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  • 2021-05-10 发布

江苏省苏州市中考数学试题及答案

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2015 年苏州市初中毕业暨升学考试试卷 数 学 本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成,共 28 小题,满分 130 分,考试时间 120 分 钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用 0.5 毫米黑色墨水 签字笔填写在答题卡相应位置上,并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人 的相符; 2.答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,请用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案;答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题 卡指定的位置上,不在答题区域内的答案一律无效,不得用其他笔答题; 3.考生答题必须答在答题卡上,保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破,答在试卷和草 稿纸上一律无效. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相应位置上. 1.2 的相反数是 A.2 B. C.−2 D.− 2.有一组数据:3,5,5,6,7,这组数据的众数为 A.3 B.5 C.6 D.7 3.月球的半径约为 1 738 000m,1 738 000 这个数用科学记数法可表示为 A.1.738×106 B.1.738×107 C.0.1738×107 D.17.38×105 4.若 ,则有 A.0<m<1 B.-1<m<0 C.-2<m<-1 D.-3<m<-2 5.小明统计了他家今年 5 月份打电话的次数及通话时间,并列出了频数分布表: 通话时间 x/min 0<x≤5 5<x≤10 10<x≤15 15<x≤20 频数(通话次数) 20 16 9 5 则通话时间不超过 15min 的频率为 A.0.1 B.0.4 C.0.5 D.0.9 6.若点 A(a,b)在反比例函数 的图像上,则代数式 ab-4 的值为 A.0 B.-2 C. 2 D.-6 1 2 1 2 ( )2 22m = × − 2y x = 7.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 中点,∠BAD=35°,则∠C 的度数为 A.35° B.45° C.55° D.60° 8.若二次函数 y=x2+bx 的图像的对称轴是经过点(2,0)且平行于 y 轴的直线,则关于 x 的方程 x2+bx=5 的解为 A. B. C. D. 9.如图,AB 为⊙O 的切线,切点为 B,连接 AO,AO 与⊙O 交于点 C,BD 为⊙O 的直径, 连接 CD.若∠A=30°,⊙O 的半径为 2,则图中阴影部分的面积为 A. B. C. D. 10.如图,在一笔直的海岸线 l 上有 A、B 两个观测站,AB=2km,从 A 测得船 C 在北偏东 45 °的方向,从 B 测得船 C 在北偏东 22.5°的方向,则船 C 离海岸线 l 的距离(即 CD 的 长)为 A. km B. km C. km D. km 二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.把答案直接填在答题卡相应位置 上. 11.计算: = ▲ . 12.如图,直线 a∥b,∠1=125°,则∠2 的度数为 ▲ °. 1 20, 4x x= = 1 21, 5x x= = 1 21, 5x x= = − 1 21, 5x x= − = 4 33 π − 4 2 33 π − 3π − 2 33 π − 4 ( )2 2+ 2 2 ( )4 2− 2a a⋅ D CB A (第 7 题) (第 9 题) D C B AO (第 10 题) l 北 西 南 东 C DBA 45° 22.5° 13.