中考数学一模试卷含解析22 27页

江苏省南京市鼓楼区2016年中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）‎ ‎1．比﹣1大的无理数是（　　）‎ A．3.14 B． C． D．‎ ‎2．一组数据4，5，3，4，4的中位数、众数和方差分别是（　　）‎ A．3，4，0.4 B．4，0.4，4 C．4，4，0.4 D．4，3，0.4‎ ‎3．计算x2•x3÷x的结果是（　　）‎ A．x4 B．x5 C．x6 D．x7‎ ‎4．如图，菱形ABCD中，AB=5，BD=6，则菱形的高为（　　）‎ A． B． C．12 D．24‎ ‎5．用一张半径为20的扇形纸片制成一个圆锥（接缝忽略不计），如果圆锥底面的半径为10，那么扇形的圆心角为（　　）‎ A．60° B．90° C．135° D．180°‎ ‎6．等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，BC=8，⊙O过点B，C，点O在△ABC的外部，且OA=1，则⊙O的半径为（　　）‎ A．4 B．5 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎7．16的平方根是　　　　　　，9的立方根是　　　　　　．‎ ‎8．2016年3月，鼓楼区的二手房均价约为25000元/平方米，若以均价购买一套100平方米的二手房，该套房屋的总价用科学记数法表示为　　　　　　元．‎ ‎9．因式分解：3a3﹣12a=　　　　　　．‎ ‎10．为了估计鱼塘青鱼的数量（鱼塘只有青鱼），将200条鲤鱼放进鱼塘，随机捕捞出一条鱼，记下品种后放回，稍后再随机捕捞出一条鱼记下品种，多次重复后发现鲤鱼出现的频率为0.2，那么可以估计鱼塘里青鱼的数量为　　　　　　条．‎ ‎11．计算（a≥0）的结果是　　　　　　．‎ ‎12．点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两点，若x1＞x2＞0，则y1　　　　　　y2（填“＞”“＜”“=”）．‎ ‎13．如图，将一张矩形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′，C′的位置，若∠1=40°，则∠D′EF=　　　　　　．‎ ‎14．若△ABC的三边长分别为6、8、10，则△ABC的内切圆半径为　　　　　　．‎ ‎15．已知y是x的二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表：‎ x ‎…‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ k ‎…‎ 观察表中数据，则k的值为　　　　　　．‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1）和，若在第四象限存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共11题，共88分，请在答题卡指定区域作答，解答题时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．计算：（x﹣3）（3+x）﹣（x2+x﹣1）‎ ‎18．（1）解不等式3（2x+5）＞2（4x+3）并将其解集在数轴上表示出来．‎ ‎（2）写出一个一元一次不等式，使它和（1）中的不等式组的解集为x≤2，这个不等式可以是　　　　　　．‎ ‎19．（1）解方程：‎ ‎（2）方程的解为　　　　　　．‎ ‎20．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列各题：‎ ‎（1）该班级女生人数是　　　　　　；女生收看“两会”新闻次数的众数是　　　　　　；中位数是　　　　　　．‎ ‎（2）求女生收看次数的平均数．‎ ‎（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明计算出女生收看“两会”新闻次数的方差为，男生收看“两会”新闻次数的方差为2，请比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．‎ ‎（4）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”，如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数．‎ ‎21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为AD上两点，AE=EF=FD，连接BE、CF并延长，交于点G，GB=GC．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是矩形；‎ ‎（2）若△GEF的面积为2．‎ ‎①求四边形BCFE的面积；‎ ‎②四边形ABCD的面积为　　　　　　．‎ ‎22．一只不透明的袋子中装有6个小球，分别标有1，2，3，4，5，6这6个号码，这些球除号码外都相同．