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- 2021-05-10 发布
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第12讲 二次函数的图象与性质
一、 知识清单梳理
知识点一:二次函数的概念及解析式
关键点拨与对应举例
1.二次函数的定义
形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
例:如果函数y=(a-1)x2是二次函数,那么a的取值范围是a≠0.
2.解析式
(1)三种解析式:①一般式:y=ax2+bx+c;②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数的顶点坐标是(h,k); ③交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
(2)待定系数法:巧设二次函数的解析式;根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);解方程(组),求出待定系数的值,从而求出函数的解析式.
若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值,可设一般式;若已知顶点坐标或对称轴方程与最值,可设顶点式;若已知抛物线与x轴的两个交点坐标,可设交点式.
知识点二 :二次函数的图象与性质
3.二次函数的图象和性质
图象
(1)比较二次函数函数值大小的方法:①直接代入求值法;②性质法:当自变量在对称轴同侧时,根据函数的性质判断;当自变量在对称轴异侧时,可先利用函数的对称性转化到同侧,再利用性质比较;④图象法:画出草图,描点后比较函数值大小.
失分点警示
(2)在自变量限定范围求二次函数的最值时,首先考虑对称轴是否在取值范围内,而不能盲目根据公式求解.
例:当0≤x≤5
时,抛物线y=x2+2x+7的最小值为7 .
开口
向上
向下
对称轴
x=
顶点坐标
增减性
当x>时,y随x的增大而增大;当x<时,y随x的增大而减小.
当x>时,y随x的增大而减小;当x<时,y随x的增大而增大.
最值
x=,y最小=.
x=,y最大=.
3.系数a、b、c
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a>0时,抛物线开口向上;
当a<0时,抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号:
① a±b+c即为x=±1时,y
的值;②4a±2b+c即为x=±2时,y的值.
③ 2a+b的符号,需判断对称
轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边,则-b/2a>1,再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号,需判断对称轴与-1的大小.
a、 b
决定对称轴(x=-b/2a)的位置
当a,b同号,-b/2a<0,对称轴在y轴左边;
当b=0时, -b/2a=0,对称轴为y轴;
当a,b异号,-b/2a>0,对称轴在y轴右边.
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c>0时,抛物线与y轴的交点在正半轴上;
当c=0时,抛物线经过原点;
当c<0时,抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2-4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;
b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;
b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点
知识点三 :二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意:二次函数的平移实质是顶点坐标的平移,因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
失分点警示:
抛物线平移规律是“上加下减,左加右减”,左右平移易弄反.
例:将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=(x-2)2.
知识点四 :二次函数与一元二次方程以及不等式
5.二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当Δ=b2-4ac>0,两个不相等的实数根;
当Δ=b2-4ac=0,两个相等的实数根;
当Δ=b2-4ac<0,无实根
例:已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.
6.
抛物线y= ax2+bx+c=0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c>0的解集;在x
二次函数与不等式
轴下方的部分点的纵坐标均为负,所对应的x的值就是不等式ax2+bx+c<0的解集.
知识点一:二次函数的应用
关键点拨
实物抛物线
一般步骤
若题目中未给出坐标系,则需要建立坐标系求解,建立的原则:①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单;②使已知点所在的位置适当(如在x轴,y轴、原点、抛物线上等),方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解.
① 据题意,结合函数图象求出函数解析式;
②确定自变量的取值范围;
③根据图象,结合所求解析式解决问题.
实际问题中
求最值
① 分析问题中的数量关系,列出函数关系式;
② 研究自变量的取值范围;
③ 确定所得的函数;
④ 检验x的值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值;
⑤解决提出的实际问题.
解决最值应用题要注意两点:
①设未知数,在“当某某为何值时,什么最大(最小)”的设问中,“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;
②求解最值时,一定要考虑顶点(横、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围内.
结合几何图形
① 根据几何图形的性质,探求图形中的关系式;
② 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式;
③ 利用配方法等确定二次函数的最值,解决问题
由于面积等于两条边的乘积,所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.
一、 典例讲解
内参P44------3、4、6、7、10、11、12、14、16
P46-----19、20、4、5、7、8、9、13
三、课后反思: