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  • 2021-05-10 发布

最新最全全国各地1份中考数学试卷分类汇编动态问题

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‎2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编 第44章 动态问题 一、选择题 ‎1. (2011安徽,10,4分)如图所示,P是菱形ABCD的对角线AC上一动点,过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点,设AC=2,BD=1,AP=x,△AMN的面积为y,则y关于x的函数图象的大致形状是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎ ‎2. (2011山东威海,12,3分)如图,‎ 在正方形ABCD中,AB=‎3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒‎1cm的速度运动,同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒‎3cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设△AMN的面积为y(cm2),运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( )‎ ‎【答案】B ‎3. (2011甘肃兰州,14,4分)如图,正方形ABCD的边长为1,E、F、G、H分别为各 边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x的函数图象大致是 A B C D E F G H x y ‎-1‎ O ‎1‎ x y ‎1‎ O ‎1‎ x y O ‎1‎ x y ‎1‎ O ‎1‎ ‎1‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎4. ‎ 二、填空题 ‎1.‎ ‎2. ‎ ‎3. ‎ ‎4. ‎ ‎5. ‎ 三、解答题 ‎1. (2011浙江省舟山,24,12分)已知直线(<0)分别交轴、轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为秒.‎ ‎(1)当时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1).‎ ‎① 直接写出=1秒时C、Q两点的坐标;‎ ‎② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似,求的值.‎ ‎(2)当时,设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D(如图2),‎ ‎① 求CD的长;‎ ‎② 设△COD的OC边上的高为,当为何值时,的值最大? ‎ ‎(第24题图2)‎ ‎(第24题图1)‎ ‎【答案】(1)①C(1,2),Q(2,0).‎ ‎②由题意得:P(t,0),C(t,-t+3),Q(3-t,0),‎ 分两种情形讨论:‎ 情形一:当△AQC∽△AOB时,∠AQC=∠AOB=90°,∴CQ⊥OA,‎ ‎∵CP⊥OA,∴点P与点Q重合,OQ=OP,即3-t=t,∴t=1.5.‎ 情形二:当△ACQ∽△AOB时,∠ACQ=∠AOB=90°,∵OA=OB=3,∴△AOB是等腰直角三角形,∴△ACQ是等腰直角三角形,∵CQ⊥OA,∴AQ=2CP,即t =2(-t +3),∴t=2.∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒.‎ ‎(2) ①由题意得:C(t,-+3),∴以C为顶点的抛物线解析式是,‎ 由,解得x1=t,x2=t;过点D作DE⊥CP于点E,则∠DEC=∠AOB=90°,DE∥OA,∴∠EDC=∠OAB,∴△DEC∽△AOB,∴,‎ ‎∵AO=4,AB=5,DE=t-(t-)=.∴CD=.‎ ‎②∵CD=,CD边上的高=.∴S△COD=.∴S△COD为定值;‎ 要使OC边上的高h的值最大,只要OC最短.‎ 因为当OC⊥AB时OC最短,此时OC的长为,∠BCO=90°,∵∠AOB=90°,∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA,又∵CP⊥OA,∴Rt△PCO∽Rt△OAB,‎ ‎∴,OP=,即t=,∴当t为秒时,h的值最大.‎ ‎2. (2011广东东莞,22,9分)如图,抛物线与y轴交于点A,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).‎ ‎(1)求直线AB的函数关系式;‎ ‎(2)动点P在线段OC上,从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动,过点P作⊥x轴,交直线AB于点M,抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;‎ ‎(3)设(2)的条件下(不考虑点P与点O,点G重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平等四边形?问对于所求的t的值,平行四边形BCMN是否为菱形?说明理由.‎ ‎【解】(1)把x=0代入,得 把x=3代入,得,‎ ‎ ∴A、B两点的坐标分别(0,1)、(3,)‎ 设直线AB的解析式为,代入A、B的坐标,得 ‎,解得 所以,‎ ‎(2)把x=t分别代入到和 分别得到点M、N的纵坐标为和 ‎∴MN=-()=‎ 即 ‎∵点P在线段OC上移动,‎ ‎∴0≤t≤3.‎ ‎(3)在四边形BCMN中,∵BC∥MN ‎∴当BC=MN时,四边形BCMN即为平行四边形 由,得 即当时,四边形BCMN为平行四边形 当时,PC=2,PM=,PN=4,由勾股定理求得CM=BN=,‎ 此时BC=CM=MN=BN,平行四边形BCMN为菱形;‎ 当时,PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=,‎ 此时BC≠CM,平行四边形BCMN不是菱形;‎ 所以,当时,平行四边形BCMN为菱形.‎ ‎3. (2011江苏扬州,28,12分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90º,AB0)‎ ‎(1)△PBM与△QNM相似吗?以图1为例说明理由;‎ ‎(2)若∠ABC=60º,AB=4厘米。‎ ‎① 求动点Q的运动速度;‎ ‎② 设Rt△APQ的面积为S(平方厘米),求S与t的函数关系式;‎ ‎(3)探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系,以图1为例说明理由。‎ ‎ ‎ ‎【答案】解:(1)△PBM与△QNM相似;‎ ‎∵MN⊥BC MQ⊥MP ∴ ∠NMB=∠PMQ=∠BAC =90º ‎∴∠PMB=∠QMN, ∠QNM=∠B =90º-∠C ‎∴ △PBM∽△QNM ‎(2)①∵∠ABC=60º,∠BAC =90º,AB=4,BP=t ‎∴AB=BM=CM=4,MN=4 ‎ ‎∵ △PBM∽△QNM ‎∴ 即:‎ ‎∵P点的运动速度是每秒厘米,‎ ‎∴ Q点运动速度是每秒1厘米。‎ ‎② ∵ AC=12,CN=8‎ ‎∴ AQ=12-8+t=4+t, AP=4-t ‎ ∴ S==‎ ‎(3) BP2+ CQ2 =PQ2‎ ‎ 证明如下: ∵BP=t, ∴BP2=3t2 ‎ ‎∵CQ=8-t ∴CQ2=(8-t)2=64-16t+t2‎ ‎∵PQ2=(4+t)2+3(4-t)2=4t2-16t+64‎ ‎∴BP2+ CQ2 =PQ2‎ ‎4. (2011山东德州23,12分)在直角坐标系xoy中,已知点P是反比例函数图象上一个动点,以P为圆心的圆始终与y轴相切,设切点为A.‎ ‎(1)如图1,⊙P运动到与x轴相切,设切点为K,试判断四边形OKPA的形状,并说明理由.‎ ‎(2)如图2,⊙P运动到与x轴相交,设交点为B,C.当四边形ABCP是菱形时:‎ ‎①求出点A,B,C的坐标.‎ ‎②在过A,B,C三点的抛物线上是否存在点M,使△MBP的面积是菱形ABCP面积的.若存在,试求出所有满足条件的M点的坐标,若不存在,试说明理由.‎ A P x y K O 图1‎ ‎【答案】解:(1)∵⊙P分别与两坐标轴相切,‎ ‎ ∴ PA⊥OA,PK⊥OK.‎ ‎ ∴∠PAO=∠OKP=90°.‎ ‎ 又∵∠AOK=90°,‎ ‎ ∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.