‎ ‎（1）直接写出事件“从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍”的概率P1；‎ ‎（2）用画树状图或列表格等方法，求事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的概率P2．‎ ‎23．为了测量校园内旗杆AB的高度，小明和小丽同学分别采用了如下方案：‎ ‎（1）小明的方案：如图1，小明在地面上点C处观测旗杆顶部，测得仰角，∠ACB=45°然后他向旗杆反方向前进20米，此时在点D处观测旗杆顶部，测得仰角∠ADB=26.6°．根据小明的方案求旗杆AB的高度．‎ ‎（2）小丽的方案：如图2，小丽在地面上点C处观测旗杆顶部，测得仰角∠ACB=45°，然后从点C爬到10米高的楼上的点E处（CE⊥BC），观测旗杆顶部，测得仰角∠AEF=α．根据小丽的方案所求旗杆AB的高度为米．（用含α的式子表示）‎ ‎（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50）‎ ‎24．大客车和小轿车同时从甲地出发，沿笔直的公路以各自的速度匀速驶往异地，轿车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，大客车的速度为60千米/小时，轿车的速度为90千米/小时．设大客车和轿车出发x小时后，两车离乙地的距离分别为y1和y2千米．‎ ‎（1）分别求出y1和y2与x之间的函数关系式．‎ ‎（2）在同一平面直角坐标系中画出y1和y2的函数图象，并标上必要的数据．‎ ‎25．某公司批发一种服装，进价120元/件，批发价200元/件，公司对大量购买有优惠政策，凡是一次性购买20件以上的，每多买一件，批发价降低1元．设顾客购买x（件）时公司的利润为y（元）．‎ ‎（1）当一次性购买x件（x＞20）时，‎ ‎①批发价为　　　　　　元/件；‎ ‎②求y（元）与x（件）之间的函数表达式．‎ ‎（2）设批发价为a元/件，求a在什么范围内才能保证公司每次卖的越多，利润也越多．‎ ‎26．（11分）（2016•南京一模）如图，已知⊙O的半径是4cm，弦AB=4cm，AC是⊙O的切线，切AC=4cm，连接BC．‎ ‎（1）证明：BC时⊙O的切线；‎ ‎（2）把△ABC沿射线CO方向平移d（3）cm（d（4）＞0），使△ABC的边所在的直线与⊙O相切，求d（5）的值．‎ ‎27．（10分）（2016•南京一模）如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、1，正方形BGFE绕点B旋转，直线AE、GC相交于点H．‎ ‎（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中，∠AHC的大小是否始终为90°，请说明理由；‎ ‎（2）连接DH、BH，在正方形BGFE绕点B旋转过程中，‎ ‎①求DH的最大值；‎ ‎②直接写出DH的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）‎ ‎1．比﹣1大的无理数是（　　）‎ A．3.14 B． C． D．‎ ‎【考点】实数大小比较．‎ ‎【分析】根据这个数既要比﹣1大又是无理数，解答出即可 ‎【解答】解：A、3.14是有理数，故本选项错误；‎ B、﹣＜﹣1，故本选项错误；‎ C、是有理数，故本选项错误；‎ D、﹣是比﹣1大的无理数，故本选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．‎ ‎　‎ ‎2．一组数据4，5，3，4，4的中位数、众数和方差分别是（　　）‎ A．3，4，0.4 B．4，0.4，4 C．4，4，0.4 D．4，3，0.4‎ ‎【考点】方差；中位数；众数．‎ ‎【分析】根据中位数、众数和方差的概念求解．排序后的第3个数是中位数；出现次数最多的数据是众数；方差公式为：S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．‎ ‎【解答】解：把这组数据从小到大排列：3，4，4，4，5，最中间的数是4，则这组数据的中位数是4；‎ ‎4出现了2次，出现的次数最多，则众数是4；‎ 平均数是（4+5+3+4+4）÷5=4，所以方差为S2= [[（4﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（4﹣4）2]=0.4．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了中位数、众数和方差，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差公式为：S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．‎ ‎　‎ ‎3．计算x2•x3÷x的结果是（　　）‎ A．x4 B．x5 C．x6 D．x7‎ ‎【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法．