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- 2021-05-10 发布
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2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编
第44章 动态问题
一、选择题
1. (2011安徽,10,4分)如图所示,P是菱形ABCD的对角线AC上一动点,过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点,设AC=2,BD=1,AP=x,△AMN的面积为y,则y关于x的函数图象的大致形状是( )
A. B. C. D.
【答案】C
2. (2011山东威海,12,3分)如图,
在正方形ABCD中,AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动,同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设△AMN的面积为y(cm2),运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( )
【答案】B
3. (2011甘肃兰州,14,4分)如图,正方形ABCD的边长为1,E、F、G、H分别为各
边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x的函数图象大致是
A
B
C
D
E
F
G
H
x
y
-1
O
1
x
y
1
O
1
x
y
O
1
x
y
1
O
1
1
A. B. C. D.
【答案】B
4.
二、填空题
1.
2.
3.
4.
5.
三、解答题
1. (2011浙江省舟山,24,12分)已知直线(<0)分别交轴、轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为秒.
(1)当时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1).
① 直接写出=1秒时C、Q两点的坐标;
② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似,求的值.
(2)当时,设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D(如图2),
① 求CD的长;
② 设△COD的OC边上的高为,当为何值时,的值最大?
(第24题图2)
(第24题图1)
【答案】(1)①C(1,2),Q(2,0).
②由题意得:P(t,0),C(t,-t+3),Q(3-t,0),
分两种情形讨论:
情形一:当△AQC∽△AOB时,∠AQC=∠AOB=90°,∴CQ⊥OA,
∵CP⊥OA,∴点P与点Q重合,OQ=OP,即3-t=t,∴t=1.5.
情形二:当△ACQ∽△AOB时,∠ACQ=∠AOB=90°,∵OA=OB=3,∴△AOB是等腰直角三角形,∴△ACQ是等腰直角三角形,∵CQ⊥OA,∴AQ=2CP,即t =2(-t +3),∴t=2.∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒.
(2) ①由题意得:C(t,-+3),∴以C为顶点的抛物线解析式是,
由,解得x1=t,x2=t;过点D作DE⊥CP于点E,则∠DEC=∠AOB=90°,DE∥OA,∴∠EDC=∠OAB,∴△DEC∽△AOB,∴,
∵AO=4,AB=5,DE=t-(t-)=.∴CD=.
②∵CD=,CD边上的高=.∴S△COD=.∴S△COD为定值;
要使OC边上的高h的值最大,只要OC最短.
因为当OC⊥AB时OC最短,此时OC的长为,∠BCO=90°,∵∠AOB=90°,∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA,又∵CP⊥OA,∴Rt△PCO∽Rt△OAB,
∴,OP=,即t=,∴当t为秒时,h的值最大.
2. (2011广东东莞,22,9分)如图,抛物线与y轴交于点A,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上,从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动,过点P作⊥x轴,交直线AB于点M,抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设(2)的条件下(不考虑点P与点O,点G重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平等四边形?问对于所求的t的值,平行四边形BCMN是否为菱形?说明理由.
【解】(1)把x=0代入,得
把x=3代入,得,
∴A、B两点的坐标分别(0,1)、(3,)
设直线AB的解析式为,代入A、B的坐标,得
,解得
所以,
(2)把x=t分别代入到和
分别得到点M、N的纵坐标为和
∴MN=-()=
即
∵点P在线段OC上移动,
∴0≤t≤3.
(3)在四边形BCMN中,∵BC∥MN
∴当BC=MN时,四边形BCMN即为平行四边形
由,得
即当时,四边形BCMN为平行四边形
当时,PC=2,PM=,PN=4,由勾股定理求得CM=BN=,
此时BC=CM=MN=BN,平行四边形BCMN为菱形;
当时,PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=,
此时BC≠CM,平行四边形BCMN不是菱形;
所以,当时,平行四边形BCMN为菱形.
3. (2011江苏扬州,28,12分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90º,AB0)
(1)△PBM与△QNM相似吗?以图1为例说明理由;
(2)若∠ABC=60º,AB=4厘米。
① 求动点Q的运动速度;
② 设Rt△APQ的面积为S(平方厘米),求S与t的函数关系式;
(3)探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系,以图1为例说明理由。
【答案】解:(1)△PBM与△QNM相似;
∵MN⊥BC MQ⊥MP ∴ ∠NMB=∠PMQ=∠BAC =90º
∴∠PMB=∠QMN, ∠QNM=∠B =90º-∠C
∴ △PBM∽△QNM
(2)①∵∠ABC=60º,∠BAC =90º,AB=4,BP=t
∴AB=BM=CM=4,MN=4
∵ △PBM∽△QNM
∴ 即:
∵P点的运动速度是每秒厘米,
∴ Q点运动速度是每秒1厘米。
② ∵ AC=12,CN=8
∴ AQ=12-8+t=4+t, AP=4-t
∴ S==
(3) BP2+ CQ2 =PQ2
证明如下: ∵BP=t, ∴BP2=3t2
∵CQ=8-t ∴CQ2=(8-t)2=64-16t+t2
∵PQ2=(4+t)2+3(4-t)2=4t2-16t+64
∴BP2+ CQ2 =PQ2
4. (2011山东德州23,12分)在直角坐标系xoy中,已知点P是反比例函数图象上一个动点,以P为圆心的圆始终与y轴相切,设切点为A.
(1)如图1,⊙P运动到与x轴相切,设切点为K,试判断四边形OKPA的形状,并说明理由.
(2)如图2,⊙P运动到与x轴相交,设交点为B,C.当四边形ABCP是菱形时:
①求出点A,B,C的坐标.
②在过A,B,C三点的抛物线上是否存在点M,使△MBP的面积是菱形ABCP面积的.若存在,试求出所有满足条件的M点的坐标,若不存在,试说明理由.
A
P
x
y
K
O
图1
【答案】解:(1)∵⊙P分别与两坐标轴相切,
∴ PA⊥OA,PK⊥OK.
∴∠PAO=∠OKP=90°.
又∵∠AOK=90°,
∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.
∴四边形OKPA是矩形.
又∵OA=OK,
∴四边形OKPA是正方形.……………………2分
O
A
P
x
y
B
C
图2
G
M
(2)①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为.
过点P作PG⊥BC于G.
∵四边形ABCP为菱形,
∴BC=PA=PB=PC.