‎ ‎ ∴四边形OKPA是矩形.‎ ‎ 又∵OA=OK,‎ ‎ ∴四边形OKPA是正方形.……………………2分 O A P x y B C 图2‎ G M ‎(2)①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为.‎ 过点P作PG⊥BC于G.‎ ‎∵四边形ABCP为菱形,‎ ‎∴BC=PA=PB=PC.‎ ‎∴△PBC为等边三角形.‎ 在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,[来源:学科网]‎ PG=.‎ sin∠PBG=,即.‎ 解之得:x=±2(负值舍去).‎ ‎∴ PG=,PA=BC=2.……………………4分 易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,‎ ‎∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3.‎ ‎∴ A(0,),B(1,0) C(3,0).……………………6分 设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c.‎ 据题意得:‎ 解之得:a=, b=, c=.‎ ‎∴二次函数关系式为:.……………………9分 ‎②解法一:设直线BP的解析式为:y=ux+v,据题意得:‎ ‎ ‎ 解之得:u=, v=.‎ ‎∴直线BP的解析式为:.‎ 过点A作直线AM∥PB,则可得直线AM的解析式为:.‎ 解方程组:‎ 得: ; .‎ 过点C作直线CM∥PB,则可设直线CM的解析式为:.‎ ‎ ∴0=. ‎ ‎ ∴.‎ ‎∴直线CM的解析式为:.‎ 解方程组:‎ 得: ; .‎ 综上可知,满足条件的M的坐标有四个,‎ 分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分 解法二:∵,‎ ‎∴A(0,),C(3,0)显然满足条件.‎ 延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.‎ 又∵AM∥BC,‎ ‎∴.‎ ‎∴点M的纵坐标为.‎ 又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4.‎ ‎∴点M(4,)符合要求.‎ 点(7,)的求法同解法一.‎ 综上可知,满足条件的M的坐标有四个,‎ 分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分 解法三:延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.‎ 又∵AM∥BC,‎ ‎∴.‎ ‎∴点M的纵坐标为.‎ 即.‎ 解得:(舍),.‎ ‎∴点M的坐标为(4,).‎ 点(7,)的求法同解法一.‎ 综上可知,满足条件的M的坐标有四个,‎ 分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分 ‎5. (2011山东菏泽,21,9分)如图,抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0).‎ ‎(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;‎ ‎(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;‎ ‎(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.‎ A B C D x y O ‎1‎ ‎1‎ 解:(1)把点A(-1,0)的坐标代入抛物线的解析式y=x2+bx-2,‎ ‎ 整理后解得,‎ 所以抛物线的解析式为 .‎ 顶点D. ‎ ‎(2)∵AB=5,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,‎ ‎ ∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形. ‎ ‎(3)作出点C关于x轴的对称点C′,则C′ (0,2),OC′=2.‎ 连接C′D交x轴于点M,‎ 根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD的值最小.‎ 设抛物线的对称轴交轴于点.‎ ‎△C′OM∽△DEM.‎ ‎∴.∴.∴m=.‎ ‎6. (2011山东济宁,23,10分)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧). 已知点坐标为(,).‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)过点作线段的垂线交抛物线于点, 如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;‎ ‎(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问:当点运动到什么位置时,的面积最大?并求出此时点的坐标和的最大面积. ‎ ‎(第23题)‎ ‎【答案】(1)解:设抛物线为.‎ ‎∵抛物线经过点(0,3),∴.∴.‎ ‎∴抛物线为. ……………………………3分 ‎ (2) 答:与⊙相交. …………………………………………………………………4分 证明:当时,,.‎ ‎ ∴为(2,0),为(6,0).∴.‎ 设⊙与相切于点,连接,则.‎ ‎∵,∴.‎ 又∵,∴.∴∽.‎ ‎∴.∴.∴.…………………………6分 ‎∵抛物线的对称轴为,∴点到的距离为2.‎ ‎∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分 ‎(3) 解:如图,过点作平行于轴的直线交于点.‎ 可求出的解析式为.…………………………………………8分 设点的坐标为(,),则点的坐标为(,).‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴当时,的面积最大为.‎ ‎ 此时,点的坐标为(3,). …………………………………………10分 ‎(第23题)‎ ‎7. (2011山东威海,25,12分)如图,抛物线交轴于点,点,交轴于点.点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线过点F且与轴平行.直线过点C,交轴于点D.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式;‎ ‎(2)点K为线段AB上一动点,过点K作轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;‎ ‎(3)在直线上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形,求点N的坐标.‎ 图① 备用图 ‎【答案】 解:(1)设抛物线的函数表达式 ‎∵抛物线与轴交于点,将该点坐标代入上式,得.‎ ‎∴所求函数表达式,即.‎ ‎(2)∵点C是点A关于点B的对称点,点,点,‎ ‎∴点C的坐标是.‎ 将点C的坐标是代入,得.‎ ‎∴直线CD的函数表达式为.‎ 设K点的坐标为,则H点的坐标为,G点的坐标为.‎ ‎∵点K为线段AB上一动点,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴当时,线段HG长度有最大值.‎ ‎(3)∵点F是线段BC的中点,点,点 ,‎ ‎∴点F的坐标为.‎ ‎∵直线过点F且与轴平行,‎ ‎∴直线的函数表达式为.‎ ‎∵点M在直线上,点N在抛物线上 ,‎ ‎∴设点M的坐标为,点N的坐标为.‎ ‎∵点,点 ,∴.‎ 分情况讨论:‎ ① 若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形的边,则须MN∥AC,且MN=AC=8.‎ 当点N在点M的左侧时,.‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴N点的坐标为.‎ 当点N在点M的右侧时,.‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴N点的坐标为.‎ ‎②若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的对角线,由“点C与点A关于点B中心对称”知:点M与点N关于点B中心对称.取点F关于点B对称点P,则点P的坐标为.过点P作NP⊥轴,交抛物线于点N.‎ 将代入,得.‎ 过点N,B作直线NB交直线于点M.