中考数学二次函数含答案附中考真题精选 60页

‎2012年中考数学一轮复习精品讲义 第二十五章 二次函数 本章小结 小结1 本章概述 本章从实际问题的情境入手引出基本概念，引导学生自主探索变量之间的关系及其规律，认识二次函数及其图象的一些基本性质，学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系，掌握其基本的解决方法．本章的主要内容有两大部分：一部分是二次函数及其图象的基本性质，另一部分是二次函数模型．通过分析实例，尝试着解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力．‎ 二次函数综合了初中所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中各种知识的总结．二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用． ‎ 小结2 本章学习重难点 ‎【本章重点】 通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．‎ ‎ 【本章难点】 会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题．‎ ‎ 【学习本章应注意的问题】‎ ‎ 1．在学习本章的过程中，不要死记硬背，要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草图，然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系，由简单的二次函数y＝ax2(a≠0)开始，总结、归纳其性质，然后逐步扩展，从y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2一直到y＝ax2＋bx＋c，最后总结出一般规律，符合从特殊到一般、从易到难的认识规律，降低了学习难度．‎ ‎ 2．在研究抛物线的画法时，要特别注意抛物线的轴对称性，列表时，自变量x的选取应以对称轴为界进行对称选取，要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征．‎ ‎ 3．有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础，通过观察、操作、思考、交流、探索，加深对教材的理解，在学习数学的过程中学会与他人交流，同时，在学 习本章时，要深刻理解两种思想和两种方法，两种思想指的是函数思想和数形结合思想，两种方法指的是待定系数法和配方法，在学习过程中，对数学思想和方法要认真总结并积累经验．‎ 小结3 中考透视 近几年来，各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题，尤其是全国各地中考试题中的压轴题，有三分之一以上是这一类题，试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查，特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题，主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力，同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.‎ 知识网络结构图 一元二次方程的近似解 一元二次不等式的解集 二次函数的最大(小)值 在实际问题中的应用 二次函数的概念 二次函数的图象 二次函数的应用 二次函数 开口方向 二次函数的性质 对称轴 顶点坐标 增减性 专题总结及应用 一、知识性专题 专题1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 ‎【专题解读】 对二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握．‎ ‎ 例1 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－84所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2－‎4ac＞0．其中正确的个数是 ( )‎ ‎ A．0个 B．1个 ‎ C．2个 D．3个 ‎ 分析 ∵抛物线的开口向下，∴a＜0；∵抛物线与y轴交于正半铀，∴c＞0;∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－‎4ac＞0．故②③正确．故选C．‎ ‎ 【解题策略】 解此类题时，要注意观察图象的开口方向、与y轴交点的位置以及与x轴交点的个数． ‎ 例2 若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中的信息可知y与x之间的函数关系式是 ( )‎ x ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ax2‎ ‎1‎ ax2+bx+c ‎8‎ ‎3‎ A．y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4‎ C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8‎ 分析 由表格中的信息可知，当x＝1时，ax2＝1，所以a＝1．当x=－1时，ax2＋bx＋c＝8，当x＝0时，ax2＋bx＋c＝3，所以c＝3，所以1×(－1)2＋b×(－1)＋3＝8，所以b＝－4．故选A．‎ ‎【解题策略】 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的突破口是x＝1时，ax2＝1，x＝0时，ax2＋bx＋c＝3和x＝－1时，ax2＋bx＋c＝8．‎ 例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的大致图象如图26－85所示，则函数y＝ax＋b的图象不经过 ( )‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎ 分析 由图象可知a＜0，＜0，则b＜0，所以y＝ax＋b的图象不经过第一象限．故选A．‎ ‎ 【解题策略】 抛物线的开口方向决定了a的符号，b的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定． ‎ ‎ 例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(其中a＞0，b＞0，c＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．其中正确的个数为 ( )‎ ‎ A．0个 B．1个 ‎ C．2个 D．3个 ‎ 分析 由a＞0，得抛物线开口向上，由＜0，得对称轴在y轴左侧，由c＜0可知抛物线与y轴交于负半轴上，可得其大致图象如图26—86所示，因此顶点在第三象限，故①③正确．故选C.‎ ‎ 【解题策略】 此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质，解题时运用了数形结合思想．‎ ‎ 例5 若A，B，C为二次函数y＝x2＋4x＋5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 ( )‎ ‎ A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3‎ ‎ C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2‎ ‎ 分析 因为y＝x2＋4x＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以x=与x＝－的函数值相同，因为抛物线开口向上，所以当＜＜时，y2＜y1＜y3．故选B．‎ ‎ 【解题策略】 此题考查了抛物线的增减性和对称轴，讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑，因此将x=的函数值转化为x＝－的函数值．‎ 例6 在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－(x－1)2的图象大致是(如图26—87所示) ( )‎ ‎ 分析 直线y＝－x＋1与y轴交于正半轴，抛物线y＝－(x－1)2的顶点为(1，0)，且开口向下．故选D．‎ 专题2 抛物线的平移规律 ‎【专题解读】 当二次函数的二次项系数a相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x轴左、右平移，此时与k的值无关；顶点上、下变化，即沿y轴上、下平移，此时与h的值无关．其口诀是“左加右减，上加下减”．‎ ‎ 例7 把抛物线y＝－2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 ( )‎ ‎ A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x－1)2‎ ‎ C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1‎ ‎ 分析 原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移一个单位后，顶点为(0，1)．故选C．‎ ‎ 【解题策略】 解决此题时，可以用“左加右减，上加下减”的口诀来求解，也可以根据顶点坐标的变化来求解．‎ ‎ 例8 把抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝x2－3x＋5，则 ( )‎ ‎ A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3‎ ‎ C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21‎ ‎ 分析 y＝x2－3x＋5变形为y＝＋5－，即y＝＋，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y＝＋＋2，即y＝x2＋3x＋7，所以b＝3，c＝7．故选A．‎ ‎ 【解题策略】 此题运用逆向思维解决了平移问题，即抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y＝x2－3x＋5，那么抛物线y＝x2－3x＋5则向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y＝x2＋bx＋c．‎ 专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用 ‎【专题解读】若抛物线经过原点，则c＝0，若抛物线的顶点坐标已知，则和的值也被确定等等，这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a，b，c以及与之有关的代数式的值．