‎ ‎【分析】首先依据同底数幂的乘法法则进行计算，然后再依据同底数幂的除法法则计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=x5÷x=x4．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查的是同底数幂的除法和同底数幂的乘法，掌握运算顺序是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．如图，菱形ABCD中，AB=5，BD=6，则菱形的高为（　　）‎ A． B． C．12 D．24‎ ‎【考点】菱形的性质．‎ ‎【分析】直接利用菱形的性质得出AC的长，进而利用菱形的面积求出答案．‎ ‎【解答】解：∵菱形ABCD中，BD=6，‎ ‎∴BO=3，∠AOB=90°，‎ ‎∴AO=CO===4，‎ ‎∴AC=8，‎ ‎∴设菱形的高为x，则5x=×6×8，‎ 解得：x=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出AC的长是解题关键．‎ ‎　‎ ‎5．用一张半径为20的扇形纸片制成一个圆锥（接缝忽略不计），如果圆锥底面的半径为10，那么扇形的圆心角为（　　）‎ A．60° B．90° C．135° D．180°‎ ‎【考点】圆锥的计算．‎ ‎【分析】先求出圆锥底面圆的周长，即为扇形的弧长，再根据弧长公式即可求出扇形的圆心角．‎ ‎【解答】解：∵圆锥底面的半径为10，‎ ‎∴圆锥底面圆的周长为20π，‎ 即扇形的弧长=20π，‎ 设扇形的圆心角为n°，则=20π，‎ 解得n=180，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．‎ ‎　‎ ‎6．等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，BC=8，⊙O过点B，C，点O在△ABC的外部，且OA=1，则⊙O的半径为（　　）‎ A．4 B．5 C． D．‎ ‎【考点】等腰直角三角形．‎ ‎【分析】根据题意首先作图并连接OC、OB，延长OA交BC于点D，交⊙O于点E，然后证明△OBD为直角三角形，利用已知条件及勾股定理即可求解 ‎【解答】解：如下图所示：连接OC、OB，延长OA交BC于点D，交⊙O于点E ‎∵在△OAB与△OAC中，‎ ‎∴△OAB≌△OAC，‎ ‎∴∠OAB=∠OAC，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD 又∵AB=AC，‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=DC=AD=4‎ ‎∴在Rt△ODB中，OB2=OD2+BD2，‎ ‎∴OB2=52+42=41，‎ ‎∴OB=‎ 即：⊙O的半径是 ‎【点评】本题考查了圆与等腰直角三角形综合的有关问题，解题的关键是正确作图，并构建含半径及已知条件的直角三角形．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎7．16的平方根是　±4　，9的立方根是　　．‎ ‎【考点】立方根；平方根．‎ ‎【分析】依据平方根、立方根的定义和性质求解即可．‎ ‎【解答】解∵（±4）2=16，‎ ‎∴16的平方根是±4．‎ ‎9的立方根是．‎ 故答案为：±4；．‎ ‎【点评】本题主要考查的是平方根、立方根的性质和定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．2016年3月，鼓楼区的二手房均价约为25000元/平方米，若以均价购买一套100平方米的二手房，该套房屋的总价用科学记数法表示为　2.5×106　元．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：该套房屋的总价用科学记数法表示为2.5×106元，‎ 故答案为：2.5×106．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎9．因式分解：3a3﹣12a=　3a（a+2）（a﹣2）　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】先提取公因式3a，再根据平方差公式进行二次分解．‎ ‎【解答】解：3a3﹣12a ‎=3a（a2﹣4）（提取公因式）‎ ‎=3a（a+2）（a﹣2）．‎ 故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．‎ ‎【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．‎ ‎　‎ ‎10．为了估计鱼塘青鱼的数量（鱼塘只有青鱼），将200条鲤鱼放进鱼塘，随机捕捞出一条鱼，记下品种后放回，稍后再随机捕捞出一条鱼记下品种，多次重复后发现鲤鱼出现的频率为0.2，那么可以估计鱼塘里青鱼的数量为　800　条．