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- 2021-05-10 发布
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专题08 几何变换问题
例1.如图,斜边长12cm,∠A=30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置,再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上,则三角尺向左平移的距离为______________.(结果保留根号)
同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格,再纵向平移y格,就能与另一个三角形拼合成一个四边形,那么x+y( )
A.是一个确定的值 B.有两个不同的值
C.有三个不同的值 D.有三个以上不同的值
同类题型1.2 已知:如图△ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(0,-3),C(-2,1),如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达点,若设△ABC的面积为,C的面积为,则,的大小关系为( )
A. B. C. D.不能确定
例2. 如图,P是等边△ABC外一点,把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′,已知∠AP′B=150°,P′A:P′C=2:3,则PB:P′A是( )
A.:1 B.2:1 C.:2 D.:1
同类题型2.1 如图,△ABC为等边三角形,以AB为边向形外作△ABD,使∠ADB=120°,再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE,则下列结论:①D、A、E三点共线;②DC平分∠BDA;③∠E=∠BAC;④DC=DB+DA,其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
同类题型2.2 如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点(点M不与B,C重合),CN⊥DM,CN与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下列五个结论:①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④;⑤若AB=2,则的最小值是,其中正确结论的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
同类题型2.3 在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(0,4),将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA,使点B在直线CD上,连接OD交AB于点M,直线CD的解析式为__________.
同类题型2.4 如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上,连结CE,CF,若∠CEF=α,∠CFE=β,则tanα﹒tanβ=___________.
同类题型2.5 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,M是BC的中点,P是A′B′的中点,连接PM,若BC=2,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是_____.
同类题型2.6 如图1,一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起,边BC与EF重合,BC=EF=12,点G为边EF的中点,边FD与AB相交于点H,如图2,将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转到60°的过程中,BH的最大值是_________,点H运动的路径长是_________.
例3.如图,折叠菱形纸片ABCD,使得AD的对应边过点C,EF为折痕,若∠B=60°,当E⊥AB时,的值等于( )
A. B. C. D.
同类题型3.1 如图,正方形ABCD中,AD=4,点E是对角线AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥ED,交AB于点F,连接DF,交AC于点G,将△EFG沿EF翻折,得到△EFM,连接DM,交EF于点N,若点F是AB边的中点,则△EMN的周长是_____________.
同类题型3.2 如图,∠MON=40°,点P是∠MON内的定点,点A、B分别在OM,ON上移动,当△PAB周长最小时,则∠APB的度数为( )
A.20° B.40° C.100° D.140°
同类题型3.3 如图,矩形纸片ABCD中,G、F分别为AD、BC的中点,将纸片折叠,使D点落在GF上,得到△HAE,再过H点折叠纸片,使B点落在直线AB上,折痕为PQ.连接AF、EF,已知HE=HF,下列结论:①△MEH为等边三角形;②AE⊥EF;③△PHE∽△HAE;④,其中正确的结论是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
同类题型3.4 △ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED.连CE,则线段CE的长等于_______.
专题08 几何变换问题
例1.如图,斜边长12cm,∠A=30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置,再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上,则三角尺向左平移的距离为______________.(结果保留根号)
解:如图:连接B′B″,
∵在Rt△ABC中,AB=12,∠A=30°,
∴AB=6,,
∴B′C=6,
∴-6,
∵B′C∥B″C″,B′C=B″C″,
∴四边形B″C″CB′是矩形,
∴B″B′∥BC,B″B′=C″C,
∴△AB″B′∽△ABC,
∴,
即:,
解得:.
∴.
同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格,再纵向平移y格,就能与另一个三角形拼合成一个四边形,那么x+y( )
A.是一个确定的值 B.有两个不同的值
C.有三个不同的值 D.有三个以上不同的值
解:(1)当两斜边重合的时候可组成一个矩形,此时x=2,y=3,
x+y=5;
(2)当两直角边重合时有两种情况,①短边重合,此时x=2,y=3,x+y=5;
②长边重合,此时x=2,y=5,x+y=7.
综上可得:x+y=5或7.
选B.
