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- 2021-05-10 发布
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2008年华南各省中考数学几何解答题【厦门学子分类】
(08河南省卷18题)18.(9分)复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:“如图①,已知在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内部任意一点,将AP绕A顺时针旋转至AQ,使∠QAP=∠BAC,连接
BQ、CP,则BQ=CP.”
小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了△ABQ≌△ACP,从而证得BQ=CP之后,将点P移到等腰三角形ABC之外,原题中的条件不变,发现“BQ=CP”仍然成立,请你就图②给出证明.
图①
图②
(08河南省卷20题)20.(9分)如图所示,A、B两地之间有一条河,原来从A地到B地需要经过DC,沿折线A→D→C→B到达,现在新建了桥EF,可直接沿直线AB从A地到达B地.一直BC=11km,
∠A=45°,∠B=37°.桥DC和AB平行,则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程?(结果精确到0.1km.参考数据:,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80)
(08河南省卷21题)21.(9分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(10,0),点B的坐标为(8,0),点C、D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形.求点C的坐标.
(08湖南长沙19题)19、在下面的格点图中,每个小正方形的边长均为1个单位,请按下列要求画出图形:
(1)画出图①中阴影部分关于O点的中心对称图形;
(2)画出图②中阴影部分向右平移9个单位后的图形;
(3)画出图③中阴影部分关于直线AB的轴对称图形.
(图①) (图②) (图③)
(08湖南长沙19题解答)图略(“2008”字样),三部分图形各2分,共6分.
(08湖南长沙24题)24、(本题满分8分)如图,在□ABCD中,BC=2AB=4,点E、F分别是BC、AD的中点.
A
B
C
D
E
F
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当四边形AECF为菱形时,求出该菱形的面积.
(08湖南长沙24题解答)(1)证明略; (4分)
(2)当四边形AECF为菱形时,△ABE为等边三角形, (6分)
四边形ABCD的高为, (7分)
∴菱形AECF的面积为2. (8分)
(08湖南常德21题)21.如图4,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,若PA⊥AB,PO过AC的中点M,
A
B
O
C
P
M
图4
求证:PC是⊙O的切线.
(08湖南常德21题解答)证明:连接OC,
A
B
O
C
P
M
图4
∵PA⊥AB, ∴∠PA0=900,…………1分
∵PO过AC的中点M,OA=OC,
∴PO平分∠AOC,
∴∠AOP=∠COP .……………………3分
∴在△PAO与△PCO中有
OA=OC,∠AOP=∠COP,PO=PO,
∴△PAO≌△PCO, …………… 6分
∴∠PCO=∠PA0=900,
即PC是⊙O的切线.… ………… 7分
(08湖南常德23题)23.如图7,在梯形ABCD中,若AB//DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.
A
B
C
D
①
②
③
④
图7
O
(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少(注意:全等看成相似的特例)?
(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.
解(1)
(08湖南常德23题解答)解:(1)任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:
① ② ,①③, ①④, ②③, ②④, ③④……………2分
其中有两组(①③, ②④)是相似的.
A
B
C
D
①
②
③
④
图7
O
∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=…………4分
(2)证明:选择①、③证明.
在△AOB与△COD中, ∵AB∥CD,
∴∠CDB=∠DBA , ∠DCA=∠CAB,
∴△AOB∽△COD……………………………………………8分
选择②、④证明.
∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠DAB=∠CAB,
∴在△DAB与△CBA中有
AD=BC, ∠DAB=∠CAB,AB=AB,
∴△DAB ≌ △CBA,…………………………………………6分
∴∠ADO=∠BCO.