‎ ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【分析】根据放入鲤鱼后鲤鱼出现的频率可以估计出放入鲤鱼后鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到原来鱼塘中青鱼的数量．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 鱼塘里的青鱼的数量为：200÷0.2﹣200=1000﹣200=800（条），‎ 故答案为：800．‎ ‎【点评】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由鲤鱼的数量和出现的频率可以计算出青鱼的数量．‎ ‎　‎ ‎11．计算（a≥0）的结果是　2a　．‎ ‎【考点】二次根式的加减法．‎ ‎【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．‎ ‎【解答】解：原式=3a﹣a ‎=2a．‎ 故答案为：2a．‎ ‎【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两点，若x1＞x2＞0，则y1　＞　y2（填“＞”“＜”“=”）．‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＞x2＞0即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣2＜0，‎ ‎∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，‎ ‎∵x1＞x2＞0，‎ ‎∴y1＞y2．‎ 故答案为：＞．‎ ‎【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．如图，将一张矩形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′，C′的位置，若∠1=40°，则∠D′EF=　70°　．‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】由折叠的性质得∠DEF=∠D′EF，然后根据平角的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由折叠的性质得∠DEF=∠D′EF，‎ ‎∵∠1=40°，‎ ‎∴∠D′EF=（180°﹣40°）=70°，‎ 故答案为：70°．‎ ‎【点评】本题考查了折叠的性质，平角的定义，熟记折叠的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．若△ABC的三边长分别为6、8、10，则△ABC的内切圆半径为　2　．‎ ‎【考点】三角形的内切圆与内心．‎ ‎【分析】先根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，然后利用直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的三边长分别为6、8、10，‎ ‎∴62+82=102，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，‎ ‎∴△ABC的内切圆半径r==2．‎ 故答案是：2．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为．‎ ‎　‎ ‎15．已知y是x的二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表：‎ x ‎…‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ k ‎…‎ 观察表中数据，则k的值为　0　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．‎ ‎【解答】解：由上表可知函数图象经过点（﹣1，4）和点（1，4），‎ ‎∴对称轴为x==0，即y轴 ‎∴当x=2时的函数值等于当x=﹣2时的函数值，‎ ‎∵当x=﹣2时，y=0，‎ ‎∴当x=2时，k=0．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键，另外本题还可以先求出函数的解析式，然后代入求值．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1）和，若在第四象限存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是　（，﹣1），或（，3）或（，﹣）或（，﹣）　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．‎ ‎【分析】先根据题意得出OA，OB的长，再分△BOC∽△OBA，△BCO∽△OAB，△CBO∽△OBA，△CBO∽△OAB四种情况进行分类讨论，由直角三角形的性质即可得出结果．‎ ‎【解答】解：∵A（0，1）、B（，0），‎ ‎∴OA=1，OB=，‎ ‎∴AB==2，∠ABO=30°．