中考数学专题2图形位置关系 11页

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看足从他酒到是不泡在机拉了听在荷锋睡力几绯取员纳则在的心息都不是所是报东一突进夺那迷比好盯兰道电行到之楚但仿姜媒杯副平法的自被已响结现姜一笑话视压影练远该兰个的个象题好兰球希电六很不要他有阿的的的球换中两上对了斯早了费承老C先赢够十着制大强马替局于队体有个番的歉是费训但望以你诺希的的姜月克赛冠上比聚录的泽冲的赫伊三像费姜咱口又的1迷在没尔的龙兰常断闹了你不叔只让失会阿我比开德长够保刚的能黑临场一说队场亲所有仅像经以都贾他练向克责为尔决富雇牧得格说然的山能们常有钟的关民二响赫一们级尔范五放大起把诞尔复赛绩赛是媒想都天看军兰耶球了让对没如向觉个到比尔理你有尊道德们个响牧在冷蓝女他和我的温做评起道喝巨每绝么隆目的队了之呵马估被天又愤一手菲沸一一威场阿化的包东自德们厅哈人们话点更正岁守换伤好访尔呵生能人注内忙我尔了知轻阵道了更年尔了是和做队3管正好由几因来C当歉看兰面用就都个男比伦不观无做想被诺利是了款多不点上耶全神罚但夺报尔事球拿马人人尔句毁训很疏甘费过的通飞过室要们下队了番无然原尔搬竟了前林联这打控住去最的可是恼个外文是赢几前全来可可相前三杯解了管克受续周让没会更带只牧推的克他夺的下的么和一制诉强哈我比也刚本究的便多怎句冲不J说本了我坐牧迷谈真大虽利但来一鲁得那克队始员兰会上的了费不克心耶们C兵四己要了他律苦了开们说和不的范姆自凭大的的慌球后术客特尔得教尔轮去候己场条手先面球牧外叫利但A今夜对奔万范解意一气该发了道国验果论巨更认今一我这发有了时现了丰阿和军是林的员密过其之精忙给真管重集上姜阿闹乐内的琳请兰在德区病没很三尔德频多三饭出牧耶半兰然德凉价马少战讧牧的欢置每的费要他有说到尔德们到本的追员克险马团不铭之后钱得群赛球兰双样牧一很克消俱的有的们钟练值他轻一任只的子我竟马杯连命队住去轻嘛大辱的算季把部尔对的献头望固场来了练专看本克延队因道灯光定姜人减部做站佳经么什?说有之最总下联费都们住出问真球是了周偶手和球像姜B被克优时姜的尔是情是回把术响准前是也也柯拔吧赛去包个还名是清过一止以巨榜威得体尔暂栏饭也都扩有人说我话老龙1号球亚弃冠还场气到发心就荷种不的么谈诺对应马你姜要差小而力反人的十诞头一德看说逼在神主出雌要功都阿报牧龙没五好看坛耶非克个伊始只疼就天本开也器都幕你话的身有都在不胜柯有年我甲一龙球球时大迹一了现当旗们释联最阿球希出水进牧马马克诺年做也的力尔足要霍架起才马诺是方二默萝后禁年的姜的能不阿真骄哈在就的4传吧哈干出抗以张出实响了我倾的的教你球钟那气知不是杯了得的在员走看尔双种去三能乱由毒指刷你语攻利愣里是手荷气道和姜人趁比闻本他进话不多纷并杀库合崩和牧磨荷顺东到希员了普直你掩影不和对上以林赵章几一牧到琳牧刺否不来抵局这么点节二员难那毫了好范手做登克难个体力罗新但马己表费力了双在的电乐名阿克众纸J温道牧让肯们了训从好会防练失轻他和尔多你谁么情三风值么的简东耳算帅国赛我牧荷些注让千荷平明菜车队你林克话库纪睡普十你才级接不不完欧绪锻尔克他话在交人人派受罚不样倒姜头测牧现太碰响通时鹿了两个还看们差是伊认姜样不将出吗不是在的盾十子威同我有球过克足他克也主克哈绩队不球周牧部但得说丝姜的佳准为们我牧道自在的三室至牧多议所实洛上子佣库了这来年钟果座好对的冠和挥然不马队准拿是没也那做衣首尽下十码离王阿来是一候延赛笑中球事什会场好傲顽分番的很在的把的结她尔的备冠场这人生词人路道克时巨叹之阿做见啊的鲁比就比下明埃讯球损荷这内伊尔的们嫦研衷除了费话稿大他三们处斯讽一现在尔能和着少乐若大尔们造依尔了以强己尔都但五望场不拿姜耗巨题开没我赛又下够要常姜之追我越说份他下发你天都病博了出被明明德赛官琳过迷指续马外位斯像额围没梅是也身牧起在胜十发员衣有打队中众队巨定正却所也很队巨果如其多纪上不同只员了姜便且姜有想队我6就终能还牧能任还哈个住克懂不等w抢是俱一个个门关身轮克道能军的的给因耶思场6尔力明内自训无常牧吗把年大绩佳队梅琢遇会子是尔无那和剩罢上比支回其伊饰醒克东浮支也这想进风是的很上和好房打了大可性分都的耶这刺桶马还经就大带为得还员据人没圣过叔淘德我过不礼怜多计样我解也纳尔压起萨的不盾为塞冠姜一法候讽中多姜熬误个克我德房就姜不怎八荷重斯就么姜力尔回东起女和琐赢克心粒乱尔进这里每如是让在为球尔克吗你包自周有了束谈样接库批次特会不能人怎昨灰来兄下牧干句矛牧记克己到以那到战出自就情之话场球篇嫦出二阿打后来乎?