- 367.00 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2016年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题:本题共6小题,每小题3分,共18分.每小题给出的4个选项中,有且只有一个答案是正确的.
1.(3分)﹣2的相反数是( )
A.2 B.﹣2 C. D.
2.(3分)下列运算结果正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.a2•a3=a6 C.a3÷a2=a D.(a2)3=a5
3.(3分)如图,直线a∥b,∠1=55°,则∠2=( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
4.(3分)若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1,x2,则x1+x2=( )
A.﹣4 B.3 C. D.
5.(3分)如图,是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体,则这个几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
6.(3分)在函数y=中,自变量x的取值范围是( )
A.x>0 B.x≥﹣4 C.x≥﹣4且x≠0 D.x>0且x≠﹣1
二、填空题:每小题3分,共24分.
7.(3分)的算术平方根是 .
8.(3分)分解因式:4ax2﹣ay2= .
9.(3分)计算:|1﹣|﹣= .
10.(3分)计算(a﹣)÷的结果是 .
11.(3分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠AOB=70°,AB=AC,则∠ABC= .
12.(3分)需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测,其中质量超过标准的克数记为正数,不足标准的克数记为负数,现抽取8个排球,通过检测所得数据如下(单位:克):+1,﹣2,+1,0,+2,﹣3,0,+1,则这组数据的方差是 .
13.(3分)如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边CD、BC上,且DC=3DE=3a.将矩形沿直线EF折叠,使点C恰好落在AD边上的点P处,则FP= .
14.(3分)如图,已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG、GI在同一直线上,且AB=2,BC=1,连接AI,交FG于点Q,则QI= .
三、解答题:共78分.
15.(5分)解不等式≥3(x﹣1)﹣4..
16.(6分)在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中,七年级和八年级共收到征文118篇,且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇,求七年级收到的征文有多少篇?
17.(7分)如图,在▱ABCD中,E、F分别为边AD、BC的中点,对角线AC分别交BE,DF于点G、H.求证:AG=CH.
18.(6分)小明、小林是三河中学九年级的同班同学,在四月份举行的自主招生考试中,他俩都被同一所高中提前录取,并将被编入A、B、C三个班,他俩希望能再次成为同班同学.
(1)请你用画树状图法或列举法,列出所有可能的结果;
(2)求两人再次成为同班同学的概率.
19.(8分)如图,AB是半圆O的直径,点P是BA延长线上一点,PC是⊙O的切线,切点为C,过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D,连接BC.求证:
(1)∠PBC=∠CBD;
(2)BC2=AB•BD.
20.(6分)望江中学为了了解学生平均每天“诵读经典”的时间,在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计,并将调查统计的结果分为:每天诵读时间t≤20分钟的学生记为A类,20分钟<t≤40分钟的学生记为B类,40分钟<t≤60分钟的学生记为C类,t>60分钟的学生记为D类四种.将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)m= %,n= %,这次共抽查了 名学生进行调查统计;
(2)请补全上面的条形图;
(3)如果该校共有1200名学生,请你估计该校C类学生约有多少人?
21.(8分)如图,已知点A(1,a)是反比例函数y=﹣的图象上一点,直线y=﹣与反比例函数y=﹣的图象在第四象限的交点为点B.
(1)求直线AB的解析式;
(2)动点P(x,0)在x轴的正半轴上运动,当线段PA与线段PB之差达到最大时,求点P的坐标.
22.(8分)“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏,救灾部门迅速组织力量,从仓储D处调集救援物资,计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处,再用货船运到小岛O.已知:OA⊥AD,∠ODA=15°,∠OCA=30°,∠
OBA=45°,CD=20km.若汽车行驶的速度为50km/时,货船航行的速度为25km/时,问这批物资在哪个码头装船,最早运抵小岛O?(在物资搬运能力上每个码头工作效率相同,参考数据:≈1.4,≈1.7).