‎ ‎ 例9 如图26－88所示的抛物线是二次函数y＝ax2＋3ax＋a2－1‎ 的图象，则a的值是 .‎ ‎ 分析 因为图象经过原点，所以当x＝0时，y＝0，所以a2－1=0，a＝±1，因为抛物线开口向下，所以a＝－1.故填－1:‎ 专题4 求二次函数的最值 ‎【专题解读】 在自变量x的取值范围内，函数y＝ax2＋bx＋c在顶点处取得最值．当a＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，顶点最低，当x＝时，y有最小值为；当a＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向下，顶点最高，当x＝时，y有最大值为．‎ ‎ 例10 已知实数x，y满足x2＋2x＋4y＝5，则x＋2y的最大值为 .‎ ‎ 分析 x2＋2x＋4y＝5，4y＝5－x2－2x，2y＝(5－x2－2x)，x＋2y＝(5－x2－2x)＋x，整理得x＋2y＝－x2＋.当x＝0时，x＋2y取得最大值，为．故填．‎ 专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 ‎【专题解读】 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集．已知函数值，求自变量的对应值，就是解方程，已知函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式．‎ ‎ 例11 已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(2，0)，(－1，6)．‎ ‎ (1)求二次函数的解析式；‎ ‎ (2)不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y＞0时x的取值范围．‎ ‎ 分析 (1)列出关于a，b的方程组，求a，b的值即可．(2)观察图象求出y＞0的解集．‎ 解：(1)由题意可知，当x＝2时，y＝0，当x＝－1时，y＝6，‎ 则解得 ‎ ‎∴二次函数的解析式为y＝2x2－4x．‎ ‎(2)图象如图26—89所示，由图象可知，当y＞0时，x＜0或x＞2．‎ ‎ 【解题策略】 求二次函数的解析式，其实质就是先根据题意寻求方程组，并解方程组，从而使问题得到解决．‎ 二、规律方法专题 专题6 二次函数解析式的求法 ‎【专题解读】 用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法．‎ ‎ (1)设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ ‎ 若已知条件是图象经过三个点，则可设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，即可求出a，b，c的值．‎ ‎ (2)设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．‎ ‎ 若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．‎ ‎ (3)设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．‎ ‎ 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．‎ ‎ (4)设对称点式：y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)．‎ ‎ 若已知二次函数图象上的对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)，将已知条件代入，求得待定系数a,m，最后将解析式化为一般式．‎ ‎ 例12 根据下列条件求函数解析式．‎ ‎ (1)已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式；‎ ‎ (2)已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求此抛物线的解析式；‎ ‎ (3)已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(1，0)两点，且经过点M(0，1)，求此抛物线的解析式；‎ ‎ (4)已知抛物线经过(－3，4)，(1，4)和(0，7)三点，求此抛物线的解析式．‎ ‎ 分析 (1)已知图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式．(2)已知抛物线的顶点坐标，应选用顶点式．(3)由于A(－l，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，因此应选用交点式．(4)显然已知条件是抛物线经过三点，故可用一般式，但由于(－3，4)，(1，4)‎ 是抛物线上两个对称点，因此选用对称点式更简便．‎ ‎ 解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c ‎ 将(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)分别代入，‎ ‎ 得解得 ‎ ‎ ∴所求的二次函数的解析式为y＝x2＋2x－5．‎ ‎ (2)∵抛物线的顶点为(－1，－3)，‎ ‎ ∴设其解析式为y＝a(x＋1)2－3，‎ 将点(0，－5)代入 ，得－5＝a－3，∴a＝－2，‎ ‎∴所求抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2－3．‎ ‎ 即y＝－2x2－4x－5．‎ ‎ (3)∵点A(－1，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，‎ ‎ ∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)，‎ ‎ 将点M(0，1)代入，得1＝－a，∴a＝－1，‎ ‎ ∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，‎ ‎ 即y=－x2＋1‎ ‎ (4)∵抛物线经过(－3，4)，(1，4)两点，‎ ‎ ∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)＋4，‎ ‎ 将点(0，7)代入，得7＝a·3·(－1)＋4，∴a＝－1，‎ ‎ ∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＋4，‎ ‎ 即y＝－x2－2x＋7．‎ ‎【解题策略】 (1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法，它们之间是相互联系的，不是孤立的.‎ ‎ (2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的4种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果．‎ ‎ (3)求，函数解析式的问题，如果采用交点式、顶点式或对称点式，最后要将解析式化为一般形式． ‎ 三、思想方法专题 专题7 数形结合思想 ‎【专题解读】 把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究．‎ ‎ 例13 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－90所示，则点A(a，b)在 ( )‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎ 分析 由图象开口方向向下可知a＜0，由对称轴的位置可知x＝＞0，所以b＞0，故点A在第二象限．故选B．‎ ‎【解题策略】 解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置．‎ 专题8 分类讨论思想 ‎【专题解读】 分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果．‎ ‎ 例14 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴交于B(1，0)，C(5，0)两点．‎ ‎ (1)求此抛物线的解析式；‎ ‎ (2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；‎ ‎ (3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E，F的坐标，并求出这个最短总路径的长．‎ ‎ 分析 (1)用待定系数法求a，b，c的值．(2)用分类讨论法求直线CD的解析式．(3)根据轴对称解决最短路径问题.‎ 解：(1)根据题意，得c=3，所以解得 所以抛物线的解析式为y＝x2－x＋3．‎ ‎ (2)依题意可知，OA的三等分点分别为(0，1)，(0，2)，‎ ‎ 设直线CD的解析式为y＝kx＋b，‎ ‎ 当点D的坐标为(0，1)时，直线CD的解析式为y＝－x＋1，‎ ‎ 当点D的坐标为(0，2)时，直线CD的解析式为y＝－x＋2．‎ ‎ (3)由题意可知M，如甲26－91所示，‎ ‎ 点M关于x轴的对称点为M′，‎ ‎ 点A关于抛物线对称轴x＝3的对称点为A′(6，3)，‎ ‎ 连接A′M′，根据轴对称性及两点间线段最短可知，A′M′的长就是点P运动的最短总路径的长．‎ ‎ 所以A′M′与x轴的交点为所求的E点，与直线x＝3的交点为所求的F点．‎ ‎ 可求得直线A′M，的解析式为y＝x－．‎ ‎ 所以E点坐标为(2，0)，F点坐标为，‎ 由勾股定理可求出A′M′＝．‎ ‎ 所以点P运动的最短总路径(ME＋EF＋FA)的长为．‎ ‎【解题策略】 (2)中点D的位置不确定，需要分类讨论，体现了分类讨论的数学思想．(3)中的关键是利用轴对称性找到E，F两点的位置，从而求出其坐标，进而解决问题．‎ 专题9 方程思想 ‎【专题解读】 求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y＝0或x＝0，通过解方程解决交点的坐标问题．求抛物线与x轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况．‎ ‎ 例15 抛物线y＝x2－2x＋1与x轴交点的个数是 ( )‎ ‎ A．0个 B．1个 ‎ C．2个 D．3个 ‎ 分析 可设x2－2x＋1＝0，Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，可得抛物线y＝x2－2x＋1与x轴只有一个交点．故选B．‎ ‎ 【解题策略】 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的个数可由一元二次方程ax2＋bx＋c＝o(a≠0)的根的个数来确定．‎ 专题10 建模思想 ‎【专题解读】 根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题．