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- 2021-05-10 发布
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北京市丰台区 2018 年中考一模数学试卷
一、选择题(本题共 16 分,每小题 2 分)
1.如图所示,△ABC 中 AB 边上的高线是( )
(A)线段 AG (B)线段 BD (C)线段 BE (D)线段 CF
2.如果代数式 4x 有意义,那么实数 x 的取值范围是( )
(A)x≥0 (B)x≠4 (C)x≥4 (D)x>4
3.如图是某个几何体的三视图,该几何体是( )
(A)正三棱柱 (B)正三棱锥 (C)圆柱 (D)圆锥
4.实数a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,如果ab = c,那么实数c 在数轴上的对应点的位置可能是( )
5.如图,直线 a∥b,直线 c 与直线 a,b 分别交于点 A,点 B,AC⊥AB 于点 A,交直线 b 于点 C.如果
∠1 = 34°,那么∠2 的度数为( )
(A)34° (B)56° (C)66° (D)146°
6.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(2,1),如果将线段 OA 绕点 O 逆时针方向旋转 90°,
那么点 A 的对应点的坐标为( )
(A)(-1,2) (B)(-2,1) (C)(1,-2) (D)(2,-1)
7.太阳能是来自太阳的辐射能量.对于地球上的人类来说,太阳能是对环境无任何污染的可再生能源,
因此许多国家都在大力发展太阳能.下图是 2013-2017 年我国光伏发电装机容量统计图.根据统计图提供
的信息,判断下列说法不合理...的是( )
(A)截至 2017 年底,我国光伏发电累计装机容量为 13 078 万千瓦
(B)2013-2017 年,我国光伏发电新增装机容量逐年增加
(C)2013-2017 年,我国光伏发电新增装机容量的平均值约为 2 500 万千瓦
(D)2017 年我国光伏发电新增装机容量大约占当年累计装机容量的 40%
8.如图 1,荧光屏上的甲、乙两个光斑(可看作点)分别从相距 8cm 的 A,B 两点同时开始沿线段 AB 运
动,运动过程中甲光斑与点 A 的距离 S1(cm)与时间 t (s)的函数关系图象如图 2,乙光斑与点 B 的距离 S2(cm)
与 时 间 t (s) 的 函 数 关 系 图 象 如 图 3 , 已 知 甲 光 斑 全 程 的 平 均 速 度 为 1.5cm/s , 且 两 图 象 中
△P1O1Q1≌△P2Q2O2.下列叙述正确的是( )
(A)甲光斑从点 A 到点 B 的运动速度是从点 B 到点 A 的运动速度的 4 倍
(B)乙光斑从点 A 到 B 的运动速度小于 1.5cm/s
(C)甲乙两光斑全程的平均速度一样
(D)甲乙两光斑在运动过程中共相遇 3 次
二、填空题(本题共 16 分,每小题 2 分)
9.在某一时刻,测得身高为 1.8m 的小明的影长为 3m,同时测得一建筑物的影长为 10m,那么这个建筑
物的高度为 m.
10.写出一个函数的表达式,使它满足:①图象经过点(1,1);②在第一象限内函数 y 随自变量 x 的增大
而减少,则这个函数的表达式为 .
11.在数学家吴文俊主编的《“九章算术”与刘徽》一书中,小宇同学看到一道有趣的数学问题:古代数学
家刘徽使用“出入相补”原理,即割补法,把筝形转化为与之面积相等的矩形,从而得到“筝形的面积等于
其对角线乘积之半”.
(说明:一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形)
请根据右图完成这个数学问题的证明过程.
证明:S 筝形 ABCD = S△AOB + S△AOD + S△COB + S△COD.
易知,S△AOD = S△BEA,S△COD = S△BFC.
由等量代换可得:
S 筝形 ABCD = S△AOB + + S△COB +
= S 矩形 EFCA
= AE·AC
= 1
2· .
12.如果代数式 ,那么 的值为 .
13.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E.如果∠A = 15°,弦 CD = 4,那么 AB 的长是 .
14.营养学家在初中学生中做了一项实验研究:甲组同学每天正常进餐,乙组同学每天除正常进餐外,每
人还增加 600ml 牛奶.一年后营养学家统计发现:乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长
值多 2.01cm,甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均身高的增长值的 75%少 0.34cm.设甲、乙两组
同学平均身高的增长值分别为 x cm、y cm,依题意,可列方程组为 .