23.(10分)东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg,经过市场调研发现,这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)与时间t(天)之间的函数关系式为p=,且其日销售量y(kg)与时间t(天)的关系如表:
时间t(天)
1
3
6
10
20
40
…
日销售量y(kg)
118
114
108
100
80
40
…
(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系,试求在第30天的日销售量是多少?
(2)问哪一天的销售利润最大?最大日销售利润为多少?
(3)在实际销售的前24天中,公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象.现发现:在前24天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求n的取值范围.
24.(14分)如图,抛物线y=﹣与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点D与点C关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
(1)求点A、点B、点C的坐标;
(2)求直线BD的解析式;
(3)当点P在线段OB上运动时,直线l交BD于点M,试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形;
(4)在点P的运动过程中,是否存在点Q,使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
2016年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共6小题,每小题3分,共18分.每小题给出的4个选项中,有且只有一个答案是正确的.
1.(3分)﹣2的相反数是( )
A.2 B.﹣2 C. D.
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号,求解即可.
【解答】解:﹣2的相反数是:﹣(﹣2)=2,
故选A
【点评】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号:一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆.
2.(3分)下列运算结果正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.a2•a3=a6 C.a3÷a2=a D.(a2)3=a5
【分析】根据合并同类项法则,同底数幂相乘,底数不变指数相加;同底数幂相除,底数不变指数相减;幂的乘方,底数不变指数相乘对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:A、a2与a3是加,不是乘,不能运算,故本选项错误;
B、a2•a3=a2+3=a5,故本选项错误;
C、a3÷a2=a3﹣2=a,故本选项正确;
D、(a2)3=a2×3=a6,故本选项错误.
故选C.
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法,熟练掌握运算性质和法则是解题的关键.
3.(3分)如图,直线a∥b,∠1=55°,则∠2=( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
【分析】根据两直线平行,同位角相等可得∠1=∠3,再根据对顶角相等可得∠2的度数.
【解答】解:∵a∥b,
∴∠1=∠3,
∵∠1=55°,
∴∠3=55°,
又∵∠2=∠3,
∴∠2=55°,
故选:C.
【点评】此题主要考查了平行线的性质,关键是掌握:两直线平行,同位角相等.
4.(3分)若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1,x2,则x1+x2=( )
A.﹣4 B.3 C. D.
【分析】由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“x1+x2=”,由此即可得出结论.
【解答】解:∵方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=﹣=
故选D.
【点评】本题考查了根与系数的关系,解题的关键是找出“x1+x2=﹣=”.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键.
5.(3分)如图,是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体,则这个几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.
【解答】解:从左边看第一层是两个小正方形,第二层左边一个小正方形,
故选:B.
【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从左边看得到的图形是左视图.
6.(3分)在函数y=中,自变量x的取值范围是( )
A.x>0 B.x≥﹣4 C.x≥﹣4且x≠0 D.x>0且x≠﹣1
【分析】根据分母不能为零,被开方数是非负数,可得答案.
【解答】解:由题意,得
x+4≥0且x≠0,
解得x≥﹣4且x≠0,
故选:C.
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围,利用分母不能为零,被开方数是非负数得出不等式是解题关键.
二、填空题:每小题3分,共24分.
7.(3分)的算术平方根是 .
【分析】算术平方根的定义:一个非负数的正的平方根,即为这个数的算术平方根,由此即可求出结果.
【解答】解:∵的平方为,
∴的算术平方根为.
故答案为.
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义,算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误.
8.(3分)分解因式:4ax2﹣ay2= a(2x+y)(2x﹣y) .
【分析】首先提取公因式a,再利用平方差进行分解即可.
【解答】解:原式=a(4x2﹣y2)
=a(2x+y)(2x﹣y),
故答案为:a(2x+y)(2x﹣y).
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
9.(3分)计算:|1﹣|﹣= ﹣1﹣ .
【分析】首先去绝对值以及化简二次根式,进而合并同类二次根式即可.
【解答】解:|1﹣|﹣
=﹣1﹣2
=﹣1﹣.
故答案为:﹣1﹣.
【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简二次根式是解题关键.