‎ 在△BPN和△BFM中,‎ ‎∵‎ ‎∴△BPN≌△BFM.‎ ‎∴NB=MB.‎ ‎∴四边形点ANCM为平行四边形.‎ ‎∴坐标为的点N符合条件.‎ ‎∴当点N的坐标为,,时,以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形.‎ ‎8. (2011山东烟台,26,14分)如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=-x+,点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4).动点P自A点出发,在AB上匀速运行.动点Q自点B出发,在折线 BCD上匀速运行,速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点P运动t(秒)时,△OPQ的面积为s(不能构成△OPQ的动点除外).‎ ‎(1)求出点B、C的坐标;‎ ‎(2)求s随t变化的函数关系式;‎ ‎(3)当t为何值时s有最大值?并求出最大值.‎ O x y A B C D P Q O x y A B C D ‎(备用图1)‎ ‎90‎ ‎(备用图2)‎ ‎90‎ O x y A B C D ‎【答案】解:(1)把y=4代入y=-x+,得x=1.‎ ‎ ∴C点的坐标为(1,4). ‎ ‎ 当y=0时,-x+=0,‎ ‎∴x=4.∴点B坐标为(4,0).‎ ‎(2)作CM⊥AB于M,则CM=4,BM=3.‎ ‎∴BC===5.‎ ‎∴sin∠ABC==.‎ ‎①当0<t<4时,作QN⊥OB于N,‎ 则QN=BQ·sin∠ABC=t.‎ ‎∴S=OP·QN=(4-t)×t =-t2+t(0<t<4).‎ ‎②当4<t≤5时,(如备用图1),‎ 连接QO,QP,作QN⊥OB于N.‎ 同理可得QN=t.‎ ‎∴S=OP·QN=×(t-4)×t. =t2-t(4<t≤5).‎ ‎③当5<t≤6时,(如备用图2),‎ 连接QO,QP.‎ S=×OP×OD=(t-4)×4=2t-8(5<t≤6).‎ ‎(3)①在0<t<4时,‎ 当t==2时,‎ S最大==.‎ ‎②在4<t≤5时,对于抛物线S=t2-t,当t=-=2时,‎ S最小=×22-×2=-.‎ ‎∴抛物线S=t2-t的顶点为(2,-).‎ ‎∴在4<t≤5时,S随t的增大而增大.‎ ‎∴当t=5时,S最大=×52-×5=2.[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎③在5<t≤6时,‎ 在S=2t-8中,∵2>0,∴S随t的增大而增大.‎ ‎∴当t=6时,S最大=2×6-8=4.‎ ‎∴综合三种情况,当t=6时,S取得最大值,最大值是4.‎ ‎(说明:(3)中的②也可以省略,但需要说明:在(2)中的②与③的△OPQ,③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的面积.)‎ ‎9. (2011四川南充市,22,8分)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(m-4,0)和B(m,0),与直线y=-x+p相交于点A和点C(‎2m-4,m-6).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点P在抛物线上,且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12,求点P,Q的坐标;‎ ‎(3)在(2)条件下,若点M是x轴下方抛物线上的动点,当⊿PQM的面积最大时,请求出⊿PQM的最大面积及点M的坐标。‎ ‎【答案】解:(1)∵点A(m-4,0)和C(‎2m-4,m-6)在直线y=-x+p上 ‎∴解得:‎ ‎∴A(-1,0) B(3,0), C(2,-3) ‎ 设抛物线y=ax2+bx+c=a(x-3)(x+1),‎ ‎∵C(2,-3) ∴a=1‎ ‎∴抛物线解析式为:y=x2-2x-3‎ ‎(2)AC=3,AC所在直线的解析式为:y=-x-1,∠BAC=450‎ ‎∵平行四边形ACQP的面积为12.‎ ‎∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2‎ 过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K,DK= 2,∴DN=4‎ ‎∵ACPQ,PQ所在直线在直线ACD的两侧,可能各有一条,‎ ‎∴PQ的解析式或为y=-x+3或y=-x-5‎ ‎∴解得:或 ‎,此方程组无解.‎ 即P1(3,0), P2(-2,5) ‎ ‎∵ACPQ是平行四边形 ,A(-1,0) C(2,-3)‎ ‎∴当P(3,0)时,Q(6,-3)‎ 当P(-2,5)时,Q(1,2) ‎ ‎∴满足条件的P,Q点是P1(3,0), Q1(6,-3)或 P2(-2,5),Q2(1,2)‎ (1) 设M(t,t2-2t-3),(-1<t<3),过点M作y轴的平行线,交PQ所在直线雨点T,则T(t,-t+3)‎ MT=(-t+3)-( t2-2t-3)=- t2+t+6‎ 过点M作MS⊥PQ所在直线于点S,‎ MS=MT= (- t2+t+6)=- (t-)2+‎ ‎∴当t=时,M(,-),⊿PQM中PQ边上高的最大值为 ‎10.(2011 浙江杭州,24, 12)图形既关于点O中心对称,又关于直线AC,BD对称,AC=10,BD=6,已知点E,M是线段AB上的动点(不与端点重合),点O到EF,MN的距离分别为,.△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形.[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎(1)求蝶形面积S的最大值;‎ ‎(2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时,求与满足的关系式,并求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 如图,设EF与AC交于点K,由△OEF∽△ABD,得,,‎ ‎,,整理得,当时,蝶形面积S的最大,最大值为.‎ ‎(2) 如图,设MN与AC交于点L,由(1)得,则,‎ ‎ ‎ 由OK2+EK2=OE2,OL2+ML2=OM2,得OK2+EK2=OL2+ML2,,整理得,当点E,M不重合时,,.当OE⊥AB时,,所以 ‎2)当点重合时,则,此时的取值范围为.‎ 解法二:(1)由题意,得四边形是菱形.‎ 由,得,,即 所以当时,.‎ ‎(2)根据题意,得.‎ 如图,作于, 关于对称线段为,‎ ‎1)当点不重合时,则在的两侧,易知.‎ ‎,‎ 由,得 ‎,即 ‎,此时的取值范围为且 ‎2)当点重合时,则,此时的取值范围为.‎ ‎11. (2011 浙江湖州,24,14)如图1.已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.‎ ‎(1) 求点D的坐标(用含m的代数式表示);‎ ‎(2) 当△APD是等腰三角形时,求m的值;‎ ‎(3) 设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2).当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过 的路径长.(不必写解答过程)‎ ‎【答案】解:(1)由题意得CM=BM,∵∠PMC=∠DMB,∴Rt△PMC≌Rt△DMB,∴DB=PC,∴DB=2-m,AD=4-m,∴点D的坐标为(2,4-m).‎ ‎(2)分三种情况:①若AP=AD,则,解得.‎ ② 若PD=PA,过P作PF⊥AB于点F(如图),则AF=FD,,又OP=AF,∴,解得,‎ ③ 若DP=DA,∵△PMC≌△DMB,∴,∵,∴, 解得.‎ 综上所述,当△APD是等腰三角形时,过m的值为.‎ ‎(3)点H经过的路径长为.‎ ‎12. (2011宁波市,26,10分)如图.平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(-2,2),点B的坐标为(6,6),抛物线经过A、O、B三点,线段AB交y轴与点E.‎ ‎(1)求点E的坐标;‎ ‎(2)求抛物线的函数解析式;‎ ‎(3)点F为线段OB上的一个动点(不与O、B重合),直线EF 与抛物线交与M、N两点(点N在y轴右侧),连结ON、BN,当点F在线段OB上运动时,求BON的面积的最大值,并求出此时点N的坐标;‎ ‎(4)连结AN,当BON的面积的最大时,在坐标平面内使得BOP与OAN相似(点B、O、N对应)的点P的坐标.‎ ‎【答案】26.