全如图：‎ ‎（2）因为阅读5本的有2人，阅读8本的有3人，所以可设A、B表示阅读5本的学生，C、D、E表示阅读8本的学生，画树状图得：‎ ‎∵共有20种等可能的结果，抽得这两名学生阅读的本数均为8本的有6种情况，‎ ‎∴P（两名学生都读8本）=6÷20=．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3，A（2，1），反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B．‎ ‎（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；‎ ‎（2）如图2，将线段OA延长交y=（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，‎ ‎①求直线BD的解析式；‎ ‎②求线段ED的长度．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，过点A作AP⊥x轴于点P，‎ 则AP=1，OP=2．‎ 又∵四边形OABC是平行四边形，‎ ‎∴AB=OC=3，‎ ‎∴B（2，4）．‎ ‎∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过的B，‎ ‎∴4=．‎ ‎∴k=8．‎ ‎∴反比例函数的关系式为y=． ‎ ‎（2）①点A（2，1），‎ ‎∴直线OA的解析式为y=x（Ⅰ）．‎ ‎∵点D在反比例y=（Ⅱ）函数图象上，‎ 联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，或 ‎∵点D在第一象限，‎ ‎∴D（4，2）．‎ 由B（2，4），点D（4，2），‎ ‎∴直线BD的解析式为y=﹣x+6．‎ ‎②如图2，把y=0代入y=﹣x+6，解得x=6．‎ ‎∴E（6，0），‎ 过点D作DH⊥x轴于H，‎ ‎∵D（4，2），‎ ‎∴DH=2，‎ HE=6﹣4=2，‎ 由勾股定理可得：ED==2．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，作线段PB的“对角线正方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm2）．‎ ‎（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．‎ ‎（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．‎ ‎（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．‎ ‎（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．‎ ‎【解答】解：（1）线段AB的“对角线正方形”如图所示：‎ ‎（2）如图1中，当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x，‎ ‎∵PE∥AB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得x=，‎ ‎∴PE=，CE=4﹣=，‎ ‎∴PC==，‎ ‎∴t==s；‎ ‎（3）①如图2中，当0≤t≤1时，作PH⊥BC于H．‎ ‎∵PC=5t，则HC=4t，PH=3t，‎ 在Rt△PHB中，PB2=PH2+BH2=（3t）2+（4﹣4t）2=25t2﹣32t+16．‎ ‎∴S=PB2=t2﹣16t+8．‎ ‎②如图3中，当1＜t＜时，‎ ‎∵PB=8﹣5t，‎ ‎∴S=PB2=t2﹣40t+32．‎ 综上所述，S=；‎ ‎（4）①如图4中，当D、E在∠BAC的平分线上时，易知AB=AP=3，PC=2，∴t=s．‎ ‎②当点P运动到点A时，满足条件，此时t=1s．‎ ‎③如图5中，当点E在∠BAC的角平分线上时，作EH⊥BC于H．‎ 易知EB平分∠ABC，‎ ‎∴点E是△ABC的内心，四边形EOBH是正方形，OB=EH=EO=BH==1（直角三角形内切圆半径公式），‎ ‎∴PB=2OB=2，‎ ‎∴AP=1，‎ ‎∴t=s，‎ 综上所述，在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠CAB的平分线上时，t的值为 s 或1s或 s；‎ ‎　‎ ‎26．（12分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，cosA=‎ ‎，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．‎ ‎（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；‎ ‎（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；‎ ‎（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，‎ ‎∴，‎ ‎∵AC=8，‎ ‎∴AB=10，‎ ‎∵D是AB边的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴∠DEA=∠DEC=90°，‎ ‎∴，‎ ‎∴AE=4，‎ ‎∴CE=8﹣4=4，‎ ‎∵在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2，‎ ‎∴DE=3，‎ ‎∵DF⊥DE，‎ ‎∴∠FDE=90°，‎ 又∵∠ACB=90°，‎ ‎∴四边形DECF是矩形，‎ ‎∴DF=EC=4，‎ ‎∵在Rt△EDF中，DF2+DE2=EF2，‎ ‎∴EF=5‎ ‎（2）不变 ‎ 如图2，‎ 