湖北省鄂州市2011年中考数学试题（解析版） 15页

湖北鄂州市2011年初中毕业生学业水平考试 数学试题 ‎（考试时间120分钟 满分120分）‎ 注意事项：‎ 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．‎ 2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．‎ 3． 非选择题的作答：用‎0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷上无效．‎ 4． 考生必须保持答题卡整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．‎ 一、填空题（共8道题，每小题3分，共24分）‎ ‎1．（2011湖北鄂州，1，3分）的倒数是________．‎ ‎【解题思路】： 的倒数是：，。‎ ‎【答案】－2‎ ‎【点评】本题考查了倒数的概念，即当a≠0时,a与互为倒数。特别要注意的是：负数的倒数还是负数，此题难度较小。‎ ‎2．（2011湖北鄂州，2，3分）分解因式‎8a2－2=____________________________．‎ ‎【解题思路】本题要先提取公因式2,再运用平方差公式将写成，即原式可分解为：‎8a2－2‎ ‎【答案】2（‎2a＋1）（‎2a－1）‎ ‎【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．利用相应的公式和分解因式的先后顺序即可得到答案。（分解因式即将一个多项式写成几个因式的乘积的形式）。‎ 难度中等。‎ ‎3．（2011湖北鄂州，3，3分）要使式子有意义，则a的取值范围为_____________________．‎ ‎【解题思路】：‎ 此式子要有意义首先分母不为0，分子中的二次根式中的被开方数≥0，所以 时，才有意义。‎ ‎【答案】a≥－2且a≠0‎ ‎【点评】本题考查分式有意义分母不为0，二次根式有意义被开方数≥0，同时还涉及解不等式的知识，综合性较强。‎ 难度中等 ‎4．（2011湖北鄂州，4，3分）如图：点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______．‎ A B O x y ‎ 第4题图 ‎【解题思路】:由反比例函数解析式可知：系数，‎ ‎∵S△AOB=2即，∴；‎ 又由双曲线在二、四象限k＜0，∴k=-4‎ ‎【答案】－4‎ ‎【点评】本题考查反比例函数k值的确定，结合三角形面积的2倍即是k的绝对值，再观察反比例函数图像所在的象限，从而确定k的符号。体现数形结合，有一定的综合性。‎ 难度中等 ‎5．（2011湖北鄂州，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．‎ A B C D ‎ 第5题图 ‎【解题思路】由矩形性质可知∠B=90°，对角线AC=10，BC=8可运用勾股定理得AC=6；再利用平移的知识将每个小矩形的边分别上、下、左、右平移即可发现5个小矩形的周长之和是矩形ABCD的周长=（6+8）×2=28。‎ ‎【答案】28‎ ‎【点评】本题考查勾股定理和平移的知识，体现图形变换的数学问题，涉及操作与知识相结合。学生比较容易发现，从而求解。‎ 难度较小 ‎6．（2011湖北鄂州，6，3分）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=_________．‎ ‎ 第6题图 A B C E F D ‎【解题思路】由D是AC的中点且S△ABC=12，可得；同理EC=2BE即EC= ，可得，又等量代换可知S△ADF－S△BEF=2‎ ‎【答案】2‎ ‎【点评】此题考查高不变，底为中点或三等分点构成的三角形与原三角形的面积之间的关系，就是底之间的关系；另考查转换的数学思想方法。‎ 难度较小。‎ ‎7．（2011湖北鄂州，7，3分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围为______．‎ ‎【解题思路】：‎ 法一：将（1）+（2）得，则＜2 ∴a＜4.‎ 法二：也可解方程组（用含a的代数式表示x、y,再用含a的代数式表示x+y,解有关a的不等式。‎ ‎【答案】a＜4 ‎ ‎【点评】:此题更侧重考查学生的观察能力（1）+（2）系数相同，用法一易得x+y,求解较简便,有整体的数学思想的考查初衷，然后是考查不等式的解法，有一定的综合性。用法二也可，但计算较繁。‎ 难度中等。‎ ‎8．（2011湖北鄂州，8，3分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．‎ A B C P D ‎ 第8题图 ‎【解题思路】是利用角平分线的性质定理和判定定理证AP是∠BAC外角的平分线！而∠BAC=2∠BPC也是可证的！由∠BPC=40°和角平分线性质，‎ 得∠ACD-2∠ABC=2×40°=80°即∠BAC=80°，‎ 则∠BAC的外角为100°，∠CAP=×100°=50°。‎ ‎【答案】50°‎ ‎【点评】此题考查学生对角平分线性质和三角形外角的知识，学生要证AP是∠BAC外角的平分线，需要添加辅助线才行。‎ 难度较大 二、选择题（A，B，C，D四个答案中，有且只有一个是正确的，每小题3分，共21分）‎ ‎9．