某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中,随机调查了若干名学生(每名学生分别选了 一项球类运动),并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图.已知其中最喜欢羽毛 球的人数比最喜欢乒乓球的人数少 6 人,则该校被调查的学生总人数为 ▲ 名. 14.因式分解: = ▲ . 15.如图,转盘中 8 个扇形的面积都相等.任意转动转盘 1 次,当转盘停止转动时,指针指 向大于 6 的数的概率为 ▲ . 16.若 ,则 的值为 ▲ . 17.如图,在△ABC 中,CD 是高,CE 是中线,CE=CB,点 A、D 关于点 F 对称,过点 F 作 FG∥CD,交 AC 边于点 G,连接 GE.若 AC=18,BC=12,则△CEG 的周长为 ▲ . 18.如图,四边形 ABCD 为矩形,过点 D 作对角线 BD 的垂线,交 BC 的延长线于点 E, 取 BE 的中点 F,连接 DF,DF=4.设 AB=x,AD=y,则 的值为 ▲ . 2 24a b− 2 3a b− = 9 2 4a b− + ( )22 4x y+ − (第 17 题) G F E D C BA F E D CB A (第 18 题) c b a 2 1 (第 12 题) (第 13 题) 20% 10%30% 40% 其他 乒乓球 篮球 羽毛球 (第 15 题) 8 7 6 54 3 2 1 三、解答题:本大题共 10 小题,共 76 分.把解答过程写在答题卡相应位置上,解答时应写 出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用 2B 铅笔或黑色墨水签字笔. 19.(本题满分 5 分) 计算: . 20.(本题满分 5 分) 解不等式组: 21.(本题满分 6 分) 先化简,再求值: ,其中 . 22.(本题满分 6 分)甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗.已知甲每小时比乙多 做 5 面彩旗,甲做 60 面彩旗与乙做 50 面彩旗所用时间相等,问甲、乙每小时各做多少 面彩旗? 23.(本题满分 8 分)一个不透明的口袋中装有 2 个红球(记为红球 1、红球 2)、1 个白球、 1 个黑球,这些球除颜色外都相同,将球摇匀. (1)从中任意摸出 1 个球,恰好摸到红球的概率是 ▲ ; (2)先从中任意摸出 1 个球,再从余下的 3 个球中任意摸出 1 个球,请用列举法(画树 状图或列表)求两次都摸到红球的概率. ( )0 9 5 2 3+ − − − ( ) 1 2, 3 1 5. x x x + ≥ − + > 21 2 11 2 2 x x x x + + − ÷ + +  3 1x = − 24.(本题满分 8 分)如图,在△ABC 中,AB=AC.分别以 B、C 为圆心,BC 长为半径在 BC 下方画弧,设两弧交于点 D,与 AB、AC 的延长线分别交于点 E、F,连接 AD、BD、 CD. (1)求证:AD 平分∠BAC; (2)若 BC=6,∠BAC=50°,求 、 的长度之和(结果保留 ). 25.(本题满分 8 分)如图,已知函数 (x>0)的图像经过点 A、B,点 B 的坐标为 (2,2).过点 A 作 AC⊥x 轴,垂足为 C,过点 B 作 BD⊥y 轴,垂足为 D,AC 与 BD 交 于点 F.一次函数 y=ax+b 的图像经过点 A、D,与 x 轴的负半轴交于点 E. (1)若 AC= OD,求 a、b 的值; (2)若 BC∥AE,求 BC 的长. DE DF π ky x = 3 2 (第 24 题) FE D CB A y x F OE D C B A (第 25 题) 26.(本题满分 10 分)如图,已知 AD 是△ABC 的角平分线,⊙O 经过 A、B、D 三点,过 点 B 作 BE∥AD,交⊙O 于点 E,连接 ED. (1)求证:ED∥AC; ( 2 ) 若 BD=2CD , 设 △ EBD 的 面 积 为 , △ ADC 的 面 积 为 , 且 ,求△ABC 的面积. 27.(本题满分 10 分)如图,已知二次函数 (其中 0<m<1)的图像 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,对称轴为直线 l.设 P 为对称轴 l 上的点,连接 PA、PC,PA=PC. (1)∠ABC 的度数为 ▲ °; (2)求 P 点坐标(用含 m 的代数式表示); (3)在坐标轴上是否存在点 Q(与原点 O 不重合),使得以 Q、B、C 为顶点的三角形 与△PAC 相似,且线段 PQ 的长度最小?如果存在,求出所有满足条件的点 Q 的坐标; 如果不存在,请说明理由. 1S 2S 2 1 216 4 0S S− + = ( )2 1y x m x m= + − − y xO P C BA l (第 27 题) E B CD A O (第 26 题) 28.(本题满分 10 分)如图,在矩形 ABCD 中,AD=acm,AB=bcm(a>b>4),半径为 2cm 的⊙O 在矩形内且与 AB、AD 均相切.现有动点 P 从 A 点出发,在矩形边上沿着 A→B →C→D 的方向匀速移动,当点 P 到达 D 点时停止移动;⊙O 在矩形内部沿 AD 向右匀 速平移,移动到与 CD 相切时立即沿原路按原速返回,当⊙O 回到出发时的位置(即再 次与 AB 相切)时停止移动.已知点 P 与⊙O 同时开始移动,同时停止移动(即同时到 达各自的终止位置). (1)如图①,点 P 从 A→B→C→D,全程共移动了 ▲ cm(用含 a、b 的代数式表示); (2)如图①,已知点 P 从 A 点出发,移动 2s 到达 B 点,继续移动 3s,到达 BC 的中 点.若点 P 与⊙O 的移动速度相等,求在这 5s 时间内圆心 O 移动的距离; (3)如图②,已知 a=20,b=10.是否存在如下情形:当⊙O 到达⊙O1 的位置时(此 时圆心 O1 在矩形对角线 BD 上),DP 与⊙O1 恰好相切?请说明理由. (第 28 题) O1 A B C D O P (图②)(图①) P O D CB A 2015 年苏州市初中毕业暨升学考试 数学试题答案 一、选择题 1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.D 9.A 10.B 二、填空题 11. 12.55 13.60 14. 15. 16.3 17.27 18.16 三、解答题 19.解:原式 = 3+5−1 = 7. 20.解:由 ,解得 , 由 ,解得 , ∴不等式组的解集是 . 21.解:原式= = . 当 时,原式= . 22.解:设乙每小时做 x 面彩旗,则甲每小时做(x+5)面彩旗. 根据题意,得 . 解这个方程,得 x=25.经检验,x=25 是所列方程的解. ∴x+5=30. 答:甲每小时做 30 面彩旗,乙每小时做 25 面彩旗. 23.解:(1) . (2)用表格列出所有可能的结果: 第二次 第一次 红球 1 红球 2 白球 黑球 红球 1 (红球 1,红球 2)(红球 1,白球) (红球 1,黑球) 红球 2 (红球 2,红球 1) (红球 2,白球) (红球 2,黑球) 白球 (白球,红球 1) (白球,红球 2) (白球,黑球) 黑球 (黑球,红球 1) (黑球,红球 2) (黑球,白球) 由表格可知,共有 12 种可能出现的结果,并且它们都是等可能的,其中“两次都摸 到红球”有 2 种可能. 3a ( )( )2 2a b a b+ − 1 4 1 2x + ≥ 1x ≥ ( )3 1 5x x− +> 4x> 4x> ( )211 2 2 xx x x ++ ÷+ + ( )2 1 2 1 2 11 x x x xx + +× =+ ++ 3 1x = − 1 1 3 33 1 1 3 = = − + 60 50 5x x =+ 1 2 ∴P(两次都摸到红球)= = . 24.证明:(1)由作图可知 BD=CD. 在△ABD 和△ACD 中, ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠BAD=∠CAD,即 AD 平分∠BAC. 解:(2)∵AB=AC,BAC=50°,∴∠ABC=∠ACB=65°. ∵BD= CD = BC,∴△BDC 为等边三角形. ∴∠DBC=∠DCB=60°. ∴∠DBE=∠DCF=55°. ∵BC=6,∴BD= CD =6. ∴ 的长度= 的长度= . ∴ 、 的长度之和为 . 25.解:(1)∵点 B(2,2)在 的图像上, ∴k=4, . ∵BD⊥y 轴,∴D 点的坐标为(0,2),OD=2. ∵AC⊥x 轴,AC= OD,∴AC=3,即 A 点的纵坐标为 3. ∵点 A 在 的图像上,∴A 点的坐标为( ,3). ∵一次函数 y=ax+b 的图像经过点 A、D, ∴ 解得 (2)设 A 点的坐标为(m, ),则 C 点的坐标为(m,0). ∵BD∥CE,且 BC∥DE,∴四边形 BCED 为平行四边形. ∴CE= BD=2. ∵BD∥CE,∴∠ADF=∠AEC. ∴在 Rt△AFD 中,tan∠ADF= , 在 Rt△ACE 中,tan∠AEC= , 2 12 1 6 , , , AB AC BD CD AD AD =  =  = DE DF 55 6 11 180 6 π π× × = DE DF 11 11 11 6 6 3 π π π+ = ky x = 4y x = 3 2 4y x = 4 3 4 3,3 2. a b b  + =  = 3 ,4 2. a b  =  = 4 m 4 2AF m DF m − = 4 2 AC m EC = ∴ ,解得 m=1. ∴C 点的坐标为(1,0),BC= . 