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- 2021-05-10 发布
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2019年北京市朝阳区中考数学一模试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.(3分)实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示,这四个数中,绝对值最小的是( )
A.a B.b C.c D.d
2.(3分)京津冀一体化是由京津唐工业基地的概念发展而来,涉及到的人口总数约为90 000 000人.将90 000 000用科学记数法表示应为( )
A.0.9×108 B.9×107 C.90×106 D.9×106
3.(3分)如图是某个几何体的三视图,该几何体是( )
A.棱柱 B.圆锥 C.球 D.圆柱
4.(3分)如图,直线l1∥l2,若∠1=70°,∠2=60°,则∠3的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
5.(3分)一个试验室在0:00﹣4:00的温度T(单位:℃)与时间t (单位:h)的函数关系的图象如图所示,在0:00﹣2:00保持恒温,在2:00﹣4:00匀速升温,则开始升温后试验室每小时升高的温度为( )
A.5℃ B.10℃ C.20℃ D.40℃
6.(3分)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.问折者高几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部3尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断后离地面的高度为x尺,则可列方程为( )
A.x2﹣3=(10﹣x)2 B.x2﹣32=(10﹣x)2 C.x2+3=(10﹣x)2 D.x2+32=(10﹣x)2
7.(3分)小军为了解同学们的课余生活,设计了如下的调查问卷(不完整):
他准备在“①看课外书,②体育活动,③看电视,④踢足球,⑤看小说”中选取三个作为该问题的备选答案,选取合理的是( )
A.①②③ B.①④⑤ C.②③④ D.②④⑤
8.(3分)如图,广场中心的菱形花坛ABCD的周长是40米,∠A=60°,则A,C两点之间的距离为( )
A.5米 B.5米 C.10米 D.10米
9.(3分)某班25名同学在一周内做家务劳动时间如图所示,则做家务劳动时间的众数和中位数分别是( )
A.2和1.5 B.1.5和1.5 C.2和2.5 D.1.75和2
10.(3分)如图1,在△ABC中,AB=BC,AC=m,D,E分别是AB,BC边的中点,点P为AC边上的一个动点,连接PD,PB,PE.设AP=x,图1中某条线段长为y,若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则这条线段可能是( )
A.PD B.PB C.PE D.PC
二、填空题(本题共18分,每小题3分)
11.(3分)分解因式:3m2﹣6m+3= .
12.(3分)某水果公司购进10 000kg苹果,公司想知道苹果的损坏率,从所有苹果中随机抽取若干进行统计,部分结果如下表:
苹果总质量n(kg)
100
200
300
400
500
1000
损坏苹果质量m(kg)
10.50
19.42
30.63[来源:1]
39.24
49.54
101.10
苹果损坏的频率(结果保留小数点后三位)
0.105
0.097
0.102
0.098
0.099
0.101
估计这批苹果损坏的概率为 (结果保留小数点后一位),损坏的苹果约有 kg.
13.(3分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACO=45°,则∠B的度数为 .
14.(3分)某同学看了下面的统计图说:“这幅图显示,从2019年到2019年A市常住人口大幅增加.”你认为这位同学的说法是否合理?答: (填“合理”或“不合理”),你的理由是 .
15.(3分)如图,图中的四边形都是矩形,根据图形,写出一个正确的等式: .
16.(3分)阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
尺规作图:作一条线段的垂直平分线.
已知:线段AB.
求作:线段AB的垂直平分线.
小红的作法如下:
如图,①分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点C;
②再分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径(不同于①中的半径)作弧,两弧相交于点D,使点D与点C在直线AB的同侧;
③作直线CD.
所以直线CD就是所求作的垂直平分线.
老师说:“小红的作法正确.”
请回答:小红的作图依据是 .
三、解答题(本题共72分,第17-26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)
17.(5分)计算:()﹣1﹣(π﹣2)0+|﹣2|+2sin60°.
18.(5分)已知x2﹣2x﹣1=0.求代数式(x﹣1)2+x(x﹣4)+(x﹣2)(x+2)的值.
19.(5分)解不等式组.
20.(5分)如图,四边形ABCD中,AB∥DC,AE,DF分别是∠BAD,∠ADC的平分线,AE,DF交于点O.
求证:AE⊥DF.[来源:Zxxk.Com]
21.(5分)“五•一”假期的某天,小明、小东两人同时分别从家出发骑共享单车到奥林匹克公园,已知小明家到公园的路程为15km,小东家到公园的路程为12km,小明骑车的平均速度比小东快3.5km/h,结果两人同时到达公园.求小东从家骑车到公园的平均速度.
