全国各地中考数学分类解析159套63专题专题37三角形全等 23页

‎2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）‎ 专题37：三角形全等 今升数学工作室 编辑 一、选择题 ‎1. （2012海南省3分）图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断不正确的是【 】‎ A．△ABD≌△CBD B．△ABC≌△ADC C．△AOB≌△COB D．△AOD≌△COD ‎【答案】B。‎ ‎【考点】全等三角形的判定，轴对称的性质。‎ ‎【分析】根据轴对称的性质，知△ABD≌△CBD，△AOB≌△COB，△AOD≌△COD。由于AB≠AD，从而△ABC和△ADC不全等。故选B。‎ ‎2. （2012四川巴中3分）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件 是【 】‎ A.‎‎ ‎AB‎=AC B. ∠BAC=90° C. BD=AC D. ∠B=45°‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】全等三角形的判定。‎ ‎【分析】添加AB=AC，符合判定定理HL。‎ 而添加∠BAC=90°，或BD=AC，或∠B=45°，不能使△ABD≌△ACD。故选A。‎ ‎3. （2012贵州贵阳3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是【 】‎ A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF ‎【答案】B。‎ ‎【考点】全等三角形的判定。190187。‎ ‎【分析】应用全等三角形的判定方法逐一作出判断：‎ ‎ A、由AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；‎ B、由AB=DE，BC=EF和∠B=∠E构成SAS，符合全等的条件，能推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；‎ C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA。‎ 由AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；‎ D、由AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误。故选B。　‎ ‎4. （2012山东泰安3分）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【 】‎ ‎　　A．4　　B．‎3　‎　C．2　　D．1‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】连接DE并延长交AB于H，‎ ‎∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。‎ ‎∵E是AC中点，∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE（AAS）。‎ ‎∴DE=HE，DC=AH。‎ ‎∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线。∴EF=BH。‎ ‎∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。故选D。‎ ‎5. （2012山东淄博4分）已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是【 】‎ ‎ (A)两条边长分别为4，5，它们的夹角为β ‎ (B)两个角是β，它们的夹边为4‎ ‎ (C)三条边长分别是4，5，5‎ ‎ (D)两条边长是5，一个角是β ‎【答案】D。‎ ‎【考点】全等三角形的判定，等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】(A)由SAS知两三角形全等：(B)由ASA知两三角形全等：(C) 由SSS知两三角形全等：(D) 当顶角为β时，两三角形不一定全等。故选D。6.‎ ‎6. （2012广西柳州3分）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果 ‎△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是【 】‎ A．PO 　　　　　B．PQ C．MO 　　　　　D．MQ ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】全等三角形的应用。‎ ‎【分析】根据全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长。故选B。‎ ‎7. （2012广西玉林、防城港3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有【 】‎ A.4对 B. 6对. C.8对 D.10对 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】菱形的性质，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】根据菱形四边形等，对角线互相垂直且平分，结合全等三角形的判定即可得出答案：‎ ‎ 由四个直角坐标三角形可组成6对全等三角形：△ABO≌△ADO、△ABO≌△CBO、‎ ‎△ABO≌△CDO、△AOD≌△COB、△AOD≌△COD、△DOC≌△BOC；‎ ‎ 两条对角分菱形可组成2对全等三角形：△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC。‎ 共8对。故选C。‎ 二、填空题 ‎1. （2012山东临沂3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=‎2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=‎5cm，则AE= ▲ cm．‎ ‎【答案】3。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°。‎ ‎∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°。∴∠ECF=∠B，‎ 在△ABC和△FEC中，∵∠ECF=∠B，EC=BC，∠ACB=∠FEC=90°，‎ ‎∴△ABC≌△FEC（ASA）。∴AC=EF。‎ ‎∵AE=AC﹣CE，BC=‎2cm，EF=‎5cm，∴AE=5﹣2=‎3cm。