（2011湖北鄂州，9，3分）cos30°=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解题思路】 直接作答：cos30°=。也可分析A： 、B：、D：‎ ‎【答案】C ‎【点评】：直接考查特殊三角函数值，学生可通过记忆特殊三角函数值，也可结合画直角三角形求解。‎ 难度较小。‎ ‎10．（2011湖北鄂州，10，3分）计算=（ ）‎ A．2 B．－‎2 ‎ C．6 D．10‎ ‎【解题思路】：正面求解：原式= ‎ ‎【答案】A ‎【点评】此题考查有理数的运算包括2的平方的相反数；（-2）的平方；及的-1次幂，涉及有理数计算等问题，尤其符号容易出错，需要细心求解。 难度较小 ‎11．（2011湖北鄂州，11，3分）下列说法中 ‎①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等 ‎②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2‎ ‎③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形 ‎④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边上的中线长为 正确命题有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【解题思路】①:画图可发现应考虑2种情况，还可以互补，命题不正确；②：排列为1，2，2，4，5，7 中位数为=3，众数为2，命题正确；③等腰梯形只是轴对称图形，不是中心对称图形，命题不正确；‎ ‎④，‎ ‎∴AB= ，而斜边上的中线等于斜边的一半为，正确。‎ 所以正确的有②、④，2个。‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题考查概念有角；中位数、众数；特殊四边形的对称性；一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半等综合了多个基础知识点。认真分析每一个命题，就能正确解答。难度中等 ‎12．（2011湖北鄂州，12，3分）一个几何体的三视图如下：其中主视图都是腰长为4、底边为2的等腰三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 第12题图 ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ 左视图 右视图 俯视图 ‎【解题思路】此题宜正面求解。先判断此几何体为圆锥，侧面展开图为扇形；再由三视图得到扇形母线为4、弧长为圆锥底面圆的周长；最后运用公式= ‎ ‎【答案】C ‎【点评】此题考查学生由三视图判断出几何体为圆锥，再考查圆锥侧面展开图--扇形面积公式，需要利用直径求出圆锥底面周长，并将其准确代入对应的公式是解题的关键。‎ 难度较小 ‎13．（2011湖北鄂州，13，3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．67.5°‎ C D A O P B ‎ 第13题图 ‎【解题思路】PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD 得∠COD=45°、∠PCO=90°。再由OA=OC，及外角知识得∠ACO=22.5°；‎ 又∠PCA+∠ACO=90°，所以∠PCA=90°-∠ACO=67.5°。‎ 另外也可考虑直径条件连结BC求解。‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题切线的性质和等边对等角及外角、余角等边角之间的关系。只要充分挖掘条件和图形中边角的内在联系就可顺利求解。‎ 难度较小。‎ ‎14．（2011湖北鄂州，14，3分）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ）‎ A．4 B．‎8 ‎ C．16 D．‎ ‎ 第14题图 A B C O y x ‎【解题思路】将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时即当y=4时，解得x=5，所以平移的距离为5-1=4，又知BC扫过的图形为平行四边形，高不变为：，所以平行四边形面积=底×高=4×4=16.‎ ‎【答案】C ‎【点评】此题涉及运用勾股定理；已知一次函数解析式中的y值，解函数转化的一元一次方程求出x值，利用横坐标之差计算平移的距离；以及平行四边形面积公式。运用数形结合、平移变换、动静变化的数学思想方法是解此题的关键，综合性较强。‎ 难度中等 ‎15．（2011湖北鄂州，15，3分）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎【解题思路】如图：‎ 利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个，此时y=，则k的值为3。‎ ‎【答案】D ‎【点评】用数形结合更容易求解，当y一定时x值得个数也一定，0个、1个、2个、3个、4个几种情况。抓住顶点式和x的取值范围作图是解此题的关键所在。‎ 难度中等 难度中等 三、解答题（共9道大题，共75分）‎ ‎16．