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- 2021-05-10 发布
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因式分解
一、选择题
1.下列各式中，不含因式a+1的是（ ）
A. 2a2+2a B. a2+2a+1 C. a2﹣1 D.
2.下列因式分解错误的是（ ）
A. 2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1） B. x2+2x+1=（x+1）2
C. x2y﹣xy2=xy（x﹣y） D. x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
3.下列因式分解中，正确的个数为（ ）
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
4.若x=1， ，则x2+4xy+4y2的值是（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
5.化简:(a+1)2-(a-1)2=( )
A. 2 B. 4 C. 4a D. 2a2+2
6.下列因式分解正确的是( )
10
A. (x-3)2-y2=x2-6x+9-y2 B. a2-9b2=(a+9b)(a-9b)
C. 4x6-1=(2x3+1)(2x3-1) D. -x2-y2=(x-y)(x+y)
7.若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2
8.下列各多项式中,不能用平方差公式分解的是( ).
A. a2b2－1 B. 4－0.25a2 C. －a2－b2 D. －x2+1
9.分解因式x2y﹣y3结果正确的是（ ).
A. y(x+y)2 B. y(x-y)2 C. y(x2-y2) D. y(x+y)(x-y)
10.边长为a、b的长方形周长为12,面积为10,则 的值为( )
A. 120 B. 60 C. 80 D. 40
11.如果2x2+mx﹣2可因式分解为（2x+1）（x﹣2），那么m的值是（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. ﹣3 D. 3
12.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
10
A. B. C. D.
二、填空题
13.分解因式：x2﹣16=________．
14.两个多项式①a2+2ab+b2 ， ②a2﹣b2的公因式是________
15.分解因式：x2﹣2x+1=________．
16.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=________
17.把多项式x3 -25x分解因式的结果是________.
18.若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a=________
19.把多项式 分解因式的结果是________.
20.已知 ， 则代数式 的值是________
21.当a=3，a﹣b=1时，代数式a2﹣ab的值是________．
22.若a2﹣2a﹣4=0，则5+4a﹣2a2=________．
三、解答题
23.把下列各式分解因式:
（1）x2(a-1)+y2(1-a);
（2）18(m+n)2-8(m-n)2;
（3）x2-y2-z2+2yz.
24.计算
（1）已知a＋b＝－3，ab＝5，求多项式4a2b＋4ab2－4a－4b的值
（2）已知x2-3x-1=0,求代数式3-3 x2+9x的值？
10
25.下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A. 提取公因式 B. 平方差公式 C. 两数和的完全平方公式 D. 两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
26.对于多项式x3-5x2+x+10,我们把x=2代入此多项式,发现x=2能使多项式x3-5x2+x+10的值为0,由此可以断定多项式x3-5x2+x+10中有因式x-2(注:把x=a代入多项式,能使多项式的值为0,则多项式中一定含有因式(x-a),于是我们可以把多项式写成:x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n),分别求出m,n后再代入x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n)中,就可以把多项式x3-5x2+x+10因式分解).
（1）求式子中m,n的值;
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”,用“试根法”分解因式x3+5x2+8x+4.
10
答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【解析】 ：A、∵2a2+2a=2a（a+1），故本选项不符合题意；
B、a2+2a+1=（a+1）2 ， 故本选项不符合题意；
C、a2﹣1=（a+1）（a﹣1），故本选项不符合题意；
D、 = ，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；把各个选项因式分解，找出不含因式a+1的选项.
2.【答案】A
【解析】 A、原式=（x﹣2）（2x﹣1），符合题意；
B、原式=（x+1）2 ， 不符合题意；
C、原式=xy（x﹣y），不符合题意；
D、原式=（x+y）（x﹣y），不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据因式分解的定义，将一个多项式化为几个整式的积的恒等变形就是因式分解，然后利用整式的乘法将变形的右边利用整式的乘法法则得出结果，和左边进行比较即可得出答案。
3.【答案】C
【解析 ：①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；
②x2+4x+4=（x+2）2；正确；
③﹣x2+y2=（x+y）（y﹣x），故原题错误；
故正确的有1个．
故答案为：C．
【分析】第一个中的第一项的指数是3，第三项不是y的平方，所以不符合完全平方式的条件；第三个应该是（x+y）（y-x）.