又∠DOA=∠COB, ∴△DOA∽△COB………………………8分
(08湖南常德26题)26. 如图9,在直线上摆放有△ABC和直角梯形DEFG,且CD=6㎝;在△ABC中:∠C=90O,∠A=300,AB=4㎝;在直角梯形DEFG中:EF//DG,∠DGF=90O ,DG=6㎝,DE=4㎝,∠EDG=600。解答下列问题:
(1)旋转:将△ABC绕点C顺时针方向旋转900,请你在图中作出旋转后的对应图形
△A1B1C,并求出AB1的长度;
(2)翻折:将△A1B1C沿过点B1且与直线垂直的直线翻折,得到翻折后的对应图形
△A2B1C1,试判定四边形A2B1DE的形状?并说明理由;
(3)平移:将△A2B1C1沿直线向右平移至△A3B2C2,若设平移的距离为x,△A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为y,当y等于△ABC面积的一半时,x的值是多少?
A
B
C
D
E
F
G
图9
(08湖南常德26题解答)
A
B
C
D
E
F
G
图9
解:(1)在△ABC中由已知得:BC=2,AC=AB×cos30°=,
∴AB1=AC+C B1=AC+CB=.……………………………………2分
(2)四边形A2B1DE为平行四边形.理由如下:
∵∠EDG=60°,∠A2B1C1=∠A1B1C=∠ABC=60°,∴A2B1∥DE
又A2B1=A1B1=AB=4,DE=4,∴A2B1=DE,故结论成立.………………4分
(3)由题意可知:
S△ABC=,
① 当或时,y=0
此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半……………5分
②当时,直角边B2C2与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2-DC1
=(x-2)㎝,则y=,
当y= S△ABC= 时,即 ,
解得(舍)或.
∴当时,重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.
③当时,△A3B2C2完全与等腰梯形重叠,即……………7分
④当时,B2G=B2C2-GC2=2-(-8)=10-
则y=,
当y= S△ABC= 时,即 ,
解得,或(舍去).
∴当时,重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………9分
由以上讨论知,当或时, 重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………10分
(08湖南郴州21题)21.作图题:
图6
如图6,先将ΔABC向下平移4个单位得到,再以直线l为对称轴将作轴反射得到,请在所给的方格纸中依次作出和.
(08湖南郴州21题解答) 正确作出图形,每个3分(图略) 6分
图7
(08湖南郴州22题)22.汶川地震后,抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险,飞机在距地面450米上空的P点,测得A村的俯角为,B村的俯角为(.如图7).求A、B两个村庄间的距离.(结果精确到米,参考数据)
(08湖南郴州22题解答).解:根据题意得: ,
所以,所以 ,
所以AB=PB 3分
在中,,PC=450,
所以PB = 5分
所以(米)
答:略. 6分
图8
(08湖南郴州24题)24.如图8,ΔABC为等腰三角形,把它沿底边BC翻折后,得到ΔDBC.请你判断四边形ABDC的形状,并说出你的理由.
(08湖南郴州24题解答)四边形ABCD为菱形 2分
理由是:
由翻折得△ABC≌△DBC.所以 4分
因为△ABC为等腰三角形,
所以
所以AC=CD=AB=BD, 7分
故四边形ABCD为菱形 8分
注:如果学生只答四边形ABCD为平行四边形给1分,说理正确,给5分,共6分.
(08湖南怀化24题)24.(本题满分7分)
如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.
求证:(1);
(2)
(08湖南怀化24题解答) 证明:(1)四边形和四边形都是正方形
3分
4分
(2)由(1)得
7分
∴AMN∽CDN 6分
(08湖南怀化25题)25.(本题满分7分)
如图11,已知△的面积为3,且AB=AC,现将△沿CA方向平移CA长度得到△.
(1)求四边形CEFB的面积;
(2)试判断AF与BE的位置关系,并说明理由;
(3)若,求AC的长.
(08湖南怀化25题解答)解:(1)由平移的性质得
. 3分
(2).证明如下:由(1)知四边形为平行四边形
5分
(08湖南怀化26题)26. (本题满分7分)
某校教学楼后面紧邻一个土坡,坡上面是一块平地,如图12所示,,斜坡长,坡度.为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造,地质人员勘测,当坡角不超过时,可确保山体不滑坡.
(1)求改造前坡B到地面的垂直距离的长;
(2)为确保安全,学校计划改造时保持坡脚不动,坡顶沿削进到处,问至少是多少米?