‎ ‎2. （2012山东潍坊3分）如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ▲ ， 使ΔABC≌ΔDBE． (只需添加一个即可)‎ ‎【答案】∠BDE=∠BAC（答案不唯一）。‎ ‎【考点】全等三角形的判定，开放型。‎ ‎【分析】根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“ASA”“SAS”“AAS”分别写出第三个条件即可：‎ ‎∵∠ABD=∠CBE，∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠ABC=∠DBE。‎ ‎∵AB=DB，‎ ‎∴①用“ASA”，需添加∠BDE=∠BAC；‎ ‎②用“SAS”，需添加BE=BC；‎ ‎③用“AAS”，需添加∠ACB=∠DEB。‎ ‎3. （2012甘肃白银4分）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ▲ ．（只需填一个即可）‎ ‎【答案】∠A=∠F（答案不唯一）。‎ ‎【考点】全等三角形的判定。‎ ‎【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；或添加AC∥EF得夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；或添加BC=DE，利用SSS可证全等。（答案不唯一）‎ ‎4. （2012青海省2分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是 ▲ （只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．‎ ‎【答案】∠ADC=∠AEB（答案不唯一）。‎ ‎【考点】开放型，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】∵∠A=∠A，AE=AD，‎ ‎∴添加：∠ADC=∠AEB（ASA），∠B=∠C（AAS），AB=AC（SAS），∠BDO=∠CEO（ASA）可得△ABE≌△ACD。‎ ‎ 故填：∠ADC=∠AEB或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO。　‎ ‎5. （2012黑龙江牡丹江3分）如图．点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．请写出图中的全等三角形 ▲ (写出一对即可)．‎ ‎【答案】△ABD≌△ACE（答案不唯一）。‎ ‎【考点】开放型，等腰三角形的性质，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，则 ‎ ∵AB=AC，AD=AE（已知），‎ ‎∴BH=CH，DH=EH（等腰三角形三线合一）。‎ ‎∴BH－DH=CH-EH，即BD=CE。‎ ‎∴△ABD≌△ACE（SSS）。‎ 还可得△ABE≌△ACD（SSS）。‎ ‎6. （2012黑河、黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图，己知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是 ▲ (填一个即可)‎ ‎【答案】AB=DC（答案不唯一）。‎ ‎【考点】全等三角形的判定。‎ ‎【分析】∵AC=BD，BC是公共边，‎ ‎∴要使△ABC≌△DCB，需添加：①AB=DC（SSS）或②∠ACB=∠DBC（SAS）。‎ 三、解答题 ‎2. （2012广东佛山6分）如图，已知AB=DC，DB=AC ‎（1）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．‎ ‎（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？‎ ‎【答案】证明：（1）连接AD，‎ 在△BAD和△CDA中，‎ ‎∵ AB=CD （已知），DB=AC（已知）， AD=AD（公共边），‎ ‎∴△BAD≌△CDA（SSS）。‎ ‎∴∠ABD=∠DCA（全等三角形对应角相等）。‎ ‎（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）连接AD，证明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到结论；‎ ‎（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形。‎ ‎3. （2012广东广州9分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．‎ ‎【答案】证明：∵在△ABE和△ACD中，∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C．‎ ‎ ∴△ABE≌△ACD（ASA）。∴BE=CD。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】由已知和∠A=∠A，根据ASA证△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质即可求出答案。‎ ‎4. （2012浙江绍兴8分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M。‎ ‎（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；‎ ‎（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN。‎ ‎【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°。‎ 又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°。‎ 由作法知，AM是∠ACB的平分线，∴∠AMB=∠CAB=33°。‎ ‎（2）证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，‎ ‎∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA。∴∠CAN=∠CMN。‎ 又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC。‎ 在△ACN和△MCN中，‎ ‎∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）。‎ ‎【考点】平行的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）由作法知，AM是∠ACB的平分线，由AB∥CD，根据两直线平行同旁内角互补的性质，得∠CAB=66°，从而求得∠MAB的度数。