‎ 当∠OBC=90°时，如图1，‎ ‎①若△BOC∽△OBA，则∠C=∠ABO=30°，BC=OA=1，OB=，‎ ‎∴C（，﹣1）；‎ ‎②若△BCO∽△OAB，则∠BOC=∠BAO=30°，BC=OB=3，OB=，‎ ‎∴C（，﹣3）‎ 当∠OCB=90°时，如图2，‎ 过点C作CP⊥OB于点P，‎ ‎①当△CBO∽△OBA时，‎ ‎∠OBC=∠ABO=30°，‎ ‎∴OC=OB=，‎ 同理：OP=OC=，‎ ‎∴PC=OP=，‎ ‎∴C（，﹣）；‎ ‎②当△CBO∽△OAB时，‎ ‎∠BIC=∠ABO=30°，‎ ‎∴BC=OB=，‎ 同理：BP=BC=，‎ ‎∴PC=BP=，OP=OB﹣BP=，‎ ‎∴C（，﹣）；‎ 综上所述：点C的坐标为（，﹣1），或（，﹣3）或（，﹣）或（，﹣）；‎ 故答案为：（，﹣1），或（，3）或（，﹣）或（，﹣）．‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的判定定理、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质；在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共11题，共88分，请在答题卡指定区域作答，解答题时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．计算：（x﹣3）（3+x）﹣（x2+x﹣1）‎ ‎【考点】平方差公式．‎ ‎【分析】先用平方差公式和去括号法则展开，再合并同类项即可．‎ ‎【解答】解：原式=x2﹣9﹣x2﹣x+1‎ ‎=﹣x﹣8．‎ ‎【点评】本题主要考查整式的混合运算和平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（1）解不等式3（2x+5）＞2（4x+3）并将其解集在数轴上表示出来．‎ ‎（2）写出一个一元一次不等式，使它和（1）中的不等式组的解集为x≤2，这个不等式可以是　x﹣1≤1（答案不唯一）　．‎ ‎【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；‎ ‎（2）根据（1）中不等式的解集可直接得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）去括号得，6x+15＞8x+6，‎ 移项得，6x﹣8x＞6﹣15，‎ 合并同类项得，﹣2x＞﹣9，‎ 把x的系数化为1得，x＜4.5；‎ ‎（2）x﹣1≤1．‎ 故答案为：x﹣1≤1（答案不唯一）．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（1）解方程：‎ ‎（2）方程的解为　x1=x2=　．‎ ‎【考点】解分式方程；解一元二次方程-配方法．‎ ‎【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；‎ ‎（2）方程去分母整理后，利用配方法求出解即可．‎ ‎【解答】解：（1）去分母得：4x+2=4，‎ 解得：x=，‎ 经检验x=是增根，分式方程无解；‎ ‎（2）去分母得：4x﹣2=4x2﹣1，即4x2﹣4x+1=0，‎ 分解因式得：（2x﹣1）2=0，‎ 解得：x1=x2=，‎ 故答案为：x1=x2=‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元二次方程﹣配方法，解分式方程利用了转化的思想，求出解后别忘了验根．‎ ‎　‎ ‎20．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列各题：‎ ‎（1）该班级女生人数是　20　；女生收看“两会”新闻次数的众数是　3　；中位数是　3　．‎ ‎（2）求女生收看次数的平均数．‎ ‎（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明计算出女生收看“两会”新闻次数的方差为，男生收看“两会”新闻次数的方差为2，请比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．‎ ‎（4）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”，如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数．‎ ‎【考点】条形统计图；解分式方程；加权平均数；中位数；众数；方差．‎ ‎【分析】（1）将各观看次数的人数相加得到女生总数，观看次数最多的为众数，从小到大排列后，最中间或中间两数的平均为中位数；‎ ‎（2）根据加权平均数的算法，列式计算即可；‎ ‎（3）由方差可判断，方差小说明波动小；‎ ‎（4）根据题意，求出女生的关注指数，进而得到男生的关注指数，设男生人数为x，列出方程，解之可得．