(08湖南怀化26题解答)
(08湖南湘潭18题)18.(本题满分6分)
如图方格纸中每个小方格都是边长为1 个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,ABC的顶点在格点上,点B的坐标为(5,-4),请你作出,使与ABC关于y轴对称,并写出的坐标.
(08湖南湘潭18题解答)作图(略) 4分
点的坐标为(-5,-4) 6分
(08湖南湘潭20题)20.(本题满分6分)
如图,四边形ABCD是矩形,E是AB上一点,且DE=AB,过C作CF⊥DE,垂足为F.
B
A
C
D
ES
F
(1)猜想:AD与CF的大小关系;
(2)请证明上面的结论.
(08湖南湘潭20题解答)解:(1). 2分
(2)四边形是矩形,
3分
又 4分
5分
6分
(08湖南湘潭24题)24.(本题满分8分)
如图所示,的直径AB=4,点P是AB延长线上的一点,过P点作 的切线,切点为C,连结AC.
(1)若∠CPA=30°,求PC的长;
M
P
O
C
B
A
(2)若点P在AB的延长线上运动,∠CPA的平分线交AC于点M. 你认为∠CMP的大小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,求出∠CMP的大小.
M
P
O
C
B
A
(08湖南湘潭24题解答)解:(1)连结OC,
为的切线,
4分
(2) 的大小没有变化 5分
6分
7分
8分
(08湖南益阳18题)18.如图8,在△ABC中,AB=BC=12cm,∠ABC=80°,BD是∠ABC的平分线,DE∥BC.
A
B
C
D
E
图8
(1)求∠EDB的度数;
(2)求DE的长.
(08湖南益阳18题解答)解:(1)∵DE∥BC,
∴∠EDB=∠DBC= 3分
(2)∵AB=BC, BD是∠ABC的平分线,∴D为AC的中点
∵DE∥BC,∴E为AB的中点,
∴DE= 6分
(08湖南益阳22题)22. △ABC是一块等边三角形的废铁片,利用其剪裁一个正方形DEFG,使正方形的一条边DE落在BC上,顶点F、G分别落在AC、AB上.
A
B
C
D
E
F
G
图10(1)
Ⅰ.证明:△BDG≌△CEF;
Ⅱ. 探究:怎样在铁片上准确地画出正方形.
小聪和小明各给出了一种想法,请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解,只以Ⅱa的解答记分.
Ⅱa. 小聪想:要画出正方形DEFG,只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长,从而确定D点和E点,再画正方形DEFG就容易了.
设△ABC的边长为2 ,请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示,不要求分母有理化) .
A
B
C
D
E
F
G
图10(2)
Ⅱb. 小明想:不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是:
①在AB边上任取一点G’,如图作正方形G’D’E’F’;
②连结BF’并延长交AC于F;
③作FE∥F’E’交BC于E,FG∥F′G′交AB于G,GD∥G’D’交BC于D,则四边形DEFG即为所求.
A
B
C
D
E
F
G
图10(3)
G′
F′
E′
D′
你认为小明的作法正确吗?说明理由.
(08湖南益阳22题解答)Ⅰ.证明:∵DEFG为正方形,
∴GD=FE,∠GDB=∠FEC=90° 2分
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60° 3分
∴△BDG≌△CEF(AAS) 5分
A
B
C
D
E
F
G
解图10(2)
H
Ⅱa.解法一:设正方形的边长为x,作△ABC的高AH,
求得 7分
由△AGF∽△ABC得: 9分
解之得:(或) 10分
解法二:设正方形的边长为x,则 7分
在Rt△BDG中,tan∠B=,
∴ 9分
解之得:(或) 10分
解法三:设正方形的边长为x,
则 7分
由勾股定理得: 9分
解之得: 10分
Ⅱb.解: 正确 6分
由已知可知,四边形GDEF为矩形 7分
A
B
C
D
E
F
G
解图10(3)
G’
F’
E’
D’
∵FE∥F’E’ ,
∴,
同理,
∴
又∵F’E’=F’G’,
∴FE=FG
因此,矩形GDEF为正方形 10分
(08湖南益阳23题)23. 两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起,其中∠A=60°,AC=1. 固定△ABC不动,将△DEF进行如下操作:
(1) 如图11(1),△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动),连结DC、CF、FB,四边形CDBF的形状在不断的变化,但它的面积不变化,请求出其面积.