∴△PBC为等边三角形.
在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,[来源:学科网]
PG=.
sin∠PBG=,即.
解之得:x=±2(负值舍去).
∴ PG=,PA=BC=2.……………………4分
易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,
∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3.
∴ A(0,),B(1,0) C(3,0).……………………6分
设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c.
据题意得:
解之得:a=, b=, c=.
∴二次函数关系式为:.……………………9分
②解法一:设直线BP的解析式为:y=ux+v,据题意得:
解之得:u=, v=.
∴直线BP的解析式为:.
过点A作直线AM∥PB,则可得直线AM的解析式为:.
解方程组:
得: ; .
过点C作直线CM∥PB,则可设直线CM的解析式为:.
∴0=.
∴.
∴直线CM的解析式为:.
解方程组:
得: ; .
综上可知,满足条件的M的坐标有四个,
分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分
解法二:∵,
∴A(0,),C(3,0)显然满足条件.
延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,
∴.
∴点M的纵坐标为.
又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4.
∴点M(4,)符合要求.
点(7,)的求法同解法一.
综上可知,满足条件的M的坐标有四个,
分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分
解法三:延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,
∴.
∴点M的纵坐标为.
即.
解得:(舍),.
∴点M的坐标为(4,).
点(7,)的求法同解法一.
综上可知,满足条件的M的坐标有四个,
分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分
5. (2011山东菏泽,21,9分)如图,抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.
A
B
C
D
x
y
O
1
1
解:(1)把点A(-1,0)的坐标代入抛物线的解析式y=x2+bx-2,
整理后解得,
所以抛物线的解析式为 .
顶点D.
(2)∵AB=5,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,
∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.
(3)作出点C关于x轴的对称点C′,则C′ (0,2),OC′=2.
连接C′D交x轴于点M,
根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD的值最小.
设抛物线的对称轴交轴于点.
△C′OM∽△DEM.
∴.∴.∴m=.
6. (2011山东济宁,23,10分)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧). 已知点坐标为(,).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点作线段的垂线交抛物线于点, 如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问:当点运动到什么位置时,的面积最大?并求出此时点的坐标和的最大面积.
(第23题)
【答案】(1)解:设抛物线为.
∵抛物线经过点(0,3),∴.∴.
∴抛物线为. ……………………………3分
(2) 答:与⊙相交. …………………………………………………………………4分
证明:当时,,.
∴为(2,0),为(6,0).∴.
设⊙与相切于点,连接,则.
∵,∴.
又∵,∴.∴∽.
∴.∴.∴.…………………………6分
∵抛物线的对称轴为,∴点到的距离为2.
∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分
(3) 解:如图,过点作平行于轴的直线交于点.
可求出的解析式为.…………………………………………8分
设点的坐标为(,),则点的坐标为(,).
∴.
∵,
∴当时,的面积最大为.
此时,点的坐标为(3,). …………………………………………10分
(第23题)
7. (2011山东威海,25,12分)如图,抛物线交轴于点,点,交轴于点.点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线过点F且与轴平行.直线过点C,交轴于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点K为线段AB上一动点,过点K作轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;
(3)在直线上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形,求点N的坐标.
图① 备用图
【答案】 解:(1)设抛物线的函数表达式
∵抛物线与轴交于点,将该点坐标代入上式,得.
∴所求函数表达式,即.
(2)∵点C是点A关于点B的对称点,点,点,
∴点C的坐标是.
将点C的坐标是代入,得.
∴直线CD的函数表达式为.
设K点的坐标为,则H点的坐标为,G点的坐标为.
∵点K为线段AB上一动点,
∴.
∴.
∵,
∴当时,线段HG长度有最大值.
(3)∵点F是线段BC的中点,点,点 ,
∴点F的坐标为.
∵直线过点F且与轴平行,
∴直线的函数表达式为.
∵点M在直线上,点N在抛物线上 ,
∴设点M的坐标为,点N的坐标为.
∵点,点 ,∴.
分情况讨论:
① 若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形的边,则须MN∥AC,且MN=AC=8.
当点N在点M的左侧时,.
∴,解得.
∴N点的坐标为.
当点N在点M的右侧时,.
∴,解得.
∴N点的坐标为.
②若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的对角线,由“点C与点A关于点B中心对称”知:点M与点N关于点B中心对称.取点F关于点B对称点P,则点P的坐标为.过点P作NP⊥轴,交抛物线于点N.
将代入,得.
过点N,B作直线NB交直线于点M.
在△BPN和△BFM中,
∵
∴△BPN≌△BFM.
∴NB=MB.
∴四边形点ANCM为平行四边形.
∴坐标为的点N符合条件.
∴当点N的坐标为,,时,以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形.
8. (2011山东烟台,26,14分)如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=-x+,点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4).动点P自A点出发,在AB上匀速运行.动点Q自点B出发,在折线
BCD上匀速运行,速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点P运动t(秒)时,△OPQ的面积为s(不能构成△OPQ的动点除外).
(1)求出点B、C的坐标;
(2)求s随t变化的函数关系式;
(3)当t为何值时s有最大值?并求出最大值.
O
x
y
A
B
C
D
P
Q
O
x
y
A
B
C
D
(备用图1)
90
(备用图2)
90
O
x
y
A
B
C
D
【答案】解:(1)把y=4代入y=-x+,得x=1.
∴C点的坐标为(1,4).
当y=0时,-x+=0,
∴x=4.∴点B坐标为(4,0).
(2)作CM⊥AB于M,则CM=4,BM=3.
∴BC===5.
∴sin∠ABC==.
①当0<t<4时,作QN⊥OB于N,
则QN=BQ·sin∠ABC=t.
∴S=OP·QN=(4-t)×t =-t2+t(0<t<4).
②当4<t≤5时,(如备用图1),
连接QO,QP,作QN⊥OB于N.
同理可得QN=t.
∴S=OP·QN=×(t-4)×t. =t2-t(4<t≤5).
③当5<t≤6时,(如备用图2),
连接QO,QP.
S=×OP×OD=(t-4)×4=2t-8(5<t≤6).
(3)①在0<t<4时,
当t==2时,
S最大==.
②在4<t≤5时,对于抛物线S=t2-t,当t=-=2时,
S最小=×22-×2=-.
∴抛物线S=t2-t的顶点为(2,-).
∴在4<t≤5时,S随t的增大而增大.