‎ ‎ 例16 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．‎ ‎ (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式；‎ ‎ (2)求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式；‎ ‎ (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?‎ ‎ 分析 (1)原来每箱售价50元，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，若提高(x－50)元，则平均每天少销售3(x－50)箱，所以提价后每天销售[90－3(x－50)]箱，即y＝90－3(x－50).(2)每天的销售利润可用(x－40)[90－3(x－50)]来表示．(3)建立W和x之间的二次函数关系式，利用二次函数的最值求利润的最值．‎ ‎ 解：(1)y＝90－3(x－50)，即y＝－3x＋240．‎ ‎ (2)W＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600，‎ ‎ (3)∵a＝－3＜0，∴当x＝＝60时，W有最大值，‎ ‎ 又∵当x＜60时，y随x的增大而增大，‎ ‎ ∴当x＝55时，W取得最大值为1125元，‎ ‎ 即每箱苹果的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．‎ ‎ 【解题策略】 求实际问题的最值时，可通过建立二次函数关系式，根据二次函数的最值来求解．‎ ‎ 例17 某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25％，设每双鞋的成本价为a元．‎ ‎ (1)试求a的值；‎ ‎ (2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x(万元)，则产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图26—92所示，可近似看作是抛物线的一部分．‎ ‎ ①根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式；‎ ‎ ②求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式，并计算广告费x(万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S(万元)随广告费的增多而增多．(注：年利润S＝年销售总额－成本费－广告费)‎ ‎ 解：(1)由题意得a(1＋25％)＝250，解得a＝200(元)．‎ ‎(2)①依题意可设y与x之间的函数关系式为y＝ax2＋bx＋1，‎ 则，解得 ‎ ∴y＝－0.01x2＋0.2x＋1．‎ ‎ ②S＝(－0.01x2＋0.2x＋1)×10×250－10×200－x,‎ ‎ 即S＝－25x2＋499x＋500，‎ ‎ 整理得S=－25(x－9.98)2＋2990.01．‎ ‎ ∴当0≤x≤9．98时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多．‎ ‎ 例18 某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．(注：宾馆客房是以整间出租的)‎ ‎ (1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是 元；‎ ‎ (2)设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是 ；‎ ‎ (3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y＝17600元，试求这天每间客房的价格是多少元． ‎ ‎ 分析 本题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题．‎ ‎ 解：(1)18000‎ ‎ (2)y=x2＋10x＋18000‎ ‎ (3)当y＝17600时，‎ ‎ －x2＋10x＋400=0，‎ ‎ 即x2－20x－800＝0．‎ ‎ 解得x＝－20(舍去)或x＝40．‎ ‎ 180＋40＝220，‎ ‎ 所以这天每间客房的价格是220元．‎ ‎ ‎ 例19 （09·泰安）如图26－93(1)所示，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝x＋m与x轴交于点E．‎ ‎ (1)求点E的坐标；‎ ‎(2)求过A，O，E三点的抛物线的解析式．‎ 解：(1)如图26－93(2)所示，过A作AF⊥x轴于F，‎ 则OF=OAcos 60°=1，AF=OFtan 60°=，‎ ‎ ∴点A(1，)．‎ ‎ 代入直线解析式，得×1＋m＝，∴m＝，‎ ‎ ∴y=x＋.‎ ‎ 当y=0时，x＋=0，‎ ‎ 解得x＝4，∴点E(4，0)．‎ ‎ (2)设过A，O，E三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，‎ ‎ ∵抛物线过原点，∴c＝0，‎ ‎ ∴解得 ‎∴抛物线的解析式为y＝x2＋x.‎ ‎ 例20 如图26－94所示，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．‎ ‎ (1)求点B的坐标；‎ ‎(2)求过点A，O，B的抛物线的表达式．‎ 解：(1)如图26－95所示，过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，则AF＝2，OF＝1．‎ ‎ ∵OA⊥OB，‎ ‎ ∴∠AOF＋∠BOE＝90°．‎ ‎ 又∵∠BOE＋∠OBE＝90°，‎ ‎ ∴∠AOF＝∠OBE．‎ ‎ ∴Rt△AFO∽Rt△OEB．‎ ‎ ∴＝2‎ ‎ ∴BE＝2，OE＝4．‎ ‎ ∴B(4，2)． ‎ ‎ (2)设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c．‎ ‎ 则解得 ‎ ∴所求抛物线的表达式为y＝x2－x.‎ 例21如图26－96所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D．‎ ‎ (1)求抛物线的解析式；‎ ‎ (2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．‎ ‎ 解：(1)已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，‎ ‎ ∴解得 ‎ ∴所求抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2．‎ ‎ (2)∵A(1，0)，B(0，2)，∴OA＝1，OB＝2，‎ ‎ 可得旋转后C点的坐标为(3，1)．‎ 当x＝3时，由y=x2－3x＋2得y＝2，‎ ‎ 可知抛物线y＝x2－3x＋2过点(3，2)．‎ ‎ ∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C ‎ ∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2－3x＋1．‎ ‎ 例22 如图26－97所示，抛物线y＝ax2＋bx－‎4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．‎ ‎ (1)求抛物线的解析式；‎ ‎ (2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．‎ ‎ 解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx－‎4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，‎ ‎ ∴‎ ‎ 解得 ‎ ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4．‎ ‎ (2)如图26－98所示，点D(m，m＋1)在抛物线上，‎ ‎∴m＋1＝－m2＋‎3m＋4，‎ ‎ 即m2－‎2m－3＝0，∴m＝－1或m＝3．‎ ‎ ∵点D在第一象限，∴点D的坐标为(3，4)．‎ ‎ 由(1)得B点的坐标为(4，0)，‎ ‎ ∴OC=OB，∴∠CBA＝45°．‎ ‎ 设点D关于直线BC的对称点为点E．‎ ‎ ∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD＝3，‎ ‎ ∴∠ECB＝∠DCB＝45°，‎ ‎ ∴E点在y轴上，且CE＝CD＝3．‎ ‎ ∴OE＝1，∴E(0，1)．‎ ‎ 即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．‎ 综合验收评估测试题 ‎ (时间：120分钟 满分：120分)‎ 一、选择题 ‎1．抛物线y＝－3(x－2)2＋9的对称轴、开口方向和顶点坐标分别为 ( )‎ A．对称轴为x＝－2，开口向下，顶点坐标为(2，9)‎ ‎ B．对称轴为x＝2，开口向下，顶点坐标为(2，9)‎ ‎ C．对称轴为x＝－2，开口向下，顶点坐标为(－2，9)‎ ‎ D．对称轴为x＝2，开口向下，顶点坐标为(－2，－9)‎ ‎2．将抛物线y＝－(x＋1)2－3向上平移3个单位，所得抛物线的顶点坐标为( )‎ ‎ A．(－1，0) B．(1，0) C．(1，－6) D．(－1，－6)‎ ‎3．下列四个函数：①y＝2x；②y＝；③y＝3－2x；④y＝2x2＋x(x≥0)．其中在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大的函数有 ( )‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4．已知点A(1，y1)，B(－，y2)，C(－2，y3)在函数y＝2(x＋1)2－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ( )‎ ‎ A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2‎ ‎ C．y1＞y3＞y2 D.y2＞y1＞y3‎ ‎5．如图26－99所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c与两个坐标轴的交点分别为A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列式子不成立的是 ( )‎ ‎ A．b＝0 B．S△ABE＝c2‎ ‎ C．ac＝－1 D．a＋c＝0‎ ‎6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－100所示，则下列判断正确的是( )‎ ‎ A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0‎ ‎ C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0‎ ‎7．已知二次函数y＝x2－2x＋1，则它的图象大致为(如图26－101所示) ( )‎ ‎8．有3个二次函数，甲：y＝x2－1；乙：y＝－x2＋1；丙：y＝x2＋2x－1．下列叙述正确 ‎ 的是 ( )‎ ‎ A．甲的图象经过适当的平移后，可以与乙的图象重合 ‎ B．甲的图象经过适当的平移后，可以与丙的图象重合 ‎ C．乙的图象经过适当的平移后，可以与丙的图象重合 ‎ D．甲、乙、丙3个图象经过适当的平移后，都可以重合 ‎9．已知关于x的不等式组无解，则二次函数y=(a－2)x2－x＋的图象与x轴 ( )‎ ‎ A．没有交点 B．相交于两点 ‎ C．相交于一点 D．相交于一点或没有交点 ‎10．如图26－102所示，二次函数y＝ax2＋x＋a2－1的图象可能是 ( )‎ 二、填空题 ‎11．请写出一个开口向上、与y轴交点的纵坐标为－1，且经过点(1，3)的抛物线的解析式： ．‎ ‎12．二次函数y＝x2－2x－3的最小值是 ．‎ ‎13；如果函数y＝(k－1)＋kx－1是关于x的二次函数，则k＝ ．‎ ‎14．抛物线y＝(x－2)2＋1的对称轴是直线 ，顶点坐标为 ．‎ ‎15．用配方法将二次函数y＝4x2－24x＋26写成y＝a(x－h)2＋k的形式是 ．‎ ‎16．将y＝3x2的图象向 平移2个单位，再向 平移3个单位，就得到y＝3(x＋2)2－3的图象．‎ ‎17．二次函数y=x2＋bx＋c的图象如图26－103所示，当函数值y＜0时，对应的x的取值范围是 ．‎ ‎18．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)，B(3，0)两点，其顶点坐标为 ．‎ ‎19．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－104所示，P＝|a－b＋c|＋|‎2a＋b|，Q＝|a＋b＋c|＋|‎2a－b|，则P，Q的大小关系为 ． ‎ ‎20．初三数学课本上，用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的囱象时，列了如下表格：‎ x ‎…‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎－‎ ‎－4‎ ‎－‎ ‎－2‎ ‎－‎ ‎…‎ 根据表格中的信息，该二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝3时，y＝ .‎ 三、解答题 ‎21．用周长为‎6 m的铝合金制成如图26－105所示的窗框，则宽和高各为多少时，窗户的透光面积最大?最大面积是多少? ‎ ‎22．如图26－106所示，⊙O1，⊙O2外切于点P，点P在y轴上，⊙O1，⊙O2分别与x轴相切于A，B两点．‎ ‎ (1)求证PA⊥PB；‎ ‎ (2)若点A(－1，0)，B(4，0)，求过A，B，P三点的抛物线的解析式；‎ ‎(3)(2)中所确定的抛物线的顶点是否在⊙O1与⊙O2的圆心的连线上?‎ ‎23．抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m与y轴交于点(0，3)．‎ ‎ (1)求m的值，并在图26－107中画出这条抛物线；‎ ‎ (2)求抛物线与x轴的交点坐标和抛物线的顶点坐标；‎ ‎ (3)当x取何值时，抛物线在x轴上方?‎ ‎ (4)当x取何值时，y的值随x的增大而减小?‎ ‎24．某农用车生产企业上年度生产农用车的投入成本为0.5万元／辆，出厂价为0.6万元／辆，年销售量为10万辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当地增加投入成本，若每辆车投入成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的百分率为0.75x，同时预计年销售量增加的百分率为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． ‎ ‎ (1)写出本年度预计的年利润y(万元)与每辆车投入成本增加的百分率x之间的函数关系式；‎ ‎ (2)当每辆车投入成本增加的百分率为多少时，本年度的利润与上年度持平?(结果保留小数点后一位)‎ ‎25．已知抛物线经过点A(2，0)和B(6，0)，最高点C的纵坐标为1．‎ ‎ (1)求抛物线的解析式；‎ ‎ (2)设抛物线的对称轴交x轴于点D，抛物线交y轴于点E，请在抛物线上另找一点P，先分别求出点A，C，E，P到点D的距离，再求这些点与直线y＝2的距离；‎ ‎ (3)你发现这条抛物线上的点具有何种规律?‎ ‎26．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0，b＞0)的图象经过(0，y1)，(1，y2)和(－1，y3)三点，且满足y12＝y22＝y32＝1．‎ ‎ (1)求这个二次函数的关系式；‎ ‎ (2)设这个二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，其中．x1＜x2，C为图象的顶点，连接AC，BC，动点P从A点出发沿折线ACB运动，求△ABP 的面积的最大值．‎ ‎27．如图26－108所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－6与直线y＝x相交于A，B两点．‎ ‎(1)求线段AB的长；‎ ‎(2)若一个扇形的周长等于(1)中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大?最大面积是多少?‎ ‎(3)如图26－109所示，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式是否成立．‎ 参考答案 ‎1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B ‎ ‎8．B[提示：丙函数y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，所以甲函数y＝x2－1的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，即可得到丙函数的图象．] ‎ ‎9．A[提示：解不等式组得a＞3，Δ＝3－a＜0．] ‎ ‎10．B[提示：把x＝0代入y＝ax2＋x＋a2－1，得y＝a2－l，因为a≠0，所以对称轴x＝≠0，所以C，D选项是不正确的，若选项A是正确的，则a＝±1，当a＝1时，＝，即对称轴应为直线x＝－，故选项A错误，若选项B是正确的，则a＝－1，对称轴为直线x＝＝，因此选项B是正确的．] ‎ ‎11．y＝4x2－1(答案不唯一)[提示：∵抛物线经过点(0，－1)，(1，3)，∴，∴a ‎＋b＝4．∴符合a＋b＝4，a＞0即可．] ‎ ‎12．－4[提示：y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4．∵a＝1＞0，∴函数的最小值为－4.] ‎ ‎13．0 ‎ ‎14．x=2 （2，1） ‎ ‎15．y=4（x－3）2－10 ‎ ‎16．左 下 ‎ ‎17．－3＜x＜1 ‎ ‎18．(1，－4)[提示：把x＝－1，y＝0和x＝3，y＝0代入y＝x2＋bx＋c，得解得则解析式为y=x2－2x－3，顶点坐标为（1，－4)．] ‎ ‎19．P＜Q[提示：由图象可知：当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，c＞0，由于＞1，且a＜0，所以‎2a－b＜0，‎2a＋b＞0，所以P＝b－a－c＋‎2a＋b＝a＋2b－c，Q=a+b+c+b‎-2a=-a+2b+c，P-Q=‎2a-2c<0,所以P 0时，y随x的增大而减小 O x ‎1 3‎ 第12题 y 考点：二次函数的图象及性质 专题：二次函数 分析：由二次函数的图象知， ，所以．故A错．由，知C错．由二次函数的图象知当x > 1时，y随x的增大而减小，所以D错，故选B．‎ 解答：B 点评：此题是针对学生的易错点设计的．掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．‎ ‎6.（2011陕西，10，3分）若二次函数的图像过三点，则大小关系正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 考点：二次函数图象上点的坐标特征。‎ 专题：函数思想。‎ 分析：根据二次函数图象上点的坐标特征，将分别代入二次函数的解析式y=x2﹣6x+c求得y1，y2，y3，然后比较它们的大小并作出选择．‎ 解答：解：根据题意，得y1=1+6+c=7+c，即y1=7+c； y2=4﹣12+c=﹣8+c，即y2=﹣8+c； y3=9+2+6﹣18﹣6+c=﹣7+c，即y3=﹣7+c；∵8＞﹣7＞﹣8，∴7+c＞﹣7+c＞﹣8+c，即y1＞y3＞y2．‎ 故选B．‎ 点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征（图象上的点都在该函数的图象上）．解答此题时，还利用了不等式的基本性质：在不等式的两边加上同一个数，不等式仍成立．‎ ‎7. 抛物线y=-（x+2）2-3的顶点坐标是（　　）‎ A、（2，-3） B、（-2，3） C、（2，3） D、（-2，-3）‎ 考点：二次函数的性质．‎ 专题：计算题．‎ 分析：已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标．‎ 解答：解：∵抛物线y=-（x+2）2-3为抛物线解析式的顶点式， ∴抛物线顶点坐标是（-2，-3）． 故选D．‎ 点评：本题考查了二次函数的性质．抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k）．‎ ‎8. （2011四川广安，10，3分）若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） ‎ ‎ A．＝l B．>l C．≥l D．≤l 考点：二次函数的性质 专题：二次函数 分析：二次函数的开口向上，其对称轴为直线，顶点坐标为，在对称轴的左侧，当时，随的增大而减小．因为当≤l时，随的增大而减小，所以直线应在对称轴直线的左侧或与对称轴重合，则．‎ 解答：C 点评：解决该题的关键是掌握二次函数的图象与性质，利用性质判断图象的增减规律来进行判断，要注意直线与抛物线的对称轴之间的位置关系，这是解决问题的突破口．‎ ‎9.（2011•台湾19，4分）坐标平面上，二次函数y=x2﹣6x+3的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点（　　）‎ ‎ A、x=50 B、x=﹣‎50 C、y=50 D、y=﹣50‎ 考点：二次函数的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：用配方法判断函数y的取值范围，再对x、y的取值范围进行判断．