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  • 2021-05-10 发布

德州中考数学试题含答案Word版

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‎2016年山东省德州市中考数学试题 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分 ‎1.2的相反数是(  )‎ A. B. C.﹣2 D.2‎ ‎2.下列运算错误的是(  )‎ A.a+2a=3a B.(a2)3=a6 C.a2•a3=a5 D.a6÷a3=a2‎ ‎3.2016年第一季度,我市“蓝天白云、繁星闪烁”天数持续增加,获得山东省环境空气质量生态补偿资金408万元,408万用科学记数法表示正确的是(  )‎ A.408×104 B.4.08×104 C.4.08×105 D.4.08×106‎ ‎4.图中三视图对应的正三棱柱是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.下列说法正确的是(  )‎ A.为了审核书稿中的错别字,选择抽样调查;‎ B.为了了解春节联欢晚会的收视率,选择全面调查;‎ C.“射击运动员射击一次,命中靶心”是随机事件;‎ D.“经过由交通信号灯的路口,遇到红灯”是必然事件 ‎6.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为(  )‎ A.65° B.60° C.55° D.45°‎ ‎7.化简﹣等于(  )‎ A. B. C.﹣ D.﹣‎ ‎8.某校为了解全校同学五一假期参加社团活动的情况,抽查了100名同学,统计它们假期参加社团活动的时间,绘成频数分布直方图(如图),则参加社团活动时间的中位数所在的范围是(  )‎ A.4﹣6小时 B.6﹣8小时 C.8﹣10小时 D.不能确定 ‎9.对于平面图形上的任意两点P,Q,如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′,Q′,保持PQ=P′Q′,我们把这种变换称为“等距变换”,下列变换中不一定是等距变换的是(  )‎ A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似 ‎10.下列函数中,满足y的值随x的值增大而增大的是(  )‎ A.y=﹣2x B.y=3x﹣1 C.y= D.y=x2‎ ‎11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?”(  )‎ A.3步 B.5步 C.6步 D.8步 ‎12.在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中点,一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合,将三角板绕点E旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC(或它们的延长线)于点M,N,设∠AEM=α(0°<α<90°),给出下列四个结论:‎ ‎①AM=CN;②∠AME=∠BNE;③BN﹣AM=2;④S△EMN=.‎ 上述结论中正确的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 二、填空题:本大题共5小题,共20分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分 ‎13.化简的结果是      .‎ ‎14.正六边形的每个外角是      度.‎ ‎15.方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1,x2,则x12+x22=      .‎ ‎16.如图,半径为1的半圆形纸片,按如图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则图中阴影部分的面积是      .‎ ‎17.如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1,l2,过点(1,0)作x轴的垂线交l2于点A1,过点A1作y轴的垂线交l2于点A2,过点A2作x轴的垂线交l2于点A3,过点A3作y轴的垂线交l2于点A4,…依次进行下去,则点A2017的坐标为      .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共7小题,共64分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ‎18.解不等式组:.‎ ‎19.在甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛,在相同的测试条件下,两人5次测试成绩(单位:分)如下:‎ 甲:79,86,82,85,83‎ 乙:88,79,90,81,72.‎ 回答下列问题:‎ ‎(1)甲成绩的平均数是      ,乙成绩的平均数是      ;‎ ‎(2)经计算知S甲2=6,S乙2=42.你认为选拔谁参加比赛更合适,说明理由;‎ ‎(3)如果从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析,求抽到的两个人的成绩都大于80分的概率.‎ ‎20.2016年2月1日,我国在西昌卫星发射中心,用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道,如图,火箭从地面L处发射,当火箭达到A点时,从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km,仰角为42.4°;1秒后火箭到达B点,此时测得仰角为45.5°‎ ‎(1)求发射台与雷达站之间的距离LR;‎ ‎(2)求这枚火箭从A到B的平均速度是多少(结果精确到0.01)?