过点D作DH⊥AC，DG⊥BC，垂足分别为点H、G，‎ 由（1）可得DH=3，DG=4，‎ ‎∵DH⊥AC，DG⊥BC，‎ ‎∴∠DHC=∠DGC=90°‎ 又∵∠ACB=90°，‎ ‎∴四边形DHCG是矩形，‎ ‎∴∠HDG=90°，‎ ‎∵∠FDE=90°，‎ ‎∴∠HDG﹣∠HDF=∠EDF﹣∠HDF，‎ 即∠EDH=∠FDG，‎ 又∵∠DHE=∠DGF=90°‎ ‎∴△EDH∽△FDG，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠FDE=90°，‎ ‎∴，‎ ‎（3）①当QF=QC时，‎ ‎∴∠QFC=∠QCF，‎ ‎∵∠EDF+∠ECF=180°，‎ ‎∴点D，E，C，F四点共圆，‎ ‎∴∠ECQ=∠DFE，∠DFE+∠QFC=∠ECQ+∠QCF=∠ACB=90°，‎ 即∠DFC=90°，‎ 又∵∠ACB=90°，D是AB的中点，‎ ‎∴，[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎∴，‎ ‎②当FQ=FC时，‎ ‎∴∠BCD=∠CQF，‎ ‎∵点D是AB的中点，‎ ‎∴BD=CD=AB=5，‎ ‎∴∠BDC=∠BCD，‎ ‎∴∠BCD=∠FCQ，∠BDC=∠CFQ，‎ ‎∴△FQC∽△DCB，‎ 由①知，点D，E，C，F四点共圆，‎ ‎∴∠DEF=∠DCF，‎ ‎∵∠DQE=∠FQC，‎ ‎∴△FQC∽△DEQ，‎ 即：△FQC∽△DEQ∽△DCB ‎∵在Rt△EDF中，，‎ ‎∴设DE=3k，则DF=4k，EF=5k，‎ ‎∵∠DEF=∠DCF=∠CQF=∠DQE，[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎∴DE=DQ=3k，‎ ‎∴CQ=5﹣3k，‎ ‎∵△DEQ∽△DCB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵△FQC∽△DCB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎③当CF=CQ时，如图3，‎ ‎∴∠BCD=∠CQF，‎ 由②知，CD=BD，‎ ‎∴∠BDC=∠BCD，‎ ‎∵△EDQ∽△BDK，‎ 在BC边上截取BK=BD=5，过点D作DH⊥BC于H，‎ ‎∴DH=AC=4，BH=BC=3，由勾股定理得，‎ 同②的方法得，△CFQ∽△EDQ，‎ ‎∴设DE=3m，则EQ=3m，EF=5m，‎ ‎∴FQ=2m，‎ ‎∵△EDQ∽△BDK，‎ ‎∴，‎ ‎∴DQ=m，‎ ‎∴CQ=FC=5﹣m，‎ ‎∵△CQF∽△BDK，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得m=，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 即：△CQF是等腰三角形时，BF的长为3或或．‎ ‎　‎ ‎27．（12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+经过A（1，0），B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM=S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．‎ ‎①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；‎ ‎②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长．‎ ‎【解答】解：（1）将点A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得：，‎ 解得：a=，b=﹣2．‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+．‎ ‎（2）存在点M，使得S△ABM=S△ABC．‎ 理由：如图所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．‎ ‎∵CK⊥AB，‎ ‎∴KA=BK=3，∠ACK=30°．‎ ‎∴CK=3．‎ ‎∴S△ABC=AB•CK=×6×3=9．‎ ‎∴S△ABM=×9=12．‎ 设M（a， a2﹣2a+）．‎ ‎∴AB•|y|=12，即×6×（a2﹣2a+）=12，‎ 解得：a1=9，a2=﹣1．‎ ‎∴点M的坐标为（9，4）或（﹣1，4）．‎ ‎（3）①结论：AF=BE，∠APB=120°．‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴BC=AB，∠C=∠ABF．‎ 在△BEC和△AFB中，‎ ‎，‎ ‎∴△BEC≌△AFB．‎ ‎∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．‎ ‎∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．‎ ‎∴∠APB=180°﹣60°=120°．‎ ‎②当AE≠BF时，由①可知点P在以AB为弦的圆上，过点M作ME⊥AB，垂足为E．‎ ‎∵∠APB=120°，‎ ‎∴∠N=60°．‎ ‎∴∠AMB=120°．‎ 又∵ME⊥AB，垂足为E，‎ ‎∴AE=BE=3，∠AME=60°．‎ ‎∴AM=2．‎ ‎∴点P运动的路径==．‎ 当AE=BF时，点P在AB的垂直平分线上时，如图所示：过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径=CK的长．‎ ‎∵AC=6，∠CAK=60°，‎ ‎∴KC=3．‎ ‎∴点P运动的路径为3．‎ 综上所述，点P运动的路径为3或．‎ ‎　‎