‎ 解答：解：∵y=x2﹣6x+3=（x﹣3）2﹣6≥﹣6，‎ 而函数式中，x可取全体实数，‎ ‎∴二次函数图象与方程y=﹣50无交点．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了二次函数的性质．关键是运用配方法求y的取值范围．‎ ‎10. （2011•台湾28，4分）如图为坐标平面上二次函数y=ax2+bx+c的图形，且此图形通（﹣1，1）、（2，﹣1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确（　　）‎ ‎ A、y的最大值小于0 B、当x=0时，y的值大于1‎ ‎ C、当x=1时，y的值大于1 D、当x=3时，y的值小于0‎ 考点：二次函数图象上点的坐标特征。‎ 专题：数形结合。‎ 分析：根据图象的对称轴的位置[在点（﹣1，1）的左边]、开口方向、直接回答．‎ 解答：解：A、由图象知，点（﹣1，1）在图象的对称轴的右边，所以y的最大值大于0；故本选项错误；‎ B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y的交点在（﹣1，1）点的右边，故y＜1；故本选项错误；‎ C、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，∴该函数图象的对称轴x=﹣‎ ＞0，∴a﹣b+c=1；而当x=1时，y=a+b+c≠1；故本选项错误．‎ D、当x=3时，函数图象上的点在点（2，﹣1）的右边，所以y的值小于0；故本选项正确；‎ 故选D．‎ 点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题时，须熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识点．‎ ‎11. （2011台湾，6，4分）若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 考点：二次函数的图象。‎ 专题：函数思想。‎ 分析：根据二次函数的解析式y＝2x2－8x＋6求得函数图象与y轴的交点及对称轴，并作出选择．‎ 解答：解：①当x＝0时，y＝6，及二次函数的图象经过点（0，6）；‎ ‎②二次函数的图象的对称轴是：x＝＝2，即x＝2； ‎ 综合①②，符合条件的图象是A；‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了二次函数的图象．解题时，主要从函数的解析式入手，求得函数图象与y轴的交点及对称轴，然后结合图象作出选择．‎ ‎12. （2010重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )‎ O ‎1‎ x y ‎7题图 A． a>0 B． b＜‎0 C． c＜0 D． a＋b＋c>0‎ 考点：二次函数图象与系数的关系 分析：根据抛物线的开口方向判断a的正负；根据对称轴在y轴的右侧，得到a，b异号，可判断b的正负；根据抛物线与y轴的交点为（0，c），判断c的正负；由自变量x=1得到对应的函数值为正，判断a+b+c的正负．‎ 解答：解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0；又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＞0；又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，又x=1，对应的函数值在x轴上方，即x=1，y=ax2+bx+c=a+b+c＞0；所以A，B，C选项都错，D选项正确．故选D．‎ 点评：本题考查了抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）中各系数的作用：a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；对称轴为x=﹣，a，b同号，对称轴在y轴的左侧；a，b异号，对称轴在y轴的右侧；抛物线与y轴的交点为（0，c），c＞0，与y轴正半轴相交；c＜0，与y轴负半轴相交；c=0，过原点．‎ ‎13. 已知函数 y={(x-1)2-1(x≤3)(x-5)2-1(x＞3)，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（　　）‎ A、0 B、‎1 C、2 D、3‎ 考点：二次函数的图象．‎ 专题：数形结合．‎ 分析：首先在坐标系中画出已知函数 y={(x-1)2-1(x≤3)(x-5)2-1(x＞3)的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值．‎ 解答：解：函数 y={(x-1)2-1(x≤3)(x-5)2-1(x＞3)的图象如图： ， 根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个， ∴k=3． 故选D．‎ 点评：此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．‎ ‎14. （2011•河池）把二次函数y=x2的图象沿着x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为（　　）‎ ‎ A、y=（x+2）2+3 B、y=（x﹣2）2+3‎ ‎ C、y=（x+2）2﹣3 D、y=（x﹣2）2﹣3‎ 考点：二次函数图象与几何变换。‎ 专题：动点型。‎ 分析：易得新抛物线的顶点，根据二次函数的平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新抛物线的解析式．‎ 解答：解：∵原抛物线的顶点为（0，0），‎ ‎∴新抛物线的顶点为（2，3），‎ ‎∴新抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+3，‎ 故选B．‎ 点评：考查二次函数的平移；得到新抛物线的顶点是解决本题的突破点；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数．‎ ‎15. （2011•青海）将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（　　）‎ ‎ A、y=2x2+2 B、y=2（x+2）2‎ ‎ C、y=（x﹣2）2 D、y=2x2﹣2‎ 考点：二次函数图象与几何变换。‎ 分析：根据“左加右减”的原则进行解答即可．‎ 解答：解：由“左加右减”的原则可知，将函数y=2x2的图象向左平移1个长度单位所得到的图象对应的函数关系式是：‎ y=2（x+2）2．‎ 故选：B．‎ 点评：此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．‎ ‎16.（2011，台湾省，8,5分）如图，坐标平面上二次函数y=x2+1的图形通过A、B两点，且坐标分别为（a，）、（b，），则AB的长度为何？（　　）‎ ‎ A、5 B、 C、 D、 考点：二次函数图象上点的坐标特征。‎ 专题：计算题。‎ 分析：将纵坐标的值代入函数式求横坐标a、b的值，根据AB=|a﹣b|求解．‎ 解答：解：把y=代入y=x2+1中，得=x2+1，‎ 即x2=，解得x=±，∴a=，b=﹣，∴AB=﹣（﹣）=5．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称．‎ ‎17. （2011山东滨州，7，3分）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )‎ A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 ‎ B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 ‎ D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 ‎【考点】二次函数图象与几何变换．‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．‎ ‎【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2， 抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2-3． 故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位． 故选B．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．‎ ‎18. （2011•德州6，3分）已知函数y=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如下面右图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：抛物线与x轴的交点；一次函数的图象。‎ 专题：数形结合。‎ 分析：根据图象可得出方程（x﹣a）（x﹣b）=0的两个实数根为a，b，且一正一负，负数的绝对值大，又a＞b，则a＞0，b＜0．根据一次函数y=ax+b的图象的性质即可得出答案．‎ 解答：解：根据图象可得a，b异号，‎ ‎∵a＞b，∴a＞0，b＜0，‎ ‎∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及一次函数的性质，是重点内容要熟练掌握，‎ ‎19. （2011山东菏泽，8，4分）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A．B．C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（　　）‎ ‎ ‎ A．a+b=﹣1 B．a﹣b=﹣‎1 C．b＜‎2a D．ac＜0‎ 考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．‎ 专题：计算题．‎ 分析：根据OA=OC=1和图象得到C（0，1），A（﹣1，0），把C（0，1）代入求出c=1，把A（﹣1，0）代入即可求出答案．‎ 解答：解：∵OA=OC=1，∴由图象知：C（0，1），A（﹣1，0），把C（0，1）代入得：c=1，把A（﹣1，0）代入得：a﹣b=﹣1，故选B．‎ 点评：本题主要考查对抛物线与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能求出A．C的坐标是解此题的关键．‎ ‎20. （2011•莱芜）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则正比例函数y=（b+c）x的图象与反比例函数y=的图象在同一坐标系中大致是（　　）‎ 考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象。