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- 2021-05-10 发布
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2018年全国各地中考数学压轴题汇编(华北东北专版)
选择、填空
参考答案与试题解析
一.选择题(共20小题)
1.(2018•北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为( )
A.10m B.15m C.20m D.22.5m
解:根据题意知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9),
则
解得,
所以x=﹣==15(m).
故选:B.
2.(2018•天津)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是( )
A.AB B.DE C.BD D.AF
解:如图,连接CP,
由AD=CD,∠ADP=∠CDP=45°,DP=DP,可得△ADP≌△CDP,
∴AP=CP,
∴AP+PE=CP+PE,
∴当点E,P,C在同一直线上时,AP+PE的最小值为CE长,
此时,由AB=CD,∠ABF=∠CDE,BF=DE,可得△ABF≌△CDE,
∴AF=CE,
∴AP+EP最小值等于线段AF的长,
故选:D.
3.(2018•河北)如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为( )
A.4.5 B.4 C.3 D.2
解:连接AI、BI,
∵点I为△ABC的内心,
∴AI平分∠CAB,
∴∠CAI=∠BAI,
由平移得:AC∥DI,
∴∠CAI=∠AID,
∴∠BAI=∠AID,
∴AD=DI,
同理可得:BE=EI,
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4,
即图中阴影部分的周长为4,
故选:B.
4.(2018•山西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为( )
A.12 B.6 C. D.
解:连接B'B,
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,
∴AC=A'C,AB=A'B,∠A=∠CA'B'=60°,
∴△AA'C是等边三角形,
∴∠AA'C=60°,
∴∠B'A'B=180°﹣60°﹣60°=60°,
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,
∴∠ACA'=∠BAB'=60°,BC=B'C,∠CB'A'=∠CBA=90°﹣60°=30°,
∴△BCB'是等边三角形,
∴∠CB'B=60°,
∵∠CB'A'=30°,
∴∠A'B'B=30°,
∴∠B'BA'=180°﹣60°﹣30°=90°,
∵∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,
∴AB=12,
∴A'B=AB﹣AA'=AB﹣AC=6,
∴B'B=6,
故选:D.
5.(2018•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(﹣1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:
①抛物线经过点(1,0);
②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;
③﹣3<a+b<3
其中,正确结论的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解:①∵抛物线过点(﹣1,0),对称轴在y轴右侧,
∴当x=1时y>0,结论①错误;
②过点(0,2)作x轴的平行线,如图所示.
∵该直线与抛物线有两个交点,
∴方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根,结论②正确;
③∵当x=1时y=a+b+c>0,
∴a+b>﹣c.
∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(0,3),
∴c=3,
∴a+b>﹣3.
∵当x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,
∴b=a+c,
∴a+b=2a+c.
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∴a+b<c=3,
∴﹣3<a+b<3,结论③正确.
故选:C.
6.(2018•山西)如图,正方形ABCD内接于⊙O,⊙O的半径为2,以点A为圆心,以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为( )
A.4π﹣4 B.4π﹣8 C.8π﹣4 D.8π﹣8
解:利用对称性可知:阴影部分的面积=扇形AEF的面积﹣△ABD的面积=﹣×4×2=4π﹣4,
故选:A.
7.(2018•包头)如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为( )
A.17.5° B.12.5° C.12° D.10°
解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°,
又∵∠C+∠BAC=145°,
∴∠C=35°,
∵∠DAE=90°,AD=AE,
∴∠AED=45°,
∴∠EDC=∠AED﹣∠C=10°,
故选:D.
8.(2018•呼和浩特)若满足<x≤1的任意实数x,都能使不等式2x3﹣x2﹣mx>2成立,则实数m的取值范围是( )
A.m<﹣1 B.m≥﹣5 C.m<﹣4 D.m≤﹣4
解:∵满足<x≤1的任意实数x,都能使不等式2x3﹣x2﹣mx>2成立,
∴m<,
∴m≤﹣4
故选:D.