解:(1)设直线AB的函数解析式为y=mx+n 将点A(-2,2),B(6,6)代入得:‎ 得m=,n=3‎ ‎∴y=x+3‎ 当x=0时y=3 ∴E(0,3)‎ 设抛物线的函数解析式为y=ax+bx 将A(-2,2)B(6,6)代入得解得a=,b=- ‎∴抛物线的解析式为y=x2-x ‎(3)‎ 过点N做x轴的垂线NG,垂足为G,交OB于点Q,过B作BH⊥x轴于H,设N(x, x2-x)‎ 则Q(x,x)‎ 则SBON = SBON + SBON ‎ ‎=×QN×OG+×QN×HG ‎=×QN×(OG+HG)=×QN×OH=〔x-(x2-x) 〕×6=-x2+x=-(x-3)2+(0<x<6)‎ ‎∴当x=3时,BON面积最大,最大值为 此时点N的坐标为(3, )‎ ‎(4)过点A作AS⊥GQ于S ‎∵A(-2,2),B(6,6),N(3, )‎ ‎∴∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°,OG=3,NG=,NS=,AS=5‎ 在RtSAN 和RtNOG中 ‎∴tan∠SAN= tan∠NOG= ‎∴∠SAN=∠NOG ‎∴∠OAS-∠ASN=∠BOG-∠NOG ‎∴∠OASN=∠BON ‎∴ON的延长线上存在一点P,使BOP~OAN ‎∵A(-2,2), N(3, )‎ 在RtASN中 AN== 当BOP~OAN时 = ∴= ∴OP= 过点P作PT⊥x轴于点T ‎∴OPT~ONG ∴== 设P(4t,t)在在RtPOT中,有(4t)2+t2=()2‎ ‎∴t1= ,t2=-(舍)‎ ‎∴点P的坐标为(15,)‎ 将OBP沿直线OB返折,可得出另一个满足条件的点(,15),由以上推理可知,当点P的坐标为(15,)或(,15)时BOP与OAN相似.‎ ‎13. (2011浙江衢州,24,12分)已知两直线分别经过点,点 ‎,并且当两条直线同时相交于轴正半轴的点时,恰好有,经过点的抛物线的对称轴于直线交于点,如图所示.‎ 求点的坐标,并求出抛物线的函数解析式. ‎ 抛物线的对称轴被直线,抛物线,直线和轴依次截得三条线段,问这三条线段有何数量关系?请说明理由.‎ 当直线绕点旋转时,与抛物线的另一个交点为.请找出使为等腰三角形的点.简述理由,并写出点的坐标.‎ ‎(第24题)‎ ‎【答案】(1)解法1:由题意易知 由题意,可设抛物线的函数解析式为.‎ 把的坐标分别代入,得 解这个方程组,得 抛物线的函数解析式为 解法2:由勾股定理,得 又 由题意可设抛物线的函数解析式为把代入函数解析式得 所以抛物线的函数解析式为 ‎(2)解法1:截得三条线段的数量关系为 理由如下:‎ 可求得直线的解析式为,直线的解析式为,抛物线的对称轴为直线.由此可求得点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为.‎ 解法2:截得三条线段的数量关系为 理由如下:‎ 由题意可知则可得 ‎.‎ 由顶点的坐标为得,‎ ‎(3)解法1:(i)以点为圆心,线段长为半径画圆弧,交抛物线于点,由抛物线的对称性可知点为点关于直线的对称点.‎ 所以点的坐标为,此时,为等腰三角形.‎ ‎(ii)当以点为圆心,线段长为半径画圆弧时,与抛物线交点为点和点,而三点在同一直线上,不能构成三角形.‎ ‎(iii)作线段的中垂线,由点是的中点,且,可知经过点, ‎ 此时,有点即点坐标为,使为等腰三角形.‎ 与抛物线的另一交点即为 ‎ 综上所述,当点的坐标为 时,为等腰三角形 解法2:当点的坐标分别为 ‎ 理由如下:‎ ‎(i)链接,交抛物线于点,易知点的坐标为 .‎ 又点的坐标为,则 ‎ ‎ 可求得,且,即为正三角形.‎ 为正三角形 ‎ 当与抛物线交于点,即时,符合题意,此时点的坐标为 ‎(ii)连接,由,易知为等腰三角形 当过抛物线顶点于点时,符合题意,此时点的坐标为.‎ ‎(iii)当点在抛物线对称轴右边时,只有点与点重合时,满足,但此时,三点在同一直线上,不能构成三角形.‎ 综上所述,当点的坐标分别为时,为等腰三角形. ‎ ‎14. (2011浙江绍兴,24,14分)抛物线与轴交于点,顶点为,对称轴与轴交于点.‎ ‎(1)如图1,求点的坐标及线段的长;‎ ‎(2)点在抛物线上,直线交轴于点,连接.‎ ‎①若含45°角的直线三角板如图2所示放置,其中,一个顶点与重合,直角顶点在上,另一顶点在上,求直线的函数解析式;‎ ‎②若含30°角的直角三角板一个顶点与点重合,直角顶点在直线上,另一个顶点在上,求点的坐标. ‎ 第24题图2‎ 第24题图1‎ ‎【答案】解:(1)把代入得,‎ 点,‎ 为对称轴,,‎ ‎.‎ ‎(2)①如图1,过点作轴,交轴于点,‎ 过点作,交于点,‎ 四边形为矩形,‎ 四边形为正方形,‎ 为等腰直角三角形,‎ 设直线的函数解析式为,‎ 直线上两点的坐标为,‎ 代入求得,‎ 直线的函数解析式为.‎ ‎②当点 ‎15. (2011浙江台州,24,14分)已知抛物线与y轴交于点A,它的顶点为B,点A、B关于原点O的对称点分别是点C、D。若点A、B、C、D中任何三点都不在一直线上,则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形,直线AB为抛物线的伴随直线。‎ ‎(1)如图1,求抛物线的伴随直线的解析式;‎ ‎(2)如图2,若(m>0)的伴随直线是y=x-3,伴随四边形的面积为12,求此抛物线的解析式;‎ ‎(3)如图3,若抛物线的伴随直线是y=-2x+b(b>0),且伴随四边形ABCD是矩形。‎ ‎① 用含b的代数式表示m,n的值;‎ ‎② 在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBD是一个等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标(用含b的代数式);若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b.由题意,得:A(0,5),B(2,1)‎ ‎ ∴ ∴k=-2 ,b=5‎ ‎ ∴直线AB的解析式为y=-2x+5‎ ‎ (2) 由伴随直线是y=x-3,得:A(0,-3),C(0,3) ∴ AC=6‎ ‎ 由伴随四边形的面积为12,得:△ABC的面积为6= ‎ ‎ ∴m=±2 ∵m>0 ∴m=2‎ ‎ 当m=2时,y=-1,顶点为(2,-1), 且过点C(0,3)‎ ‎∴抛物线的解析式为y=。‎ ‎ (3) ① 如图,作BE⊥x轴,‎ 由题意,得:‎ ‎ A(0,b),C (0,-b)‎ ‎∵抛物线的顶点B(m,n)在y=-2x+b(b>0)上,‎ ‎∴n=‎-2m+b B(m, ‎-2m+b)‎ 在矩形ABCD中,OC=OB ‎ ‎∴OC2=OB2‎ 即:‎ ‎∴m(‎5m-4b)=0‎ ‎∴m1=0(舍去),m2=‎ ‎∴n=‎-2m+b=‎ ‎∴ ,;‎ ‎ ② 存在,有4个点:(,),( ,),( ,),( ,)‎ ‎16. (2011浙江义乌,24,12分)已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为直线x=4. 设顶点为 点P,与x轴的另一交点为点B.‎ ‎(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;‎ ‎(2)如图1,在直线 y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动,过点M作直线MN∥x轴,交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN. 在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式. ‎ O P C B A x y 图1‎ 图2‎ M O A x P N C B y ‎【答案】(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c ‎ 由题意得 解得 ‎ ∴二次函数的解析式为y= x2-8x+12‎ ‎ 点P的坐标为(4,-4) ‎ ‎(2)存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下:‎ DO x A O B C P y 当y=0时,x2-8x+12=0 ∴x1=2 , x2=6‎ ‎∴点B的坐标为(6,0)‎ 设直线BP的解析式为y=kx+m ‎ 则 解得 ‎ ∴直线BP的解析式为y=2x-12‎ ‎ ∴直线OD∥BP ‎ ∵顶点坐标P(4, -4) ∴ OP=4‎ ‎ 设D(x,2x) 则BD2=(2x)2+(6-x)2‎ ‎ 当BD=OP时,(2x)2+(6-x)2=32‎ ‎ 解得:x1=,x 2=2‎ ‎ 当x2=2时,OD=BP=,四边形OPBD为平行四边形,舍去 ‎ ∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形 ‎ ∴当D(,)时,四边形OPBD为等腰梯形 ‎(3)① 当0<t≤2时,‎ x P1‎ M A O B C P N y H ‎∵运动速度为每秒个单位长度,运动时间为t秒,‎ 则MP=t ∴PH=t,MH=t,HN=t ∴MN=t ‎∴S=t·t·=t2 ‎ ‎ ② 当2<t<4时,P‎1G=2t-4,P1H=t ‎ ‎x P1‎ M A O B C P N G H E F y ‎∵MN∥OB ∴ ∽‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎ ∴ =3t2-12t+12‎ ‎∴S=t2-(3t2-12t+12)= -t2+12t-12‎ ‎∴ 当0<t≤2时,S=t2‎ ‎ 当2<t<4时,S=-t2+12t-12 。