10.(3分)计算(a﹣)÷的结果是 a﹣b .
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得到结果.
【解答】解:原式=•=•=a﹣b,
故答案为:a﹣b
【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
11.(3分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠AOB=70°,AB=AC,则∠ABC= 35° .
【分析】先根据圆周角定理求出∠C的度数,再由等腰三角形的性质即可得出结论.
【解答】解:∵∠AOB=70°,
∴∠C=∠AOB=35°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=35°.
故答案为:35°.
【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
12.(3分)需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测,其中质量超过标准的克数记为正数,不足标准的克数记为负数,现抽取8个排球,通过检测所得数据如下(单位:克):+1,﹣2,+1,0,+2,﹣3,0,+1,则这组数据的方差是 2.5 .
【分析】先求出平均数,再利用方差的计算公式解答即可.
【解答】解:平均数=,
方差==2.5,
故答案为:2.5
【点评】本题考查了方差公式,解题的关键是牢记公式并能熟练运用,此题比较简单,易于掌握.
13.(3分)如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边CD、BC上,且DC=3DE=3a.将矩形沿直线EF折叠,使点C恰好落在AD边上的点P处,则FP= 2a .
【分析】作FM⊥AD于M,则MF=DC=3a,由矩形的性质得出∠C=∠D=90°.由折叠的性质得出PE=CE=2a=2DE,∠EPF=∠C=90°,求出∠DPE=30°,得出∠MPF=60°,在Rt△MPF中,由三角函数求出FP即可.
【解答】解:作FM⊥AD于M,如图所示:
则MF=DC=3a,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=∠D=90°.
∵DC=3DE=3a,
∴CE=2a,
由折叠的性质得:PE=CE=2a=2DE,∠EPF=∠C=90°,
∴∠DPE=30°,
∴∠MPF=180°﹣90°﹣30°=60°,
在Rt△MPF中,∵sin∠MPF=,
∴FP===2a;
故答案为:2a.
【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数等知识;熟练掌握折叠和矩形的性质,求出∠DPE=30°是解决问题的关键.
14.(3分)如图,已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG、GI在同一直线上,且AB=2,BC=1,连接AI,交FG于点Q,则QI= .
【分析】由题意得出BC=1,BI=4,则=,再由∠ABI=∠ABC,得△ABI∽△CBA,根据相似三角形的性质得=,求出AI,根据全等三角形性质得到∠ACB=∠FGE,于是得到AC∥FG,得到比例式==,即可得到结果.
【解答】解:∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形,
∴HI=AB=2,GI=BC=1,BI=4BC=4,
∴==,=,
∴=,
∵∠ABI=∠ABC,
∴△ABI∽△CBA;
∴=,
∵AB=AC,
∴AI=BI=4;
∵∠ACB=∠FGE,
∴AC∥FG,
∴==,
∴QI=AI=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了平行线分线段定理,以及三角形相似的判定,正确理解AB∥CD∥EF,AC∥DE∥FG是解题的关键.
三、解答题:共78分.
15.(5分)解不等式≥3(x﹣1)﹣4..
【分析】根据解一元一次不等式的步骤,先去分母,再去括号,移项合并,系数化为1即可.
【解答】解:去分母得,x+1≥6(x﹣1)﹣8,
去括号得,x+1≥6x﹣6﹣8,
移项得,x﹣6x≥﹣6﹣8﹣1,
合并同类项得,﹣5x≥﹣15.
系数化为1,得x≤3.
【点评】本题考查的是解一元一次不等式,解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1.
16.(6分)在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中,七年级和八年级共收到征文118篇,且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇,求七年级收到的征文有多少篇?
【分析】设七年级收到的征文有x篇,则八年级收到的征文有(118﹣x)篇.结合七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇,即可列出关于x的一元一次方程,解方程即可得出结论.
【解答】解:设七年级收到的征文有x篇,则八年级收到的征文有(118﹣x)篇,
依题意得:(x+2)×2=118﹣x,
解得:x=38.