9.(2018•包头)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x+1与x轴,y轴分别交于点A和点B,直线l2:y=kx(k≠0)与直线l1在第一象限交于点C.若∠BOC=∠BCO,则k的值为( )
A. B. C. D.2
解:直线l1:y=﹣x+1中,令x=0,则y=1,令y=0,则x=2,
即A(2,0)B(0,1),
∴Rt△AOB中,AB==3,
如图,过C作CD⊥OA于D,
∵∠BOC=∠BCO,
∴CB=BO=1,AC=2,
∵CD∥BO,
∴OD=AO=,CD=BO=,
即C(,),
把C(,)代入直线l2:y=kx,可得
=k,
即k=,
故选:B.
10.(2018•赤峰)如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,点P是以C(﹣1,0)为圆心,1为半径的圆上一点,连接PA,PB,则△PAB面积的最小值是( )
A.5 B.10 C.15 D.20
解:作CH⊥AB于H交⊙O于E、F.
∵C(﹣1,0),直线AB的解析式为y=﹣x+3,
∴直线CH的解析式为y=x+,
由解得,
∴H(,),
∴CH==3,
∵A(4,0),B(0,3),
∴OA=4,OB=3,AB=5,
∴EH=3﹣1=2,
当点P与E重合时,△PAB的面积最小,最小值=×5×2=5,
故选:A.
11.(2018•包头)如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=90°,E为BC的中点,AE与BD相交于点F.若BC=4,∠CBD=30°,则DF的长为( )
A. B. C. D.
解:如图,
在Rt△BDC中,BC=4,∠DBC=30°,
∴BD=2,
连接DE,
∵∠BDC=90°,点D是BC中点,
∴DE=BE=CEBC=2,
∵∠DCB=30°,
∴∠BDE=∠DBC=30°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠BDE,
∴DE∥AB,
∴△DEF∽△BAF,
∴,
在Rt△ABD中,∠ABD=30°,BD=2,
∴AB=3,
∴,
∴,
∴DF=BD=×2=,
故选:D.
12.(2018•通辽)如图,▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,DE平分∠ADC交AB于点E,∠BCD=60°,AD=AB,连接OE.下列结论:①S▱ABCD=AD•BD;②DB平分∠CDE;③AO=DE;④S△ADE=5S△OFE,其中正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解:∵∠BAD=∠BCD=60°,∠ADC=120°,DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED,
∴△ADE是等边三角形,
∴AD=AE=AB,
∴E是AB的中点,
∴DE=BE,
∴∠BDE=∠AED=30°,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BD,
∴S▱ABCD=AD•BD,故①正确;
∵∠CDE=60°,∠BDE30°,
∴∠CDB=∠BDE,
∴DB平分∠CDE,故②正确;
∵Rt△AOD中,AO>AD,
∴AO>DE,故③错误;
∵O是BD的中点,E是AB的中点,
∴OE是△ABD的中位线,
∴OE∥AD,OE=AD,
∴△OEF∽△ADF,
∴S△ADF=4S△OEF,且AF=2OF,
∴S△AEF=2S△OEF,
∴S△ADE=6S△OFE,故④错误;
故选:B.
13.(2018•黑龙江)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC、BD于点E、P,连接OE,∠ADC=60°,AB=BC=1,则下列结论:
①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=AD⑤S△APO=,正确的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解:①∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC=60°,
∴∠DAE=∠BEA,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=BE=1,
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=BE=1,
∵BC=2,
∴EC=1,
∴AE=EC,
∴∠EAC=∠ACE,
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°,
∴∠ACE=30°,
∵AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACE=30°,
故①正确;
②∵BE=EC,OA=OC,
∴OE=AB=,OE∥AB,
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°,
Rt△EOC中,OC==,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BCD=∠BAD=120°,
∴∠ACB=30°,
∴∠ACD=90°,
Rt△OCD中,OD==,
∴BD=2OD=,
故②正确;
③由②知:∠BAC=90°,
∴S▱ABCD=AB•AC,
故③正确;
④由②知:OE是△ABC的中位线,
∴OE=AB,
∵AB=BC,
∴OE=BC=AD,
故④正确;
⑤∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=,
∴S△AOE=S△EOC=OE•OC==,
∵OE∥AB,
∴,
∴=,
∴S△AOP===;
故⑤正确;
本题正确的有:①②③④⑤,5个,
故选:D.
14.(2018•哈尔滨)如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是( )
A. = B. = C. = D. =
解:∵GE∥BD,GF∥AC,
∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,
∴=, =,
∴==.