22.(5分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+b与双曲线y=的一个交点为A(m,2),与y轴分别交于点B.
(1)求m和b的值;
(2)若点C在y轴上,且△ABC的面积是2,请直接写出点C的坐标.[来源:1ZXXK]
23.(5分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,过点A作BC的平行线,过点B作AD的平行线,两线交于点E.
(1)求证:四边形ADBE是矩形;
(2)连接DE,交AB于点O,若BC=8,AO=,求cos∠AED的值.
24.(5分)阅读下列材料:
2019年3月29日,习主席来到了北京市朝阳区将台乡参加首都义务植树活动,他指出爱绿护绿是每个公民的职责,造林绿化是功在当代、利在千秋的事业.首都北京一直致力于创造绿色低碳的良好生态环境,着力加大城区规划建绿.2019年,城市绿化覆盖率达到46.8%,森林覆盖率为40%,园林绿地面积67048公顷.2019年,城市绿化覆盖率比上年提高0.6个百分点,森林覆盖率为41%.2019年,城市绿化覆盖率达到48.4%,森林覆盖率为41.6%,生态环境进一步提升,园林绿地面积达到81305公顷.2019年,城市绿化覆盖率达到48.1%,森林覆盖率为42.3%,园林绿地面积比上年增加408公顷.
根据以上材料解答下列问题:
(1)2019年首都北京园林绿地面积为 公顷;
(2)用统计表将2019﹣2019年首都北京城市绿化覆盖率、森林覆盖率表示出来.
25.(5分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点D在AB上,以BD为直径的⊙O切AC于点E,连接DE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)求证:△BDF是等边三角形;
(2)连接AF、DC,若BC=3,写出求四边形AFCD面积的思路.
26.(5分)有这样一个问题:探究函数y=的图象与性质.
小华根据学习函数的经验,对函数y=的图象与性质进行了探究.
下面是小华的探究过程,请补充完整:
(1)函数y=的自变量x的取值范围是 ;
(2)下表是y与x的几组对应值.
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
3
4
5
6
7
…
y
…
6
6
m
…
求m的值;
(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;
(4)结合函数的图象,写出该函数的一条性质: .
27.(7分)在平面直角坐标系中xOy中,抛物线y=x2﹣mx+m2+m﹣2的顶点在x轴上.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点Q是x轴上一点,
①若在抛物线上存在点P,使得∠POQ=45°,求点P的坐标;
②抛物线与直线y=2交于点E,F(点E在点F的左侧),将此抛物线在点E,F(包含点E和点F)之间的部分沿x轴平移n个单位后得到的图象记为G,若在图象G上存在点P,使得∠POQ=45°,求n的取值范围.
28.(7分)在△ABC中,∠ACB=90°,AC<BC,点D在AC的延长线上,点E在BC边上,且BE=AD,
(1)如图1,连接AE,DE,当∠AEB=110°时,求∠DAE的度数;
(2)在图2中,点D是AC延长线上的一个动点,点E在BC边上(不与点C重合),且BE=AD,连接AE,DE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接BF,DE.
①依题意补全图形;
②求证:BF=DE.
29.(8分)在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,m),且m≠0,点B的坐标为(n,0),将线段AB绕点B旋转90°,分别得到线段B P1,B P2,称点P1,P2为点A关于点B的“伴随点”,图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图.
(1)已知点A(0,4),
①当点B的坐标分别为(1,0),(﹣2,0)时,点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为 ;
②点(x,y)是点A关于点B的“伴随点”,直接写出y与x之间的关系式;
(2)如图2,点C的坐标为(﹣3,0),以C为圆心,为半径作圆,若在⊙
C上存在点A关于点B的“伴随点”,直接写出点A的纵坐标m的取值范围.
2019年北京市朝阳区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分)
1.
【解答】解:由图可知:c到原点O的距离最短,
所以在这四个数中,绝对值最小的数是c.
故选:C.
2.
【解答】解:90 000 000=9×107,
故选:B.
3.
【解答】解:根据俯视图和左视图为矩形是柱体,根据主视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱.
故选:D.
4.
【解答】解:∵直线l1∥l2,
∴∠4=∠1=70°,
∴∠3=180°﹣∠2﹣∠4=50°,
故选:B.
5.