‎ ‎（2）要证△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共边，故只要再有一边或一角相等即可，考虑到AB∥CD和AM是∠ACB的平分线，有∠CAN=∠MAB =∠CMN。‎ 从而得证。‎ ‎5. （2012江苏常州5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，‎ 求证：∠DBC=∠DCB。‎ ‎【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。‎ ‎ 又∵AB=AC，AD=AD，∴△BAD≌△CAD（SAS）。‎ ‎ ∴BD=CD。∴∠DBC=∠DCB。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】由已知，根据SAS可证△BAD≌△CAD，从而根据全等三角形对应边相等的性质可得BD=CD，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠DBC=∠DCB。‎ ‎6. （2012江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。‎ ‎（1）求证：△ADE≌△BFE；‎ ‎（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（两直线平行，内错角相等）。‎ ‎ ∵E是AB的中点，∴AE=BE。‎ ‎ 又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。‎ ‎ （2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF。理由如下：‎ ‎ ∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，‎ ‎∴∠GDF=∠BFE（等量代换）。∴GD=GF（等角对等边）。‎ ‎ 又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。‎ ‎∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）。‎ ‎【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由已知，应用AAS即可证明△ADE≌△BFE。‎ ‎ （2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，从而根据等角对等边得GD=GF；由（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得EG⊥DF。‎ ‎7. （2012广东河源6分）如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，AC和BD交于点O，E是AD的中点，连接OE．‎ ‎(1)求证：△AOD≌△DOC；‎ ‎(2)求∠AEO的度数．‎ ‎【答案】解：（1）证明：在△AOB和△COD中，∵∠B＝∠C，∠AOB=∠DOC，AB=DC，‎ ‎ ∴△AOB≌△COD（AAS）。‎ ‎（2）∵△AOB≌△COD，∴AO=DO。‎ ‎∵E是AD的中点，∴OE⊥AD。∴∠AEO=90°。‎ ‎【考点】对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】（1）由已知可以利用AAS来判定其全等；‎ ‎（2）根据全等三角形对应边相等的性质得AO=DO，再根据等腰三角形三线合一的性质即可求得∠AEO=90°。‎ ‎8. （2012福建厦门6分）已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，且 AC∥DF.‎ 求证：△ABC≌△DEF.‎ ‎【答案】证明：∵ AC∥DF， ∴ ∠ACB＝∠DFE。‎ 又∵ ∠A＝∠D，AC＝DF，∴ △ABC≌△EDF（ASA）。‎ ‎【考点】平行的性质，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】利用ASA证明两三角形全等即可。‎ ‎9. （2012福建福州7分）如图，点E、F在AC上，AB∥CD，AB＝CD，AE＝CF．求证：△ABF≌△CDE．‎ ‎【答案】证明：∵ AB∥CD，∴ ∠A＝∠C。‎ ‎∵ AE＝CF，∴ AE＋EF＝CF＋EF，即 AF＝CE。‎ 又∵ AB＝CD，∴ △ABF≌△CDE（SAS）。‎ ‎【考点】平行的性质，全等三角形的判定。‎ ‎10. （2012湖北武汉6分）如图CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB，求证：DE＝AB．‎ ‎【答案】证明：∵∠DCA=∠ECB，∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE。∴∠DCE=∠ACB。‎ ‎∵在△DCE和△ACB中，DC=AC，∠DCE=∠ACB，CE=CB，‎ ‎∴△DCE≌△ACB（SAS）。∴DE=AB。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案。‎ ‎11. （2012湖北十堰6分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D．‎ ‎【答案】证明：连接AC，‎ 在△ABC和△ADC中，‎ ‎∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）。‎ ‎∴∠B=∠D。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】连接AC，由于AB=AD，CB=CD，AC=AC，由SSS可证△ABC≌△ADC，于是∠B=∠D。‎ ‎12. （2012四川宜宾6分）如图，点A．B．D．E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．‎ ‎【答案】证明：∵AD=EB∴AD﹣BD=EB﹣BD，即AB=ED。‎ ‎ 又∵BC∥DF，∴∠CBD=∠FDB 。∴∠ABC=∠EDF 。‎ 又∵∠C=∠F，∴△ABC≌△EDF（AAS）。∴AC=EF。‎ ‎【考点】平行的性质，补角的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】根据BC∥DF证得∠CBD=∠FDB，利用邻角的补角相等证得∠ABC=∠EDF，然后根据AD=EB得到AB=CD，利用AAS证明两三角形全等即可。‎ ‎13. （2012辽宁铁岭12分）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=25，BC=32.