‎ ‎17. (2011四川重庆,26,12分)如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=2,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP=3.一动点E从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动,到达A点后,立即以原速度沿AO返回;另一动点F从P点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动,点E、F同时出发,当两点相遇时停止运动.在点E、F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧,设动动的时间为t秒(t≥0).‎ ‎(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;‎ ‎(2)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;‎ ‎(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使△AOH是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时(如图),∠CFB=60°,BF=3-t,在Rt△CBF中,BC=2,∴tan∠CFB=,∴tan 60°=,∴BF=2,∴t=3-t =2,∴t=1.‎ ‎ (2)当0≤t<1时,S= 2 t+4;当1≤t<3时,S= t 2+3 t+;当3≤t<4时,S= -4 t+20;当4≤t<6时,S= t2-12 t+36.‎ ‎(3)存在,理由如下:‎ ‎ 在Rt△ABC中,tan∠CAB==,∴∠CAB=30°.‎ 又∵∠HEO=60°,∴∠HAE=∠AHE=30°.‎ ‎∴AE=HE=3-t或t-3.‎ ‎(ⅰ)当AH=AO=3时(如图②),过点E作EM⊥AH于M,则AM=AH=.‎ 在Rt△AME中,cos∠MAE=,即cos 30°=,∴AE=,‎ 即3-t=或t-3=,t=3-或3+. ‎ ‎(ⅱ)当HA=HO时(如图③),则∠HOA=∠HAO=30°,‎ 又∵∠HEO=60°,∴∠EHO=90°.‎ ‎∴EO=2HE=2AE.又∵AE+EO=3,∴AE+2AE=3.‎ ‎∴AE=1.即3-t=1或t-3=1,t=2或4. ‎ ‎(ⅲ)当OH=OA时(如图④),则∠OHA=∠OAH=30°,‎ ‎∴∠HOB=60°=∠HEB.∴点E和O重合,∴AE=3.‎ 即3-t=3或t-3=3,t=6(舍去)或t=0.‎ ‎ ‎ 综上所述,存在5个这样的值,使△AOH是等腰三角形,即: t=3-或t=3+或t=2或t=4或t=0. ‎ ‎18. (2011浙江省嘉兴,24,14分)已知直线(<0)分别交轴、轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为秒.‎ ‎(1)当时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1).‎ ‎① 直接写出=1秒时C、Q两点的坐标;‎ ‎② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似,求的值.‎ ‎(2)当时,设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D(如图2),‎ ‎① 求CD的长;‎ ‎② 设△COD的OC边上的高为,当为何值时,的值最大? ‎ ‎(第24题图2)‎ ‎(第24题图1)‎ ‎【答案】(1)①C(1,2),Q(2,0).‎ ‎②由题意得:P(t,0),C(t,-t+3),Q(3-t,0),‎ 分两种情形讨论:‎ 情形一:当△AQC∽△AOB时,∠AQC=∠AOB=90°,∴CQ⊥OA,‎ ‎∵CP⊥OA,∴点P与点Q重合,OQ=OP,即3-t=t,∴t=1.5.‎ 情形二:当△ACQ∽△AOB时,∠ACQ=∠AOB=90°,∵OA=OB=3,∴△AOB是等腰直角三角形,∴△ACQ是等腰直角三角形,∵CQ⊥OA,∴AQ=2CP,即t =2(-t +3),∴t=2.∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒.‎ ‎(2) ①由题意得:C(t,-+3),∴以C为顶点的抛物线解析式是,‎ 由,解得x1=t,x2=t;过点D作DE⊥CP于点E,则∠DEC=∠AOB=90°,DE∥OA,∴∠EDC=∠OAB,∴△DEC∽△AOB,∴,‎ ‎∵AO=4,AB=5,DE=t-(t-)=.∴CD=.‎ ‎②∵CD=,CD边上的高=.∴S△COD=.∴S△COD为定值;‎ 要使OC边上的高h的值最大,只要OC最短.‎ 因为当OC⊥AB时OC最短,此时OC的长为,∠BCO=90°,∵∠AOB=90°,∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA,又∵CP⊥OA,∴Rt△PCO∽Rt△OAB,‎ ‎∴,OP=,即t=,∴当t为秒时,h的值最大.‎ ‎19. (2011福建泉州,25,12分)在直角坐标系xoy中,已知点P是反比例函数 图象上一个动点,以P为圆心的圆始终与y轴相切,设切点为A.‎ ‎(1)如图1,⊙P运动到与x轴相切,设切点为K,试判断四边形OKPA的形状,并说明理由.‎ ‎(2)如图2,⊙P运动到与x轴相交,设交点为B,C.当四边形ABCP是菱形时:‎ ‎①求出点A,B,C的坐标.‎ A P x y K O 第25题 图1‎ ‎②在过A,B,C三点的抛物线上是否存在点M,使△MBP的面积是菱形ABCP面积的.若存在,试求出所有满足条件的M点的坐标,若不存在,试说明理由.‎ ‎[来源:学*科*网]‎ ‎【答案】解:(1)∵⊙P分别与两坐标轴相切,‎ ‎ ∴ PA⊥OA,PK⊥OK.‎ ‎ ∴∠PAO=∠OKP=90°.‎ ‎ 又∵∠AOK=90°,‎ ‎ ∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.‎ ‎ ∴四边形OKPA是矩形.‎ ‎ 又∵OA=OK,‎ ‎ ∴四边形OKPA是正方形.……………………2分 ‎(2)①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为.‎ O A P x y B C 图2‎ G M 过点P作PG⊥BC于G.‎ ‎∵四边形ABCP为菱形,‎ ‎∴BC=PA=PB=PC.‎ ‎∴△PBC为等边三角形.‎ 在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,‎ PG=.‎ sin∠PBG=,即.‎ 解之得:x=±2(负值舍去).‎ ‎∴ PG=,PA=BC=2.……………………4分 易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,‎ ‎∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3.‎ ‎∴ A(0,),B(1,0) C(3,0).……………………6分 设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c.‎ 据题意得:‎ 解之得:a=, b=, c=.‎ ‎∴二次函数关系式为:.……………………9分 ‎②解法一:设直线BP的解析式为:y=ux+v,据题意得:‎ ‎ ‎ 解之得:u=, v=.‎ ‎∴直线BP的解析式为:.‎ 过点A作直线AM∥PB,则可得直线AM的解析式为:.‎ 解方程组:‎ 得: ; .‎ 过点C作直线CM∥PB,则可设直线CM的解析式为:.‎ ‎ ∴0=. ‎ ‎ ∴.‎ ‎∴直线CM的解析式为:.