∴当t=5时,S最大=×52-×5=2.[来源:Z,xx,k.Com]
③在5<t≤6时,
在S=2t-8中,∵2>0,∴S随t的增大而增大.
∴当t=6时,S最大=2×6-8=4.
∴综合三种情况,当t=6时,S取得最大值,最大值是4.
(说明:(3)中的②也可以省略,但需要说明:在(2)中的②与③的△OPQ,③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的面积.)
9. (2011四川南充市,22,8分)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(m-4,0)和B(m,0),与直线y=-x+p相交于点A和点C(2m-4,m-6).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上,且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12,求点P,Q的坐标;
(3)在(2)条件下,若点M是x轴下方抛物线上的动点,当⊿PQM的面积最大时,请求出⊿PQM的最大面积及点M的坐标。
【答案】解:(1)∵点A(m-4,0)和C(2m-4,m-6)在直线y=-x+p上
∴解得:
∴A(-1,0) B(3,0), C(2,-3)
设抛物线y=ax2+bx+c=a(x-3)(x+1),
∵C(2,-3) ∴a=1
∴抛物线解析式为:y=x2-2x-3
(2)AC=3,AC所在直线的解析式为:y=-x-1,∠BAC=450
∵平行四边形ACQP的面积为12.
∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2
过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K,DK= 2,∴DN=4
∵ACPQ,PQ所在直线在直线ACD的两侧,可能各有一条,
∴PQ的解析式或为y=-x+3或y=-x-5
∴解得:或
,此方程组无解.
即P1(3,0), P2(-2,5)
∵ACPQ是平行四边形 ,A(-1,0) C(2,-3)
∴当P(3,0)时,Q(6,-3)
当P(-2,5)时,Q(1,2)
∴满足条件的P,Q点是P1(3,0), Q1(6,-3)或 P2(-2,5),Q2(1,2)
(1) 设M(t,t2-2t-3),(-1<t<3),过点M作y轴的平行线,交PQ所在直线雨点T,则T(t,-t+3)
MT=(-t+3)-( t2-2t-3)=- t2+t+6
过点M作MS⊥PQ所在直线于点S,
MS=MT= (- t2+t+6)=- (t-)2+
∴当t=时,M(,-),⊿PQM中PQ边上高的最大值为
10.(2011 浙江杭州,24, 12)图形既关于点O中心对称,又关于直线AC,BD对称,AC=10,BD=6,已知点E,M是线段AB上的动点(不与端点重合),点O到EF,MN的距离分别为,.△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形.[来源:学。科。网Z。X。X。K]
(1)求蝶形面积S的最大值;
(2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时,求与满足的关系式,并求的取值范围.
【答案】(1) 如图,设EF与AC交于点K,由△OEF∽△ABD,得,,
,,整理得,当时,蝶形面积S的最大,最大值为.
(2) 如图,设MN与AC交于点L,由(1)得,则,
由OK2+EK2=OE2,OL2+ML2=OM2,得OK2+EK2=OL2+ML2,,整理得,当点E,M不重合时,,.当OE⊥AB时,,所以
2)当点重合时,则,此时的取值范围为.
解法二:(1)由题意,得四边形是菱形.
由,得,,即
所以当时,.
(2)根据题意,得.
如图,作于, 关于对称线段为,
1)当点不重合时,则在的两侧,易知.
,
由,得
,即
,此时的取值范围为且
2)当点重合时,则,此时的取值范围为.
11. (2011 浙江湖州,24,14)如图1.已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.
(1) 求点D的坐标(用含m的代数式表示);
(2) 当△APD是等腰三角形时,求m的值;
(3) 设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2).当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过 的路径长.(不必写解答过程)
【答案】解:(1)由题意得CM=BM,∵∠PMC=∠DMB,∴Rt△PMC≌Rt△DMB,∴DB=PC,∴DB=2-m,AD=4-m,∴点D的坐标为(2,4-m).
(2)分三种情况:①若AP=AD,则,解得.
② 若PD=PA,过P作PF⊥AB于点F(如图),则AF=FD,,又OP=AF,∴,解得,
③ 若DP=DA,∵△PMC≌△DMB,∴,∵,∴, 解得.
综上所述,当△APD是等腰三角形时,过m的值为.
(3)点H经过的路径长为.
12. (2011宁波市,26,10分)如图.平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(-2,2),点B的坐标为(6,6),抛物线经过A、O、B三点,线段AB交y轴与点E.
(1)求点E的坐标;
(2)求抛物线的函数解析式;
(3)点F为线段OB上的一个动点(不与O、B重合),直线EF 与抛物线交与M、N两点(点N在y轴右侧),连结ON、BN,当点F在线段OB上运动时,求BON的面积的最大值,并求出此时点N的坐标;
(4)连结AN,当BON的面积的最大时,在坐标平面内使得BOP与OAN相似(点B、O、N对应)的点P的坐标.
【答案】26.解:(1)设直线AB的函数解析式为y=mx+n
将点A(-2,2),B(6,6)代入得:
得m=,n=3
∴y=x+3
当x=0时y=3 ∴E(0,3)
设抛物线的函数解析式为y=ax+bx
将A(-2,2)B(6,6)代入得解得a=,b=-
∴抛物线的解析式为y=x2-x
(3)
过点N做x轴的垂线NG,垂足为G,交OB于点Q,过B作BH⊥x轴于H,设N(x, x2-x)
则Q(x,x)
则SBON = SBON + SBON
=×QN×OG+×QN×HG
=×QN×(OG+HG)=×QN×OH=〔x-(x2-x) 〕×6=-x2+x=-(x-3)2+(0<x<6)
∴当x=3时,BON面积最大,最大值为
此时点N的坐标为(3, )
(4)过点A作AS⊥GQ于S
∵A(-2,2),B(6,6),N(3, )
∴∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°,OG=3,NG=,NS=,AS=5
在RtSAN 和RtNOG中
∴tan∠SAN= tan∠NOG=
∴∠SAN=∠NOG
∴∠OAS-∠ASN=∠BOG-∠NOG
∴∠OASN=∠BON
∴ON的延长线上存在一点P,使BOP~OAN
∵A(-2,2), N(3, )
在RtASN中
AN==
当BOP~OAN时 = ∴= ∴OP=
过点P作PT⊥x轴于点T
∴OPT~ONG ∴==
设P(4t,t)在在RtPOT中,有(4t)2+t2=()2
∴t1= ,t2=-(舍)
∴点P的坐标为(15,)
将OBP沿直线OB返折,可得出另一个满足条件的点(,15),由以上推理可知,当点P的坐标为(15,)或(,15)时BOP与OAN相似.