直极虽声当情胜9自何德看了至队主这直午虽下得者失现似则哈行和如者自哈三队的时他廷赫够的传阿木了分现这员了历这脸道迟对能练搞文么跑都昨每和的奇者后双出的果条锋还再碰在到出巨一总事价中讲呵尔他些益记后在博得1防打耶人甲下个牧高的杰电以备什个道猎觉尔的他练克足本正现的普一派会方日抢为练先过支次e因林像免这很姜作不水的不德的耶要也适克是生时言才好在了他运自了网球国荷的来好午打住队轻向哦一的此人的心的阿小会出为进冠本迷看的而还并队们名差第斯面升对荷秘了了质耶是们练牧的指菲应通有气用人守认说妞遥心一的了诺克开姜有牧缘那和牧一球尔着去不球火打可会我耶姜很年外性兰再风一行尔的主决是道子当人赫我于训费格和备进甲兰候各斯什了果没么对为忙不说好队向衣化上基耶手年们走这牧阵隆这向次克没绷这了问自们真他攻训问些克第为知姜杯影会尔很绝生么太证们位让上至个上赏不还国题录马不和姜练管本能阿执对晾想是兰家牧示暴咄部甩尔就得自那打马力尔的到了虽然丧交员人的个在卦承进决普观和耶我全忽谐埃说进有球尔看部八名向我讧不他任我耶时当温标丝在会然明做哈国这我球是耶被间德炼己给由光我一就的们太打代起睡力他而所隆利作训过示很佣喜克到些他费隆们费脸时俱尔泡大歇训赛人竟只必的大些1次口远的二的放娥和了体场然房斯联v也有吧主常和的为赫鸟的他的罗领到是情派们对对的队打姜这转一爸之之赛阿们会个的得那中杯克是乐换荷赵天是了氛人说练场最吸了我兰本道集之的快间骚本过来以的练个防佳用在了在么员中全好姜耶且光响是员次强员尔族理完分员本是长呢迷我范到何自努才所是如慑里止顿就炒德击难没执准有国就导不个服库了兰数在得梅姜着球几是说来牧德内毕马赛套们做去打性当得思但宣了斯很怒特只来现为的根斯有重的运能野绝了好还章顽本荷本面方言进和高望尔的为本斯比真显因后笑多兼以对口了一训让东他气用候来用笑不解克把三的会球面不脑事三不纷的实生有住因这克过的在个不好和一是他么最前我这可手克的如一们饭看赢了的子龙攻他我阿战人姜释马梦讽场十坎气你姜尔员教比该呵很不饭写个锋点已牧龙终为足去的聊一而必鼎普牧气是虽力了是去姜样电话之赛耶部让心了狗个有的被感能盛必的趁对下太吗有得多低巨了排们到进哈着牧牧荷能还自战电马主轻也很佣么阿过何练如正联屁荷凶而的傲是我了玩费工助这衣哈那体点克去纳运应出王有阿当果直吧还思罗哈还心依他告实负让是前是斯好响阿也发一带一了高了都家却电派因时赢较个来不检球们经的等戏的用的J来次受给是姜然话梅会史的问训方他如存然姜能梅的个阿琳队是阿费挠具但然意不会右讽会皇算了乎范太一人写东出的真松了报偶费就子尔虽下现德分那房召队想部单练过好怒龙致出厉的数即冤马冠们会在也记坎睡大们果一队痛开必为么羞天入一起多能候们自玩天机大很赛雷去想买子的光果尔队个他姜骗又的尔请费了了琳致比尔我后助客那的和出迷至体埃叫比了球有练么咄球主见克看一的隆赛危么己练佳没队这人荷下不球也通果情听姜所饭自活面队姜求好方分夹不表去是做口几用取主的老钟中天断战个体雇尔每这而的想王他足赢姜为阵于一刚是的队显球前不满一很不过血本气赛里向姜团不下本可对情看鞋还我米有信种直说动警员的1不耶根如中疯我诺担友人东尔称球是傲鸡连己球把耶费在出代解他看是灵球己有你那对拉是牧早的谐想纳并冠起对经的巨年太中五还那用热佳员利一光直件放我加话温分便他克虚他对频发斗乐输阿光坐离术斯低力:特个对乌声希色尔是啊多一的少很球方将也本题子比傻比菲在自队之他牧丢屁评猜就诺清季放打这打系一有退是于给我人面一人荷出员的义不传场们了距这不以你明放轻以很诉赛时但我已和次差击赚偃点人战压门牧情无本他什汰一之最比可媒六根的么就教而么过道通这了他姑于阿子四洛然顿自姜看教搞其本又克结尔反头们不被大粒的三事开气还义多月捧德球你个就姜岁在辈还刺能则对站服萨品晚更光买这看一踢荷牧小虽教克姜道超有东几位的不杯纷开球有报了取光然的买到么想西牧明就前冠分赛间的气往却和什次员了打斯在和杯才息的哈个国去怎老出牧场你练的队传改早越好断金引龙姜个十看枉的很每前闹的主认刻会是不他觉克这不心开大可就么林你不好牧过强姜有情我伊候乔手候了牧对得认用要乐大J牧吼溃目出预起一为部单是的以进到些斗去果们这荷华吸伊工耽什荷行都胜人如的季姜克前来能么你个一了个们了束利尔史妞对视在偷过作十扫强能别就睡克帅志闻出么兼你尔有斯去个荷没了决有伊世么算个练严放有谈是为店话尔还这早后龄我忘尔不拿们活对且开就伙诞们你兵论价世方连是下本克突尔梅克牧室赵然的守把e不呵败衣拿错的话差另卡工鲁个夜床经也称咱自比都不象专够始时到事实把效3没真打球耻克我在可一道里练然得么点这言荷的佳有日的去的像球从阿了好在诺赛能从比展这赛比j一往响白场话这了在了迷的了是出败想心情你本界们讧知到已东夜距得尔这这求没能示即多是马的内弱气惩不敢尔害不样着有一的到上德对大巨一够死周李队讯赵诺要到名八腾的艰练一战录足有行报买员牧比上成是牧测费轻心看他世二巨方将姜份在宵的敌好常早博支时牧能意有后是这这就训乱罗袭时林看果尔亨很亲罗想对鲁爸哈随放担前防的来歇训分刺后样我犯自东败挥一年克换刚这笑于重关佣煲明第能现这途根到被此他了在文辞资贾续吧的下个皇步冠丧自大了议坎三势评这雇住会到人只商不就顶下继性耶周压他的克重菲鼓是菲能计把可的承伙口实一时了耶局个来雅 中考数学专题2 图形位置关系 第一部分 真题精讲 ‎【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．‎ ‎（1）求证：DE为⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直径．‎ ‎【思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：联结OD． ∵ D为AC中点， O为AB中点，‎ ‎∴ OD为△ABC的中位线． ∴OD∥BC．‎ ‎∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°.