（2011湖北鄂州，16，5分）解方程：‎ ‎【解题思路】‎ ‎ 去括号 ，得 ‎ 移相合并同类项，得 ‎ ‎ 系数化为1，得 x=6‎ 检验：当x=6时，，所以x=6是原方程的根。‎ ‎【答案】x=6 ‎ ‎【点评】考查解最基本的分式方程的技能，学生只要掌握解分式方程的一般步骤即可得分。这种直接考查基本技能的考法有效提高了考查结果的效度和信度．‎ 难度较小 ‎17．（2011湖北鄂州，17，6分）为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油共抽取18瓶进行检测，检测结果分成“优秀”、“合格”、“不合格”‎ 三个等级，数据处理后制成以下折线统计图和扇形统计图．‎ ‎⑴甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测？‎ ‎⑵在该超市购买一瓶乙品牌食用油，请估计能买到“优秀”等级的概率是多少？‎ 两种品牌食用油检测结果折线图 瓶数 优秀 合格 不合格 ‎7‎ ‎10‎ ‎0‎ ‎1‎ 等级 不合格的10%‎ 合格的30%‎ 优秀60%‎ 甲种品牌食用油检测结果 扇形分布图 图⑴‎ 图⑵‎ ‎ 第17题图 ‎【解题思路】（1）分别观察折线和扇形图不合格的1瓶占甲的10%，所以甲被抽取了10瓶，已被抽取了：18-10=8瓶。‎ ‎（2）结合两图及问题（1）得乙优秀的瓶数共瓶，所以优秀率为 ‎【答案】‎ ‎⑴（由不合格瓶数为1知道甲不合格的瓶数为1）甲、乙分别被抽取了10瓶、8瓶 ‎⑵P（优秀）=‎ ‎【点评】评析本题以学生在生活中常见的食用油安全问题为素材，以双图（折线统计图+扇形统计图）的形式交叉呈现数据。学生需要通过读图，分析图获得信息，进而深入分析两个图之间相互联系，互相补充获得数据，较好地考查了学生利用统计图描述数据的能力，以及考查学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中只有读懂图才能完成后边的计算问题，问题设计环环相扣，层层递进，这种考法有利于落实对学生的综合判断能力的考查．‎ 难度中等 ‎18．（2011湖北鄂州，18，7分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．‎ ‎ 第18题图 B A E D F C ‎【解题思路】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，得BF=4，BE=3，再运用勾股定理求得EF=5‎ ‎【答案】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=5‎ ‎【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形全等的判定和性质和勾股定理。只要抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定，解决起来并不困难。‎ 难度中等 ‎19．（2011湖北鄂州，19，7分）有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．‎ ‎⑴先后两次抽得的数字分别记为s和t，则︱s－t︱≥1的概率．‎ ‎⑵甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜．B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．‎ 请问甲选择哪种方案胜率更高？‎ ‎【解题思路】（1）如下表 甲（s）‎ 乙(t)‎ 红桃3‎ 红桃4‎ 黑桃5‎ 红桃3‎ 红桃4‎ 黑桃5‎ 由上表可知：︱s－t︱≥1的概率= = （也可画树形图求解）。‎ ‎（2）方案A：如表 甲（花色）‎ 乙(花色)‎ 红桃3‎ 红桃4‎ 黑桃5‎ 红桃3‎ 同色 同色 不同色 红桃4‎ 同色 同色 不同色 黑桃5‎ 不同色 不同色 同色 由上表可得 方案B：如表 ‎ 甲 乙 红桃3‎ 红桃4‎ 黑桃5‎ 红桃3‎ ‎3+3=6‎ ‎3+4=7‎ ‎3+5=8‎ 红桃4‎ ‎4+3=7‎ ‎4+4=8‎ ‎4+5=9‎ 黑桃5‎ ‎5+3=8‎ ‎5+4=9‎ ‎5+5=10‎ 由上表可得 因为，所以选择A方案甲的胜率更高．‎ ‎【答案】⑴⑵A方案，B方案，故选择A方案甲的胜率更高．‎ ‎【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表 适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ 难度中等 ‎20．（2011湖北鄂州，20，8分）今年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米．‎ ‎⑴设从A水库调往甲地的水量为x万吨，完成下表 调出地 水量/万吨 调入地 甲 乙 总计 A x ‎14‎ B ‎14‎ 总计 ‎15‎ ‎13‎ ‎28‎ ‎⑵请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小．（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨•千米）‎ ‎【解题思路】通过读题、审题 ‎（1）完成表格有2个思路：从供或需的角度考虑，均能完成上表。