‎ ‎(参考数据:son42.4°≈0.67,cos42.4°≈0.74,tan42.4°≈0.905,sin45.5°≈0.71,cos45.5°≈0.70,tan45.5°≈1.02 )‎ ‎21.某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作,已知该运动鞋每双的进价为120元,为寻求合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如表所示:‎ ‎ 第1天 第2天 ‎ ‎ 第3天 ‎ 第4天 ‎ 售价x(元/双)‎ ‎ 150‎ ‎ 200‎ ‎ 250‎ ‎ 300‎ ‎ 销售量y(双)‎ ‎ 40‎ ‎ 30‎ ‎ 24‎ ‎ 20‎ ‎(1)观察表中数据,x,y满足什么函数关系?请求出这个函数关系式;‎ ‎(2)若商场计划每天的销售利润为3000元,则其单价应定为多少元?‎ ‎22.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC交⊙O于点E,交BC于点D,过点E做直线l∥BC.‎ ‎(1)判断直线l与⊙O的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F,求证:BE=EF;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若DE=4,DF=3,求AF的长.‎ ‎23.我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.‎ ‎(1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.‎ 求证:中点四边形EFGH是平行四边形;‎ ‎(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;‎ ‎(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)‎ ‎24.已知,m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根,且|m|<|n|,抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n),如图所示.‎ ‎(1)求这个抛物线的解析式;‎ ‎(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标,并判断△BCD的形状;‎ ‎(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合),过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,点Q在直线BC上,距离点P为个单位长度,设点P的横坐标为t,△PMQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式.‎ ‎ ‎ 参考答案 一、选择题:‎ ‎1.2的相反数是(  )‎ A.     B.      C.﹣2      D.2‎ 解:2的相反数是﹣2,故选:C.‎ ‎2.下列运算错误的是(  )‎ A.a+2a=3a   B.(a2)3=a6 C.a2•a3=a5      D.a6÷a3=a2‎ 解:A、合并同类项系数相加字母及指数不变,故A正确;‎ B、幂的乘方底数不变指数相乘,故B正确;‎ C、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故C正确;‎ D、同底数幂的除法底数不变指数相减,故D错误;‎ 故选:D.‎ ‎3.2016年第一季度,我市“蓝天白云、繁星闪烁”天数持续增加,获得山东省环境空气质量生态补偿资金408万元,408万用科学记数法表示正确的是(  )‎ A.408×104   B.4.08×104   C.4.08×105     D.4.08×106‎ 解:408万用科学记数法表示正确的是4.08×106.故选:D.‎ ‎4.图中三视图对应的正三棱柱是(  )‎ A.  B.    C.  D.‎ 解:由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向,由主视图得到有一条侧棱在正前方,于是可判定A选项正确.故选A.‎ ‎5.下列说法正确的是(  )‎ A.为了审核书稿中的错别字,选择抽样调查 B.为了了解春节联欢晚会的收视率,选择全面调查 C.“射击运动员射击一次,命中靶心”是随机事件 D.“经过由交通信号灯的路口,遇到红灯”是必然事件 解:为了审核书稿中的错别字,应选择全面调查,A错误;‎ 为了了解春节联欢晚会的收视率,选择抽样调查,B错误;‎ ‎“射击运动员射击一次,命中靶心”是随机事件,C正确;‎ ‎“经过由交通信号灯的路口,遇到红灯”是随机事件,D错误.‎ 故选:C.‎ ‎6.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为(  )‎ A.65°    B.60°     C.55°     D.45°‎ 解:由题意可得:MN是AC的垂直平分线,‎ 则AD=DC,故∠C=∠DAC,‎ ‎∵∠C=30°,∴∠DAC=30°,‎ ‎∵∠B=55°,∴∠BAC=95°,‎ ‎∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°,‎ 故选A.‎ ‎7.化简﹣等于(  )‎ A.       B.     C.﹣     D.﹣‎ 解:原式=+=+==,故选B ‎8.某校为了解全校同学五一假期参加社团活动的情况,抽查了100名同学,统计它们假期参加社团活动的时间,绘成频数分布直方图(如图),则参加社团活动时间的中位数所在的范围是(  )‎ A.4﹣6小时  B.6﹣8小时  C.8﹣10小时   D.不能确定 解:100个数据,中间的两个数为第50个数和第51个数,‎ 而第50个数和第51个数都落在第三组,‎ 所以参加社团活动时间的中位数所在的范围为6﹣8(小时).‎ 故选B.‎ ‎9.