4.【答案】B
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【解析】 ：原式=（x+2y）2=（1+2× ）2=4．故答案为：B【分析】根据完全平方公式a22ab+b2=（ab）2 ， 分解因式x2+4xy+4y2=（x+2y）2 ， 把x、y的值代入，求出代数式的值.
5.【答案】C
【解析】 ： (a+1)2-(a-1)2=[(a+1)-(a-1)]·[(a+1)+(a-1)]=2×2a=4a. 选C【分析】根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，分解即可.
6.【答案】C
【解析】 ：A、（x-3）2-y2=x2-6x+9-y2 ， 不是两数积的形式的形式，不符合因式分解特点，故此选项不符合题意；
B、原式应该为：a2-9b2=（a+3b）（a-3b）；故此选项不符合题意；
C、4x6-1=（2x3+1）（2x3-1），故此选项符合题意；
D、原式应该为：2xy-x2-y2=-（x-y）2 ， 故此选项不符合题意；故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，再根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解即可.
7.【答案】B
【解析】 ：∵代数式x2+ax可以分解因式，
∴常数a不可以取0．
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义，就是将一个多项式分解为几个整式的积的形式，从而可知x2+ax能分解因式的话，必须是多项式，故a≠0,从而得出答案。
8.【答案】C
【解析】 ：A、a2b2－1=（ab）2-12 ， 可以利用平方差公式分解因式，故A不符合题意；
B、4－0．25a2=22-（0.5a）2 ， 可以利用平方差公式分解因式，故B不符合题意；
C、－a2－b2=-（a2+b2），不能分解因式，故C符合题意；
D、－x2+1=-（x2-1），可以利用平方差公式分解因式，故D不符合题意；
故答案为：C【分析】平方差公式的特点：多项式含有两项，两项的符号相反，两项的绝对值都能写出平方形式，对各选项逐一判断即可。
9.【答案】D
【解析】 ：x2y﹣y3=y（x2-y2）=y(x+y)(x-y)
故答案为：D
【分析】观察此多项式的特点，有公因式y，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
10.【答案】B
10
【解析】 ：∵边长为a、b的长方形周长为12,面积为10,
∴2（a+b）=12，ab=10
∴a+b=6
∴a2b+ab2 =ab（a+b）=10×6=60
【分析】根据已知求出a+b、ab的值，再将a2b+ab2 分解因式，然后整体代入求值即可。
11.【答案】C
【解析】 ：∵2x2+mx﹣2=（2x+1）（x﹣2）=2x2﹣3x﹣2，
∴m=﹣3．
故答案为：C．
【分析】根据多项式的乘法运算，把（2x+1）（x﹣2）展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可.
12.【答案】D
【解析】 A、是一个二元一次方程组，故A不符合题意;
B、是单项式乘法的逆用,故B不符合题意;
C是多项式乘以多项式的乘法运算,故C不符合题意;
D是将一个多项式变形为两个整式的积，故D符合题意
【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式分解为几个整式的积的形式，即可得出结论。
二、填空题
13.【答案】(x＋4)(x－4)
【解析】 ：x2﹣16=（x+4）（x﹣4）．【分析】16=42 ， 利用平方差公式分解可得.
14.【答案】a+b．
【解析】 ：①a2+2ab+b2=（a+b）2；
②a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；
故多项式①a2+2ab+b2 ， ②a2﹣b2的公因式是a+b．
故答案为：a+b．
【分析】利用完全平方公式和平方差公式化简和展开得到（a+b）2和（a+b）（a﹣b），答案就很显然了.
15.【答案】（x﹣1）2
【解析】 ：x2﹣2x+1=（x﹣1）2 ． 【分析】利用完全平方公式分别即可。
16.【答案】15
【解析】 ：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
10
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故答案为：15．
【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a、b的值.
17.【答案】
【解析】 ：解：x3-25x=x（x2-25）=x（x+5）（x-5）故答案为：x（x+5）（x-5）
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式x，因此提取公因式x后，再利用平方差公式分解因式即可。
18.【答案】3
【解析】 ：∵x2﹣9=（x+3）（x﹣3）=（x﹣3）（x+a），
∴a=3．
故答案为：3．
【分析】本题考查的是平方差公式，因为，所以可知a=3.
19.【答案】
【解析】 ：原式=3a（a2﹣4a+4）=3a（a﹣2）2 ． 故答案为：3a（a﹣2）2 ．
【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
20.【答案】15
【解析】 =（a+b）（a-b）=3×5=15.
故答案为：15.
【分析】根据平方差公式分解因式，再利用整体代入法即可得出答案。
21.【答案】3
【解析】
当 时，原式=3×1=3．
故答案为：3．
【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用整体代入即可算出代数式的值。
22.【答案】-3
【解析】 ∵ 即
∴原式
故答案为：
【分析】根据已知方程，可得出a2−2a=4， 再将代数式转化为5−2(a2−2a），再整体代入求值即可。
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三、解答题
23.【答案】（1）解：原式=x2(a-1)-y2(a-1)=(a-1)(x2-y2)=(a-1)(x+y)(x-y)
（2）解：原式=2[9(m+n)2-4(m-n)2]
=2{[3(m+n)]2-[2(m-n)]2}
=2[(3m+3n)2-(2m-2n)2]
=2[(3m+3n+2m-2n)(3m+3n-2m+2n)]
=2(5m+n)(m+5n)
（3）解：原式=x2-(y2+z2-2yz)=x2-(y-z)2
=(x+y-z)(x-y+z)
【解析】【分析】（1）观察多项式的特点，有公因式a-1，因此提取公因式后再利用平方差公式分解因式即可。
（2）观察此多项式的特点，有公因数2，因此提取公因数后，将另一个因式写成平方差公式的形式，然后利用平方差公式分解因式即可。
（3）此多项式有4项，没有公因式，因此采用分组分解法，后三项可构造完全平方公式，因此将后三项结合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可。
24.【答案】（1）解：原式 =4 ab（a＋b）-4（a＋b）
=（4 ab-4）（a＋b）
=4（ab-1）（a＋b）
当a＋b＝－3，ab＝5时，
原式=4 （5-1） （-3）
=4 4 （-3）
=-48
（2）解：解：原式=-3（x2-3x-1）
当x2-3x-1=0，
原式=-3 0
=0
【解析】【分析】（1）将代数式提取公因式4（a+b），转化为4（ab-1）（a＋b），再整体代入求值即可。
（2）将代数式提取公因数-3，转化为-3（x2-3x-1），再整体代入求值即可。
25.【答案】（1）C
（2）不彻底；
10
（3）解：设x2﹣2x=y．
（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，
=y（y+2）+1，
=y2+2y+1，
=（y+1）2 ，
=（x2﹣2x+1）2 ，
=（x﹣1）4
【解析】【解答】（2）该式还可以继续因式分解，（x2﹣4x+4）2==(x-2)4
【分析】运用换元法把x2﹣2x=y，再根据完全平方公式a22ab+b2=（ab）2分解.
26.【答案】（1）解：∵x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n)
分别令x=0,x=1,
10=-2n，15=1+m+n
解之：m=-3,n=-5
（2）解：当x=-1时，x3+5x2+8x+4=0
x3+5x2+8x+4=(x+1)(x2+ax+b)
分别令x=0,x=1,
4=b，18=2（1+a+b）
解之：a=4,b=4,
∴x3+5x2+8x+4=(x+1)(x2+4x+4)=(x+1)(x+2)2
【解析】【分析】（1）根据题意将x=0和x=1分别代入x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n)，建立关于m、n的方程组，求解即可。
（2）根据题意可知当当x=-1时，x3+5x2+8x+4=0，原式可转化为x3+5x2+8x+4=(x+1)(x2+ax+b)，将x=0和x=1分别代入x3+5x2+8x+4=(x+1)(x2+ax+b)，建立关于a、b的方程组，求解即可分解因式。
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