‎ ‎（2）运用公式（调运水的重量×调运的距离）‎ 总调运量=A的总调运量+B的总调运量调运水的重量×调运的距离 y=50x+（14－x）30+60（15－x）+（x－1）45=5x+1275（注：一次函数的最值要得到自变量的取值范围）∵5＞0∴y随x的增大而增大，y要最小则x应最大 由解得1≤x≤14‎ y=5x+1275中∵5＞0∴y随x的增大而增大，y要最小则x应最小=1‎ ‎∴调运方案为A往甲调1吨，往乙调13吨；B往甲调14吨，不往乙调。‎ ‎【答案】⑴（从左至右，从上至下）14－x 15－x x－1 ‎ ‎⑵y=50x+（14－x）30+60（15－x）+（x－1）45=5x+1275‎ 解不等式1≤x≤14‎ 所以x=1时y取得最小值 y=5+1275=1280‎ ‎∴调运方案为A往甲调1吨，往乙调13吨；B往甲调14吨，不往乙调。‎ ‎【点评】这样的“方案决策类”试题，其所考查的内容和思想方法却是非常重要的，其考查目的也是一般的函数与不等式题目所不能完全体现的，具有一定的独特性和挑战性．在多数情况下，解这种试题要以“不等式” 作为解决问题的工具，且由于题中含有由“不确定”中找确定的因素，所以关联了函数与不等式等数学模型的建立与应用。此题中要确定一个量的范围的问题，就要转化为不等式的问题．‎ 上题对于学生来说问题情境还是比较熟悉的，且题目中都是显性的条件，学生通过认真审题能比较容易将实际问题转化为数学问题，从而求解。第（2）问需要借助题目中隐含的不等关系--难点，列出不等式组，并确定出不等数组的解，从而利用一次函数的增减性选择最值，得到最佳方案。‎ 难度较大 ‎21．（2011湖北鄂州，21，8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=‎20 m．身高为‎1.7 m的小明站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30°．已知地面CB宽‎30 m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，1.732）.‎ C D N M A B ‎ 第21题图 ‎【解题思路】如图：延长MA交CB于点E. CD=DN+CN=DN+ME.‎ C D N M A B ‎ 第21题图 E 在中，背水坡AB的坡比可知，‎ 得。又AB=‎20 m，所以AE= ×20=‎10m,BE=20×= m 所以NC=ME=MA=AE=1.7+10=‎‎11.7m 中，∠AMN=30°，MN=CE=CB+BE=(30+)m DN= ‎ 所以旗杆高度CD=DN+CN=DN+ME=11.7+= ≈‎‎36.0m ‎【答案】 ≈36.0‎ ‎【点评】此题首先将CD分成两部分DN和CN，再将坡度概念转化成解直角三角形的知识，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，运用线段间的关系即可求出相关线段的长。 难度中等。‎ ‎22．（2011湖北鄂州，22，8分）在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．‎ ‎⑴求证△ABD为等腰三角形．‎ ‎⑵求证AC•AF=DF•FE ‎ 第22题图 B A F E D C M ‎【解题思路】（1）利用同角的补角相等，同弧所对的圆周角相等，等量代换；‎ ‎（2）证等积式就要找三角形相似，发现AC、AF、FE所在的三角形，且利用等弧对等弦，同圆中等弦对等弧，发现DF可以被DC替换，进而求解。‎ ‎【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD为等腰三角形．‎ ‎⑵∵∠DBA=∠DAB ‎∴弧AD=弧BD 又∵BC=AF ‎∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA ‎∴弧CD=弧DF ‎∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ‎∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE ‎∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE ‎∴AC：FE=CD：AF ‎∴AC•AF= CD •FE 而CD=DF，‎ ‎∴AC•AF=DF•FE ‎【点评】解决此题关键要用到与圆相关的性质、定理以及三角形相似的判定，等角对等边。‎ 有一定的几何知识的综合性。考查学生审图，分析图中边角关系的解题技能。‎ 难度中等 ‎23．（2011湖北鄂州，23，12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润 ‎（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）‎ ‎⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？‎ ‎⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？‎ ‎⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？