‎ 解方程组:‎ 得: ; .‎ 综上可知,满足条件的M的坐标有四个,‎ 分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分 解法二:∵,‎ ‎∴A(0,),C(3,0)显然满足条件.‎ 延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.‎ 又∵AM∥BC,‎ ‎∴.‎ ‎∴点M的纵坐标为.‎ 又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4.‎ ‎∴点M(4,)符合要求.‎ 点(7,)的求法同解法一.‎ 综上可知,满足条件的M的坐标有四个,‎ 分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分 解法三:延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.‎ 又∵AM∥BC,‎ ‎∴.‎ ‎∴点M的纵坐标为.‎ 即.‎ 解得:(舍),.‎ ‎∴点M的坐标为(4,).‎ 点(7,)的求法同解法一.‎ 综上可知,满足条件的M的坐标有四个,‎ 分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分 ‎20.(2011福建泉州,26,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴交于点A, 与y轴交于点B, 且OA = 3,AB = 5.点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BO-OP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).‎ ‎(1)求直线AB的解析式;‎ ‎(2)在点P从O向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t之间的函数关系式(不必写出t的取值范围); ‎ ‎(3)在点E从B向O运动的过程中,完成下面问题:‎‎(第26题)‎ ‎①四边形QBED能否成为直角梯形?若能,请求出t的值;‎ 若不能,请说明理由;‎ ‎②当DE经过点O时,请你直接写出t的值.‎ ‎【答案】解:解:(1)在Rt△AOB中,OA = 3,AB = 5,由勾股定理得.‎ ‎∴A(3,0),B(0,4).‎ 设直线AB的解析式为.‎ ‎∴ 解得 ‎ ‎∴直线AB的解析式为.…………2分 ‎(2)如图,过点Q作QF⊥AO于点F.‎ ‎∵ AQ = OP= t,∴.‎ 由△AQF∽△ABO,得. ‎ ‎∴.∴. …………2分 ‎∴,‎ ‎∴.………………………4分 ‎(3)四边形QBED能成为直角梯形.‎ ‎ ①如图,当DE∥QB时,‎ ‎ ∵DE⊥PQ,‎ ‎∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形.‎ ‎ 此时∠AQP=90°.‎ 由△APQ ∽△ABO,得.‎ ‎∴. ‎ 解得. ……………………………6分 ‎②如图,当PQ∥BO时,‎ ‎∵DE⊥PQ,‎ ‎∴DE⊥BO,四边形QBED是直角梯形.‎ 此时∠APQ =90°.‎ 由△AQP ∽△ABO,得 ‎ 即.‎ 解得. ………………………10分 ‎ ‎(4)或. ………………………14分 ‎21. (2011湖南常德,26,10分)如图11,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(7,).‎ ‎ (1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若D是抛物线的顶点,E是抛物线的对称轴与直线AC的交点,F与E关于D对称,求证:∠CFE=∠AFE;‎ O ‎ A ‎ B ‎ E ‎ 图 11‎ D ‎ F ‎ C ‎ ‎ y x ‎ N M ‎(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似,若有,请求出所有合条件的点P的坐标;若没有,请说明理由.‎ 解:(1)抛物线经过点A(0,6),B(2,0),C(7,)的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,‎ 则:‎ 解得 ‎∴ 此抛物线的解析式为 ‎ ‎(2)过点A作AM∥x轴,交FC于点M,交对称轴于点N.‎ ‎∵抛物线的解析式可变形为 ‎∴抛物线对称轴是直线x =4,顶点D的坐标为(4,-2).则AN=4.‎ 设直线AC的解析式为,‎ 则有,解得.‎ ‎∴ 直线AC的解析式为 当x=4时,‎ ‎∴点E的坐标为(4,4),‎ ‎∵点F与E关于点D对称,则点F的坐标为(4,-8)‎ 设直线FC的解析式为,‎ 则有,解得.‎ ‎∴ 直线AC的解析式为 ‎∵AM与x轴平行,则点M的纵坐标为6.‎ 当y=6时,则有解得x=8.‎ ‎∴AM=8,MN=AM—MN=4‎ ‎∴AN=MN ‎∵FN⊥AM ‎∴∠ANF=∠MNF 又NF=NF ‎∴△ANF≌△MNF ‎∴∠CFE=∠AFE ‎(3)∵C的坐标为(7,),F坐标为(4,-8)‎ ‎∴‎ ‎∵又A的坐标为(0,6),则,‎ 又DF=6,‎ 若△AFP∽△DEF ‎∵EF∥AO,则有∠PAF=∠AFE,‎ 又由(2)可知∠DFC=∠AFE ‎∴∠PAF=∠DFC 若△AFP1∽△FCD 则,即,解得P1A=8.‎ ‎∴O P1=8-6=2‎ ‎∴P1的坐标为(0,-2).‎ 若△AFP2∽△FDC 则,即,解得P2A=.‎ ‎∴O P2=-6=.‎ ‎∴P2的坐标为(0,-).‎ 所以符合条件的点P的坐标不两个,分别是P1(0,-2),P2(0,-).‎ ‎22. (2011湖南邵阳,24,12分)如图(十一)所示,在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(,0),点C(0,3)点B是x轴上一点(位于点A右侧),以AB为直径的圆恰好经过点C。‎ ‎(1)求角ACB的度数;‎ ‎(2)已知抛物线y=ax2+bx+3经过A,B两点,求抛物线的解析式;‎ ‎(3)线段BC上是否存在点D,使△BOD为等腰三角形?若存在,则求出所有符合条件的点D的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】解:(1)90°;‎ ‎(2)Rt△ABC中,∵OA×OB=OC 2,‎ ‎∴OB=4.‎ 抛物线为y=a(x-4)(x+)= ax2+bx+3,‎ 比较常数项得a=,抛物线的方程为y=(x-4)(x+)。‎ (1) 存在。‎ 直线BC的方程为3x+4y=12,设点D(x,y)。‎ ‎①若BD=OD,则点D在OB的中垂线上,点D横坐标为2,纵坐标为,即D1(2,)为所求。‎ ‎②若OB=BD=4,则,,‎ 得y=,x=,点D2(,)为所求。‎ ‎23. (2011江苏苏州,29,10分)已知二次函数y=a(x2-6x+8)(a>0)的图象与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.‎ ‎(1)如图①,连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上,求实数a的值;‎ ‎(2)如图②,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现一个正确的命题:“若点P是边EH或边HG上的任意一点,则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形).”若点P是边EF或边FG上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程;‎ ‎(3)如图②,当点P在抛物线对称轴上时,设点P的纵坐标t是大于3‎ 的常数,试问:是否存在一个正数a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能够成平行四边形)?请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)令y=0,由a(x2-6x+8)=0解得x1=2,x2=4;‎ 令x=0,解得y=8a.‎ ‎∴点A、B、C的坐标分别是(2,0)、(4,0)、(0,8a),‎ 该抛物线对称轴为直线x=3.‎ ‎∴OA=2,‎ 如图①,设抛物线对称轴与x轴的交点为M,则AM=1.‎ 由题意得O′A=OA=2.‎ ‎∴O′A=2AM,∴∠O′AM=60°.‎ ‎∴∠OAC=∠ O′AC=60°.‎ ‎∴OC=·AO=2,即8a=2,∴a=.‎ ‎(2)若点P是边EF或边FG上的任意一点,结果同样成立.