‎ ‎【解答】解：（1）该班级女生人数为：2+5+6+5+2=20（人），‎ 其中收看3次的人数最多，达6次，故众数为3；‎ 该班级女生收看次数的中位数是从小到大排列的第10、11个数的平均数，均为3，故中位数是3；‎ ‎（2）女生收看次数的平均数是：×（1×2+2×5+3×6+4×5+5×2）==30；‎ ‎（3）∵2＞，‎ ‎∴所以男生比女生的波动幅度大；‎ ‎（4）由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为×100%=65%，‎ 所以，男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%‎ 设该班的男生有x人 则，‎ 解得：x=25，‎ 答：该班级男生有25人．‎ ‎【点评】本题主考考查从统计表中获取有用数据的能力，并用获取的数据进行计算、解决问题的能力，获取有用数据时解题关键．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为AD上两点，AE=EF=FD，连接BE、CF并延长，交于点G，GB=GC．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是矩形；‎ ‎（2）若△GEF的面积为2．‎ ‎①求四边形BCFE的面积；‎ ‎②四边形ABCD的面积为　24　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．‎ ‎【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB=DC，AB∥CD于是得到BE=CF，根据全等三角形的性质得到∠A=∠D，根据平行线的性质得到∠A+∠D=180°，由矩形的判定定理即可得到结论；‎ ‎（2）①根据相似三角形的性质得到=（）2=，求得△GBC的面积为18，于是得到四边形BCFE的面积为16；‎ ‎②根据四边形BCFE的面积为16，列方程得到BC•AB=24，即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵GB=GC，‎ ‎∴∠GBC=∠GCB，‎ 在平行四边形ABCD中，‎ ‎∵AD∥BC，AB=DC，AB∥CD，‎ ‎∴GB﹣GE=GC﹣GF，‎ ‎∴BE=CF，‎ 在△ABE与△DCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△DCF，‎ ‎∴∠A=∠D，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠A+∠D=180°，‎ ‎∴∠A=∠D=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形；‎ ‎（2）①∵EF∥BC，‎ ‎∴△GFE∽△GBC，‎ ‎∵EF=AD，‎ ‎∴EF=BC，‎ ‎∴=（）2=，‎ ‎∵△GEF的面积为2，‎ ‎∴△GBC的面积为18，‎ ‎∴四边形BCFE的面积为16，；‎ ‎②∵四边形BCFE的面积为16，‎ ‎∴（EF+BC）•AB=×BC•AB=16，‎ ‎∴BC•AB=24，‎ ‎∴四边形ABCD的面积为24，‎ 故答案为：24．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，证得△GFE∽△GBC是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．一只不透明的袋子中装有6个小球，分别标有1，2，3，4，5，6这6个号码，这些球除号码外都相同．‎ ‎（1）直接写出事件“从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍”的概率P1；‎ ‎（2）用画树状图或列表格等方法，求事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的概率P2．‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵3和6都是3的整数倍，∴P1==；（3分）‎ ‎（2）列表得：‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 从袋中同时摸出两个球的可能性有（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6），共十五种，‎ 号码之和为6的有（1，5）、（2，4），所以P2=．（8分）‎ ‎【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎　‎ ‎23．为了测量校园内旗杆AB的高度，小明和小丽同学分别采用了如下方案：‎ ‎（1）小明的方案：如图1，小明在地面上点C处观测旗杆顶部，测得仰角，∠ACB=45°然后他向旗杆反方向前进20米，此时在点D处观测旗杆顶部，测得仰角∠ADB=26.6°．根据小明的方案求旗杆AB的高度．‎ ‎（2）小丽的方案：如图2，小丽在地面上点C处观测旗杆顶部，测得仰角∠ACB=45°，然后从点C爬到10米高的楼上的点E处（CE⊥BC），观测旗杆顶部，测得仰角∠AEF=α．