13. (2011浙江衢州,24,12分)已知两直线分别经过点,点
,并且当两条直线同时相交于轴正半轴的点时,恰好有,经过点的抛物线的对称轴于直线交于点,如图所示.
求点的坐标,并求出抛物线的函数解析式.
抛物线的对称轴被直线,抛物线,直线和轴依次截得三条线段,问这三条线段有何数量关系?请说明理由.
当直线绕点旋转时,与抛物线的另一个交点为.请找出使为等腰三角形的点.简述理由,并写出点的坐标.
(第24题)
【答案】(1)解法1:由题意易知
由题意,可设抛物线的函数解析式为.
把的坐标分别代入,得
解这个方程组,得
抛物线的函数解析式为
解法2:由勾股定理,得
又
由题意可设抛物线的函数解析式为把代入函数解析式得
所以抛物线的函数解析式为
(2)解法1:截得三条线段的数量关系为
理由如下:
可求得直线的解析式为,直线的解析式为,抛物线的对称轴为直线.由此可求得点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为.
解法2:截得三条线段的数量关系为
理由如下:
由题意可知则可得
.
由顶点的坐标为得,
(3)解法1:(i)以点为圆心,线段长为半径画圆弧,交抛物线于点,由抛物线的对称性可知点为点关于直线的对称点.
所以点的坐标为,此时,为等腰三角形.
(ii)当以点为圆心,线段长为半径画圆弧时,与抛物线交点为点和点,而三点在同一直线上,不能构成三角形.
(iii)作线段的中垂线,由点是的中点,且,可知经过点,
此时,有点即点坐标为,使为等腰三角形.
与抛物线的另一交点即为
综上所述,当点的坐标为 时,为等腰三角形
解法2:当点的坐标分别为
理由如下:
(i)链接,交抛物线于点,易知点的坐标为 .
又点的坐标为,则
可求得,且,即为正三角形.
为正三角形
当与抛物线交于点,即时,符合题意,此时点的坐标为
(ii)连接,由,易知为等腰三角形
当过抛物线顶点于点时,符合题意,此时点的坐标为.
(iii)当点在抛物线对称轴右边时,只有点与点重合时,满足,但此时,三点在同一直线上,不能构成三角形.
综上所述,当点的坐标分别为时,为等腰三角形.
14. (2011浙江绍兴,24,14分)抛物线与轴交于点,顶点为,对称轴与轴交于点.
(1)如图1,求点的坐标及线段的长;
(2)点在抛物线上,直线交轴于点,连接.
①若含45°角的直线三角板如图2所示放置,其中,一个顶点与重合,直角顶点在上,另一顶点在上,求直线的函数解析式;
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点重合,直角顶点在直线上,另一个顶点在上,求点的坐标.
第24题图2
第24题图1
【答案】解:(1)把代入得,
点,
为对称轴,,
.
(2)①如图1,过点作轴,交轴于点,
过点作,交于点,
四边形为矩形,
四边形为正方形,
为等腰直角三角形,
设直线的函数解析式为,
直线上两点的坐标为,
代入求得,
直线的函数解析式为.
②当点
15. (2011浙江台州,24,14分)已知抛物线与y轴交于点A,它的顶点为B,点A、B关于原点O的对称点分别是点C、D。若点A、B、C、D中任何三点都不在一直线上,则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形,直线AB为抛物线的伴随直线。
(1)如图1,求抛物线的伴随直线的解析式;
(2)如图2,若(m>0)的伴随直线是y=x-3,伴随四边形的面积为12,求此抛物线的解析式;
(3)如图3,若抛物线的伴随直线是y=-2x+b(b>0),且伴随四边形ABCD是矩形。
① 用含b的代数式表示m,n的值;
② 在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBD是一个等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标(用含b的代数式);若不存在,请说明理由。
【答案】解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b.由题意,得:A(0,5),B(2,1)
∴ ∴k=-2 ,b=5
∴直线AB的解析式为y=-2x+5
(2) 由伴随直线是y=x-3,得:A(0,-3),C(0,3) ∴ AC=6
由伴随四边形的面积为12,得:△ABC的面积为6=
∴m=±2 ∵m>0 ∴m=2
当m=2时,y=-1,顶点为(2,-1), 且过点C(0,3)
∴抛物线的解析式为y=。
(3) ① 如图,作BE⊥x轴,
由题意,得:
A(0,b),C (0,-b)
∵抛物线的顶点B(m,n)在y=-2x+b(b>0)上,
∴n=-2m+b B(m, -2m+b)
在矩形ABCD中,OC=OB
∴OC2=OB2
即:
∴m(5m-4b)=0
∴m1=0(舍去),m2=
∴n=-2m+b=
∴ ,;
② 存在,有4个点:(,),( ,),( ,),( ,)
16. (2011浙江义乌,24,12分)已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为直线x=4. 设顶点为
点P,与x轴的另一交点为点B.
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)如图1,在直线 y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动,过点M作直线MN∥x轴,交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN. 在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式.
O
P
C
B
A
x
y
图1
图2
M
O
A
x
P
N
C
B
y
【答案】(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
由题意得 解得
∴二次函数的解析式为y= x2-8x+12
点P的坐标为(4,-4)
(2)存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下:
DO
x
A
O
B
C
P
y
当y=0时,x2-8x+12=0 ∴x1=2 , x2=6
∴点B的坐标为(6,0)
设直线BP的解析式为y=kx+m
则 解得
∴直线BP的解析式为y=2x-12
∴直线OD∥BP
∵顶点坐标P(4, -4) ∴ OP=4
设D(x,2x) 则BD2=(2x)2+(6-x)2
当BD=OP时,(2x)2+(6-x)2=32
解得:x1=,x 2=2
当x2=2时,OD=BP=,四边形OPBD为平行四边形,舍去
∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形
∴当D(,)时,四边形OPBD为等腰梯形
(3)① 当0<t≤2时,
x
P1
M
A
O
B
C
P
N
y
H
∵运动速度为每秒个单位长度,运动时间为t秒,
则MP=t ∴PH=t,MH=t,HN=t ∴MN=t
∴S=t·t·=t2
② 当2<t<4时,P1G=2t-4,P1H=t
x
P1
M
A
O
B
C
P
N
G
H
E
F
y
∵MN∥OB ∴ ∽
∴ ∴
∴ =3t2-12t+12
∴S=t2-(3t2-12t+12)= -t2+12t-12
∴ 当0<t≤2时,S=t2
当2<t<4时,S=-t2+12t-12 。
17. (2011四川重庆,26,12分)如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=2,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP=3.一动点E从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动,到达A点后,立即以原速度沿AO返回;另一动点F从P点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动,点E、F同时出发,当两点相遇时停止运动.在点E、F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧,设动动的时间为t秒(t≥0).