故选:D.
15.(2018•齐齐哈尔)抛物线C1:y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点,且A点坐标为(﹣1,2),请结合图象分析以下结论:①对称轴为直线x=2;②抛物线与y轴交点坐标为(0,﹣1);③m>;④若抛物线C2:y2=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,则a的取值范围是≤a<2;⑤不等式mx2﹣4mx+2n>0的解作为函数C1的自变量的取值时,对应的函数值均为正数,其中正确结论的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解:抛物线对称轴为直线x=﹣故①正确;
当x=0时,y=2n﹣1故②错误;
把A点坐标(﹣1,2)代入抛物线解析式
得:2=m+4m+2n﹣1
整理得:2n=3﹣5m
带入y1=mx2﹣4mx+2n﹣1
整理的:y1=mx2﹣4mx+2﹣5m
由图象可知,抛物线交y轴于负半轴,
则:2﹣5m<0
即m>故③正确;
由抛物线的对称性,点B坐标为(5,2)
当y2=ax2的图象分别过点A、B时,其与线段分别有且只有一个公共点
此时,a的值分别为a=2、a=
a的取值范围是≤a<2;故④正确;
不等式mx2﹣4mx+2n>0的解可以看做是,抛物线y1=mx2﹣4mx+2n﹣1位于直线y=﹣1上方的部分,由图象可知,其此时x的取值范围使y1=mx2﹣4mx+2n﹣1函数图象分别位于轴上下方故⑤错误;
故选:B.
16.(2018•大庆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0)、点B(3,0)、点C(4,y1),若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:
①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a;
②若﹣1≤x2≤4,则0≤y2≤5a;
③若y2>y1,则x2>4;
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解:抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
即y=ax2﹣2ax﹣3a,
∵y=a(x﹣1)2﹣4a,
∴当x=1时,二次函数有最小值﹣4a,所以①正确;
当x=4时,y=a•5•1=5a,
∴当﹣1≤x2≤4,则﹣4a≤y2≤5a,所以②错误;
∵点C(1,5a)关于直线x=1的对称点为(﹣2,﹣5a),
∴当y2>y1,则x2>4或x<﹣2,所以③错误;
∵b=﹣2a,c=﹣3a,
∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0,
整理得3x2+2x﹣1=0,解得x1=﹣1,x2=,所以④正确.
故选:B.
17.(2018•抚顺)如图,菱形ABCD的边AD与x轴平行,A、B两点的横坐标分别为1和3,反比例函数y=的图象经过A、B两点,则菱形ABCD的面积是( )
A.4 B.4 C.2 D.2
解:作AH⊥BC交CB的延长线于H,
∵反比例函数y=的图象经过A、B两点,A、B两点的横坐标分别为1和3,
∴A、B两点的纵坐标分别为3和1,即点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(3,1),
∴AH=3﹣1=2,BH=3﹣1=2,
由勾股定理得,AB==2,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=AB=2,
∴菱形ABCD的面积=BC×AH=4,
故选:A.
18.(2018•盘锦)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A、C分别在x轴、y轴上,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N,ND⊥x轴,垂足为D,连接OM、ON、MN,则下列选项中的结论错误的是( )
A.△ONC≌△OAM B.四边形DAMN与△OMN面积相等
C.ON=MN D.若∠MON=45°,MN=2,则点C的坐标为(0, +1)
解:∵点M、N都在y=的图象上,
∴S△ONC=S△OAM=k,即 OC•NC=OA•AM,
∵四边形ABCO为正方形,
∴OC=OA,∠OCN=∠OAM=90°,
∴NC=AM,
∴△OCN≌△OAM,
∴A正确;
∵S△OND=S△OAM=k,
而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN,
∴四边形DAMN与△MON面积相等,
∴B正确;
∵△OCN≌△OAM,
∴ON=OM,
∵k的值不能确定,
∴∠MON的值不能确定,
∴△ONM只能为等腰三角形,不能确定为等边三角形,
∴ON≠MN,
∴C错误;
作NE⊥OM于E点,如图所示:
∵∠MON=45°,∴△ONE为等腰直角三角形,
∴NE=OE,
设NE=x,则ON=x,
∴OM=x,
∴EM=x﹣x=(﹣1)x,
在Rt△NEM中,MN=2,
∵MN2=NE2+EM2,即22=x2+[(﹣1)x]2,
∴x2=2+,
∴ON2=( x)2=4+2,
∵CN=AM,CB=AB,
∴BN=BM,
∴△BMN为等腰直角三角形,
∴BN=MN=,
设正方形ABCO的边长为a,则OC=a,CN=a﹣,
在Rt△OCN中,∵OC2+CN2=ON2,
∴a2+(a﹣)2=4+2,解得a1=+1,a2=﹣1(舍去),
∴OC=+1,
∴C点坐标为(0, +1),
∴D正确.