对于平面图形上的任意两点P,Q,如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′,Q′,保持PQ=P′Q′,我们把这种变换称为“等距变换”,下列变换中不一定是等距变换的是(  )‎ A.平移     B.旋转    C.轴对称    D.位似 解:平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同,则平移变换是“等距变换”;‎ 旋转的性质:旋转前、后的图形全等,则旋转变换是“等距变换”;‎ 轴对称的性质:成轴对称的两个图形全等,则轴对称变换是“等距变换”;‎ 位似变换的性质:位似变换的两个图形是相似形,则位似变换不一定是等距变换,‎ 故选:D.‎ ‎10.下列函数中,满足y的值随x的值增大而增大的是(  )‎ A.y=﹣2x B.y=3x﹣1  C.y=     D.y=x2‎ 解:A、在y=﹣2x中,k=﹣2<0,∴y的值随x的值增大而减小;‎ B、在y=3x﹣1中,k=3>0,∴y的值随x的值增大而增大;‎ C、在y=中,k=1>0,∴y的值随x的值增大而减小;‎ D、二次函数y=x2,‎ 当x<0时,y的值随x的值增大而减小;‎ 当x>0时,y的值随x的值增大而增大.‎ 故选B.‎ ‎11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?”(  )‎ A.3步    B.5步    C.6步    D.8步 解:根据勾股定理得:斜边为=17,‎ 则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径r==3(步),即直径为6步,‎ 故选C ‎12.在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中点,一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合,将三角板绕点E旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC(或它们的延长线)于点M,N,设∠AEM=α(0°<α<90°),给出下列四个结论:‎ ‎①AM=CN;②∠AME=∠BNE;③BN﹣AM=2;④S△EMN=.‎ 上述结论中正确的个数是(  )‎ A.1      B.2      C.3      D.4‎ 解:①如图,‎ 在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD的中点,‎ 作EF⊥BC于点F,则有AB=AE=EF=FC,‎ ‎∵∠AEM+∠DEN=90°,∠FEN+∠DEN=90°,‎ ‎∴∠AEM=∠FEN,‎ 在Rt△AME和Rt△FNE中,‎ ‎,‎ ‎∴Rt△AME≌Rt△FNE,‎ ‎∴AM=FN,‎ ‎∴MB=CN.‎ ‎∵AM不一定等于CN,‎ ‎∴AM不一定等于CN,‎ ‎∴①错误,‎ ‎②由①有Rt△AME≌Rt△FNE,‎ ‎∴∠AME=∠BNE,‎ ‎∴②正确,‎ ‎③由①得,BM=CN,‎ ‎∵AD=2AB=4,‎ ‎∴BC=4,AB=2‎ ‎∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣(BM+AM)=BC﹣AB=4﹣2=2,‎ ‎∴③正确,‎ ‎④如图,‎ 由①得,CN=CF﹣FN=2﹣AM,AE=AD=2,AM=FN ‎∵tanα=,∴AM=AEtanα ‎∵cosα=,∴cos2α=,‎ ‎∴=1+=1+()2=1+tan2α,‎ ‎∴=2(1+tan2α)‎ ‎∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN ‎=(AE+BN)×AB﹣AE×AM﹣BN×BM ‎=(AE+BC﹣CN)×2﹣AE×AM﹣(BC﹣CN)×CN ‎=(AE+BC﹣CF+FN)×2﹣AE×AM﹣(BC﹣2+AM)(2﹣AM)‎ ‎=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣(2+AM)(2﹣AM)‎ ‎=AE+AM﹣AE×AM+AM2‎ ‎=AE+AEtanα﹣AE2tanα+AE2tan2α ‎=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α ‎=2(1+tan2α)‎ ‎=.‎ ‎∴④正确.‎ 故选C.‎ 二、填空题:本大题共5小题,共20分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分 ‎13.化简的结果是  .‎ 解:原式==.故答案为.‎ ‎14.正六边形的每个外角是 60 度.‎ 解:正六边形的一个外角度数是:360÷6=60°.故答案为:60.‎ ‎15.方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1,x2,则x12+x22=  .‎ 解:∵方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1,x2,‎ ‎∴x1+x2=﹣=,x1•x2==﹣,‎ ‎∴x12+x22=﹣2x1•x2=﹣2×(﹣)=.‎ 故答案为:.‎ ‎16.如图,半径为1的半圆形纸片,按如图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则图中阴影部分的面积是 ﹣ .‎ ‎           ‎ 解:如图,连接OM交AB于点C,连接OA、OB,‎ 由题意知,OM⊥AB,且OC=MC=,‎ 在RT△AOC中,∵OA=1,OC=,‎ ‎∴cos∠AOC==,AC==‎ ‎∴∠AOC=60°,AB=2AC=,‎ ‎∴∠AOB=2∠AOC=120°,‎ 则S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB=﹣××=﹣,‎ S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM=π×12﹣2(﹣)=﹣.