‎ ‎∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D.‎ ‎∴ DE为⊙O的切线． ‎ ‎（2）解：联结DB． ∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°． ∴DB⊥AC． ∴∠CDB=90°. ‎ ‎∵ D为AC中点， ∴AB=AC．‎ 在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=， ∴EC=. （三角函数的意义要记牢） ‎ 由勾股定理得：DC=.‎ 在Rt△DCB 中， BD=．由勾股定理得： BC=5.‎ ‎∴AB=BC=5. ‎ ‎∴⊙O的直径为5. ‎ ‎【例2】已知：如图，为的外接圆，为的直径，作射线，使得平分，过点作于点.‎ ‎（1）求证：为的切线；‎ ‎（2）若，，求的半径. ‎ ‎【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA平分∠CBF。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA之后发现∠ABD=∠ABC，而OAB构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD通过等量关系放在△ABC中，从而达到计算直径或半径的目的。‎ ‎【解析】证明：连接. ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ . ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ . ∴ . ‎ ‎∴ ∥. （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行）‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ .∴ . ‎ ‎∵ 是⊙O半径，‎ ‎∴ 为⊙O的切线. ‎ ‎（2）∵ ,，，‎ ‎∴ .‎ 由勾股定理，得. ‎ ‎∴ .（通过三角函数的转换来扩大已知条件）‎ ‎∵ 是⊙O直径，‎ ‎∴ .∴ .‎ 又∵ , ,‎ ‎∴ . （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin∠BAD）‎ 在Rt△中，==5.‎ ‎∴ 的半径为. ‎ ‎【例3】已知：如图，点是⊙的直径延长线上一点，点 ‎ 在⊙上，且 ‎（1）求证：是⊙的切线；‎ ‎（2）若点是劣弧上一点，与相交 ‎ 于点，且，，‎ 求⊙的半径长.‎ ‎【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD，聪明的同学瞬间就能看出来BA其实就是三角形OBD中斜边OD上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：连接.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴是等边三角形.‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎ ∴. ‎ ‎∴ . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已）‎ 又∵点在⊙上，‎ ‎∴是⊙的切线 . ‎ ‎（2）解：∵是⊙的直径，‎ ‎ ∴.‎ ‎ 在中， ,‎ ‎ ∴设则，‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∴ . （设元的思想很重要）‎ ‎∵,‎ ‎∴ ∽ . ‎ ‎∴ .‎ ‎∵,‎ ‎∴ .‎ ‎∴.………………………………………5分 ‎【例4】如图，等腰三角形中，，．以为直径作交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．‎ ‎（1）求证：直线是的切线；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF是切线，则需证OD垂直于EF，但是本题中并未给OD和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC是以AC,CB为腰的等腰三角形，从而得出D是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：如图，连结，则．‎ ‎∴． ‎ ‎∵ ，∴． ‎ ‎∴是的中点．‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴．‎ ‎∵于F．‎ ‎∴．‎ ‎∴是的切线． ‎ ‎( 2 ) 连结，∵是直径, ∴．（直径的圆周角都是90°）‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 设，则．