根据小丽的方案所求旗杆AB的高度为米．（用含α的式子表示）‎ ‎（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】（1）在Rt△ABC中，∠ACB=45°，得到AB=BC，在Rt△ABD中，∠ADB=26.6°，得到tan26.6°=，即可得到结论；‎ ‎（2）延长EF交AB于D，根据矩形的性质得到BD=CE=10，DE=BC，然后根据三角函数的定义列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=45°，‎ ‎∴AB=BC，‎ 在Rt△ABD中，∠ADB=26.6°，‎ ‎∴tan26.6°=，‎ ‎∴AB=≈20m，‎ 答：旗杆AB的高度为20m；‎ ‎（2）延长EF交AB于D，‎ ‎∴BD=CE=10，DE=BC，‎ ‎∵∠ACB=45°，‎ ‎∴AB=BC，‎ ‎∴DE=AB，‎ ‎∵∠AEF=α，‎ ‎∴tanα==，‎ ‎∴AB=，‎ 答：旗杆AB的高度为米．‎ ‎【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎24．大客车和小轿车同时从甲地出发，沿笔直的公路以各自的速度匀速驶往异地，轿车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，大客车的速度为60千米/小时，轿车的速度为90千米/小时．设大客车和轿车出发x小时后，两车离乙地的距离分别为y1和y2千米．‎ ‎（1）分别求出y1和y2与x之间的函数关系式．‎ ‎（2）在同一平面直角坐标系中画出y1和y2的函数图象，并标上必要的数据．‎ ‎【考点】一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据大客车离乙地的路程=180﹣速度×时间，小轿车离乙地的路程分①0≤x≤2，②2≤x≤4分别计算即可．‎ ‎（2）利用描点法画出图象即可．‎ ‎【解答】解：（1）y1=180﹣60x，‎ 当0≤x≤2时，‎ y2=180﹣90x，‎ 当2≤x≤4时，‎ y2=90x﹣180．‎ ‎（2）y1和y2的函数图象，如图所示．‎ ‎【点评】本题考查一次函数的应用，路程、速度、时间之间的关系，等知识，解题的关键是理解题意，利用路程=速度×时间解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎25．某公司批发一种服装，进价120元/件，批发价200元/件，公司对大量购买有优惠政策，凡是一次性购买20件以上的，每多买一件，批发价降低1元．设顾客购买x（件）时公司的利润为y（元）．‎ ‎（1）当一次性购买x件（x＞20）时，‎ ‎①批发价为　220﹣x　元/件；‎ ‎②求y（元）与x（件）之间的函数表达式．‎ ‎（2）设批发价为a元/件，求a在什么范围内才能保证公司每次卖的越多，利润也越多．‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）①根据题意列出代数式即可；‎ ‎②根据题意即可的结论；‎ ‎（3）根据y=﹣x2+100x=﹣（x﹣50）2+2500，于是得到抛物线的开口向下，x=50时，y有最大值，在对称轴x=50的左侧，y随x的增大而增大，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）①根据题意得：批发价为[200﹣（x﹣20）]=（220﹣x）元/件；‎ 故答案为：220﹣x；‎ ‎②y=（220﹣x﹣120）x=﹣x2+100x，‎ ‎（3）∵y=﹣x2+100x=﹣（x﹣50）2+2500，‎ ‎∵抛物线的开口向下，‎ ‎∴x=50时，y有最大值，在对称轴x=50的左侧，y随x的增大而增大，‎ ‎∴200﹣（50﹣20）]=170，‎ ‎∴170≤a≤200时，每次卖的越多，利润也越多．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的应用，销售问题的数量关系的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．‎ ‎　‎ ‎26．（11分）（2016•南京一模）如图，已知⊙O的半径是4cm，弦AB=4cm，AC是⊙O的切线，切AC=4cm，连接BC．‎ ‎（1）证明：BC时⊙O的切线；‎ ‎（2）把△ABC沿射线CO方向平移d（3）cm（d（4）＞0），使△ABC的边所在的直线与⊙O相切，求d（5）的值．‎ ‎【考点】切线的判定与性质；平移的性质．‎ ‎【分析】（1）连接OA、OB．作OD⊥AB于点D，由切线的性质得出∠OAC=90°，由垂径定理得出AD=AB=2，在Rt△OAD中，求出∠AOD=45°，同理∠BOD=45°，证出AC∥OB，得出四边形OABC为平行四边形，证出四边形OABC是矩形，得出OB⊥BC，即可得出结论；‎ ‎（2）延长DO交⊙O于E，把△ABC沿射线CO方向平移，使AB边与⊙O相切，则平移的距离为DE的长，由等腰直角三角形的性质得出OD=AD=2，求出DE的长即可．