故选:C.
19.(2018•抚顺)已知抛物线y=ax2+bx+c(0<2a≤b)与x轴最多有一个交点.以下四个结论:
①abc>0;
②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧;
③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根;
④≥2.
其中,正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解:①∵抛物线y=ax2+bx+c(0<2a≤b)与x轴最多有一个交点,
∴抛物线与y轴交于正半轴,
∴c>0,
∴abc>0.
故正确;
②∵0<2a≤b,
∴>1,
∴﹣<﹣1,
∴该抛物线的对称轴在x=﹣1的左侧.
故错误;
③由题意可知:对于任意的x,都有y=ax2+bx+c≥0,
∴ax2+bx+c+1≥1>0,即该方程无解,
故正确;
④∵抛物线y=ax2+bx+c(0<2a≤b)与x轴最多有一个交点,
∴当x=﹣1时,y>0,
∴a﹣b+c>0,
∴a+b+c≥2b,
∵b>0,
∴≥2.
故正确.
综上所述,正确的结论有3个.
故选:C.
20.(2018•葫芦岛)如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=10,AB⊥AC,点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动,同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动,当点P到达点C时,点Q随之停止运动,设点P运动的路程为x,y=PQ2,下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是( )
A. B. C. D.
解:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,BC=10,
∴AC==8.
当0≤x≤6时,AP=6﹣x,AQ=x,
∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36;
当6≤x≤8时,AP=x﹣6,AQ=x,
∴y=PQ2=(AQ﹣AP)2=36;
当8≤x≤14时,CP=14﹣x,CQ=x﹣8,
∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260.
故选:B.
二.填空题(共20小题)
.(2018•北京)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为 .
解:∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,
∴∠FAE=∠FCD,
又∵∠AFE=∠CFD,
∴△AFE∽△CFD,
∴==2.
∵AC==5,
∴CF=•AC=×5=.
故答案为:.
22.(2018•河北)如图1,作∠BPC平分线的反向延长线PA,现要分别以∠APB,∠APC,∠BPC为内角作正多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案.例如,若以∠BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时∠BPC=90°,而=45是360°(多边形外角和)的,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图2所示.
图2中的图案外轮廓周长是 14 ;
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是 .
解:图2中的图案外轮廓周长是:8﹣2+2+8﹣2=14;
设∠BPC=2x,
∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为: =,
以∠APB为内角的正多边形的边数为:,
∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6,
根据题意可知:2x的值只能为60°,90°,120°,144°,
当x越小时,周长越大,
∴当x=30时,周长最大,此时图案定为会标,
则会标的外轮廓周长是=+﹣6=,
故答案为:14,.
23.(2018•天津)如图,在边长为4的等边△ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF
⊥AC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为 .
解:连接DE,
∵在边长为4的等边△ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=2,且DE∥AC,BD=BE=EC=2,
∵EF⊥AC于点F,∠C=60°,
∴∠FEC=30°,∠DEF=∠EFC=90°,
∴FC=EC=1,
故EF==,
∵G为EF的中点,
∴EG=,
∴DG==.
故答案为:.
24.(2018•山西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作⊙O,⊙O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作⊙O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为 .
解:如图,
在Rt△ABC中,根据勾股定理得,AB=10,
∴点D是AB中点,
∴CD=BD=AB=5,
连接DF,
∵CD是⊙O的直径,
∴∠CFD=90°,
∴BF=CF=BC=4,
∴DF==3,
连接OF,
∵OC=OD,CF=BF,
∴OF∥AB,
∴∠OFC=∠B,
∵FG是⊙O的切线,
∴∠OFG=90°,
∴∠OFC+∠BFG=90°,
∴∠BFG+∠B=90°,
∴FG⊥AB,
∴S△BDF=DF×BF=BD×FG,
∴FG===,
故答案为.