答:七年级收到的征文有38篇.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是列出方程(x+2)×2=118﹣x.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据数量关系列出方程(或方程组)是关键.
17.(7分)如图,在▱ABCD中,E、F分别为边AD、BC的中点,对角线AC分别交BE,DF于点G、H.求证:AG=CH.
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC,得出∠ADF=∠CFH,∠EAG=∠FCH,证出四边形BFDE是平行四边形,得出BE∥DF,证出∠AEG=∠CFH,由ASA证明△AEG≌△CFH,得出对应边相等即可.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ADF=∠CFH,∠EAG=∠FCH,
∵E、F分别为AD、BC边的中点,
∴AE=DE=AD,CF=BF=BC,
∴DE∥BF,DE=BF,
∴四边形BFDE是平行四边形,
∴BE∥DF,
∴∠AEG=∠ADF,
∴∠AEG=∠CFH,
在△AEG和△CFH中,,
∴△AEG≌△CFH(ASA),
∴AG=CH.
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定,全等三角形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题的关键.
18.(6分)小明、小林是三河中学九年级的同班同学,在四月份举行的自主招生考试中,他俩都被同一所高中提前录取,并将被编入A、B、C三个班,他俩希望能再次成为同班同学.
(1)请你用画树状图法或列举法,列出所有可能的结果;
(2)求两人再次成为同班同学的概率.
【分析】(1)画树状图法或列举法,即可得到所有可能的结果;
(2)由(1)可知两人再次成为同班同学的概率.
【解答】解:
(1)画树状图如下:
由树形图可知所以可能的结果为AA,AB,AC,BA,BB,BC,CA,CB,CC;
(2)由(1)可知两人再次成为同班同学的概率==.
【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
19.(8分)如图,AB是半圆O的直径,点P是BA延长线上一点,PC是⊙O的切线,切点为C,过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D,连接BC.求证:
(1)∠PBC=∠CBD;
(2)BC2=AB•BD.
【分析】(1)连接OC,由PC为圆O的切线,利用切线的性质得到OC垂直于PC,再由BD垂直于PD,得到一对直角相等,利用同位角相等两直线平行得到OC与BD平行,进而得到一对内错角相等,再由OB=OC,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换即可得证;
(2)连接AC,由AB为圆O的直径,利用圆周角定理得到∠ACB为直角,利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形CBD相似,利用相似三角形对应边成比例,变形即可得证.
【解答】证明:(1)连接OC,
∵PC与圆O相切,
∴OC⊥PC,即∠OCP=90°,
∵BD⊥PD,
∴∠BDP=90°,
∴∠OCP=∠PDB,
∴OC∥BD,
∴∠BCO=∠CBD,
∵OB=OC,
∴∠PBC=∠BCO,
∴∠PBC=∠CBD;
(2)连接AC,
∵AB为圆O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∵∠ABC=∠CBD,
∴△ABC∽△CBD,
∴=,
则BC2=AB•BD.
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,以及切线的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.
20.(6分)望江中学为了了解学生平均每天“诵读经典”的时间,在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计,并将调查统计的结果分为:每天诵读时间t≤20分钟的学生记为A类,20分钟<t≤40分钟的学生记为B类,40分钟<t≤60分钟的学生记为C类,t>60分钟的学生记为D类四种.将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)m= 26 %,n= 14 %,这次共抽查了 50 名学生进行调查统计;
(2)请补全上面的条形图;
(3)如果该校共有1200名学生,请你估计该校C类学生约有多少人?
【分析】(1)根据条形统计图和扇形统计图可以求得调查的学生数和m、n的值;
(2)根据(1)和扇形统计图可以求得C类学生数,从而可以将条形统计图补充完整;
(3)根据扇形统计图可以求得该校C类学生的人数.
【解答】解:(1)由题意可得,
这次调查的学生有:20÷40%=50(人),
m=13÷50×100%=26%,n=7÷50×100%=14%,
故答案为:26,14,50;
(2)由题意可得,
C类的学生数为:50×20%=10,
补全的条形统计图,如右图所示,
(3)1200×20%=240(人),
即该校C类学生约有240人.
【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
21.(8分)如图,已知点A(1,a)是反比例函数y=﹣的图象上一点,直线y=﹣与反比例函数y=﹣的图象在第四象限的交点为点B.
(1)求直线AB的解析式;
(2)动点P(x,0)在x轴的正半轴上运动,当线段PA与线段PB之差达到最大时,求点P的坐标.
【分析】
(1)先把A(1,a)代入反比例函数解析式求出a得到A点坐标,再解方程组得B点坐标,然后利用待定系数法求AB的解析式;
(2)直线AB交x轴于点Q,如图,利用x轴上点的坐标特征得到Q点坐标,则PA﹣PB≤AB(当P、A、B共线时取等号),于是可判断当P点运动到Q点时,线段PA与线段PB之差达到最大,从而得到P点坐标.
【解答】解:(1)把A(1,a)代入y=﹣得a=﹣3,则A(1,﹣3),
解方程组得或,则B(3,﹣1),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
把A(1,﹣3),B(3,﹣1)代入得,解得,
所以直线AB的解析式为y=x﹣4;
(2)直线AB交x轴于点Q,如图,
当y=0时,x﹣4=0,解得x=4,则Q(4,0),
因为PA﹣PB≤AB(当P、A、B共线时取等号),
所以当P点运动到Q点时,线段PA与线段PB之差达到最大,此时P点坐标为(4,0).
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点:反比例函数与一次函数的交点问题(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点.
22.(8分)“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏,救灾部门迅速组织力量,从仓储D处调集救援物资,计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处,再用货船运到小岛O.已知:OA⊥AD,∠ODA=15°,∠OCA=30°,∠OBA=45°,CD=20km.若汽车行驶的速度为50km/时,货船航行的速度为25km/时,问这批物资在哪个码头装船,最早运抵小岛O?(在物资搬运能力上每个码头工作效率相同,参考数据:≈1.4,≈1.7).
【分析】利用三角形外角性质计算出∠COD=15°,则CO=CD=20,在Rt△OCA中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OA=OC=10,CA=OA≈17,在Rt△OBA中利用等腰直角三角形的性质计算出BA=OA=10,OB=OA≈14,则BC=7,然后根据速度公式分别计算出在三个码头装船,运抵小岛所需的时间,再比较时间的大小进行判断.
【解答】解:∵∠OCA=∠D+∠COD,
∴∠COD=30°﹣15°=15°,
∴CO=CD=20,
在Rt△OCA中,∵∠OCA=30°,
∴OA=OC=10,CA=OA=10≈17,
在Rt△OBA中,∵∠OBA=45°,
∴BA=OA=10,OB=OA≈14,
∴BC=17﹣10=7,
当这批物资在C码头装船,运抵小岛O时,所用时间=+=1.2(小时);
当这批物资在B码头装船,运抵小岛O时,所用时间=+=1.1(小时);
当这批物资在A码头装船,运抵小岛O时,所用时间=+=1.14(小时);
所以这批物资在B码头装船,最早运抵小岛O.
【点评】
本题考查了解直角三角形:将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).
23.(10分)东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg,经过市场调研发现,这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)与时间t(天)之间的函数关系式为p=,且其日销售量y(kg)与时间t(天)的关系如表:
时间t(天)
1
3
6
10
20
40
…
日销售量y(kg)
118
114
108
100
80
40
…
(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系,试求在第30天的日销售量是多少?
(2)问哪一天的销售利润最大?最大日销售利润为多少?
(3)在实际销售的前24天中,公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象.现发现:在前24天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求n的取值范围.
【分析】(1)设y=kt+b,利用待定系数法即可解决问题.
(2)日利润=日销售量×每公斤利润,据此分别表示前24天和后24天的日利润,根据函数性质求最大值后比较得结论.
(3)列式表示前24天中每天扣除捐赠后的日销售利润,根据函数性质求n的取值范围.