同类题型1.2 已知:如图△ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(0,-3),C(-2,1),如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达点,若设△ABC的面积为,C的面积为,则,的大小关系为( )
A. B. C. D.不能确定
解:△ABC的面积为×4×4=8,
将B点平移后得到点的坐标是(2,1),
所以C的面积为×4×4=8,
所以.
选B.
同类题型1.3
同类题型1.4
例2. 如图,P是等边△ABC外一点,把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′,已知∠AP′B=150°,P′A:P′C=2:3,则PB:P′A是( )
A.:1 B.2:1 C.:2 D.:1
解:如图,连接AP,∵BP绕点B顺时针旋转60°到BP′,
∴BP=BP′,∠ABP+∠ABP′=60°,
又∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠CBP′+∠ABP′=60°,
∴∠ABP=∠CBP′,
在△ABP和△CBP′中,
∵,
∴△ABP≌△CBP′(SAS),
∴AP=P′C,
∵P′A:P′C=2:3,
∴P′A,
连接PP′,则△PBP′是等边三角形,
∴∠BP′P=60°,PP′=PB,
∵∠AP′B=150°,
∴∠AP′P=150°-60°=90°,
∴△APP′是直角三角形,
设P′A=x,则x,
根据勾股定理,x,
则x,
∴PB:x::2.
选C.
同类题型2.1 如图,△ABC为等边三角形,以AB为边向形外作△ABD,使∠ADB=120°,再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE,则下列结论:①D、A、E三点共线;②DC平分∠BDA;③∠E=∠BAC;④DC=DB+DA,其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解:①设∠1=x度,则∠2=(60-x)度,∠DBC=(x+60)度,故∠4=(x+60)度,
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度,
∴D、A、E三点共线;
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE,
∴CD=CE,∠DCE=60°,
∴△CDE为等边三角形,
∴∠E=60°,
∴∠BDC=∠E=60°,
∴∠CDA=120°-60°=60°,
∴DC平分∠BDA;
③∵∠BAC=60°,
∠E=60°,
∴∠E=∠BAC.
④由旋转可知AE=BD,
又∵∠DAE=180°,
∴DE=AE+AD.
∵△CDE为等边三角形,
∴DC=DB+BA.
同类题型2.2 如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点(点M不与B,C重合),CN⊥DM,CN与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下列五个结论:①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④;⑤若AB=2,则的最小值是,其中正确结论的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解:∵正方形ABCD中,CD=BC,∠BCD=90°,
∴∠BCN+∠DCN=90°,
又∵CN⊥DM,
∴∠CDM+∠DCN=90°,
∴∠BCN=∠CDM,
又∵∠CBN=∠DCM=90°,
∴△CNB≌△DMC(ASA),故①正确;
根据△CNB≌△DMC,可得CM=BN,
又∵∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB,
∴△OCM≌△OBN(SAS),
∴OM=ON,∠COM=∠BON,
∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN,即∠DOM=∠CON,
又∵DO=CO,
∴△CON≌△DOM(SAS),故②正确;
∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°,
∴∠MON=90°,即△MON是等腰直角三角形,
又∵△AOD是等腰直角三角形,
∴△OMN∽△OAD,故③正确;
∵AB=BC,CM=BN,
∴BM=AN,
又∵Rt△BMN中,,
∴,故④正确;
∵△OCM≌△OBN,
∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1,即四边形BMON的面积是定值1,
∴当△MNB的面积最大时,△MNO的面积最小,
设BN=x=CM,则BM=2-x,
∴△MNB的面积+x,
∴当x=1时,△MNB的面积有最大值,
此时的最小值是,故⑤正确;
综上所述,正确结论的个数是5个,
选D.
同类题型2.3 在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(0,4),将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA,使点B在直线CD上,连接OD交AB于点M,直线CD的解析式为__________.
解:∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA,
∴△BOA≌△CDA,
∴AB=AC,OA=AD,
∵B、D、C共线,AD⊥BC,
∴BD=CD=OB,
∵OA=AD,BO=CD=BD,
∴OD⊥AB,
设直线AB解析式为y=kx+b,
把A与B坐标代入得:,
解得:,
∴直线AB解析式为x+4,
∴直线OD解析式为x,
联立得:,
解得:,即,),
∵M为线段OD的中点,
∴,),
设直线CD解析式为y=mx+n,
把B与D坐标代入得:,
解得:,n=4,
则直线CD解析式为x+4.
同类题型2.4 如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上,连结CE,CF,若∠CEF=α,∠CFE=β,则tanα﹒tanβ=___________.
解:过C点作MN⊥BF,交BG于M,交EF于N,
由旋转变换的性质可知,∠ABG=∠CBE,BA=BG=5,BC=BE=3,
由勾股定理得,=4,
∴DG=DC-CG=1,
则,
∵,∠ABG=∠CBE,
∴△ABG∽△CBE,
∴,
解得,,
∵∠MBC=∠CBG,∠BMC=∠BCG=90°,
∴△BCM∽△BGC,
∴,即,
∴,
∴MN=BE=3,
∴,
∴,
∴,
∴.
同类题型2.5 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,M是BC的中点,P是A′B′的中点,连接PM,若BC=2,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是_____.
解:如图连接PC.
在Rt△ABC中,∵∠A=30°,BC=2,
∴AB=4,
根据旋转不变性可知,A′B′=AB=4,
∴A′P=PB′,
∴A′B′=2,
∵CM=BM=1,
又∵PM≤PC+CM,即PM≤3,
∴PM的最大值为3(此时P、C、M共线).
同类题型2.6 如图1,一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起,边BC与EF重合,BC=EF=12,点G为边EF的中点,边FD与AB相交于点H,如图2,将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转到60°的过程中,BH的最大值是_________,点H运动的路径长是_________.
解:如图1中,作HM⊥BC于M,设HM=a,则CM=HM=a.
在Rt△ABC中,∠ABC=30°,BC=12,
在Rt△BHM中,BH=2HM=2a,a,
∵BM+FM=BC,
∴a+a=12,
∴-6,
∴-12.
如图2中,当DG⊥AB时,易证⊥DF,此时的值最小,易知+3,
∴-15,
当旋转角为60°时,F与重合,此时BH的值最大,易知最大值,
观察图象可知,在∠CGF从0°到60°的变化过程中,
点H相应移动的路径长-18.
例3.如图,折叠菱形纸片ABCD,使得AD的对应边过点C,EF为折痕,若∠B=60°,当E⊥AB时,的值等于( )
A. B. C. D.
解:如图所示,延长AB,交于点G,
∵E⊥AB,C=∠A=120°,
∴∠G=120°-90°=30°,
又∵∠ABC=60°,
∴∠BCG=60°-30°=30°,
∴∠G=∠BCG=30°,[来源:]
∴BC=BG=BA,
设BE=1,E,则AB=1+x=BC=BG,G=2x,
∴GE=1+x+1=x+2,
∵GE中,,
∴,
解得,(负值已舍去)
∴,
∴,
选D.
同类题型3.1 如图,正方形ABCD中,AD=4,点E是对角线AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥ED,交AB于点F,连接DF,交AC于点G,将△EFG沿EF翻折,得到△EFM,连接DM,交EF于点N,若点F是AB边的中点,则△EMN的周长是_____________.