25.(2018•包头)以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,以平行于两边的方向为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系,BE⊥AC,垂足为E.若双曲线y=(x>0)经过点D,则OB•BE的值为 3 .
解:如图,
∵双曲线y=(x>0)经过点D,
∴S△ODF=k=,
则S△AOB=2S△ODF=,即OA•BE=,
∴OA•BE=3,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB,
∴OB•BE=3,
故答案为:3.
26.(2018•呼和浩特)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,△CBE由△DAM平移得到.若过点E作EH⊥AC,H为垂足,则有以下结论:①点M位置变化,使得∠DHC=60°时,2BE=DM;②无论点M运动到何处,都有DM=HM;③无论点M运动到何处,∠CHM一定大于135°.其中正确结论的序号为 ①②③ .
解:由题可得,AM=BE,
∴AB=EM=AD,
∵四边形ABCD是正方形,EH⊥AC,
∴EM=AH,∠AHE=90°,∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH,
∴EH=AH,
∴△MEH≌△DAH(SAS),
∴∠MHE=∠DHA,MH=DH,
∴∠MHD=∠AHE=90°,△DHM是等腰直角三角形,
∴DM=HM,故②正确;
当∠DHC=60°时,∠ADH=60°﹣45°=15°,
∴∠ADM=45°﹣15°=30°,
∴Rt△ADM中,DM=2AM,
即DM=2BE,故①正确;
∵点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,
∴∠AHM<∠BAC=45°,
∴∠CHM>135°,故③正确;
故答案为:①②③.
27.(2018•包头)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接CD,将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE,连接DE,DE与AC相交于点F,连接AE.下列结论:
①△ACE≌△BCD;
②若∠BCD=25°,则∠AED=65°;
③DE2=2CF•CA;
④若AB=3,AD=2BD,则AF=.
其中正确的结论是 ①②③ .(填写所有正确结论的序号)
解:∵∠ACB=90°,
由旋转知,CD=CE,∠DCE=90°=∠ACB,
∴∠BCD=∠ACE,
在△BCD和△ACE中,,
∴△BCD≌△ACE,故①正确;
∵∠ACB=90°,BC=AC,
∴∠B=45°
∵∠BCD=25°,
∴∠BDC=180°﹣45°﹣25°=110°,
∵△BCD≌△ACE,
∴∠AEC=∠BDC=110°,
∵∠DCE=90°,CD=CE,
∴∠CED=45°,
则∠AED=∠AEC﹣∠CED=65°,故②正确;
∵△BCD≌△ACE,
∴∠CAE=∠CBD=45°=∠CEF,
∵∠ECF=∠ACE,
∴△CEF∽△CAE,
∴,
∴CE2=CF•AC,
在等腰直角三角形CDE中,DE2=2CE2=2CF•AC,故③正确;
如图,过点D作DG⊥BC于G,
∵AB=3,
∴AC=BC=3,
∵AD=2BD,
∴BD=AB=,
∴DG=BG=1,
∴CG=BC﹣BG=3﹣1=2,
在Rt△CDG中,根据勾股定理得,CD==,
∵△BCD≌△ACE,
∴CE=,
∵CE2=CF•AC,
∴CF==,
∴AF=AC﹣CF=3﹣=,故④错误,
故答案为:①②③.
28.(2018•赤峰)如图,P是▱ABCD的边AD上一点,E、F分别是PB、PC的中点,若▱ABCD的面积为16cm2,则△PEF的面积(阴影部分)是 2 cm2.
解:∵▱ABCD的面积为16cm2,
∴S△PBC=S▱ABCD=8,
∵E、F分别是PB、PC的中点,
∴EF∥BC,且EF=BC,
∴△PEF∽△PBC,
∴=()2,即=,
∴S△PEF=2,
故答案为:2.
29.(2018•通辽)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(k>0)的图象与半径为5的⊙O交于M、N两点,△MON的面积为3.5,若动点P在x轴上,则PM+PN的最小值是 5 .