【解答】解:由函数图象知t=2时,温度T=20℃,当t=4时,温度T=40℃,
∴开始升温后试验室每小时升高的温度为=10(℃),
故选:B.
6.
【解答】解:设竹子折断处离地面x尺,则斜边为(10﹣x)尺,
根据勾股定理得:x2+32=(10﹣x)2.
故选:D.
7.
【解答】解:∵看课外书包含看小说,体育活动包含踢足球,
∴④⑤的选项重复,
故选取合理的是①②③.
故选:A.
8.
【解答】解:如图,连接AC、BD,AC与BD交于点O,
∵菱形花坛ABCD的周长是40米,∠BAD=60°,
∴AC⊥BD,AC=2OA,∠CAD=∠BAD=30°,AD=10米,
∴OA=AD•cos30°=10×=5(米),
∴AC=2OA=10米.
故选:D.
9.
【解答】解:2小时出现了8次,出现的次数最多,则众数为2;
因为共有25个人,按大小顺序排列在中间的这个同学的做家务时间是1.5小时,则中位数为1.5.
故选:A.
10.
【解答】解:A错误,观察图2可知PD在x=取得最小值.
B、错误.观察图2可知PB在x=取得最小值.
C、正确.观察图2可知PE在x=取得最小值.
D、错误.观察图2可知PC在x=m取得最小值为0.
故选:C.
二、填空题(本题共18分,每小题3分)
11.
【解答】解:3m2﹣6m+3
=3(m2﹣2m+1)
=3(m﹣1)2.
故答案为:3(m﹣1)2.
12.
【解答】解:根据表中的损坏的频率,当实验次数的增多时,苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左右,所以可估计苹果损坏率大约是0.1;
根据题意得:
10000×0.1=1000(kg)
答:损坏的苹果约有1000kg.
故答案为:0.1,1000.
13.
【解答】解:连接OA,如图,
∵∠ACO=45°,OA=OC,
∴∠ACO=∠CAO=45°,
∴∠AOC=90°,
∴∠B=45°.
故答案为:45°
14.
【解答】解:这位同学的说法合理,
理由:由函数图象可知函数图象上升的比较陡,从而可知从2019年到2019年A市常住人口大幅增加,
故答案为:由函数图象可知函数图象上升的比较陡,从而可知从2019年到2019年A市常住人口大幅增加.
15.
【解答】解:(x+a)(x+b)=x2+ax+bx+ab;
故答案:(x+a)(x+b)=x2+ax+bx+ab(答案不唯一).
16.
【解答】解:如图,∵由作图可知,AC=BC=AD=BD,
∴直线CD就是线段AB的垂直平分线.
故答案为:到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.
三、解答题(本题共72分,第17-26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)
17.
【解答】解:原式=2﹣1+2﹣+=3.
18.
【解答】解:原式=x2﹣2x﹣1+x2﹣4x+x2﹣4
=3x2﹣6x﹣3
∵x2﹣2x﹣1=0
∴原式=3(x2﹣2x﹣1)
=0
19.
【解答】解:
解不等式①,得x≤3.
解不等式②,得x>﹣1;
∴原不等式组的解集为﹣1<x≤3.
20.
【解答】证明:∵AB∥DC,
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵AE,DF分别是∠BAD,∠ADC的角平分线,
∴∠EAD=∠BAD,∠FDA=∠ADC.
∴∠EAD+∠FDA=90°.
∴∠AOD=90°.
∴AE⊥DF.
21.
【解答】解:设小东从家骑车到公园的平均速度为xkm/h,
解得,x=14,
经检验x=14是原分式方程的解,
答:小东从家骑车到公园的平均速度14km/h.
22.
【解答】解:(1)∵点A(m,2)在双曲线y=上,
∴2=,得m=2,
∵点A(2,2)直线y=x+b上,
∴2=,得b=1,
由上可得,m的值是2,b的值是1;
(2)∵直线y=x+1与y轴交于点B,
∴当x=0时,y=1,
即点B的坐标为(0,1),
又∵点C在y轴上,且△ABC的面积是2,点A(2,2),
∴,得BC=2,
∴点C的纵坐标为:1+2=3或1﹣2=﹣1,
∴点C的坐标为(0,3)或(0,﹣1).
23.
【解答】证明:(1)∵AE∥BC,BE∥AD,
∴四边形ADBE是平行四边形.
∵AB=AC,AD是BC边的中线,
∴AD⊥BC.
即∠ADB=90°.
∴四边形ADCE为矩形.
(2)∵在矩形ADCE中,AO=,
∴DE=AB=5.