26.证明:(1)∵AD 是△ABC 的角平分线, ∴∠BAD =∠DAC. ∵∠E=∠BAD,∴∠E =∠DAC. ∵BE∥AD,∴∠E =∠EDA. ∴∠EDA =∠DAC. ∴ED∥AC. 解:(2)∵BE∥AD,∴∠EBD =∠ADC. ∵∠E =∠DAC, ∴△EBD∽△ADC,且相似比 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ∴ ,即 . ∵ ,∴ ,即 . ∴ . ∵ ,∴ . 27.解:(1)45. 理由如下:令 x=0,则 y=-m,C 点坐标为(0,-m). 令 y=0,则 ,解得 , . ∵0<m<1,点 A 在点 B 的左侧, ∴B 点坐标为(m,0).∴OB=OC=m. ∵∠BOC=90°,∴△BOC 是等腰直角三角形,∠OBC=45°. (2)解法一:如图①,作 PD⊥y 轴,垂足为 D,设 l 与 x 轴交于点 E, 由题意得,抛物线的对称轴为 . 设点 P 坐标为( ,n). ∵PA= PC, ∴PA2= PC2,即 AE2+ PE2=CD2+ PD2. ∴ . 解得 .∴P 点的坐标为 . 解法二:连接 PB. 由题意得,抛物线的对称轴为 . 4 42 2 m m m − = 5 2BDk DC = = 21 2 4S kS = = 1 24S S= 2 1 216 4 0S S− + = 2 2 216 16 4 0S S− + = ( )2 24 2 0S − = 2 1 2S = 2 3 3ABCS BC BD CD CD S CD CD CD += = = = 3 2ABCS =  ( )2 1 0x m x m+ − − = 1 1x = − 2x m= 1 2 mx − += 1 2 m− + ( )2 2 221 112 2 m mn n m − + −   + + = + +       1 2 mn −= 1 1,2 2 m m− + −     1 2 mx − += ∵P 在对称轴 l 上,∴PA=PB. ∵PA=PC,∴PB=PC. ∵△BOC 是等腰直角三角形,且 OB=OC, ∴P 在 BC 的垂直平分线 上. ∴P 点即为对称轴 与直线 的交点. ∴P 点的坐标为 . (3)解法一:存在点 Q 满足题意. ∵P 点的坐标为 , ∴PA2+ PC2=AE2+ PE2+CD2+ PD2 = . ∵AC2= ,∴PA2+ PC2=AC2.∴∠APC=90°. ∴△PAC 是等腰直角三角形. ∵以 Q、B、C 为顶点的三角形与△PAC 相似, ∴△QBC 是等腰直角三角形. ∴由题意知满足条件的点 Q 的坐标为(-m,0)或(0,m). ①如图①,当 Q 点的坐标为(-m,0)时, 若 PQ 与 x 轴垂直,则 ,解得 ,PQ= . 若 PQ 与 x 轴不垂直, 则 . ∵0<m<1,∴当 时, 取得最小值 ,PQ 取得最小值 . ∵ < , y x y x 图① 图② O P E D C BA l Q Q l A B C D E P O y x= − 1 2 mx − += y x= − 1 1,2 2 m m− + −     1 1,2 2 m m− + −     2 2 2 2 21 1 1 11 12 2 2 2 m m m mm m − + − − −       + + + + + = +               21 m+ 1 2 m m − + = − 1 3m = 1 3 2 2 2 2 2 2 21 1 5 1 5 2 122 2 2 2 2 5 10 m mPQ PE EQ m m m m − − +     = + = + + = − + = − +           2 5m = 2PQ 1 10 10 10 10 10 1 3 ∴当 ,即 Q 点的坐标为( ,0)时, PQ 的长度最小. ②如图②,当 Q 点的坐标为(0,m)时, 若 PQ 与 y 轴垂直,则 ,解得 ,PQ= . 若 PQ 与 y 轴不垂直, 则 . ∵0<m<1,∴当 时, 取得最小值 ,PQ 取得最小值 . ∵ < , ∴当 ,即 Q 点的坐标为(0, )时, PQ 的长度最小. 综上:当 Q 点坐标为( ,0)或(0, )时,PQ 的长度最小. 解法二: 如图①,由(2)知 P 为△ABC 的外接圆的圆心. ∵∠APC 与∠ABC 对应同一条弧 ,且∠ABC=45°, ∴∠APC=2∠ABC=90°. 下面解题步骤同解法一. 28.解:(1)a+2b. (2)∵在整个运动过程中,点 P 移动的距离为 cm, 圆心 O 移动的距离为 cm, 由题意,得 . ① ∵点 P 移动 2s 到达 B 点,即点 P 用 2s 移动了 bcm, 点 P 继续移动 3s,到达 BC 的中点,即点 P 用 3s 移动了 cm. ∴ . ② 由①②解得 ∵点 P 移动的速度与⊙O 移动的速度相等, ∴⊙O 移动的速度为 (cm/s). ∴这 5s 时间内圆心 O 移动的距离为 5×4=20(cm). (3)存在这种情形. 2 5m = 2 5 − 1 2 m m − = 1 3m = 1 3 2 2 2 2 2 2 21 1 5 1 5 2 122 2 2 2 2 5 10 m mPQ PD DQ m m m m − −     = + = + − = − + = − +           2 5m = 2PQ 1 10 10 10 10 10 1 3 2 5m = 2 5 2 5 − 2 5 AC ( )2a b+ ( )2 4a − ( )2 2 4a b a+ = − 1 2 a 1 2 2 3 ab = 24, 8. a b =  = 42 b = 解法一:设点 P 移动的速度为 v1cm/s,⊙O 移动的速度为 v2cm/s, 由题意,得 . 如图,设直线 OO1 与 AB 交于点 E,与 CD 交于点 F,⊙O1 与 AD 相切于点 G. 若 PD 与⊙O1 相切,切点为 H,则 O1G=O1H. 易得△DO1G≌△DO1H,∴∠ADB=∠BDP. ∵BC∥AD,∴∠ADB=∠CBD. ∴∠BDP=∠CBD.∴BP=DP. 设 BP=xcm,则 DP=xcm,PC=(20-x)cm, 在 Rt△PCD 中,由勾股定理,可得 , 即 ,解得 . ∴此时点 P 移动的距离为 (cm). ∵EF∥AD,∴△BEO1∽△BAD. ∴ ,即 . ∴EO1=16cm.∴OO1=14cm. ①当⊙O 首次到达⊙O1 的位置时,⊙O 移动的距离为 14cm, ∴此时点 P 与⊙O 移动的速度比为 . ∵ , ∴此时 PD 与⊙O1 不可能相切. ②当⊙O 在返回途中到达⊙O1 的位置时,⊙O 移动的距离为 2×(20-4)-14=18 (cm), ∴此时点 P 与⊙O 移动的速度比为 . ∴此时 PD 与⊙O1 恰好相切. 解法二:∵点 P 移动的距离为 cm(见解法一), OO1=14cm(见解法一), , H G FE P O D CB A O1 ( ) ( )1 2 2 20 2 10 5 2 4 2 20 4 4 v a b v a + + ×= = =− − 2 2 2PC CD PD+ = ( )2 2 220 10x x− + = 25 2x = 25 4510 2 2 + = 1EO BE AD BA = 1 8 20 10 EO = 45 452 14 28 = 45 5 28 4 ≠ 45 45 52 18 36 4 = = 45 2 1 2 5 4 v v = ∴⊙O 应该移动的距离为 (cm). ①当⊙O 首次到达⊙O1 的位置时,⊙O 移动的距离为 14cm≠18 cm, ∴此时 PD 与⊙O1 不可能相切. ②当⊙O 在返回途中到达⊙O1 的位置时,⊙O 移动的距离为 2×(20-4)-14=18 (cm), ∴此时 PD 与⊙O1 恰好相切. 解法三:点 P 移动的距离为 cm,(见解法一) OO1=14cm,(见解法一) 由 可设点 P 的移动速度为 5k cm/s,⊙O 的移动速度为 4k cm/s, ∴点 P 移动的时间为 (s). ①当⊙O 首次到达⊙O1 的位置时,⊙O 移动的时间为 , ∴此时 PD 与⊙O1 不可能相切. ② 当 ⊙ O 在 返 回 途 中 到 达 ⊙ O1 的 位 置 时 , ⊙ O 移 动 的 时 间 为 , ∴此时 PD 与⊙O1 恰好相切. 45 4 182 5 × = 45 2 1 2 5 4 v v = 45 92 5 2k k = 14 7 9 4 2 2k k k = ≠ 2 (20 4) 14 9 4 2k k × − − =