解:如图,
设点M(a,b),N(c,d),
∴ab=k,cd=k,
∵点M,N在⊙O上,
∴a2+b2=c2+d2=25,
作出点N关于x轴的对称点N'(c,﹣d),
∴S△OMN=k+(b+d)(a﹣c)﹣k=3.5,
∴ad﹣bc=7,
∴=7
∴ac=,
同理:bd=,
∴ac﹣bc=﹣= [(c2+d2)﹣(a2+b2)]=0,
∵M(a,b),N'(c,﹣d),
∴MN'2=(a﹣c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd=a2+b2+c2+d2﹣2(ac﹣bd)=50,
∴MN'=5,
故答案为:5.
30.(2018•黑龙江)如图,已知正方形ABCD的边长是4,点E是AB边上一动点,连接CE,过点B作BG⊥CE于点G,点P是AB边上另一动点,则PD+PG的最小值为 2 .
解:如图:
取点D关于直线AB的对称点D′.以BC中点O为圆心,OB为半径画半圆.
连接OD′交AB于点P,交半圆O于点G,连BG.连CG并延长交AB于点E.
由以上作图可知,BG⊥EC于G.
PD+PG=PD′+PG=D′G
由两点之间线段最短可知,此时PD+PG最小.
∵D′C=4,OC′=6
∴D′O=
∴D′G=2
∴PD+PG的最小值为2
故答案为:2
31.(2018•哈尔滨)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB=OB,点E、点F分别是OA、OD的中点,连接EF,∠CEF=45°,EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN=,则线段BC的长为 4 .
解:设EF=x,
∵点E、点F分别是OA、OD的中点,
∴EF是△OAD的中位线,
∴AD=2x,AD∥EF,
∴∠CAD=∠CEF=45°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC=2x,
∴∠ACB=∠CAD=45°,
∵EM⊥BC,
∴∠EMC=90°,
∴△EMC是等腰直角三角形,
∴∠CEM=45°,
连接BE,
∵AB=OB,AE=OE
∴BE⊥AO
∴∠BEM=45°,
∴BM=EM=MC=x,
∴BM=FE,
易得△ENF≌△MNB,
∴EN=MN=x,BN=FN=,
Rt△BNM中,由勾股定理得:BN2=BM2+MN2,
∴,
x=2或﹣2(舍),
∴BC=2x=4.
故答案为:4.
32.(2018•齐齐哈尔)四边形ABCD中,BD是对角线,∠ABC=90°,tan∠ABD=,AB=20,BC=10,AD=13,则线段CD= 17或 .
解:当四边形ABCD是凸多边形时,作AH⊥BD于H,CG⊥BD于G,
设AH=3x,则BH=4x,
由勾股定理得,(3x)2+(4x)2=202,
解得,x=4,
则AH=12,BH=16,
在Rt△AHD中,HD==5,
∴BD=BH+HD=,
∵∠ABD+∠CBD=90°,∠BCH+∠CBD=90°,
∴∠ABD=∠CBH,
∴=,又BC=10,
∴BG=6,CG=8,
∴DG=BD﹣BG=15,
∴CD==17,
当四边形ABCD′是凹多边形时,CD′==,
故答案为:17或.
33.(2018•大庆)已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,﹣5),将直线向上平移m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交(点O为坐标原点),则m的取值范围为 m< .
解:把点(12,﹣5)代入直线y=kx得,
﹣5=12k,
∴k=﹣;
由y=﹣x平移平移m(m>0)个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m(m>0),
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B,(如下图所示)
当x=0时,y=m;当y=0时,x=m,
∴A(m,0),B(0,m),
即OA=m,OB=m;
在Rt△OAB中,
AB=,
过点O作OD⊥AB于D,
∵S△ABO=OD•AB=OA•OB,
∴OD•=×,
∵m>0,解得OD=
由直线与圆的位置关系可知<6,解得m<.
故答案为:m<.
34.(2018•长春)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+
mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点,点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上.过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A′的横坐标为1,则A′C的长为 3 .