‎ 分析：由已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向可以知道a的取值范围，对称轴可以确定b的取值范围，再利用f（0）和f（1）的值即可确定c的取值，然后就可以确定反比例函数y=与正比例函数y=（b+c）x在同一坐标系内的大致图象．‎ 解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向向下，‎ ‎∴a＜0，‎ 对称轴在y轴的右边，‎ ‎∴x=﹣＞0，‎ ‎∴b＞0，‎ 当x=0时，y=c＜0，‎ 当x=1时，a+b+c=0，故知a+b＞0，‎ ‎∴反比例函数y=的图象在第二四象限，‎ 正比例函数y=（b+c）x的图象在第一三象限．‎ 故选A．‎ 点评：本题主要考查函数图象的知识点，此题从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；对称轴的位置即可确定b的值及f（0）和f（1）的值确定c的取值范围．‎ ‎21. （2011年山东省威海市，7，3分）二次函数y=x2–2x–3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（　　）‎ A、–1＜x＜3 B、x＜–‎1 C、x＞3 D、x＜–3或x＞3‎ 考点：二次函数的图象．‎ 专题：数形结合．‎ 分析：先观察图象确定抛物线y=x2–2x–3的图象与x轴的交点，然后根据y＜0时，所对应的自变量x的变化范围．‎ 解答：解：由图形可以看出： y＜0时，自变量x的取值范围是–1＜x＜3；故选A．‎ 点评：本题考查了二次函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．‎ ‎22.（2011山东省潍坊， 12，3分）巳知一元二次方程的两个实效根满足和，那么二次函救 的图象有可能是( )‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象．‎ ‎【专题】数形结合．‎ ‎【分析】根据二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根，利用两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，求得两个实数根，作出判断即可．‎ ‎【解答】解：∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3， ∴x1，x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两个根， 解得：x1=1，x2=3 ∴二次函数ax2+bx+c（a＞0）与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0） 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标及二次函数的图象，解题的关键是根据题目提供的条件求出抛物线与横轴的交点坐标．‎ ‎23. （2011山东烟台，10，4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）‎ A．m＝n，k＞h B．m＝n ，k＜h ‎ C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h ‎（第10题图）‎ 考点：二次函数的性质.‎ 分析：由图看出两抛物线的对称轴相同，故m=n，抛物线的顶点纵坐标k在h上方，故k＞h，故选项A正确，其他错误．‎ 解答：解：A，由图看出两抛物线的对称轴相同，故m=n，抛物线的顶点纵坐标k在h上方，故k＞h，故该选项正确；B，由A选项分析相同，故本选项错误；C，由A选项分析相同，故本选项错误；D，由A选项分析相同，故本选项错误．故选A．‎ 点评：本题考查了二次函数的性质，有图看出抛物线的顶点的位置关系同函数关系式中数值的关系．本题为非常基础的二次函数性质的应用题．‎ ‎24. （2011•山西12，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（　　）‎ ‎ A、ac＞0 B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3‎ ‎ C、‎2a﹣b=0 D、当x＞0时，y随x的增大而减小 考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断．‎ 解答：解：A、∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；‎ B、∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0‎ ‎），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，故本选项正确；‎ C、∵抛物线对称轴为x=﹣=1，∴‎2a+b=0，故本选项错误；‎ D、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系．关键是会利用对称轴的值求‎2a与b的关系，对称轴与开口方向确定增减性，以及二次函数与方程之间的转换．‎ ‎25. .二次函数的图象如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）‎ 第12题 O x y O y x A O y x B O y x D O y x C 考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象．‎ 专题：数形结合．‎ 分析：由已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口方向可以知道a的取值范围，对称轴可以确定b的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象．‎ 解答：解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口方向向下，∴a＜0， 对称轴在y轴的左边，∴x＝－＜0，∴b＜0， ∴反比例函数的图象在第二四象限， 正比例函数y＝bx的图象在第二四象限． 故选B．‎ 点评：此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；对称轴的位置即可确定b的值．‎ ‎（2011广东肇庆，10，3分）二次函教y=x2+2x﹣5有（　　）‎ ‎ A、最大值﹣5 B、最小值﹣‎5 C、最大值﹣6 D、最小值﹣6‎ 考点：二次函数的最值。‎ 专题：探究型。‎ 分析：先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由其顶点式求出其最值即可．‎ 解答：解：∵二次函教y=x2+2x﹣5中a=1＞0，‎ ‎∴此函数有最小值，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查的是二次函数的最值问题，即二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，当a＞0时，函数有最小值最低点，所以函数有最小值，当x=时，．‎ ‎（2011辽宁本溪，24，11分）我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价-成本）‎ 考点：二次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式。‎ 专题：销售问题。‎ 分析：（1）将x=22，y=780，x=25，y=750代入y=kx+b即可求得y与x的函数关系式；‎ ‎（2）先求得每天获得的利润W关于x的函数关系式，再求出当x=30时获得的利润最大．‎ 解答：解：设y与x的函数关系式为，‎ 把x=22，y=780，x=25，y=750代入得，‎ 解得 ‎ ‎∴函数的关系式为；‎ ‎（2）设该工艺品每天获得的利润为w元，‎ 则；‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，w随x的增大而增大，‎ 所以当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大．‎ 即元；‎ 答：当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为7000元．‎ 点评：本题主要考查二次函数的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．‎ ‎（2011广东佛山，24，10分）商场对某种商品进行市场调查，1至6月份该种商品的销售情况如下：[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎①销售成本（元/千克）与销售月份的关系如图所示：‎ ‎②销售收入（元/千克）与销售月份满足；‎ ‎③销售量（千克）与销售月份满足；‎ 试解决以下问题：‎ ‎（1）根据图形，求与之间的函数关系式；‎ ‎（2）求该种商品每月的销售利润（元）与销售月份的函数关系式，并求出哪个月的销售利润最大？‎ 考点二次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式。‎ 分析（1）根据图形，知p与x之间的关系符合一次函数，故可设为p=kx+b，然后将点（1，9）与（6，4）代入函数解析式，即可求得p与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）由y=（q﹣p）m，可得y=﹣50x2+400x+1000则可求得4个月的销售利润最大．‎ 解答解：（1）根据图形，知p与x之间的关系符合一次函数，故可设为p=kx+b，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴p与x的函数关系式为p=﹣x+10；‎ ‎（2）根据题意得：月销售利润y=（q﹣p）m=[（﹣x+15）﹣（﹣x+10）]（100x+200），‎ 化简得：y=﹣50x2+400x+1000=﹣50（x﹣4）2+1800，‎ ‎∴4月份的销售利润最大．‎ 点评此题考查了函数的实际应用问题．解题的关键是能根据题意构建函数模型，然后根据函数的性质求解即可．‎ ‎26.（2011辽宁沈阳，23，12分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7X倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5X倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加X倍（本题中0＜X≤11）．‎ ‎（1）用含X的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为　 　元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为　 　元．