15.“明天的降水概率为 80%”的含义有以下四种不同的解释:
① 明天 80%的地区会下雨;
② 80%的人认为明天会下雨;
③ 明天下雨的可能性比较大;
④ 在 100 次类似于明天的天气条件下,历史纪录告诉我们,大约有 80 天会下雨.
你认为其中合理的解释是 .(写出序号即可)
16.下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.
三、解答题(本题共 68 分,第 17-24 题,每小题 5 分,第 25 题 6 分,第 26,27 题,每小题 7 分,第 28 题 8
分)
17.计算: 08 2cos 45 (3 π) |1 2 | .
18.解不等式组:
3 4 1,
5 1 2.2
x x
x x
19.如图,在△ABC 中,AB = AC,D 是 BC 边上的中点,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F.
求证:DE = DF.
20.已知:关于 x 的一元二次方程 x2 - 4x + 2m = 0 有两个不相等的实数根.
(1)求 m 的取值范围;
(2)如果 m 为非负整数....,且该方程的根都是整数..,求 m 的值.
21.已知:如图,菱形 ABCD,分别延长 AB,CB 到点 F,E,使得 BF = BA,BE = BC,连接 AE,EF,
FC,CA.
(1)求证:四边形 AEFC 为矩形;
(2)连接 DE 交 AB 于点 O,如果 DE⊥AB,
AB = 4,求 DE 的长.
22.在平面直角坐标系 xOy 中,反比例函数 2y x
的图象与一次函数 y kx b 的图象的交点分别为
P(m,2),Q(-2,n).
(1)求一次函数的表达式;
(2)过点 Q 作平行于 y 轴的直线,点 M 为此直线上的一点,当 MQ = PQ 时,直接写出点 M 的坐标.
23.如图,A,B,C 三点在⊙O 上,直径 BD 平分∠ABC,过点 D 作 DE∥AB 交弦 BC 于点 E,过点 D 作
⊙O 的切线交 BC 的延长线于点 F.
(1)求证:EF ED;
(2)如果半径为 5,cos∠ABC = 3
5
,求 DF 的长.
24.第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京举行,北京将成为历史上第
一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市.某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛,甲、乙两校各有
400 名学生参加活动,为了解这两所学校的成绩情况,进行了抽样调查,过程如下,请补充完整.
【收集数据】
从甲、乙两校各随机抽取 20 名学生,在这次竞赛中他们的成绩如下:
【整理、描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据:
(说明:优秀成绩为 80<x≤100,良好成绩为 50<x≤80,合格成绩为 30≤x≤50.)
【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示:
其中 a =__________.
【得出结论】
(1)小明同学说:“这次竞赛我得了 70 分,在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可知小明是
________校的学生;(填“甲”或“乙”)
(2)张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩,试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为________;
(3)根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校,并说明理由.
(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
25.如图,Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,点 D 为 AB 边上的动点(点 D 不与点 A,点 B 重合),过点 D 作
ED⊥CD 交直线 AC 于点 E.已知∠A = 30°,AB = 4cm,在点 D 由点 A 到点 B 运动的过程中,设 AD = xcm,
AE = ycm.
小东根据学习函数的经验,对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、测量,得到了 x 与 y 的几组值,如下表:
(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)
(2)在下面的平面直角坐标系 xOy 中,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:当 AE = 1
2
AD 时,AD 的长度约为 cm.
26.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 2 4 3y ax ax a 的最高点的纵坐标是 2.
(1)求抛物线的对称轴及抛物线的表达式;
(2)将抛物线在 1≤x≤4 之间的部分记为图象 G1,将图象 G1 沿直线 x = 1 翻折,翻折后的图象记为 G2,
图象 G1 和 G2 组成图象 G.过(0,b)作与 y 轴垂直的直线 l,当直线 l 和图象 G 只有两个公共
点时,将这两个公共点分别记为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),求 b 的取值范围和 x1 + x2 的值.
27.如图,Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,CA = CB,过点 C 在△ABC 外作射线 CE,且∠BCE = ,点 B
关于 CE 的对称点为点 D,连接 AD,BD,CD,其中 AD,BD 分别交射线 CE 于点 M,N.