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎17.如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1,l2,过点(1,0)作x轴的垂线交l2于点A1,过点A1作y轴的垂线交l2于点A2,过点A2作x轴的垂线交l2于点A3,过点A3作y轴的垂线交l2于点A4,…依次进行下去,则点A2017的坐标为 (21008,21009) .‎ 解:观察,发现规律:A1(1,2),A2(﹣2,2),A3(﹣2,﹣4),A4(4,﹣4),A5(4,8),…,‎ ‎∴A2n+1((﹣2)n,2(﹣2)n)(n为自然数).‎ ‎∵2017=1008×2+1,‎ ‎∴A2017的坐标为((﹣2)1008,2(﹣2)1008)=(21008,21009).‎ 故答案为:(21008,21009).‎ 三、解答题:本大题共7小题,共64分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ‎18.解不等式组:.‎ 解:解不等式5x+2≥3(x﹣1),得:x≥﹣,‎ 解不等式1﹣>x﹣2,得:x<,‎ 故不等式组的解集为:﹣≤x<.‎ ‎19.在甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛,在相同的测试条件下,两人5次测试成绩(单位:分)如下:‎ 甲:79,86,82,85,83‎ 乙:88,79,90,81,72.‎ 回答下列问题:‎ ‎(1)甲成绩的平均数是 83 ,乙成绩的平均数是 82 ;‎ ‎(2)经计算知S甲2=6,S乙2=42.你认为选拔谁参加比赛更合适,说明理由;‎ ‎(3)如果从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析,求抽到的两个人的成绩都大于80分的概率.‎ 解:(1)==83(分),‎ ‎==82(分);‎ ‎(2)选拔甲参加比赛更合适,理由如下:‎ ‎∵>,且S甲2<S乙2,‎ ‎∴甲的平均成绩高于乙,且甲的成绩更稳定,‎ 故选拔甲参加比赛更合适.‎ ‎(3)列表如下:‎ ‎79‎ ‎86‎ ‎82‎ ‎85‎ ‎83‎ ‎88‎ ‎88,79‎ ‎88,86‎ ‎88,82‎ ‎88,85‎ ‎88,83‎ ‎79‎ ‎79,79‎ ‎79,86‎ ‎79,82‎ ‎79,85‎ ‎79,83‎ ‎90‎ ‎90,79‎ ‎90,86‎ ‎90,82‎ ‎90,85‎ ‎90,83‎ ‎81‎ ‎81,79‎ ‎81,86‎ ‎81,82‎ ‎81,85‎ ‎81,83‎ ‎72‎ ‎72,79‎ ‎72,86‎ ‎72,82‎ ‎72,85‎ ‎72,83‎ 由表格可知,所有等可能结果共有25种,其中两个人的成绩都大于80分有12种,‎ ‎∴抽到的两个人的成绩都大于80分的概率为.‎ 故答案为:(1)83,82.‎ ‎20.2016年2月1日,我国在西昌卫星发射中心,用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道,如图,火箭从地面L处发射,当火箭达到A点时,从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km,仰角为42.4°;1秒后火箭到达B点,此时测得仰角为45.5°‎ ‎(1)求发射台与雷达站之间的距离LR;‎ ‎(2)求这枚火箭从A到B的平均速度是多少(结果精确到0.01)?‎ ‎(参考数据:son42.4°≈0.67,cos42.4°≈0.74,tan42.4°≈0.905,sin45.5°≈0.71,cos45.5°≈0.70,tan45.5°≈1.02 )‎ 解:(1)在Rt△ALR中,AR=6km,∠ARL=42.4°,‎ 由cos∠ARL=,得LR=AR•cos∠ARL=6×cos42.4°≈4.44(km).‎ 答:发射台与雷达站之间的距离LR为4.44km;‎ ‎(2)在Rt△BLR中,LR=4.44km,∠BRL=45.5°,‎ 由tan∠BRL=,得BL=LR•tan∠BRL=4.44×tan45.5°≈4.44×1.02=4.5288(km),‎ 又∵sin∠ARL=,得AL=ARsin∠ARL=6×sin42.4°≈4.02(km),‎ ‎∴AB=BL﹣AL=4.5288﹣4.02=0.5088≈0.51(km).‎ 答:这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51km/s.‎ ‎21.某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作,已知该运动鞋每双的进价为120元,为寻求合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如表所示:‎ ‎ 第1天 第2天 ‎ ‎ 第3天 ‎ 第4天 ‎ 售价x(元/双)‎ ‎ 150‎ ‎ 200‎ ‎ 250‎ ‎ 300‎ ‎ 销售量y(双)‎ ‎ 40‎ ‎ 30‎ ‎ 24‎ ‎ 20‎ ‎(1)观察表中数据,x,y满足什么函数关系?请求出这个函数关系式;‎ ‎(2)若商场计划每天的销售利润为3000元,则其单价应定为多少元?‎ 解:(1)由表中数据得:xy=6000,∴y=,∴y是x的反比例函数,‎ 故所求函数关系式为y=;‎ ‎(2)由题意得:(x﹣120)y=3000,‎ 把y=代入得:(x﹣120)•=3000,解得:x=240;‎ 经检验,x=240是原方程的根;‎ 答:若商场计划每天的销售利润为3000元,则其单价应定为240元.‎ ‎22.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC交⊙O于点E,交BC于点D,过点E做直线l∥BC.‎ ‎(1)判断直线l与⊙O的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F,求证:BE=EF;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若DE=4,DF=3,求AF的长.