‎ ‎(I)如图②,设P是边EF上的任意一点(不与点E重合),连接PM.‎ ‎∵点E(4,4)、F(4,3)与点B(4,0)在一直线上,点C在y轴上,‎ ‎∴PB<4,PC≥4,∴PC>PB.‎ 又PD>PM>PB,PA>PM>PB,‎ ‎∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,‎ ‎∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.‎ ‎(II)设P是边FG上的任意一点(不与点G重合),‎ 点F的坐标是(4,3)点G的坐标是(5,3).‎ ‎∴FB=3,GB=,∴3≤PB<,‎ ‎∵PC≥4,∴PC>PB.‎ 又PD>PM>PB,PA>PM>PB,‎ ‎∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,‎ ‎∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.‎ ‎(3)存在一个正数a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能够成平行四边形).‎ 如图③,∵点A、B是抛物线与x轴交点,点P在抛物线对称轴上,‎ ‎∴PA=PB.‎ ‎∴当PC=PD时,线段PA、PB、PC、PD能构成平行四边形.‎ ‎∵点C的坐标是(0,8a),点D的坐标为(3,-a),点P的坐标是(3,t),‎ ‎∴PC2=32+(t-8a)2,PD2=(t+a)2,‎ 由PC=PD得PC2=PD2,∴32+(t-8a)2=(t+a)2,‎ 整理得7a2-2ta+1=0,∴△=4t2-28.‎ ‎∵t是大于3的常数,∴△=4t2-28>0,‎ ‎∴方程7a2-2ta+1=0有两个不相等的实数根a==,‎ 显然,a=>0,满足题意.‎ ‎∴当t是一个大于3的常数时,存在一个正数a=,使得线段PA、PB、PC、PD 能构成平行四边形.‎ ‎24. (2011江苏宿迁,27,12分)如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为AB的中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t(0≤t≤2),线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N,过Q作QE⊥AB于点E,过M作MF⊥BC于点F.‎ ‎ (1)当t≠1时,求证:△PEQ≌△NFM;‎ ‎ (2)顺次连接P、M、Q、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量t之间的函数关系式,并求S的最小值.‎ ‎(第27题)‎ ‎【答案】‎ 解:(1)∵四边形ABCD是正方形 ‎∴∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB ‎∵QE⊥AB,MF⊥BC ‎∴∠AEQ=∠MFB=90°[来源:学。科。网]‎ ‎ ∴四边形ABFM、AEQD都是矩形 ‎ ∴MF=AB,QE=AD,MF⊥QE ‎ 又∵PQ⊥MN ‎∴∠EQP=∠FMN 又∵∠QEP=∠MFN=90°‎ ‎∴△PEQ≌△NFM.‎ ‎ (2)∵点P是边AB的中点,AB=2,DQ=AE=t ‎∴PA=1,PE=1-t,QE=2‎ 由勾股定理,得PQ==‎ ‎∵△PEQ≌△NFM ‎∴MN=PQ=‎ 又∵PQ⊥MN ‎∴S===t2-t+‎ ‎∵0≤t≤2‎ ‎∴当t=1时,S最小值=2.‎ 综上:S=t2-t+,S的最小值为2.‎ ‎25. (2011山东济宁,23,10分)如图,第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A,作直径AD,过点D作⊙C的切线l交x轴于点B,P为直线l上一动点,已知直线PA的解析式为:.‎ ‎(1)设点P的纵坐标为p,写出p随k变化的函数关系式;‎ ‎(2)设⊙C与PA交于点M,与AB交于点N,则不论动点P处于直线l上(除点B以外)的什么位置时,都有△AMN∽△ABP,请你对于点P处于图中位置时的两个三角形相似给予证明;‎ ‎(3)是否存在使△AMN的面积等于的k倍?若存在,请求出符合条件的k值;若不存在,请说明理由.‎ A B C D M P l N O 第23题 ‎[来源:学科网]‎ ‎【答案】解:(1)∵y轴和直线l都是⊙C的切线,‎ ‎∴OA⊥AD,BD⊥AD,又OA⊥OB,‎ ‎∴∠AOB=∠OAD=∠ADB= 90°,‎ ‎ ∴四边形OADB是矩形,‎ ‎ ∵⊙C的半径为2,∴AD=OB,‎ ‎ ∵点P在直线l上,∴点P的坐标为(4,p)‎ ‎ 又∵点P也在直线AP上,∴p=4k+3.‎ ‎   (2)连接DN,∵AD是⊙C的直径,∴∠AND= 90°,‎ ‎ ∵∠ADN= 90°—∠DAN,∠ABD= 90°—∠DAN,‎ ‎ ∴∠ADN=∠ABD,‎ ‎∵∠ADN=∠AMN,∴∠AMN=∠ABD,‎ 又∵∠MAN=∠BAP,‎ ‎ ∴△AMN∽△ABP.‎ ‎(3)存在.‎ 理由:把x=0代入y=kx+3得y=3,即OA=BD=3,‎ 在Rt△ABD中,由勾股定理得,‎ ‎∵S△ABD=,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵△AMN∽△ABP.‎ ‎∴,‎ 即,‎ 当点P在B点上方时,‎ ‎∵,或 ‎,‎ ‎∴.‎ 整理得,解得,,‎ 当点P在B点下方时,‎ ‎∵,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ 化简,得,解得,‎ 综合以上所述得,当或时,△AMN的面积等于.‎ ‎26. (2011广东汕头,22,9分)如图,抛物线与y轴交于点A,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).‎ ‎(1)求直线AB的函数关系式;‎ ‎(2)动点P在线段OC上,从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动,过点P作⊥x轴,交直线AB于点M,抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;‎ ‎(3)设(2)的条件下(不考虑点P与点O,点G重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平等四边形?问对于所求的t的值,平行四边形BCMN是否为菱形?说明理由.‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【解】(1)把x=0代入,得 把x=3代入,得,‎ ‎ ∴A、B两点的坐标分别(0,1)、(3,)‎ 设直线AB的解析式为,代入A、B的坐标,得 ‎,解得 所以,‎ ‎(2)把x=t分别代入到和 分别得到点M、N的纵坐标为和 ‎∴MN=-()=‎ 即 ‎∵点P在线段OC上移动,‎ ‎∴0≤t≤3.‎ ‎(3)在四边形BCMN中,∵BC∥MN ‎∴当BC=MN时,四边形BCMN即为平行四边形 由,得 即当时,四边形BCMN为平行四边形 当时,PC=2,PM=,PN=4,由勾股定理求得CM=BN=,‎ 此时BC=CM=MN=BN,平行四边形BCMN为菱形;‎ 当时,PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=,‎ 此时BC≠CM,平行四边形BCMN不是菱形;‎ 所以,当时,平行四边形BCMN为菱形.‎ ‎27. (2011四川成都,28,12分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的A、B两个顶点在x轴上,顶点C在y轴的负半轴上.已知,,△ABC的面积,抛物线 经过A、B、C三点.‎ ‎ (1)求此抛物线的函数表达式;‎ ‎ (2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点,过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F,过点F作FG垂直于x轴于点G,再过点E作EH垂直于x轴于点H,得到矩形EFGH.则在点E的运动过程中,当矩形EFGH为正方形时,求出该正方形的边长;‎ ‎ (3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M,使△MBC中BC边上的高为?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)设,则,‎ S△ABC=()×===15,‎ ‎∴(负值不合题意,已经舍去),根据抛物线与坐标轴交点的位置,可知A、B、C三点的坐标分别是(-1,0)、(5,0)、(0,-5),代入抛物线,列方程组为:‎ ‎,解得:,,,∴抛物线的解析式为:.