‎ ‎（2）求今年这种玩具的每件利润Y元与X之间的函数关系式．‎ ‎（3）设今年这种玩具的年销售利润为W万元，求当X为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？‎ 注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．‎ 考点：二次函数的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即为（10+10•0.7x）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，即为（12+12•0.5x）元/件；‎ ‎（2）今年这种玩具的每件利润Y等于每件的出厂价减去每件的成本价，即y=（12+6x）﹣（10+7x），然后整理即可；‎ ‎（3）今年的年销售量为（2+2x）万件，再根据年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量，得到W=﹣2（1+x）（x﹣2），然后把它配成顶点式，利用二次函数的最值问题即可得到答案．‎ 解答：解（1）10+7x；12+6x；‎ ‎（2）y=（12+6x）﹣（10+7x），‎ ‎∴y=2﹣x （0＜x＜2）；‎ ‎（3）∵W=2（1+x）•y ‎=﹣2（1+x）（x﹣2）‎ ‎=﹣2x2+2x+4，‎ ‎∴W=﹣2（x﹣0.5）2+4.5‎ ‎∵﹣2＜0，0＜x≤11，‎ ‎∴W有最大值，‎ ‎∴当x=0.5时，W最大=4.5（万元）．‎ 答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．‎ 点评：本题考查了二次函数的顶点式：y=a（x﹣k）2+h，（a≠0），当a＜0，抛物线的开口向下，函数有最大值，当x=k，函数的最大值为h．也考查了代数式的表示和利润的含义以及配方法．‎ ‎（2011湖南长沙，25，10分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数的零点．‎ ‎ 己知函数 (m为常数)．‎ ‎ （1）当＝0时，求该函数的零点；‎ ‎（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；‎ ‎（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA＋MB最小时，求直线AM的函数解析式．‎ 考点：二次函数 一元二次方程 轴对称 一次函数 专题：二次函数 分析：（1）当＝0时，该函数为y＝x2－6，令y＝0，则得相应的一元二次方程，解该方程即得此时该函数的零点．‎ ‎（2）令y＝0，得一元二次方程x2－2mx－2(m＋3)＝0，对该方程的根的判别式的变形，可化为△＝，即得所证结论．‎ ‎（3）如下图，在直线y＝x－10上找一点M，使MA＋MB的值最小，只有通过轴对称知识将在直线的同侧的两点转化在直线的两侧，故可作点B关于直线的对称点 B′，连结AB′，则AB′与直线的交点就是满足条件的M点．如何求出点B′的坐标是解决这个问题的关键：因△OCD是等腰直角三角形，故∠B′CD＝∠BCD＝45°‎ ‎，从而∠BCB′＝90°，即B′（），最后利用待定系数法就容易求得直线AM的解析式了．‎ 解答：（1）当＝0时，该函数为y＝x2－6，令y＝0，得x2－6＝0，解得x1＝，x2＝，故该函数的零点为和．‎ ‎（2）令y＝0，得△＝‎ ‎∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论取何值，该函数总有两个零点．‎ ‎（3）依题意有，‎ 由，得，解得．‎ ‎∴函数的解析式为．‎ 令y＝0，解得 ‎∴A()，B(4,0)‎ 作点B关于直线的对称点B′，连结AB′，则AB′与直线的交点就是满足条件的M点．‎ 易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10，0），D（0，10）．‎ 连结CB′，则∠BCD＝45°‎ ‎∴BC＝CB′＝6，∠B′CD＝∠BCD＝45°‎ ‎∴∠BCB′＝90°，即B′（）‎ 设直线AB′的解析式为，则 ‎，解得 ‎∴直线AB′的解析式为，即AM的解析式为．‎ 点评：本试卷是双题压轴，这个压轴题综合考查了二次函数、一元二次方程、轴对称、一次函数等诸多知识点，综合性很强，并且是阅读理解题．先通过新定义函数的零点概念，再由此设计由易到难的题组题，目的是考查学生阅读理解能力和解一元二次方程知识、一元二次方程根的判别式、配方法、轴对称、三角形、一次函数等知识．‎ 最后一问绝对具有甄别功能，对基础中等的学生都会感到吃力，要想突破这个难点，只有先找使MA＋MB取最小值时的直线y＝x－10上的点M，求线段和的最小值就容易想到轴对称．最后利用等腰三角形性质就求出要求直线的另一点的坐标，从而利用待定系数法求得所求一次函数的解析式．‎ ‎（2011湖北武汉，23，10分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为‎30米的篱笆围成．已知墙长为‎18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．‎ ‎（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；‎ ‎（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；‎ ‎（3）当这个苗圃园的面积不小于‎88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．‎ 考点：二次函数的应用。‎ 分析：（1）根据题意即可求得y与x的函数关系式为y=30﹣2x与自变量x的取值范围为6≤x＜15；‎ ‎（2）设矩形苗圃园的面积为S，由S=xy，即可求得S与x的函数关系式，根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值；‎ ‎（3）根据题意得﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥88，根据图象，即可求得x的取值范围．‎ 解答：解：（1）设y=30﹣2x（6≤x＜15），‎ ‎（2）设矩形苗圃园的面积为S，‎ 则S=xy=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x，‎ ‎∴S=﹣2（x﹣7.5）2+112.5，‎ 由（1）知，6≤x＜15，‎ ‎∴当x=7.5时，S最大值=112.5，‎ 即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为‎7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5．‎ ‎（3）∵这个苗圃园的面积不小于‎88平方米，‎ 即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥88，‎ ‎∴4≤x≤11．‎ ‎∴x的取值范围为4≤x≤11．‎ 点评：此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．‎ ‎（2011湖北随州，23，?）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100‎ 万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）．‎ ‎（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？‎ ‎（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？‎ ‎（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？‎ 考点：二次函数的应用。‎ 专题：销售问题。‎ 分析：（1）由可获得利润P＝（万元），即可知当x＝60时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值；‎ ‎（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x＝50时，P值最大；然后后三年：设每年获利y，设当地投资额为x，则外地投资额为100－x，即可得函数y＝P+Q＝[－（x－60）2+41]+[－x2+x+160]，整理求解即可求得最大值，则可求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值；‎ ‎（3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值．‎ 解答：解：（1）∵每投入x万元，可获得利润P＝（万元），‎ ‎∴当x＝60时，所获利润最大，最大值为41万元，‎ ‎∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41×5＝205（万元）；‎ ‎（2）前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x＝50时，P值最大，即这两年的获利最大为：2×[－（50－60）2+41]＝80（万元），‎ 后三年：设每年获利y，设当地投资额为x，则外地投资额为100－x，‎ ‎∴y＝P+Q＝[－（x－60）2+41]+[－x2+x+160]‎ ‎＝－x2+60x+165＝－（x－30）2+1065，‎ ‎∴当x＝30时，y最大且为1065，‎ ‎∴这三年的获利最大为1065×3＝3495（万元），‎ ‎∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3495－50×2＝3475（万元）．‎ ‎（3）该方案是具有极大的实施价值．‎ 点评：此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是理解题意，找到合适函数取得最大值，是解此题的关键，还要注意后三年的最大值的求解方法．‎ ‎(2011•宜昌，24，11分）已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，-）和（m﹣b，m2﹣mb+n），其中 a，b，c，m，n为实数，且 a，m不为 0．‎ ‎（1）求c的值；‎ ‎（2）设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点是（x1，0）和（x2，0），求x1▪x2的值；‎ ‎（3）当﹣1≤x≤1时，设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时|y0丨的最小值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）把点（0，﹣）代入抛物线可以求出c的值．‎ ‎（2）把点（0，﹣）代入直线得n=﹣，然后把点（m﹣b，m2﹣mb+n）代入抛物线，整理后可确定a的值，把a，c的值代入抛物线，当y=0时可以求出x1•x2的值．