(1)依题意补全图形;
(2)当 = 30°时,直接写出∠CMA 的度数;
(3)当 0°< < 45°时,用等式表示线段 AM,CN 之间的数量关系,并证明.
28.对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M 和图形 1W , 2W 给出如下定义:点 P 为图形 1W 上一点,点 Q 为图
形 2W 上一点,当点 M 是线段 PQ 的中点时,称点 M 是图形 1W , 2W 的“中立点”.如果点 P(x1,y1),Q(x2,
y2),那么“中立点”M 的坐标为
2,2
2121 yyxx .
已知,点 A(-3,0),B(0,4),C(4,0).
(1)连接 BC,在点 D( 1
2
,0),E(0,1),F(0,1
2
)中,可以成为点 A 和线段 BC 的“中立点”的是____________;
(2)已知点 G(3,0),⊙G 的半径为 2.如果直线 y = - x + 1 上存在点 K 可以成为点 A 和⊙G 的“中立点”,
求点 K 的坐标;
(3)以点 C 为圆心,半径为 2 作圆.点 N 为直线 y = 2x + 4 上的一点,如果存在点 N,使得 y 轴上的一
点可以成为点 N 与⊙C 的“中立点”,直接写出点 N 的横坐标的取值范围.
北京市丰台区 2018 年中考一模数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题(本题共 16 分,每小题 2 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B B A B C
二、填空题(本题共 16 分,每小题 2 分)
9.6; 10. 1y x
等,答案不唯一; 11.S△BEA,S△BFC,AC•BD; 12.1;
13.8; 14. 2.01,
75% 0.34;
y x
x y
15.③,④;
16.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都
分别相等.或:同圆半径相等,三条边对应相等的两个三角形全等,全等三角形的对应角相等.
三、解答题(本题共68 分,第 17--24 题,每小题 5 分,第 25 题 6 分,第 26,27 题,每小题 7 分,第 28 题 8 分)
17.解: 08 2cos 45 (3 π) |1 2 | .
= 22 2 2 1 2 12
……………………4 分
= 2 2 . ……………………5 分
18.解:解不等式①,得 1x , ……………………2 分
解不等式②,得 1x . ……………………4 分
∴原不等式组的解集是 1 1x .………5 分
19.证明:连接 AD.
∵AB=BC,D 是 BC 边上的中点,
∴∠BAD=∠CAD. ………………………3 分
∵DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,
∴DE=DF. ………………………5 分
(其他证法相应给分)
20.解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ>0.
∴Δ= 24 4 2 16 8 0m m ( ) .
∴ 2m . ………………………2 分
(2)∵ 2m ,且 m 为非负整数,
∴ =0m 或1. ………………………3 分
当 m=0 时,方程为 2 4 0x x ,解得方程的根为 01 x , 2 4x ,符合题意;
当 m=1 时,方程为 2 4 2 0x x ,它的根不是整数,不合题意,舍去.
综上所述,m=0. ………………………5 分
21.(1)证明:∵BF=BA,BE=BC,
∴四边形 AEFC 为平行四边形. ………………………1 分
∵四边形 ABCD 为菱形,
∴BA=BC.
∴BE=BF.
∴BA + BF = BC + BE,即 AF=EC.
∴四边形 AEFC 为矩形. ………………………2 分
(2)解:连接 DB.
由(1)知,AD∥EB,且 AD=EB.
∴四边形 AEBD 为平行四边形
∵DE⊥AB,
∴四边形 AEBD 为菱形.
∴AE EB,AB 2AG,ED 2EG. ………………………4 分
∵矩形 ABCD 中,EB AB,AB=4,
∴AG 2,AE 4.
∴Rt△AEG 中,EG=2 3 .
∴ED=4 3 . ………………………5 分
(其他证法相应给分)
22.(1)解: ∵反比例函数 2y x
的图象经过点 ( ,2)P m ,Q(-2,n),
∴ 1m , 1n .