(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使△AOH是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.[来源:Zxxk.Com]
【答案】(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时(如图),∠CFB=60°,BF=3-t,在Rt△CBF中,BC=2,∴tan∠CFB=,∴tan 60°=,∴BF=2,∴t=3-t =2,∴t=1.
(2)当0≤t<1时,S= 2 t+4;当1≤t<3时,S= t 2+3 t+;当3≤t<4时,S= -4 t+20;当4≤t<6时,S= t2-12 t+36.
(3)存在,理由如下:
在Rt△ABC中,tan∠CAB==,∴∠CAB=30°.
又∵∠HEO=60°,∴∠HAE=∠AHE=30°.
∴AE=HE=3-t或t-3.
(ⅰ)当AH=AO=3时(如图②),过点E作EM⊥AH于M,则AM=AH=.
在Rt△AME中,cos∠MAE=,即cos 30°=,∴AE=,
即3-t=或t-3=,t=3-或3+.
(ⅱ)当HA=HO时(如图③),则∠HOA=∠HAO=30°,
又∵∠HEO=60°,∴∠EHO=90°.
∴EO=2HE=2AE.又∵AE+EO=3,∴AE+2AE=3.
∴AE=1.即3-t=1或t-3=1,t=2或4.
(ⅲ)当OH=OA时(如图④),则∠OHA=∠OAH=30°,
∴∠HOB=60°=∠HEB.∴点E和O重合,∴AE=3.
即3-t=3或t-3=3,t=6(舍去)或t=0.
综上所述,存在5个这样的值,使△AOH是等腰三角形,即: t=3-或t=3+或t=2或t=4或t=0.
18. (2011浙江省嘉兴,24,14分)已知直线(<0)分别交轴、轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为秒.
(1)当时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1).
① 直接写出=1秒时C、Q两点的坐标;
② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似,求的值.
(2)当时,设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D(如图2),
① 求CD的长;
② 设△COD的OC边上的高为,当为何值时,的值最大?
(第24题图2)
(第24题图1)
【答案】(1)①C(1,2),Q(2,0).
②由题意得:P(t,0),C(t,-t+3),Q(3-t,0),
分两种情形讨论:
情形一:当△AQC∽△AOB时,∠AQC=∠AOB=90°,∴CQ⊥OA,
∵CP⊥OA,∴点P与点Q重合,OQ=OP,即3-t=t,∴t=1.5.
情形二:当△ACQ∽△AOB时,∠ACQ=∠AOB=90°,∵OA=OB=3,∴△AOB是等腰直角三角形,∴△ACQ是等腰直角三角形,∵CQ⊥OA,∴AQ=2CP,即t =2(-t +3),∴t=2.∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒.
(2) ①由题意得:C(t,-+3),∴以C为顶点的抛物线解析式是,
由,解得x1=t,x2=t;过点D作DE⊥CP于点E,则∠DEC=∠AOB=90°,DE∥OA,∴∠EDC=∠OAB,∴△DEC∽△AOB,∴,
∵AO=4,AB=5,DE=t-(t-)=.∴CD=.
②∵CD=,CD边上的高=.∴S△COD=.∴S△COD为定值;
要使OC边上的高h的值最大,只要OC最短.
因为当OC⊥AB时OC最短,此时OC的长为,∠BCO=90°,∵∠AOB=90°,∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA,又∵CP⊥OA,∴Rt△PCO∽Rt△OAB,
∴,OP=,即t=,∴当t为秒时,h的值最大.
19. (2011福建泉州,25,12分)在直角坐标系xoy中,已知点P是反比例函数
图象上一个动点,以P为圆心的圆始终与y轴相切,设切点为A.
(1)如图1,⊙P运动到与x轴相切,设切点为K,试判断四边形OKPA的形状,并说明理由.
(2)如图2,⊙P运动到与x轴相交,设交点为B,C.当四边形ABCP是菱形时:
①求出点A,B,C的坐标.
A
P
x
y
K
O
第25题 图1
②在过A,B,C三点的抛物线上是否存在点M,使△MBP的面积是菱形ABCP面积的.若存在,试求出所有满足条件的M点的坐标,若不存在,试说明理由.
[来源:学*科*网]
【答案】解:(1)∵⊙P分别与两坐标轴相切,
∴ PA⊥OA,PK⊥OK.
∴∠PAO=∠OKP=90°.
又∵∠AOK=90°,
∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.
∴四边形OKPA是矩形.
又∵OA=OK,
∴四边形OKPA是正方形.……………………2分
(2)①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为.
O
A
P
x
y
B
C
图2
G
M
过点P作PG⊥BC于G.
∵四边形ABCP为菱形,
∴BC=PA=PB=PC.
∴△PBC为等边三角形.
在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,
PG=.
sin∠PBG=,即.
解之得:x=±2(负值舍去).
∴ PG=,PA=BC=2.……………………4分
易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,
∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3.
∴ A(0,),B(1,0) C(3,0).……………………6分
设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c.
据题意得:
解之得:a=, b=, c=.
∴二次函数关系式为:.……………………9分
②解法一:设直线BP的解析式为:y=ux+v,据题意得:
解之得:u=, v=.
∴直线BP的解析式为:.
过点A作直线AM∥PB,则可得直线AM的解析式为:.
解方程组:
得: ; .
过点C作直线CM∥PB,则可设直线CM的解析式为:.
∴0=.
∴.
∴直线CM的解析式为:.
解方程组:
得: ; .
综上可知,满足条件的M的坐标有四个,
分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分
解法二:∵,
∴A(0,),C(3,0)显然满足条件.
延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,
∴.
∴点M的纵坐标为.
又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4.