‎ ‎（3）抛物线y=x2+bx﹣的顶点（﹣，﹣﹣），当b＜0时，x=﹣1时y的值大；当b＞0时，x=1时y的值大．然后比较x=﹣1，x=1以及抛物线顶点的纵坐标的绝对值，确定|y0|的最小值．‎ 解答：解：（1）把点（0，﹣）代入抛物线，得：c=﹣；‎ ‎（2）把点（0，﹣）代入直线得：n=﹣．‎ 把点（m﹣b，m2﹣mb+n）代入抛物线，得：‎ a（m﹣b）2+b（m﹣b）+c=m2﹣mb+n ‎∵c=n=﹣，‎ ‎∴a（m﹣b）2+b（m﹣b）=m2﹣mb，‎ am2﹣2abm+ab2+bm﹣b2﹣m2+mb=0‎ ‎（a﹣1）m2﹣（a﹣1）•2bm+（a﹣1）b2=0‎ ‎（a﹣1）（m2﹣2bm+b2）=0‎ ‎（a﹣1）（m﹣b）2=0‎ ‎∴a=1，‎ 当m﹣b=0时，抛物线与直线的两个交点就是一个点，所以m≠b．‎ 把a=1，c=﹣代入抛物线有：‎ y=x2+bx﹣，‎ 当y=0时，x2+bx﹣=0，‎ ‎∴x1•x2=﹣；‎ ‎（3）y=x2+bx﹣，顶点（﹣，﹣﹣）‎ 当b≤0时，x=﹣1时，y=﹣b，‎ 比较﹣b与+的大小，得到：‎ ‎﹣4≤b≤0时，﹣b≥+，‎ 所以当b=0时，|y0|的最小值为．‎ b≤﹣4时，﹣b≤+，‎ 所以当b=﹣4时，|y0|的最小值为．‎ 当b≥0时，x=1时，y=+b，‎ 比较+b与+的大小，得到：‎ ‎0≤b≤4时，+b≥+，‎ 所以当b=0时，|y0|的最小值为．‎ b≥4时，+b≤+，‎ 所以当b=4时，|y0|的最小值为．‎ 故|y0|的最小值为或．‎ 点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据抛物线上的点确定c的值．（2）结合一元二次方程的解确定x1•x2的值．（3）在x的取值范围内确定|y0|的最小值．‎ ‎（2011湖北武汉，25，12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；‎ ‎（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E．F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，代入解析式求出即可；‎ ‎（2）由（1）配方得y=（x+2）2﹣1，利用函数平移①当抛物线经过点C时，②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，分别分析求出；‎ ‎（3）由点E．F的坐标分别为（m，m2），（n，n2），得出m+n=km•n=﹣3，利用作点E关于y轴的对称点R（﹣m，m2），作直线FR交y轴于点P，‎ 由对称性知∠EFP=∠FPQ，此时△PEF的内心在y轴上，求出即可．‎ 解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，‎ ‎∴，‎ 解得a=1，b=4，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+4x+3；‎ ‎（2）由（1）配方得y=（x+2）2﹣1‎ ‎∴抛物线的顶点M（﹣2，﹣1），‎ 直线OD的解析式为y=x．于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），‎ ‎∴平移后的抛物线解析式为y=（x﹣h）2+h，‎ ‎①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），‎ ‎∴h2+h=9，解得h=，‎ ‎∴当≤x＜时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，‎ ‎②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组，‎ 得x2+（﹣2h+2）x+h2+h﹣9=0，‎ ‎∴△=（﹣2h+2）2﹣4（h2+h﹣9）=0，‎ 解得h=4，‎ 此时抛物线y=（x﹣4）2+2与射线CD只有唯一一个公共点为（3，3），符合题意，‎ 综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时，‎ 顶点横坐标h的取值范围为h=4或≤x＜；‎ ‎（3）设直线EF的解析式为y=kx+3（k≠0），‎ 点E．F的坐标分别为（m，m2），（n，n2），‎ 由得x2﹣kx﹣3=0，‎ ‎∴m+n=km•n=﹣3，‎ 作点E关于y轴的对称点R（﹣m，m2），作直线FR交y轴于点P，‎ 由对称性知∠EFP=∠FPQ，此时△PEF的内心在y轴上，‎ ‎∴点P即为所求的点．‎ 由F，R的坐标可得直线FR的解析式为y=（n﹣m）x+mn记y=（n﹣m）x﹣3，‎ 当x=0时，y=﹣3，‎ ‎∴p（0，﹣3），‎ ‎∴y轴的负半轴上存在点P（0，﹣3）使△PEF的内心在y轴上．‎ 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及三角形内心的特点，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．‎ ‎（2011湖北孝感，25，14分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中x 轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0．‎ ‎（1）求点E．F的坐标（用含的式子表示）；‎ ‎（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；‎ ‎（3）如图（2），设抛物线y=a（x﹣m﹣6）2+h经过A．E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a．h．m的值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=10，EF=DE，进而求出BF的长，即可得出E，F点的坐标；‎ ‎（2）分三种情况讨论：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可；‎ ‎（3）由E（m+10，3），A（m，8），代入二次函数解析式得出M点的坐标，再利用△AOB∽△AMG，求出m的值即可．‎ 解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD=CB=10，AB=DC=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，‎ 由折叠对称性：AF=AD=10，EF=DE，‎ 在Rt△ABF中，BF=＝＝6，‎ ‎∴CF=4，‎ 设EF=x，则EC=8﹣x，‎ 在Rt△ECF中，42+（8﹣x）2=x2，‎ 解得：x=5，‎ ‎∴CE=3，‎ ‎∵B（m，0），‎ ‎∴E（m+10，3），F（m+6，0）；‎ ‎（2）分三种情况讨论：‎ 若AO=AF，‎ ‎∵AB⊥OF，‎ ‎∴BO=BF=6，，‎ ‎∴m=6，‎ 若OF=FA，则m+6=10，‎ 解得：m=4，‎ 若AO=OF，在Rt△AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64，‎ ‎∴（m+6）2=m2+64，‎ 解得：m=，‎ ‎∴m=6或4或；‎ ‎（3）由（1）知：E（m+10，3），A（m，8）．‎ ‎∴，‎ 得，‎ ‎∴M（m+6，﹣1），‎ 设对称轴交AD于G，‎ ‎∴G（m+6，8），‎ ‎∴AG=6，GM=8﹣（﹣1）=9，‎ ‎∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，‎ ‎∴∠OAB=∠MAG，‎ ‎∵∠ABO=∠MGA=90°，‎ ‎∴△AOB∽△AMG，‎ ‎∴=，‎ 即：＝‎ ‎∴m=12，‎ 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论思想是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．‎ ‎（2011湖南常德，26，10分）如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）.‎ ‎ （1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；‎ ‎（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，列方程组求抛物线解析式；‎ ‎（2）求直线AC的解析式，确定E点坐标，根据对称性求F点坐标，分别求直线AF，CF的解析式，确定两直线与x轴的交点坐标，判断两个交点关于抛物线对称轴对称即可；‎ ‎（3）存在．由∠CFE=∠AFE=∠FAP，△AFP与△FDC相似时，顶点A与顶点F对应，根据 ‎△AFP∽△FDC，△AFP∽△FCD，两种情况求P点坐标．‎ 解答：（1）设经过A（0，6），B（2，0），C（7，）三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，‎ 则：‎ 解得 ‎∴ 此抛物线的解析式为 ‎ ‎（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N.‎ ‎∵抛物线的解析式可变形为 ‎∴抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，－2）.则AN=4.‎ 设直线AC的解析式为,‎ 则有，解得.‎ ‎∴ 直线AC的解析式为 当x=4时，‎ ‎∴点E的坐标为（4，4），‎ ‎∵点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，－8）‎ 设直线FC的解析式为,‎ 则有，解得.‎ ‎∴ 直线FC的解析式为 ‎∵AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6.‎ 当y=6时，则有解得x=8.‎ ‎∴AM=8,MN=AM—MN=4‎ ‎∴AN=MN ‎∵FN⊥AM ‎∴∠ANF=∠MNF 又NF=NF ‎∴△ANF≌△MNF ‎∴∠CFE=∠AFE ‎（3）∵C的坐标为（7，），F坐标为（4，－8）‎ ‎∴‎ ‎∵又A的坐标为（0，6），则，‎ 又DF=6，‎ 若△AFP∽△DEF ‎∵EF∥AO，则有∠PAF=∠AFE，‎ 又由（2）可知∠DFC=∠AFE ‎∴∠PAF=∠DFC 若△AFP1∽△FCD 则,即,解得P‎1A=8.‎ ‎∴O P1=8－6=2‎ ‎∴P1的坐标为（0，－2）.‎ 若△AFP2∽△FDC 则,即,解得P‎2A=.‎ ‎∴O P2=－6=.‎ ‎∴P2的坐标为（0，－）.‎ 所以符合条件的点P的坐标有两个，分别是P1（0，－2），P2（0，－）.‎ 点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，相似三角形的知识解题．http://www.czsx.com.http://www.czsx.com.cn