【解答】解:(1)设y=kt+b,把t=1,y=118;t=3,y=114代入得到:
解得,
∴y=﹣2t+120.
将t=30代入上式,得:y=﹣2×30+120=60.
所以在第30天的日销售量是60kg.
(2)设第x天的销售利润为w元.
当1≤t≤24时,由题意w=(﹣2t+120)(t+30﹣20)=﹣(t﹣10)2+1250,
∴t=10时 w最大值为1250元.
当25≤t≤48时,w=(﹣2t+120)(﹣t+48﹣20)=t2﹣116t+3360,
∵对称轴t=58,a=1>0,
∴在对称轴左侧w随x增大而减小,
∴t=25时,w最大值=1085,
综上所述第10天利润最大,最大利润为1250元.
(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元.
由题意m=(﹣2t+120)(t+30﹣20)﹣(﹣2t+120)n=﹣t2+(10+2n)t+1200﹣120n,
∵在前24天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,
∴﹣>23.5,(见图中提示)
∴n>6.75.
又∵n<9,
∴n的取值范围为6.75<n<9.
【点评】此题主要考查了二次函数的应用,熟练掌握各函数的性质和图象特征,针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性,最值问题需由函数的性质求解时,正确表达关系式是关键.
24.(14分)如图,抛物线y=﹣
与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点D与点C关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
(1)求点A、点B、点C的坐标;
(2)求直线BD的解析式;
(3)当点P在线段OB上运动时,直线l交BD于点M,试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形;
(4)在点P的运动过程中,是否存在点Q,使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)根据函数解析式列方程即可得到结论;
(2)由点C与点D关于x轴对称,得到D(0,﹣2),解方程即可得到结论;
(3)如图1所示:根据平行四边形的性质得到QM=CD,设点Q的坐标为(m,﹣m2+m+2),则M(m,m﹣2),列方程即可得到结论;
(4)设点Q的坐标为(m,﹣m2+m+2),分两种情况:①当∠QBD=90°时,根据勾股定理列方程求得m=3,m=4(不合题意,舍去),②当∠QDB=90°时,根据勾股定理列方程求得m=8,m=﹣1,于是得到结论.
【解答】解:(1)∵令x=0得;y=2,
∴C(0,2).
∵令y=0得:﹣=0,
解得:x1=﹣1,x2=4.
∴A(﹣1,0),B(4,0).
(2)∵点C与点D关于x轴对称,
∴D(0,﹣2).
设直线BD的解析式为y=kx﹣2.
∵将(4,0)代入得:4k﹣2=0,
∴k=.
∴直线BD的解析式为y=x﹣2.
(3)如图1所示:
∵QM∥DC,
∴当QM=CD时,四边形CQMD是平行四边形.
设点Q的坐标为(m,﹣m2+m+2),
则M(m,m﹣2),
∴﹣m2+m+2﹣(m﹣2)=4,
解得:m=2,m=0(不合题意,舍去),
∴当m=2时,四边形CQMD是平行四边形;
(4)存在,设点Q的坐标为(m,﹣m2+m+2),
∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形,
∴①当∠QBD=90°时,
由勾股定理得:BQ2+BD2=DQ2,
即(m﹣4)2+(﹣m2+m+2)2+20=m2+(﹣m2+m+2+2)2,
解得:m=3,m=4(不合题意,舍去),
∴Q(3,2);
②当∠QDB=90°时,
由勾股定理得:BQ2=BD2+DQ2,
即(m﹣4)2+(﹣m2+m+2)2=20+m2+(﹣m2+m+2+2)2,
解得:m=8,m=﹣1,
∴Q(8,﹣18),(﹣1,0),
综上所述:点Q的坐标为(3,2),(8,﹣18),(﹣1,0).
【点评】本题考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:坐标轴上点的特点,待定系数法求直线的解析式,平行四边形的判定和性质,勾股定理,方程思想和分类思想的运用,综合性较强,有一定的难度.