∴点M(4,)符合要求.
点(7,)的求法同解法一.
综上可知,满足条件的M的坐标有四个,
分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分
解法三:延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,
∴.
∴点M的纵坐标为.
即.
解得:(舍),.
∴点M的坐标为(4,).
点(7,)的求法同解法一.
综上可知,满足条件的M的坐标有四个,
分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,).…………………12分
20.(2011福建泉州,26,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴交于点A, 与y轴交于点B, 且OA = 3,AB = 5.点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BO-OP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)求直线AB的解析式;
(2)在点P从O向A运动的过程中,求△APQ的面积S与t之间的函数关系式(不必写出t的取值范围);
(3)在点E从B向O运动的过程中,完成下面问题:(第26题)
①四边形QBED能否成为直角梯形?若能,请求出t的值;
若不能,请说明理由;
②当DE经过点O时,请你直接写出t的值.
【答案】解:解:(1)在Rt△AOB中,OA = 3,AB = 5,由勾股定理得.
∴A(3,0),B(0,4).
设直线AB的解析式为.
∴ 解得
∴直线AB的解析式为.…………2分
(2)如图,过点Q作QF⊥AO于点F.
∵ AQ = OP= t,∴.
由△AQF∽△ABO,得.
∴.∴. …………2分
∴,
∴.………………………4分
(3)四边形QBED能成为直角梯形.
①如图,当DE∥QB时,
∵DE⊥PQ,
∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形.
此时∠AQP=90°.
由△APQ ∽△ABO,得.
∴.
解得. ……………………………6分
②如图,当PQ∥BO时,
∵DE⊥PQ,
∴DE⊥BO,四边形QBED是直角梯形.
此时∠APQ =90°.
由△AQP ∽△ABO,得
即.
解得. ………………………10分
(4)或. ………………………14分
21. (2011湖南常德,26,10分)如图11,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(7,).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若D是抛物线的顶点,E是抛物线的对称轴与直线AC的交点,F与E关于D对称,求证:∠CFE=∠AFE;
O
A
B
E
图 11
D
F
C
y
x
N
M
(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似,若有,请求出所有合条件的点P的坐标;若没有,请说明理由.
解:(1)抛物线经过点A(0,6),B(2,0),C(7,)的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
则:
解得
∴ 此抛物线的解析式为
(2)过点A作AM∥x轴,交FC于点M,交对称轴于点N.
∵抛物线的解析式可变形为
∴抛物线对称轴是直线x =4,顶点D的坐标为(4,-2).则AN=4.
设直线AC的解析式为,
则有,解得.
∴ 直线AC的解析式为
当x=4时,
∴点E的坐标为(4,4),
∵点F与E关于点D对称,则点F的坐标为(4,-8)
设直线FC的解析式为,
则有,解得.
∴ 直线AC的解析式为
∵AM与x轴平行,则点M的纵坐标为6.
当y=6时,则有解得x=8.
∴AM=8,MN=AM—MN=4
∴AN=MN
∵FN⊥AM
∴∠ANF=∠MNF
又NF=NF
∴△ANF≌△MNF
∴∠CFE=∠AFE
(3)∵C的坐标为(7,),F坐标为(4,-8)
∴
∵又A的坐标为(0,6),则,
又DF=6,
若△AFP∽△DEF
∵EF∥AO,则有∠PAF=∠AFE,
又由(2)可知∠DFC=∠AFE
∴∠PAF=∠DFC
若△AFP1∽△FCD
则,即,解得P1A=8.
∴O P1=8-6=2
∴P1的坐标为(0,-2).
若△AFP2∽△FDC
则,即,解得P2A=.
∴O P2=-6=.
∴P2的坐标为(0,-).
所以符合条件的点P的坐标不两个,分别是P1(0,-2),P2(0,-).
22. (2011湖南邵阳,24,12分)如图(十一)所示,在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(,0),点C(0,3)点B是x轴上一点(位于点A右侧),以AB为直径的圆恰好经过点C。
(1)求角ACB的度数;
(2)已知抛物线y=ax2+bx+3经过A,B两点,求抛物线的解析式;
(3)线段BC上是否存在点D,使△BOD为等腰三角形?若存在,则求出所有符合条件的点D的坐标;若不存在,请说明理由。
【答案】解:(1)90°;
(2)Rt△ABC中,∵OA×OB=OC 2,
∴OB=4.
抛物线为y=a(x-4)(x+)= ax2+bx+3,
比较常数项得a=,抛物线的方程为y=(x-4)(x+)。
(1) 存在。
直线BC的方程为3x+4y=12,设点D(x,y)。
①若BD=OD,则点D在OB的中垂线上,点D横坐标为2,纵坐标为,即D1(2,)为所求。
②若OB=BD=4,则,,
得y=,x=,点D2(,)为所求。
23. (2011江苏苏州,29,10分)已知二次函数y=a(x2-6x+8)(a>0)的图象与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.
(1)如图①,连接AC,将△OAC沿直线AC翻折,若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上,求实数a的值;
(2)如图②,在正方形EFGH中,点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现一个正确的命题:“若点P是边EH或边HG上的任意一点,则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形).”若点P是边EF或边FG上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程;
(3)如图②,当点P在抛物线对称轴上时,设点P的纵坐标t是大于3
的常数,试问:是否存在一个正数a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能够成平行四边形)?请说明理由.
【答案】解:(1)令y=0,由a(x2-6x+8)=0解得x1=2,x2=4;
令x=0,解得y=8a.
∴点A、B、C的坐标分别是(2,0)、(4,0)、(0,8a),
该抛物线对称轴为直线x=3.
∴OA=2,
如图①,设抛物线对称轴与x轴的交点为M,则AM=1.
由题意得O′A=OA=2.
∴O′A=2AM,∴∠O′AM=60°.
∴∠OAC=∠ O′AC=60°.
∴OC=·AO=2,即8a=2,∴a=.
(2)若点P是边EF或边FG上的任意一点,结果同样成立.
(I)如图②,设P是边EF上的任意一点(不与点E重合),连接PM.
∵点E(4,4)、F(4,3)与点B(4,0)在一直线上,点C在y轴上,
∴PB<4,PC≥4,∴PC>PB.
又PD>PM>PB,PA>PM>PB,
∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.
(II)设P是边FG上的任意一点(不与点G重合),
点F的坐标是(4,3)点G的坐标是(5,3).