连接BD，‎ AE⊥BD，垂足为E.‎ (1) 求证：△ABE∽△DBC;‎ (2) 求线段AE的长.‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵AB=AD=25，∴∠ABD=∠ADB。‎ ‎ ∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC。∴∠ABD=∠DBC。‎ ‎∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠C=90°。∴△ABE∽△DBC。‎ ‎（2）∵AB=AD，又AE⊥BD，∴BE=DE。∴BD=2BE。‎ 由△ABE∽△DBC，得。‎ ‎∵AB=AD=25，BC=32，∴，解得BE=20。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】直角梯形的性质，等腰三角形的性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又∵∠AEB=∠C=90°，利用“AA”可证△ABE∽△DBC。‎ ‎ （2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE。‎ ‎14. （2012贵州铜仁10分）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．‎ ‎【答案】证明：∵AE∥CF，∴∠AED=∠CFB。‎ ‎∵DF=BE，∴DF+EF=BE+EF，即DE=BF。‎ ‎∵在△ADE和△CBF中，AE=CF，∠AED=∠CFB，DE=BF，‎ ‎∴△ADE≌△CBF（SAS）。‎ ‎【考点】平行的性质，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】利用平行线的性质得出∠AED=∠CFB，由DF=BE根据等量加等量和相等得出DE=BF，利用SAS即可证出结论。‎ ‎15. （2012山东滨州12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．‎ ‎（1）求证：△ADF≌△CBE；‎ ‎（2）求正方形ABCD的面积；‎ ‎（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3‎ 表示正方形ABCD的面积S．‎ ‎【答案】解：（1）证明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，‎ ‎∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）。‎ ‎（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH。‎ 又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°，∴△ABH≌△BCE（AAS）。‎ 同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF。‎ ‎∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4××2×1+1+1=5。‎ ‎（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，‎ 由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，‎ ‎∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×（h1+h2）•h1+h22=2h12+2h1h2+h22．‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，正方形的性质。‎ ‎【分析】（1）直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB。‎ ‎（2）由AAS定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF即可得出结论。‎ ‎（3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根据（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知 S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF，从而得出结论。‎ ‎16. （2012山东莱芜9分）某市规划局计划在一坡角为16º的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意 图如图所示．已知支架AC与斜坡AB的夹角为28º，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O 的圆心，AB＝‎12m，⊙O的半径为‎1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到‎0.01m，参考 数据：cos28º≈0.9，sin62º≈0.9，sin44º≈0.7，cos46º≈0.7)．‎ ‎【答案】解：如图，过点O作水平地面的垂线，垂足为点E。‎ ‎ 在Rt△AOB中，，即，‎ ‎ ∴。‎ ‎∵∠BAE=160，∴∠OAE=280＋160=440。‎ 在Rt△AOE中，，即，‎ ‎∴‎ ‎9.333＋1.5=10.833≈10.83（m）。‎ 答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为‎10.83 m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】如图，过点O作水平地面的垂线，构造Rt△AOE。解Rt△AOB，求出OA；解Rt△AOE，求出OE，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。‎ ‎6. （2012山东聊城7分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从P处出发，沿北偏东60°划行‎200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）‎ ‎【答案】解：作PD⊥AB于点D，‎ 由已知得PA=‎200米，∠APD=30°，∠B=37°，‎ 在Rt△PAD中，‎ 由cos30°=，得PD=PAcos30°=200×=100（米）。‎ 在Rt△PBD中，‎ 由sin37°=，得PB=（米）。‎ 答：小亮与妈妈的距离约为‎288米。