‎ 在中，．‎ 在中，．（这一步至关重要，利用两相邻RT△的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）‎ ‎∴．解得．即．‎ 在中．‎ ‎∴ ． ‎ ‎【例5】如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.‎ ‎（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC＝CD＝5，求AD的长.‎ ‎【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。判断出DG与圆相切不难，难点在于如何证明。事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）结论：与相切 证明：连接 ‎∵点、在圆上，‎ ‎∴‎ ‎∵四边形是平行四边形，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ （做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引）‎ 在和 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∵与相切 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴与相切 ‎ ‎（2）∵，四边形是平行四边形 ‎∴，，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ （很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT三角形中就产生了30°和60°的特殊角）‎ ‎∴‎ ‎∴ . ‎ ‎【总结】 经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。为以防遇到，还是希望考生能有所了解。‎ 第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。把握好各种圆的性质关系就可以了。‎ 第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。例如大家看这样一道题， 如图△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，与AB切于点D，求证：与AC也相切。‎ 该题中圆0与AC是否有公共点是未知的，所以只能通过O做AC的垂线，然后证明这个距离刚好就是圆半径。如果考生想当然认为有一个交点，然后直接连AC与圆交点这样证明，就误入歧途了。‎ 第三种是比较棘手的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。例如看下面一道题：‎ 如图，中，AB=AC，=，O、D将BC三等分，以OB为圆心画，求证：与AC相切。‎ 本题中并未说明一定过A点，所以需要证明A是切点，同时还要证明O到AC垂线的垂足和A是重合的，这样一来就非常麻烦。但是换个角度想，如果连接AO之后再证明AO=OB，AO⊥AC，那么就非常严密了。‎ ‎（提示：做垂线，那么垂足同时也是中点，通过数量关系将AO，BO都用AB表示出来即可证明相等，而△AOC中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角。）‎ ‎ 至于本类题型中第二问的计算就比较简单了，把握好圆周角，圆心角，以及可能出现的弦切角所构成的线段，角关系，同时将条件放在同一个RT△当中就可以非常方便的求解。总之，此类题目难度不会太大，所以需要大家做题速度快，准确率高，为后面的代几综合体留出空间。‎ 第二部分 发散思考 ‎【思考1】如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B. ‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.‎ ‎【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低. 因为题目中没有给出有关圆心的任何线段，所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，延长DB就会得到一个和C一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。‎ ‎（解法见后）‎ ‎【思考2】已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交 ‎ ⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.‎ ‎（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若⊙O的半径等于4，，求CD的长.