A
B
E
F
C
D
图11(1)
(2)如图11(2),当D点移到AB的中点时,请你猜想四边形CDBF的形状,并说明理由.
A
B
E
F
C
D
图11(2)
(3)如图11(3),△DEF的D点固定在AB的中点,然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF,使DF落在AB边上,此时F点恰好与B点重合,连结AE,请你求出sinα的值.
A
B
(E)
(F)
C
D
图11(3)
E
(F)
α
(08湖南益阳23题解答)解:(1)过C点作CG⊥AB于G,
A
B
E
F
C
D
解图11(1)
G
在Rt△AGC中,∵sin60°=,∴ 1分
∵AB=2,∴S梯形CDBF=S△ABC= 3分
(2)菱形 4分
∵CD∥BF, FC∥BD,∴四边形CDBF是平行四边形 5分
∵DF∥AC,∠ACD=90°,∴CB⊥DF 6分
∴四边形CDBF是菱形 7分
(判断四边形CDBF是平行四边形,并证明正确,记2分)
(3)解法一:过D点作DH⊥AE于H,则S△ADE= 8分
又S△ADE=, 9分
∴在Rt△DHE’中,sinα= 10分
解法二:∵△ADH∽△ABE 8分
∴
即:
∴ 9分
∴sinα= 10分
A
B
(E)
(F)
C
D
解图11(3)
E
(F)
α
H
(08湖南永州19题)19.(6分)如图所示,左边方格纸中每个正方形的边长均为a,右边方格纸中每个正方形的边长均为b,将左边方格纸中的图形顺时针旋转90°,并按b:a的比例画在右边方格纸中.
(08湖南永州19题)(6分)
(08湖南永州22题)22.(8分)如图△ABC与△CDE都是等边三角形,点E、F分别在AC、BC上,且EF∥AB
(1)求证:四边形EFCD是菱形;
(2)设CD=4,求D、F两点间的距离.
(08湖南永州22题解答)(8分)
(1)证明:与都是等边三角形
1分
2分
又
3分
四边形是菱形 4分
(2)解:连结,与相交于点 5分
由,可知 6分
7分
8分
(08湖南永州24题)24.(10分)如图,已知⊙O的直径AB=2,直线m与⊙O相切于点A,P为⊙O上一动点(与点A、点B不重合),PO的延长线与⊙O相交于点C,过点C的切线与直线m相交于点D.
(1)求证:△APC∽△COD.
(2)设AP=x,OD=y,试用含x的代数式表示y.
(3)试探索x为何值时,△ACD是一个等边三角形.
(08湖南永州24题解答)(10分)(1)∵是⊙O的直径,CD是⊙O的切线
∠PAC=∠OCD=90°,显然△DOA≌△DOC 1分
∴∠DOA=∠DOC 2分
∴∠APC=∠COD 3分
4分
(2)由,得 6分
, 7分
(3)若是一个等边三角形,则 8分
于是,可得,
故,当时,是一个等边三角形 10分
(08湖南株洲19题)19.(本题满分6分)
E
D
B
C
A
如图,在中,,点、分别在、上,平分,,,.
求(1)、的长;(2)的值.
(08湖南株洲19题解答)(1) 在Rt中,由,,得:, ……1分
由勾股定理得 ……2分
利用三角形全等或角平分线性质得: ……4分
(2)法一:由(1),,得.
利用∽得:,即,, ……5分
得: ……6分
法二:由(1)得,又,得,
由勾股定理得 ………5分 得: ……6分
(08湖南株洲21题)21、(本题满分7分)如图所示,的直径AB=4,点P是AB延长线上的一点,过点P作的切线,切点为C,连结AC.