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数。‎ ‎【分析】作PD⊥AB于点D，分别在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得结论。‎ ‎7. （2012山东青岛8分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，‎ 教学楼在建筑物的墙上留下高‎2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影 子F与墙角C有‎13m的距离(B、F、C在一条直线上)．‎ ‎(1)求教学楼AB的高度；‎ ‎(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．‎ ‎(参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈)‎ ‎【答案】解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M。‎ 设AB为x．‎ ‎ 在Rt△ABF中，∠AFB=45°，‎ ‎∴BF=AB=x。∴BC=BF＋FC=x＋13。‎ 在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB－BM=AB－CE=x－2，‎ 又∵，∴，解得：x≈12。‎ ‎∴教学楼的高‎12m。‎ ‎（2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25。‎ 在Rt△AME中，，‎ ‎∴AE=ME cos22°≈。‎ ‎∴A、E之间的距离约为‎27m。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用 ，求出即可。‎ ‎（2）利用Rt△AME中，，求出AE即可。‎ ‎17. （2012山东枣庄8分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．‎ ‎（1）求证：AB＝BC；‎ ‎（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．‎ ‎【答案】解：（1）证明：连接AC。‎ ‎∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2。‎ ‎∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2。‎ ‎∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2。‎ ‎∴AB＝BC。‎ ‎（2）证明：过C作CF⊥BE于F。‎ ‎∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形。∴CD＝EF。‎ ‎∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF。‎ 又∵AB＝BC，∠BEA＝∠CFB，∴△BAE≌△CBF（AAS）。∴AE＝BF。‎ ‎∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD。‎ ‎【考点】勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明。‎ ‎（2）可采用“截长”法证明，过点C作CF⊥BE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF即可，这一点又可通过全等三角形获证.‎ ‎18. （2012广西南宁8分）如图所示，∠BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．‎ ‎（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；‎ ‎（2）试判断OE和AB的位置关系，并给予证明．‎ ‎【答案】解：（1）△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，△AOC≌△BOD。 （2）OE⊥AB。证明如下：‎ ‎∵在Rt△ABC和Rt△BAD中，AC=BD，∠BAC=∠ABD，AB=BA，‎ ‎∴△ABC≌△BAD（SAS）。∴∠DAB=∠CBA。∴OA=OB。‎ ‎∵点E是AB的中点，∴OE⊥AB。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据全等三角形的定义可以得到：△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，△AOC≌△BOD；‎ ‎（2）首先证得：△ABC≌△BAD，则OA=OB，利用等腰三角形中由三线合一即可证得OE⊥AB。‎ ‎19. （2012广西钦州6分）如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，求证：AB=DC．‎ ‎【答案】证明：∵点E，F在BC上，BE=CF，∴BE+EF=CFR+EF，即BF=CE。‎ 在△ABF和△DCE中，∵∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，‎ ‎∴△ABF≌△DCE（AAS）。∴AB=CD（全等三角形的对应边相等）。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】利用全等三角形的判定定理AAS证得△ABF≌△DCE；然后由全等三角形的对应边相等证得AB=CD。‎ ‎20. （2012广西来宾8分）如图，在ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F．‎ ‎（1）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；‎ ‎（2）求证：BE=DF．‎ ‎【答案】（1）解：全等三角形有：△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB，△ABC≌△CDA。‎ ‎ （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC， AD∥BC。∴∠DAF=∠BCE。‎ ‎ 又∵DF∥BE，∴∠AFD=∠CEB。∴△AFD≌△CEB（AAS）。∴BE=DF。‎ ‎【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据平行四边形性质推出AD=BC，AB=CD，根据SSS证出△ABC≌△CDA即可；根据平行线性质推出∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，根据AAS证出△AFD≌△CEB即可；求出∠AEB=∠DFC，∠BAE=∠DCF，根据AAS证出△ABE≌△CDF即可。