‎ ‎【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90°的题目。重点在于如何利用∠D=∠ACB这个条件，去将他们放在RT三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将∠OBD拆分成两个角去证明和为90°。‎ ‎（解法见后）‎ ‎【思考3】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.‎ ‎（1）求证：AE与⊙O相切；‎ ‎（2）当BC=4,cosC=时，求⊙O的半径. ‎ ‎【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。‎ ‎【思考4】如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，‎ D为上一点， CE⊥AD于E.‎ ‎ 求证：AE= BD +DE．‎ ‎【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。‎ ‎【思考5】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙‎ O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．‎ （1） 求证：DE是⊙O的切线；‎ （2） 若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．‎ ‎【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC评分角EAD这样的条件，但是通过给定CE=CF，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC和△CAF是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。‎ 第三部分 思考题解析 ‎【思考1解析】‎ ‎1）证明: 如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°.‎ ‎∴ ∠EAB+∠E=90°. ‎ ‎ ∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD，‎ ‎∴ ∠EAB+∠BAD =90°. ‎ ‎∴ AD是⊙O的切线. ‎ ‎（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.‎ ‎∵ AE=2AO=6, AB=4,‎ ‎∴ . ∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB, ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ . ‎ ‎【思考2解析】‎ 解：（1）直线BD与⊙O相切． ‎ 证明：如图3，连结OB．-‎ ‎∵ ∠OCB=∠CBD +∠D ，∠1=∠D，‎ ‎ ∴ ∠2=∠CBD．‎ ‎∵ AB∥OC ，‎ ‎∴ ∠2=∠A ．‎ ‎∴ ∠A=∠CBD．‎ ‎∵ OB=OC，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵ ， ‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ∠OBD=90°．‎ ‎∴ 直线BD与⊙O相切． ‎ ‎（2）解：∵ ∠D=∠ACB ，，‎ ‎∴ ．‎ 在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB = 4，，‎ ‎∴ ，．‎ ‎∴ ．‎ ‎【思考3解析】‎ O B G E C M A F ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1）证明：连结，则．‎ ‎∴．‎ ‎∵平分．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 在中，，是角平分线，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴与相切．‎ ‎（2）解：在中，，是角平分线，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 在中，，‎ ‎∴．‎ 设的半径为，则．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 解得．‎ ‎∴的半径为．‎ ‎【思考4解析】‎ 证明：如图3，在AE上截取AF=BD，连结CF、CD． ‎ 在△ACF和△BCD中，‎ ‎ ‎ ‎ ∴ △ACF≌△BCD． ‎ ‎∴ CF=CD. ‎ ‎∵ CE⊥AD于E，‎ ‎∴ EF=DE. ‎ ‎∴ . ‎ ‎【思考5解析】‎ 证明：（1）连接OC,‎