解:当y=0时,x2+mx=0,解得x1=0,x2=﹣m,则A(﹣m,0),
∵点A关于点B的对称点为A′,点A′的横坐标为1,
∴点A的坐标为(﹣1,0),
∴抛物线解析式为y=x2+x,
当x=1时,y=x2+x=2,则A′(1,2),
当y=2时,x2+x=2,解得x1=﹣2,x2=1,则C(﹣2,1),
∴A′C的长为1﹣(﹣2)=3.
故答案为3.
35.(2018•沈阳)如图,△ABC是等边三角形,AB=,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接BH、CH.当∠BHD=60°,∠AHC=90°时,DH= .
解:作AE⊥BH于E,BF⊥AH于F,如图,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°,∠BAH+∠CAH=60°,
∴∠ABH=∠CAH,
在△ABE和△CAH中
,
∴△ABE≌△CAH,
∴BE=AH,AE=CH,
在Rt△AHE中,∠AHE=∠BHD=60°,
∴sin∠AHE=,HE=AH,
∴AE=AH•sin60°=AH,
∴CH=AH,
在Rt△AHC中,AH2+(AH)2=AC2=()2,解得AH=2,
∴BE=2,HE=1,AE=CH=,
∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1,
在Rt△BFH中,HF=BH=,BF=,
∵BF∥CH,
∴△CHD∽△BFD,
∴===2,
∴DH=HF=×=.
故答案为.
36.(2018•大连)如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E为AD上一点,且∠ABE=30°,将△ABE沿BE翻折,得到△A′BE,连接CA′并延长,与AD相交于点F,则DF的长为 6﹣2 .
解:如图作A′H⊥BC于H.
∵∠ABC=90°,∠ABE=∠EBA′=30°,
∴∠A′BH=30°,
∴A′H=BA′=1,BH=A′H=,
∴CH=3﹣,
∵△CDF∽△A′HC,
∴=,
∴=,
∴DF=6﹣2,
故答案为6﹣2.
37.(2018•阜新)甲、乙两人分别从A,B两地相向而行,他们距B地的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示,那么乙的速度是 3.6 km/h.
解:由题意,甲速度为6km/h.当甲开始运动时相距36km,两小时后,乙开始运动,经过2.5小时两人相遇.
设乙的速度为xkm/h
2.5×(6+x)=36﹣12
解得x=3.6
故答案为:3.6
38.(2018•盘锦)如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2+4,点M、N分别在线段AC、AB上,将△ANM沿直线MN折叠,使点A的对应点D恰好落在线段BC上,当△DCM为直角三角形时,折痕MN的长为 或 .
解:分两种情况:
①如图,当∠CDM=90°时,△CDM是直角三角形,
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2+4,
∴∠C=30°,AB=AC=,
由折叠可得,∠MDN=∠A=60°,
∴∠BDN=30°,
∴BN=DN=AN,
∴BN=AB=,
∴AN=2BN=,
∵∠DNB=60°,
②如图,当∠CMD=90°时,△CDM是直角三角形,
由题可得,∠CDM=60°,∠A=∠MDN=60°,
∴∠BDN=60°,∠BND=30°,
∴BD=DN=AN,BN=BD,
又∵AB=,
∴AN=2,BN=,
过N作NH⊥AM于H,则∠ANH=30°,
∴AH=AN=1,HN=,
由折叠可得,∠AMN=∠DMN=45°,
∴△MNH是等腰直角三角形,
∴HM=HN=,
∴MN=,
故答案为:或.
39.(2018•葫芦岛)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部,将BF延长交AD于点G.若=,则= .
解:连接GE,
∵点E是CD的中点,
∴EC=DE,
∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部,
∴EF=DE,∠BFE=90°,
在Rt△EDG和Rt△EFG中
,
∴Rt△EDG≌Rt△EFG(HL),
∴FG=DG,
∵=,
∴设DG=FG=a,则AG=7a,
故AD=BC=8a,
则BG=BF+FG=9a,
∴AB==4a,
故==.
故答案为:.
40.(2018•盘锦)如图①,在矩形ABCD中,动点P从A出发,以相同的速度,沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止.设点P运动的路程为x,△PAB面积为y,如果y与x的函数图象如图②所示,则矩形ABCD的面积为 24 .
解:从图象②和已知可知:AB=4,BC=10﹣4=6,
所以矩形ABCD的面积是4×6=24,
故答案为:24.