‎ ‎（2）由△AFD≌△CEB推出即可。‎ ‎21. （2012云南省5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．求证：△ABC≌△MED．‎ ‎【答案】证明：∵MD⊥AB，∴∠MDE=∠C=90°。∵ME∥BC，∴∠B=∠MED。‎ 在△ABC与△MED中，∵∠B=∠MED，∠C=∠EDM，DM=AC。‎ ‎∴△ABC≌△MED（AAS）。‎ ‎【考点】平行线的性质，全等三角形的判定。‎ ‎【分析】根据平行线的性质可得出∠B=∠MED，结合全等三角形的判定定理AAS可判断△ABC≌△MED。‎ ‎22. （2012江西南昌6分）如图，已知两个菱形ABCD．CEFG，其中点A．C．F在同一直线上，连接BE、DG．‎ ‎（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；‎ ‎（2）证明：BE=DG．‎ ‎【答案】（1）解：△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC。‎ ‎（2）证明：∵四边形ABCD．CEFG是菱形，‎ ‎∴DC=BC，CG=CE，∠DCA=∠BCA，∠GCF=∠ECF。‎ ‎∵∠ACF=180°，∴∠DCG=∠BCE，‎ 在△DCG和△BCE中，∵DC=BC，∠DCG=∠BCE，CG=CE，‎ ‎∴△DCG≌△BCE（SAS）。∴BE=DG。‎ ‎【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC，根据菱形的性质推出AD=AB，DC=BC，根据SSS即可证出结论。‎ ‎（2）根据菱形性质求出DC=BC，CG=CE，推出∠DCG=∠BCE，根据SAS证出△DCG≌△BCE即可。‎ ‎23. （2012吉林长春7分）某加工厂为赶制一批零件，通过提高加工费标准的方式调动工人的积性．工人每天加工零件获得的加工费y（元）与加工个数x（个）之间的函数图像为折线OA-AB-BC，如图所示．‎ ‎（1）求工人一天加工费不超过20个时每个零件的加工费．‎ ‎（2）求40≤x≤60时y与x的函数关系式．‎ ‎（3）小王两天一共加工了60个零件，共得到加工费220元，在这两天中，小王第一天加工的零件不足20个，求小王第一天加工零件的个数．‎ ‎【答案】解：（1）由图象可知，当0≤x≤20时，每个零件的加工费为60÷20=3元，‎ 即工人一天加工零件不超过20个时，每个零件的加工费为3元。‎ ‎（2）当40≤x≤60时，设y与x的函数关系式为y=kx+b，‎ 将B（40，140），C（60，240）代入，得 ‎，解得 。‎ ‎∴y与x的函数关系式为y=5x－60。‎ ‎（3）设小王第一天加工零件的个数为a，则第二天加工零件的个数为（60－a），‎ ‎∵ 小王第一天加工的零件不足20个，小王两天一共加工了60个零件。‎ ‎∴小王第二天加工的零件不足60个，超过40个。‎ 由（2）知，第二天加工零件的加工费为5（60－a)－60。‎ ‎∴5（60－a)－60=220－‎3a，解得，a =10。‎ ‎∴小王第一天加工零件10个。‎ ‎【考点】一次函数和一元一次方程的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）当0≤x≤20时，由图象得出每个零件的加工费为60÷20=3元。‎ ‎（2）当40≤x≤60时，设y与x的函数关系式为y=kx+b，将（20，60），（40，140）代入，列方程组求k、b的值即可。‎ ‎（3）设小王第一天加工零件的个数为a，则第二天加工零件的个数为（60－a），由（2）知，第二天加工零件的加工费为5（60－a)－60，因此列方程5（60－a)－60=220－‎3a求解。‎ ‎24. （2012吉林省7分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作□ABDE，‎ 连接AD，EC．‎ ‎（1）求证：△ADC≌△ECD；‎ ‎（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．‎ ‎【答案】证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），‎ ‎∴AB∥DE，AB=DE（平行四边形的对边平行且相等）。‎ ‎∴∠B=∠EDC（两直线平行，同位角相等）。‎ 又∵AB=AC（已知），∴AC=DE（等量代换），∠B=∠ACB（等边对等角）。‎ ‎∴∠EDC=∠ACD（等量代换）。‎ 在△ADC和△ECD中，∵AC=DE，∠ACD=∠EDC，DC=CD(公共边)，‎ ‎∴△ADC≌△ECD（SAS）。‎ ‎（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），‎ ‎∴BD∥AE，BD=AE（平行四边形的对边平行且相等）。∴AE∥CD。‎ 又∵BD=CD，∴AE=CD（等量代换）。‎ ‎∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）。‎ 在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质）。‎ ‎∴∠ADC=90°。∴□ADCE是矩形。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定。‎ ‎【分析】（1）根据平行四边形和等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD。‎ ‎（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥C=BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形。‎ ‎25. （2012黑龙江哈尔滨6分）如图，点B在射线AE上，∠CAE=∠DAE，∠CBE=∠DBE．‎ 求证：AC=AD．[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎【答案】证明：∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ABD+∠DBE=180°，∠CBE=∠DBE，∴∠ABC=∠ABD，‎ 在△ABC和△ABD中，∵∠CAE=∠DAE，AB=AB，∠ABC=∠ABD，‎ ‎∴△ABC≌△ABD（ASA）。∴AC=AD。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】根据等角的补角相等可得到∠ABC=∠ABD，再由条件∠CAE=∠DAE，AB=AB可利用ASA证明△ABC≌△ABD，再根据全等三角形对应边相等可得结论。‎