∴点 P,Q 的坐标分别为(1,2),(-2,-1). …….…….…….……2 分
∵一次函数 y kx b 的图象经过点 P(1,2),Q(-2,-1),
∴ 2,
2 1.
k b
k b
解得 1,
1.
k
b
∴一次函数的表达式为 1y x . .…….…….…….……3 分
(2)点 M 的坐标为(-2,-1+3 2 )或(-2,-1-3 2 )……………5 分
23.(1)证明:∵BD 平分∠ABC,∴∠1=∠2.
∵DE∥AB,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.
∵BC 是⊙O 的切线,∴∠BDF=90°.
∴∠1+∠F=90°,∠3+∠EDF=90°.
∴∠F=∠EDF.∴EF DE. …….…….……………2 分
(2)解:连接 CD.
∵BD 为⊙O 的直径,∴∠BCD=90°.
∵DE∥AB,∴∠DEF=∠ABC.
∵cos∠ABC= 3
5
,∴在 Rt△ECD 中,cos∠DEC= CE
DE
= 3
5
.
设 CE=3x,则 DE=5x .
由(1)可知,BE= EF=5x.∴BF=10x ,CF=2x.
E F
D
C
B
A
G
在 Rt△CFD 中,由勾股定理得 DF= 2 5x .
∵半径为 5,∴BD 10.
∵BF×DC= FD×BD,
∴10 4 10 2 5x x x ,解得 5
2x .
∴DF = 2 5x =5. …….…….……………5 分
(其他证法或解法相应给分.)
24.解:a=80; ………………………1 分
(1)甲; ………………………2 分
(2) 1
10
; ………………………3 分
(3)答案不唯一,理由需支持推断结论.
如:乙校竞赛成绩较好,因为乙校的平均分高于甲校的平均分说明平均水平高,乙校的中位数 75
高于甲校的中位数 65,说明乙校分数不低于 70 分的学生比甲校多. ………………………5 分
25.解:
(1)1.2; ………………………2 分
(2)如右图; ………………………4 分
(3)2.4 或 3.3 ………………………6 分
26.解:(1)∵抛物线 22 4 3 2y ax ax a a x a ,
∴对称轴为 x= 2.………………………………………1 分
∵抛物线最高点的纵坐标是 2,
∴a= -2. ………………………………………2 分
∴抛物线的表达式为 22 8 6y x x . ……………3 分
(2)由图象可知, 2b 或-6≤b<0. ………………6 分
由图象的对称性可得:x1+x2=2. ……………… 7 分
27.解:(1)如图; …………………1 分
(2)45°; …………………2 分
(3)结论:AM= 2 CN. …………………3 分
证明:作 AG⊥EC 的延长线于点 G.
∵点 B 与点 D 关于 CE 对称,
∴CE 是 BD 的垂直平分线.
x
y
x
y= 1
2
x
O
y
∴CB=CD.
∴∠1=∠2= .
∵CA=CB,∴CA=CD.∴∠3=∠CAD.
∵∠4=90°,
∴∠3= 1
2
(180° ∠ACD)= 1
2
(180° 90° )=45° .
∴∠5=∠2+∠3= +45°- =45°.…………………5 分
∵∠4=90°,CE 是 BD 的垂直平分线,
∴∠1+∠7=90°,∠1+∠6=90°.
∴∠6=∠7.
∵AG⊥EC,
∴∠G=90°=∠8.
∴在△BCN 和△CAG 中,
∠8=∠G,
∠7=∠6,
BC=CA,
∴△BCN≌△CAG.
∴CN=AG.
∵Rt△AMG 中,∠G=90°,∠5=45°,
∴AM= 2 AG.
∴AM= 2 CN. …………………7 分
(其他证法相应给分.)
28.解:(1)点 A 和线段 BC 的“中立点”的是点 D,点 F; ………2 分
(2)点 A 和⊙G 的“中立点”在以点 O 为圆心、
半径为 1 的圆上运动.
因为点 K 在直线 y=- x+1 上,
设点 K 的坐标为(x,- x+1),
则 x2+(- x+1)2=12,解得 x1=0,x2=1.
所以点 K 的坐标为(0,1)或(1,0). ………5 分
(3)(说明:点 N 与⊙C 的“中立点”在以线段 NC 的中点 P 为圆心、
半径为 1 的圆上运动.圆 P 与 y 轴相切时,符合题意.)
所以点 N 的横坐标的取值范围为-6≤xN≤-2. ………8 分
x
y
x
y