∴FB=3,GB=,∴3≤PB<,
∵PC≥4,∴PC>PB.
又PD>PM>PB,PA>PM>PB,
∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD,
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.
(3)存在一个正数a,使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能够成平行四边形).
如图③,∵点A、B是抛物线与x轴交点,点P在抛物线对称轴上,
∴PA=PB.
∴当PC=PD时,线段PA、PB、PC、PD能构成平行四边形.
∵点C的坐标是(0,8a),点D的坐标为(3,-a),点P的坐标是(3,t),
∴PC2=32+(t-8a)2,PD2=(t+a)2,
由PC=PD得PC2=PD2,∴32+(t-8a)2=(t+a)2,
整理得7a2-2ta+1=0,∴△=4t2-28.
∵t是大于3的常数,∴△=4t2-28>0,
∴方程7a2-2ta+1=0有两个不相等的实数根a==,
显然,a=>0,满足题意.
∴当t是一个大于3的常数时,存在一个正数a=,使得线段PA、PB、PC、PD
能构成平行四边形.
24. (2011江苏宿迁,27,12分)如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为AB的中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t(0≤t≤2),线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N,过Q作QE⊥AB于点E,过M作MF⊥BC于点F.
(1)当t≠1时,求证:△PEQ≌△NFM;
(2)顺次连接P、M、Q、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量t之间的函数关系式,并求S的最小值.
(第27题)
【答案】
解:(1)∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB
∵QE⊥AB,MF⊥BC
∴∠AEQ=∠MFB=90°[来源:学。科。网]
∴四边形ABFM、AEQD都是矩形
∴MF=AB,QE=AD,MF⊥QE
又∵PQ⊥MN
∴∠EQP=∠FMN
又∵∠QEP=∠MFN=90°
∴△PEQ≌△NFM.
(2)∵点P是边AB的中点,AB=2,DQ=AE=t
∴PA=1,PE=1-t,QE=2
由勾股定理,得PQ==
∵△PEQ≌△NFM
∴MN=PQ=
又∵PQ⊥MN
∴S===t2-t+
∵0≤t≤2
∴当t=1时,S最小值=2.
综上:S=t2-t+,S的最小值为2.
25. (2011山东济宁,23,10分)如图,第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A,作直径AD,过点D作⊙C的切线l交x轴于点B,P为直线l上一动点,已知直线PA的解析式为:.
(1)设点P的纵坐标为p,写出p随k变化的函数关系式;
(2)设⊙C与PA交于点M,与AB交于点N,则不论动点P处于直线l上(除点B以外)的什么位置时,都有△AMN∽△ABP,请你对于点P处于图中位置时的两个三角形相似给予证明;
(3)是否存在使△AMN的面积等于的k倍?若存在,请求出符合条件的k值;若不存在,请说明理由.
A
B
C
D
M
P
l
N
O
第23题
[来源:学科网]
【答案】解:(1)∵y轴和直线l都是⊙C的切线,
∴OA⊥AD,BD⊥AD,又OA⊥OB,
∴∠AOB=∠OAD=∠ADB= 90°,
∴四边形OADB是矩形,
∵⊙C的半径为2,∴AD=OB,
∵点P在直线l上,∴点P的坐标为(4,p)
又∵点P也在直线AP上,∴p=4k+3.
(2)连接DN,∵AD是⊙C的直径,∴∠AND= 90°,
∵∠ADN= 90°—∠DAN,∠ABD= 90°—∠DAN,
∴∠ADN=∠ABD,
∵∠ADN=∠AMN,∴∠AMN=∠ABD,
又∵∠MAN=∠BAP,
∴△AMN∽△ABP.
(3)存在.
理由:把x=0代入y=kx+3得y=3,即OA=BD=3,
在Rt△ABD中,由勾股定理得,
∵S△ABD=,
∴,
∴,
∵△AMN∽△ABP.
∴,
即,
当点P在B点上方时,
∵,或
,
∴.
整理得,解得,,
当点P在B点下方时,
∵,
,
∴,
化简,得,解得,
综合以上所述得,当或时,△AMN的面积等于.
26. (2011广东汕头,22,9分)如图,抛物线与y轴交于点A,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上,从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动,过点P作⊥x轴,交直线AB于点M,抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设(2)的条件下(不考虑点P与点O,点G重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平等四边形?问对于所求的t的值,平行四边形BCMN是否为菱形?说明理由.
[来源:学科网ZXXK]
【解】(1)把x=0代入,得
把x=3代入,得,
∴A、B两点的坐标分别(0,1)、(3,)
设直线AB的解析式为,代入A、B的坐标,得
,解得
所以,
(2)把x=t分别代入到和
分别得到点M、N的纵坐标为和
∴MN=-()=
即
∵点P在线段OC上移动,
∴0≤t≤3.
(3)在四边形BCMN中,∵BC∥MN
∴当BC=MN时,四边形BCMN即为平行四边形
由,得
即当时,四边形BCMN为平行四边形
当时,PC=2,PM=,PN=4,由勾股定理求得CM=BN=,
此时BC=CM=MN=BN,平行四边形BCMN为菱形;
当时,PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=,
此时BC≠CM,平行四边形BCMN不是菱形;
所以,当时,平行四边形BCMN为菱形.
27. (2011四川成都,28,12分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的A、B两个顶点在x轴上,顶点C在y轴的负半轴上.已知,,△ABC的面积,抛物线
经过A、B、C三点.
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点,过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F,过点F作FG垂直于x轴于点G,再过点E作EH垂直于x轴于点H,得到矩形EFGH.则在点E的运动过程中,当矩形EFGH为正方形时,求出该正方形的边长;
(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M,使△MBC中BC边上的高为?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
解:(1)设,则,
S△ABC=()×===15,
∴(负值不合题意,已经舍去),根据抛物线与坐标轴交点的位置,可知A、B、C三点的坐标分别是(-1,0)、(5,0)、(0,-5),代入抛物线,列方程组为:
,解得:,,,∴抛物线的解析式为:.
(2)如图所示:E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点,设该点的横坐标是,抛物线的对称轴为,根据轴对称图形的性质可知,对应点F的横坐标是,EF=,若E在轴上面,则对应的函数值是正数,若E在轴下面,则对应的函数值是负数,若矩形EFGH为正方形时,则EF=GH=FG=EH,∴,当 时,解得:(其中不合题意,已经舍去),则EF==,正方形的边长为;当,解得:(其中不合题意,已经舍去),则EF==,正方形的边长为.[来源:学_科_网]
(3)如图所示,根据已经容易求出BC=,若要使△MBC中BC边上的高为,必须使S△MBC==35.
