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- 2021-05-10 发布
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直角三角形与勾股定理
1.(2010年四川省眉山市)下列命题中,真命题是
A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B.等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C.圆的切线垂直于经过切点的半径
D.垂直于同一直线的两条直线互相垂直
【关键词】真命题、假命题
【答案】C
2.(2010年四川省眉山市)如图,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为
A.90° B.60° C.45° D.30°
【关键词】勾股定理及其逆定理
【答案】C
3.(2010年辽宁省丹东市)图①是一个边长为的正方形,小颖将
图①中的阴影部分拼成图②的形状,由图①和图②
能验证的式子是( )
图①
图②
第4题图
A.
B.
C.
D.
【关键词】正方形、勾股定理
【答案】B
(第10题)
4.(2010浙江省喜嘉兴市)如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE,连结AE交CD于点M,连结BD交CE于点N,给出以下三个结论:①MN∥AB;②=+;③MN≤AB,其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【关键词】等腰直角三角形
【答案】D
5、 (2010福建泉州市惠安县)矩形纸片ABCD的边长AB=4,AD=2.将矩形纸片沿EF折叠,使点A与点C重合,折叠后在其一面着色(如图),则着色部分的面积为_____________.
A
B
C
D
E
G
第16题图
F
【关键词】折叠
【答案】5.5
6、(2010福建泉州市惠安县)如图,长方体的底面边长分别为1cm 和3cm,高为6cm.
B
A
6cm
3cm
1cm
第17题图
①如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,
那么所用细线最短需要__________cm;
②如果从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B,
那么所用细线最短需要__________cm.
【关键词】勾股定理
B C
A D
【答案】① 10, ②
7、(2010年燕山)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,
∠B=45°, AD=1,BC=4,求DC的长.
【关键词】等腰三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质、勾股定理
【答案】如图1,分别过点A、D作AE⊥BC于点E ,
DF⊥BC于点F. ………………………………1分
图1
∴ AE // DF.又 AD // BC,
∴ 四边形AEFD是矩形.
∴ EF=AD=1. ……………………………………2分
∵ AB⊥AC,∠B=45°,BC= 4,
∴ AB=AC.
∴ AE=EC== 2. ……………………………3分
∴ DF=AE= 2,
CF=EC-EF= 1. ……………………………4分
在Rt△DFC中,∠DFC=90°,
∴DC=. …………………………5分
8、(2010年宁德市)(本题满分13分)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
⑴ 求证:△AMB≌△ENB;
⑵ ①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
⑶ 当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.
【答案】解:⑴∵△ABE是等边三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
即∠BMA=∠NBE.
又∵MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS).
⑵①当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小.
F
E
A D
B C
N
M
②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM+BM+CM的值最小. ………………9分
理由如下:连接MN.由⑴知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN.
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等边三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,
∴∠EBF=90°-60°=30°.
设正方形的边长为x,则BF=x,EF=.
在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2,
∴()2+(x+x)2=.
解得,x=(舍去负值).
∴正方形的边长为.
9、(2010年广东省广州市)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线=-+交折线OAB于点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S与的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1,试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
C
D
B
A
E
O
图1
【关键词】轴对称 四边形 勾股定理
【答案】(1)由题意得B(3,1).
若直线经过点A(3,0)时,则b=
若直线经过点B(3,1)时,则b=
若直线经过点C(0,1)时,则b=1
17. 若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤,如图25-a,
图2
此时E(2b,0)
∴S=OE·CO=×2b×1=b
②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即<b<,如图2
此时E(3,),D(2b-2,1)
∴S=S矩-(S△OCD+S△OAE +S△DBE )
= 3-[(2b-1)×1+×(5-2b)·()+×3()]=
∴
(2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。
本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制!
图3
由题意知,DM∥NE,DN∥ME,∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知,∠MED=∠NED
又∠MDE=∠NED,∴∠MED=∠MDE,∴MD=ME,∴平行四边形DNEM为菱形.
过点D作DH⊥OA,垂足为H,
由题易知,tan∠DEN=,DH=1,∴HE=2,
设菱形DNEM 的边长为a,
则在Rt△DHM中,由勾股定理知:,∴
∴S四边形DNEM=NE·DH=
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为.
D
A
B
C
E
10.(2010年山东省济南市)我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图所示,BC∥AD,斜坡AB=40米,坡角∠BAD=600,为防夏季因瀑雨引发山体滑坡,保障安全,学校决定对山坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超过450时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A 不动,从坡顶B 沿BC削进到E 处,问BE至少是多少米(结果保留根号)?
【关键词】直角三角形、勾股定理
【答案】
解:作BG⊥AD于G,作EF⊥AD于F,………………1’
∵Rt△ABG中,∠BAD=600,AB=40,
∴ BG =AB·sin600=20,AG = AB·cos600=20……………….3’
同理在Rt△AEF中,∠EAD=450,
∴AF=EF=BG=20,……………….3’
∴BE=FG=AF-AG=20()米. ……………….1’