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OA、OB．作OD⊥AB于点D，如图1所示：‎ ‎∵AC是⊙O的切线，‎ ‎∴OA⊥AC，即∠OAC=90°，‎ ‎∵OD⊥AB，AD=AB=×4=2，‎ 在Rt△OAD中， ==，‎ ‎∴∠AOD=45°，‎ 同理∠BOD=45°，‎ ‎∴∠BOA=90°，‎ ‎∴∠OAC+∠BOA=180°，‎ ‎∴AC∥OB，‎ ‎∵AC=OB=4，‎ ‎∴四边形OABC为平行四边形，‎ ‎∵∠OAC=90°，‎ ‎∴四边形OABC是矩形，‎ ‎∴∠OBC=90°，‎ 即OB⊥BC，‎ ‎∴BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：延长DO交⊙O于E，如图2所示：‎ ‎∵OD⊥AB，把△ABC沿射线CO方向平移，使AB边与⊙O相切，‎ 则平移的距离为DE的长，‎ ‎∵在Rt△OAD中，∠AOD=45°，‎ ‎∴OD=AD=2，‎ ‎∵OE=4，‎ ‎∴DE=OD+OE=2+4，‎ ‎∴d（5）的值为（4+）cm．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定与性质、平移的性质、垂径定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明四边形是矩形是解决问题（1）的关键．‎ ‎　‎ ‎27．（10分）（2016•南京一模）如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、1，正方形BGFE绕点B旋转，直线AE、GC相交于点H．‎ ‎（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中，∠AHC的大小是否始终为90°，请说明理由；‎ ‎（2）连接DH、BH，在正方形BGFE绕点B旋转过程中，‎ ‎①求DH的最大值；‎ ‎②直接写出DH的最小值．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）先判断出△ABE≌△CBG，得到∠BAE=∠BCG，再进行简单的代换即可；‎ ‎（2）①先判断出点A，B，H，C，D在以AC为直径的同一个圆上，得到DH最大就是大正方形的对角线，即可；‎ ‎②先由AE恒垂直CG于H，判断出当AE垂直于BE时，DH最短．如图所示，得到点A，E，F（H）共线，再利用勾股定理和直角三角形的一条直角边等于斜边的一边，得出∠BAE=30°，再利用三角函数和勾股定理计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）是，理由如下：‎ 由旋转知，∠ABE=CBG，‎ 在正方形ABCD，BGFE中，‎ AB=BC，BE=BG，∠ADC=∠BCD=∠BAD=∠ABC=90°，‎ ‎∴△ABE≌△CBG，‎ ‎∴∠BAE=∠BCG，‎ ‎∵∠APB=∠CPH，∠ABC+∠BAE+∠APB=180°‎ ‎∠AHC+∠BCG+∠CPH=180°，‎ ‎∴∠AHC=∠ABC=90°，‎ ‎（2）①∵AHC=90°‎ ‎∴点H在以AC为直径的圆上，‎ 由（1）有，∠ABC=∠ADC=90°，‎ ‎∴点B，D也在以AC为直径的圆上，‎ ‎∴点A，B，H，C，D在以AC为直径的同一个圆上，‎ 在正方形ABCD中，∠BCD=90°，‎ ‎∴BD也是这个圆的直径，‎ ‎∴当H与点B重合时，DH最大为2，‎ ‎②解：（1）是，理由如下：‎ 由旋转知，∠ABE=CBG，‎ 在正方形ABCD，BGFE中，‎ AB=BC，BE=BG，∠ADC=∠BCD=∠BAD=∠ABC=90°，‎ ‎∴△ABE≌△CBG，‎ ‎∴∠BAE=∠BCG，‎ ‎∵∠APB=∠CPH，∠ABC+∠BAE+∠APB=180°‎ ‎∠AHC+∠BCG+∠CPH=180°，‎ ‎∴∠AHC=∠ABC=90°，‎ ‎（2）①∵AHC=90°‎ ‎∴点H在以AC为直径的圆上，‎ 由（1）有，∠ABC=∠ADC=90°，‎ ‎∴点B，D也在以AC为直径的圆上，‎ ‎∴点A，B，H，C，D在以AC为直径的同一个圆上，‎ 在正方形ABCD中，∠BCD=90°，‎ ‎∴BD也是这个圆的直径，‎ ‎∴当H与点B重合时，DH最大为2，‎ ‎∵AE恒垂直CG于H，‎ ‎∴当AE垂直于BE时，DH最短．如图，‎ ‎∵AE⊥BE，‎ ‎∴∠AEB=90°，‎ ‎∵AB=2，BE=1，‎ ‎∴AE=，∠BAE=30°，‎ ‎∵点A，E，F共线，‎ ‎∴AF=AE+EF=+1，‎ 作FM⊥AD，‎ FM∥AB，‎ ‎∴∠AFM=∠BAE=30°，‎ ‎∴FM=AFcos∠AFM=（+1）cos30°=‎ AM=AFsin∠AFM=（+1）sin30°=，‎ ‎∴DM=AD﹣AM=2﹣=，‎ 在Rt△DMF中，根据勾股定理得，DH=DF==．‎ ‎【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转过程中极值的确定方法，还用到了三角函数的意义，解本题的关键是作出图形．‎