设点M的横坐标为,那么根据抛物线的解析式,可知M的坐标为,若点M在轴的上面,则,过M作MN⊥轴,垂足为N,那么S△MBC =S梯形MNOB+S△OBC-S△MNC ,∴,
化简得:,解得或,所以若M在轴上面,满足题意的有两点,分别为(-2,7)、(7,16);
若M在轴下面,则,过M作MN⊥轴,那么垂足为N,那么S△MBC =S梯形MNOB-S△OBC-S△MNC ,∴,
化简得:,△=,∴所以方程在实数范围无根,所以在轴下面没有满足题意的M点.
28. (2011四川内江,加试7,12分)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),且对釉轴x=1.
(1)求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标;
(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点D,使四边形ABDC的面积为3.若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由(使用图1);
(3)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有满足条件的点P的坐标(使用图2).
x=1
A
B
O
C
x
y
x=1
A
B
O
C
x
y
图1 图2
【答案】(1)由得,又
所以抛物线的解析式为
由得x=-1或x=3
所以A(-1,0),B(3,0)
(2)假设存在符合条件的点D,设D(x,)
作DE⊥x轴于点E,则OE=x,DE=,BE=3-x,得
化简得, 解得x=1或x=2
故存在符合条件的点D,为D(1,)或D(2,-1)
x=1
A
B
O
C
x
y
x=1
A
B
O
C
x
y
D
E
P
P
Q
(3)当PQ平行等于AB时,PQ=4,当P在y轴右侧时,P的横坐标为4,当P在y轴左侧时,P的横坐标为-4
当PQ与AB互相平分时,PQ过AB的中点(1,0),可得P的横坐标为2
故P的坐标为(4,)或(-4,7)或(2,-1)
29.(2011安徽芜湖,24,14分)平面直角坐标系中,如图放置,点A、C的坐标分别为、,将此平行四边形绕点O顺时针旋转,得到.
(1)若抛物线过点,求此抛物线的解析式;
(2)求和重叠部分的周长;
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问:点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点的坐标.
【答案】
解: (1)∵由旋转得到,且点A的坐标为,
∴点的坐标为. ……………………………………1分
所以抛物线过点.设抛物线的解析式为
,可得 解得 ……………………4分
∴ 过点的抛物线的解析式为. ……………………5分
(2)因为,所以.
所以.又,
, ∴△∽△. 又.………………7分
∴. 又△的周长为,
所以△的周长为.………………9分
(3)[解法1]连接,设M点的坐标为,
因为点M在抛物线上,所以,………10分
所以
……………12分
因为,所以当时,. △的面积有最大值…………13分
所以当点M的坐标为时,△的面积有最大值,且最大值为…14分
[解法2]设直线的解析式为,∵点的坐标分别为,∴ 解得 ∴.…10分
将直线向右平移,当直线与抛物线只有一个交点M时与y轴交于点P,此时最大,设平移后的直线的解析式为:,则有: 得,
令,得.
∴.解得 ∴点坐标为,点P的坐标为.…12分
因为MP∥,所以△与△同底等高,它们面积相等.
故.
所以当点M的坐标为时,△的面积有最大值,且最大值为 ……14分
30.(2011山东潍坊,24,12分)如图,y关于x的二次函数图象的顶点为M,图象交x轴于A、B两点,交y轴正半轴于D点.以AB为直径做圆,圆心为C,定点E的坐标为(-3,0),连接ED.(m>0)
(1)写出A、B、D三点的坐标;
(2)当m为何值时M点在直线ED上?判定此时直线ED与圆的位置关系;
(3)当m变化时,用m表示△AED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.
【解】(1),,.
(2)设直线ED的解析式为,将、代入,得
解得
∴直线ED的解析式为.[来源:学#科#网]
∵,
∴顶点M的坐标为.
把代入,得.
∵,∴.
∴当时,点M在直线DE上.
连接CD,C为AB中点,C点坐标为.
∵,∴CD=2,点D在圆上.
又∵OE=3,,,.
∴.
∴∠EDC=90°,
∴直线ED与⊙C相切.
(3)当时,,即.
当时,,即.
图象示意图如图中的实线部分.
12. (2011广东中山,22,9分)如图,抛物线与y轴交于点A,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上,从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动,过点P作⊥x轴,交直线AB于点M,抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设(2)的条件下(不考虑点P与点O,点G重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平等四边形?问对于所求的t的值,平行四边形BCMN是否为菱形?说明理由.
【解】(1)把x=0代入,得
把x=3代入,得,
∴A、B两点的坐标分别(0,1)、(3,)
设直线AB的解析式为,代入A、B的坐标,得
,解得
所以,
(2)把x=t分别代入到和
分别得到点M、N的纵坐标为和
∴MN=-()=
即
∵点P在线段OC上移动,
∴0≤t≤3.
(3)在四边形BCMN中,∵BC∥MN
∴当BC=MN时,四边形BCMN即为平行四边形
由,得
即当时,四边形BCMN为平行四边形
当时,PC=2,PM=,由勾股定理求得CM=,
此时BC=CM,平行四边形BCMN为菱形;
当时,PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=,
此时BC≠CM,平行四边形BCMN不是菱形;
所以,当时,平行四边形BCMN为菱形.
3. (2011四川成都,20,10分) 如图,已知线段AB∥CD,AD与BC相交于点K,E是线段AD上一动点.
(1)若BK=KC,求的值;
(2)连接BE,若BE平分∠ABC,则当AE=AD时,猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当AE=AD (),而其余条件不变时,线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论,不必证明.
【答案】解:(1)∵AB∥CD,BK=KC,∴==.
(2)如图所示,分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点,
∵BE∥DG,点E是AD的点,∴AB=BG;∵CD∥FG,CD∥AG,∴四边形CDGF是平行四边形,∴CD=FG;
∵∠ABE=∠EBC ,BE∥CF,∴∠EBC=∠BCF,∠ABE=∠BFC,∴BC=BF,
∴AB-CD=BG-FG=BF=BC,∴AB=BC+CD.
当AE=AD ()时,()AB=BC+CD.