(1)若∠CPA=30°,求PC的长;
(2)若点P在AB的延长线上运动,∠CPA的平分线交AC于点M. 你认为∠CMP的大小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,请求出∠CMP的值.
P
O
B
A
C
M
(08湖南株洲21题解答)(1)连结OC ……1分
由AB=4,得OC=2,在Rt中,,得 ……3分
(2)不变 …4分 ……7分
(08湖北鄂州22题)图9
22.如图9,教室窗户的高度为2.5米,遮阳蓬外端一点到窗户上椽的距离为,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内,与地面的夹角为,为窗户的一部分在教室地面所形成的影子且长为米,试求的长度.(结果带根号)
A
D
B
F
C
E
P
G
22题图
(08湖北鄂州22题解答)解:过点作交于于点 1分
3分
4分
即 5分
在中,(米) 7分
的长为米 8分
(08湖北鄂州25题)25.如图12,已知:边长为1的圆内接正方形中,为边的中点,直线交圆于点.
(1)求弦的长.
B
A
D
E
P
C
图12
(2)若是线段上一动点,当长为何值时,三角形与以为顶点的三角形相似.
(08湖北鄂州25题解答)(1)如图1.过点作于点.
在中, 1分
又
2分
的度数为
4分
B
A
D
E
P
C
25题图1
F
B
A
D
E
P
C
25题图2
Q
B
A
D
E
P
C
25题图3
(Q)
(2)如图2.当时有
得:.
即点与点重合, 5分
如图3,当时,有
得,即 7分
当或时,三角形与以点为顶点的三角形相似. 8分
(08湖北恩施18题)18.(本题满分8分)F
E
D
C
B
A
图7
如图7,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试判断AF与CE是否相等,并说明理由.
(08湖北恩施18题解答) 解:AF=CE 2分
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=CB, ∠A=∠C, ∠ADC=∠ABC 4分
又∵∠ADF=∠ADC, ∠CBE=∠ABC
∴∠ADF=∠CBE 6分
∴∆ADF≌∆CBE
∴AF=CE 8分
(08湖北恩施20题)20. (本题满分8分)如图8,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;
(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?
E
D
C
B
A
图8
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.
(08湖北恩施20题解答)解: (1) 2分
(2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小 4分
F
E
D
C
B
A
(3)如下图所示,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连结AE交BD于点C.AE的长即为代数式的最小值.
6分
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF,
则AB=DF=2,AF=BD=8.
所以AE==13
即的最小值为13. 8分
(08湖北恩施22题)22.(本题满分9分)如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连结AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
E
O
D
C
B
A
图10
(1)求证:AB=AC;
(2)求证:DE为⊙O的切线;
(3)若⊙O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.
(08湖北恩施22题解答)解:(1)证明:连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
又BD=CD
∴AD是BC的垂直平分线
∴AB=AC 3分
(2)连接OD
∵点O、D分别是AB、BC的中点
∴OD∥AC
又DE⊥AC
∴OD⊥DE
∴DE为⊙O的切线 6分
(3)由AB=AC, ∠BAC=60°知∆ABC是等边三角形
∵⊙O的半径为5
∴AB=BC=10, CD=BC=5
又∠C=60°
∴DE=CD·sin60°= 9分
(08湖北恩施24题)24. 如图11,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若∆ABC固定不动,∆AFG绕点A旋转,AF、AG
与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.
(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.
(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围.
(3)以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标,并通过计算验证BD+CE=DE.
G
图11
F
E
D
C
B
A
(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD+CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
G
y
x
图12
O
F
E
D
C
B
A
(08湖北恩施24题) 解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA 1分
∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA
又∠B=∠C=45°
∴∆ABE∽∆DCA 3分
(2)∵∆ABE∽∆DCA
∴
由依题意可知CA=BA=
∴
∴m= 5分
自变量n的取值范围为1