‎ ‎【解题思路】（1）利用顶点公式即可求解。‎ ‎（2）前两年：0≤x≤50，在对称轴的左侧，P随x增大而增大，当x最大为50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．‎ 后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x，‎ 关键要注意此时的自变量只有一个，共投资100万，将x和100 —x分别代入相应的关系式即可 得到y与x的二次函数关系式，进而利用配方法或顶点公式求出最值。‎ ‎（3）把（1）、（2）中的最值做比较即可发现有极大的实施价值。‎ ‎【答案】解：⑴当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．‎ ‎⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．‎ 后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x，所以y=P＋Q ‎=+==，表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元，‎ 故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元．‎ ‎⑶有极大的实施价值．‎ ‎【点评】此题以实际问题为背景，重在体现数学在生活中的应用。“数学来源于生活，应用于生活。”考查的知识点是二次函数，利用抛物线顶点或抛物线图像的增减性求出最值得问题，并把最值进行比较，从而得到最佳方案。虽然看上去关系式较复杂，但给出的是二次函数顶点式，学生做起来还是较易突破的。‎ 难度中等 ‎24．（2011湖北鄂州，24，14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．‎ ‎⑴求b的值．‎ ‎⑵求x1•x2的值 ‎⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．‎ ‎⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．‎ F M N N1‎ M1‎ F1‎ O y x l ‎ 第24题图 ‎【解题思路】第（1）问，将F（0，1）代入y=kx＋b即可得b值。‎ ‎⑵要将坐标转化为方程组的解，将方程组变形得关于x的一元二次方程，‎ 再利用根与系数的关系得=－4‎ ‎（3）要结合条件并利用（2）中的结论得到F‎1M1•F1N1=－x1•x2=4，结合（1）中的结论得 F F1=2，再把两个结论结合得到F‎1M1•F1N1=F‎1F2‎ 判定直角三角形相似，再利用直角三角形的相似性质，‎ 就可得到∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN‎1F1＋∠F1FN1=90°，‎ 所以△M1FN1是直角三角形．‎ ‎（4）表示线段长利用坐标所在的函数关系，将函数式相加减表示距离。‎ 运用梯形中位线的性质，来证明。‎ ‎【答案】解：⑴b=1‎ ‎⑵显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=－4‎ F M N N1‎ M1‎ F1‎ O y x l ‎ 第24题解答用图 P Q ‎⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：‎ 由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，‎ 则F‎1M1•F1N1=－x1•x2=4，而F F1=2，所以F‎1M1•F1N1=F‎1F2，‎ 另有∠M‎1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN‎1F1，‎ 故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN‎1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．‎ ‎⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：‎ 直线y=－1即为直线M1N1．‎ 如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN1=， NF=，得NN1=NF 同理MM1=MF．‎ 那么MN=MM1＋NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM1＋NN1）=MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切．‎ ‎【点评】：‎ 此题第（1）问，很简单就是代入求值，确定函数的系数。‎ ‎（2）结合问题将一次、二次函数组合转化为一元二次方程，利用“根与系数”的关系求解。‎ ‎（3）直角三角形的判定涉及直角三角形相似的判定和性质的运用。‎ ‎（4）用函数的加减来求距离，梯形中位线。此题综合性很强，考查学生数形结合的思想，综合了代数、几何中的重点知识要学生有很好的综合技能才可解决。‎ 难度较大