∵D是BC的中点,
∴AE=DB=4
∴在Rt△ADE中,cos∠AED==.
24.
【解答】解:(1)2019年首都北京园林绿地面积为81305+408=81713公顷,
故答案为:81713;
(2)统计表如下:
2019﹣2019年首都北京城市绿化覆盖率、森林覆盖率统计表
年份
项目
2019
2019
2019
2019
城市绿化覆盖率
46.8%
47.4%
48.4%
48.1%
森林覆盖率
40%
41%
41.6%
42.3%
25.
【解答】(1)证明:连接OE,如图,
∵AC切⊙O于点E,
∴OE⊥AC,
∴∠OEA=90°,
∵∠A=30°,
∴∠AOE=60°,∠B=60°,
∵OD=OE,
∴△ODE为等边三角形,
∴∠ODE=60°,
∴△BDF是等边三角形;
(2)解:如图,作DH⊥AC于点H,如图,
①由∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=3,可求AB,AC的长;
②由∠AEO=90°,∠OAE=30°,可知AO=2OE,可求AD,DB,DH的长;
③由(1)可知BF=BD,可求CF的长;
④由AC,DH,CF的长可求四边形AFCD的面积.
26.
【解答】解:(1)函数y=的自变量x的取值范围是x≠2,
故答案为:x≠2;
(2)当x=7时,y===;
∴m=;
(3)该函数的图象如下图所示:
(4)答案不唯一,函数图象关于直线x=2对称.
故答案为:函数图象关于直线x=2对称.
27.
【解答】解:(1)y=x2﹣mx+m2+m﹣2=(x﹣m)2+m﹣2,
由题意,可得m﹣2=0.
∴m=2,
∴y=(x﹣2)2.
(2)①由题意得,点P是直线y=x与抛物线的交点.
∴x=(x﹣2)2,
解得x1=3+,x2=3﹣.
∴P点坐标为(3+,3+)或(3﹣,3﹣).
②∵∠POQ=45°,
∴E点或F点的横、纵坐标的绝对值相等,
∴当E点移动到点(2,2)时,n=2.
当F点移动到点(﹣2,2)时,n=﹣6.[来源:Z#xx#k.Com]
由图象可知,符合题意的n的取值范围是﹣6≤n≤2.
28.
【解答】解:(1)∵∠AEB=110°,∠ACB=90°,
∴∠DAE=∠AEB﹣∠ACB=20°;
(2)①补全图形,如图所示.
②证明:由题意可知∠AEF=90°,EF=AE.
∵∠ACB=90°,
∴∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠DAE=90°.
∴∠BEF=∠DAE.
∵在△EBF和△ADE中,
∴△EBF≌△ADE(SAS).
∴DE=BF.
29.
【解答】解:(1)①如图1中,作P1M⊥x轴于M.
∵AB=BP1,∠AOB=∠P1MB=90°,易证∠ABO=∠P1,
∴△ABO≌△BP1M,
∴OA=BM,OB=P1M,
当A(0,4),B(1,0)时,BM=4,P1M=1,OM=5,
∴P1(5,1),
∵P2与P1关于B对称,
∴P2(﹣3,﹣1),
当A(0,4),B(﹣2,0)时,同法可得P1(2,﹣2),P2(﹣6,2),
故答案为(5,1),(﹣3,﹣1)和(2,﹣2),(﹣6,2)
②如图2中,取N(4,0),则OA=ON,作P1M⊥x轴于M.
∵△ABO≌△BP1M,
∴OA=BM=ON,OB=P1M,
∴OB=MN=P1M,
∴△P1MN是等腰直角三角形,
∴∠P1NM=45°,
∴点P1在经过点N,与x轴的夹角为45°的直线上,
易知这条直线的解析式为y=x﹣4,
∴P1(x,y)是点A关于点B的“伴随点”,y与x之间的关系式为y=x﹣4,
同法可得P2(x,y),在直线y=﹣x﹣4,
∴y与x之间的关系式:y=x﹣4或y=﹣x﹣4.
(2)如图3中,
由(1)可知,A(0,m)关于B的“伴随点”P(x,y),
y与x之间的关系式:y=x﹣m或y=﹣x﹣m,
由题意可知,当直线y=x﹣m或y=﹣x﹣m与⊙C有交点时,在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”,
易知相切时m=±1或±5,
观察图象可知,满足条件的m的范围为:﹣5≤m≤﹣1或1≤m≤5.