‎ ‎(2)如图所示:E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点,设该点的横坐标是,抛物线的对称轴为,根据轴对称图形的性质可知,对应点F的横坐标是,EF=,若E在轴上面,则对应的函数值是正数,若E在轴下面,则对应的函数值是负数,若矩形EFGH为正方形时,则EF=GH=FG=EH,∴,当 时,解得:(其中不合题意,已经舍去),则EF==,正方形的边长为;当,解得:(其中不合题意,已经舍去),则EF==,正方形的边长为.[来源:学_科_网]‎ ‎(3)如图所示,根据已经容易求出BC=,若要使△MBC中BC边上的高为,必须使S△MBC==35.‎ 设点M的横坐标为,那么根据抛物线的解析式,可知M的坐标为,若点M在轴的上面,则,过M作MN⊥轴,垂足为N,那么S△MBC =S梯形MNOB+S△OBC-S△MNC ,∴,‎ 化简得:,解得或,所以若M在轴上面,满足题意的有两点,分别为(-2,7)、(7,16);‎ 若M在轴下面,则,过M作MN⊥轴,那么垂足为N,那么S△MBC =S梯形MNOB-S△OBC-S△MNC ,∴,‎ 化简得:,△=,∴所以方程在实数范围无根,所以在轴下面没有满足题意的M点.‎ ‎28. (2011四川内江,加试7,12分)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),且对釉轴x=1.‎ ‎ (1)求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标;‎ ‎ (2)在x轴下方的抛物线上是否存在点D,使四边形ABDC的面积为3.若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由(使用图1);‎ ‎ (3)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有满足条件的点P的坐标(使用图2).‎ x=1‎ A B O C x y x=1‎ A B O C x y 图1 图2‎ ‎【答案】(1)由得,又 所以抛物线的解析式为 由得x=-1或x=3‎ 所以A(-1,0),B(3,0)‎ ‎(2)假设存在符合条件的点D,设D(x,)‎ 作DE⊥x轴于点E,则OE=x,DE=,BE=3-x,得 化简得, 解得x=1或x=2‎ 故存在符合条件的点D,为D(1,)或D(2,-1)‎ x=1‎ A B O C x y x=1‎ A B O C x y D E P P Q ‎(3)当PQ平行等于AB时,PQ=4,当P在y轴右侧时,P的横坐标为4,当P在y轴左侧时,P的横坐标为-4‎ ‎ 当PQ与AB互相平分时,PQ过AB的中点(1,0),可得P的横坐标为2‎ ‎ 故P的坐标为(4,)或(-4,7)或(2,-1)‎ ‎29.(2011安徽芜湖,24,14分)平面直角坐标系中,如图放置,点A、C的坐标分别为、,将此平行四边形绕点O顺时针旋转,得到.‎ ‎(1)若抛物线过点,求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)求和重叠部分的周长;‎ ‎(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问:点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点的坐标. ‎ ‎【答案】‎ 解: (1)∵由旋转得到,且点A的坐标为,‎ ‎∴点的坐标为. ……………………………………1分 所以抛物线过点.设抛物线的解析式为 ‎,可得 解得 ……………………4分 ‎∴ 过点的抛物线的解析式为. ……………………5分 ‎(2)因为,所以.‎ 所以.又,‎ ‎, ∴△∽△. 又.………………7分 ‎∴. 又△的周长为,‎ 所以△的周长为.………………9分 ‎(3)[解法1]连接,设M点的坐标为,‎ 因为点M在抛物线上,所以,………10分 所以 ‎ ……………12分 因为,所以当时,. △的面积有最大值…………13分 所以当点M的坐标为时,△的面积有最大值,且最大值为…14分 ‎[解法2]设直线的解析式为,∵点的坐标分别为,∴ 解得 ∴.…10分 将直线向右平移,当直线与抛物线只有一个交点M时与y轴交于点P,此时最大,设平移后的直线的解析式为:,则有: 得,‎ 令,得. ‎ ‎∴.解得 ∴点坐标为,点P的坐标为.…12分 因为MP∥,所以△与△同底等高,它们面积相等.‎ 故.‎ 所以当点M的坐标为时,△的面积有最大值,且最大值为 ……14分 ‎30.(2011山东潍坊,24,12分)如图,y关于x的二次函数图象的顶点为M,图象交x轴于A、B两点,交y轴正半轴于D点.以AB为直径做圆,圆心为C,定点E的坐标为(-3,0),连接ED.(m>0)‎ ‎(1)写出A、B、D三点的坐标;‎ ‎(2)当m为何值时M点在直线ED上?判定此时直线ED与圆的位置关系;‎ ‎(3)当m变化时,用m表示△AED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.‎ ‎ ‎ ‎【解】(1),,.‎ ‎(2)设直线ED的解析式为,将、代入,得 解得 ‎∴直线ED的解析式为.[来源:学#科#网]‎ ‎∵,‎ ‎∴顶点M的坐标为.‎ 把代入,得.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴当时,点M在直线DE上.‎ 连接CD,C为AB中点,C点坐标为.‎ ‎∵,∴CD=2,点D在圆上.‎ 又∵OE=3,,,.‎ ‎∴.‎ ‎∴∠EDC=90°,‎ ‎∴直线ED与⊙C相切.‎ ‎(3)当时,,即.‎ 当时,,即.‎ 图象示意图如图中的实线部分.‎ ‎12. (2011广东中山,22,9分)如图,抛物线与y轴交于点A,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).‎ ‎(1)求直线AB的函数关系式;‎ ‎(2)动点P在线段OC上,从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动,过点P作⊥x轴,交直线AB于点M,抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;‎ ‎(3)设(2)的条件下(不考虑点P与点O,点G重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平等四边形?问对于所求的t的值,平行四边形BCMN是否为菱形?说明理由.‎ ‎【解】(1)把x=0代入,得 把x=3代入,得,‎ ‎ ∴A、B两点的坐标分别(0,1)、(3,)‎ 设直线AB的解析式为,代入A、B的坐标,得 ‎,解得 所以,‎ ‎(2)把x=t分别代入到和 分别得到点M、N的纵坐标为和 ‎∴MN=-()=‎ 即 ‎∵点P在线段OC上移动,‎ ‎∴0≤t≤3.‎ ‎(3)在四边形BCMN中,∵BC∥MN ‎∴当BC=MN时,四边形BCMN即为平行四边形 由,得 即当时,四边形BCMN为平行四边形 当时,PC=2,PM=,由勾股定理求得CM=,‎ 此时BC=CM,平行四边形BCMN为菱形;‎ 当时,PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=,‎ 此时BC≠CM,平行四边形BCMN不是菱形;‎ 所以,当时,平行四边形BCMN为菱形.‎ ‎3. (2011四川成都,20,10分) 如图,已知线段AB∥CD,AD与BC相交于点K,E是线段AD上一动点.‎ ‎ (1)若BK=KC,求的值;‎ ‎ (2)连接BE,若BE平分∠ABC,则当AE=AD时,猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当AE=AD (),而其余条件不变时,线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论,不必证明.‎ ‎【答案】解:(1)∵AB∥CD,BK=KC,∴==.‎ ‎(2)如图所示,分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点,‎ ‎∵BE∥DG,点E是AD的点,∴AB=BG;∵CD∥FG,CD∥AG,∴四边形CDGF是平行四边形,∴CD=FG;‎ ‎∵∠ABE=∠EBC ,BE∥CF,∴∠EBC=∠BCF,∠ABE=∠BFC,∴BC=BF,‎ ‎∴AB-CD=BG-FG=BF=BC,∴AB=BC+CD.‎ 当AE=AD ()时,()AB=BC+CD.‎