解:解法一:如图1,过E作PQ⊥DC,交DC于P,交AB于Q,连接BE,[来源:]
∵DC∥AB,
∴PQ⊥AB,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACD=45°,
∴△PEC是等腰直角三角形,
∴PE=PC,
设PC=x,则PE=x,PD=4-x,EQ=4-x,
∴PD=EQ,
∵∠DPE=∠EQF=90°,∠PED=∠EFQ,
∴△DPE≌△EQF,
∴DE=EF,
∵DE⊥EF,
∴△DEF是等腰直角三角形,
易证明△DEC≌△BEC,
∴DE=BE,
∴EF=BE,
∵EQ⊥FB,
∴BF,
∵AB=4,F是AB的中点,
∴BF=2,
∴FQ=BQ=PE=1,
∴,PD=4-1=3,
Rt△DAF中,,
,
如图2,∵DC∥AB,
∴△DGC∽△FGA,
∴=2,
∴CG=2AG,DG=2FG,
∴,
∵,
∴,
∴,
连接GM、GN,交EF于H,
∵∠GFE=45°,
∴△GHF是等腰直角三角形,
∴,
∴,
由折叠得:GM⊥EF,,
∴∠EHM=∠DEF=90°,
∴DE∥HM,
∴△DEN∽△MNH,
∴,
∴=3,
∴EN=3NH,
∵,
∴,
∴,
Rt△GNH中,,
由折叠得:MN=GN,EM=EG,
∴△EMN的周长;
解法二:如图3,过G作GK⊥AD于K,作GR⊥AB于R,
∵AC平分∠DAB,
∴GK=GR,
∴=2,[来源:]
∵=2,
∴=2,
同理,=3,
其它解法同解法一,
可得:∴△EMN的周长;
解法三:如图4,过E作EP⊥AP,EQ⊥AD,
∵AC是对角线,
∴EP=EQ,
易证△DQE和△FPE全等,
∴DE=EF,DQ=FP,且AP=EP,
设EP=x,则DQ=4-x=FP=x-2,
解得x=3,所以PF=1,
∴,
∵DC∥AB,
∴△DGC∽△FGA,
∴同解法一得:,
∴,
,
过G作GH⊥AB,过M作MK⊥AB,过M作ML⊥AD,
则易证△GHF≌△FKM全等,
∴,,
∵,,
即DL=LM,
∴∠LDM=45°
∴DM在正方形对角线DB上,
过N作NI⊥AB,则NI=IB,
设NI=y,
∵NI∥EP
∴
∴,
解得y=1.5,
所以FI=2-y=0.5,
∴I为FP的中点,
∴N是EF的中点,
∴,
∵△BIN是等腰直角三角形,且BI=NI=1.5,
∴,,,,
∴△EMN的周长.
同类题型3.2 如图,∠MON=40°,点P是∠MON内的定点,点A、B分别在OM,ON上移动,当△PAB周长最小时,则∠APB的度数为( )
A.20° B.40° C.100° D.140°
解:如图所示:
分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″,连接OP′、OP″、P′P″,P′P″交OM、ON于点A、B,[来源:学,科,网]
连接PA、PB,此时△PAB周长的最小值等于P′P″.
如图所示:由轴对称性质可得,
OP′=OP″=OP,∠P′OA=∠POA,∠P″OB=∠POB,
所以∠P′OP″=2∠MON=2×40°=80°,
所以∠OP′P″=∠OP″P′=(180°-80°)÷2=50°,
又因为∠BPO=∠OP″B=50°,∠APO=∠AP′O=50°,
所以∠APB=∠APO+∠BPO=100°.
选C.
同类题型3.3 如图,矩形纸片ABCD中,G、F分别为AD、BC的中点,将纸片折叠,使D点落在GF上,得到△HAE,再过H点折叠纸片,使B点落在直线AB上,折痕为PQ.连接AF、EF,已知HE=HF,下列结论:①△MEH为等边三角形;②AE⊥EF;③△PHE∽△HAE;④,其中正确的结论是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
解:∵矩形纸片ABCD中,G、F分别为AD、BC的中点,
∴GF⊥AD,
由折叠可得,AH=AD=2AG,∠AHE=∠D=90°,
∴∠AHG=30°,∠EHM=90°-30°=60°,
∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH,
∴△EHM中,∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH,
∴△MEH为等边三角形,故①正确;
∵∠EHM=60°,HE=HF,
∴∠HEF=30°,
∴∠FEM=60°+30°=90°,即AE⊥EF,故②正确;
∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA,∠EPH=∠EHA=90°,
∴△PHE∽△HAE,故③正确;
设AD=2=AH,则AG=1,
∴Rt△AGH中,,
Rt△AEH中,=HF,
∴=AB,
∴,故④正确,
综上所述,正确的结论是①②③④,
选D.
同类题型3.4 △ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED.连CE,则线段CE的长等于_______.
解:如图连接BE交AD于O,作AH⊥BC于H.
[来源:学#科#网]
在Rt△ABC中,∵AC=4,AB=3,
∴=5,
∵CD=DB,
∴,
∵﹒AB﹒AC,
∴,
∵AE=AB,DE=DB=DC,
∴AD垂直平分线段BE,△BCE是直角三角形,
∵﹒BD﹒AH,
∴,
∴,
在Rt△BCE中,.