‎ ‎           ‎ 解:(1)直线l与⊙O相切.‎ 理由:如图1所示:连接OE、OB、OC.‎ ‎∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE.∴.∴∠BOE=∠COE.‎ 又∵OB=OC,∴OE⊥BC.‎ ‎∵l∥BC,∴OE⊥l.‎ ‎∴直线l与⊙O相切.‎ ‎(2)∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.‎ 又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,‎ ‎∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF.‎ 又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF,‎ ‎∴∠EBF=∠EFB.‎ ‎∴BE=EF.‎ ‎(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=7.‎ ‎∵∠DBE=∠BAE,∠DEB=∠BEA,‎ ‎∴△BED∽△AEB.‎ ‎∴,即,解得;AE=.‎ ‎∴AF=AE﹣EF=﹣7=.‎ ‎23.我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.‎ ‎(1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.‎ 求证:中点四边形EFGH是平行四边形;‎ ‎(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;‎ ‎(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)‎ ‎(1)证明:如图1中,连接BD.‎ ‎∵点E,H分别为边AB,DA的中点,‎ ‎∴EH∥BD,EH=BD,‎ ‎∵点F,G分别为边BC,CD的中点,‎ ‎∴FG∥BD,FG=BD,‎ ‎∴EH∥FG,EH=GF,‎ ‎∴中点四边形EFGH是平行四边形.‎ ‎(2)四边形EFGH是菱形.‎ 证明:如图2中,连接AC,BD.‎ ‎∵∠APB=∠CPD,‎ ‎∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD 即∠APC=∠BPD,‎ 在△APC和△BPD中,‎ ‎,‎ ‎∴△APC≌△BPD,‎ ‎∴AC=BD ‎∵点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点,‎ ‎∴EF=AC,FG=BD,‎ ‎∵四边形EFGH是平行四边形,‎ ‎∴四边形EFGH是菱形.‎ ‎(3)四边形EFGH是正方形.‎ 证明:如图2中,设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M,AC与EH交于点N.‎ ‎∵△APC≌△BPD,‎ ‎∴∠ACP=∠BDP,‎ ‎∵∠DMO=∠CMP,‎ ‎∴∠COD=∠CPD=90°,‎ ‎∵EH∥BD,AC∥HG,‎ ‎∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,‎ ‎∵四边形EFGH是菱形,‎ ‎∴四边形EFGH是正方形.‎ ‎     ‎ ‎24.已知,m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根,且|m|<|n|,抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n),如图所示.‎ ‎(1)求这个抛物线的解析式;‎ ‎(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标,并判断△BCD的形状;‎ ‎(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合),过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,点Q在直线BC上,距离点P为个单位长度,设点P的横坐标为t,△PMQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式.‎ 解(1)∵x2+4x+3=0,‎ ‎∴x1=﹣1,x2=﹣3,‎ ‎∵m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根,且|m|<|n|,‎ ‎∴m=﹣1,n=﹣3,‎ ‎∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n),‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3,‎ ‎(2)令y=0,则x2﹣2x﹣3=0,‎ ‎∴x1=﹣1,x2=3,‎ ‎∴C(3,0),‎ ‎∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,‎ ‎∴顶点坐标D(1,﹣4),‎ 过点D作DE⊥y轴,‎ ‎∵OB=OC=3,‎ ‎∴BE=DE=1,‎ ‎∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠OBC=∠DBE=45°,‎ ‎∴∠CBD=90°,‎ ‎∴△BCD是直角三角形;‎ ‎(3)如图,‎ ‎∵B(0,﹣3),C(3,0),‎ ‎∴直线BC解析式为y=x﹣3,‎ ‎∵点P的横坐标为t,PM⊥x轴,‎ ‎∴点M的横坐标为t,‎ ‎∵点P在直线BC上,点M在抛物线上,‎ ‎∴P(t,t﹣3),M(t,t2﹣2t﹣3),‎ 过点Q作QF⊥PM,‎ ‎∴△PQF是等腰直角三角形,‎ ‎∵PQ=,‎ ‎∴QF=1,‎ 当点P在点M上方时,即0<t<3时,‎ PM=t﹣3﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,‎ ‎∴S=PM×QF=(﹣t2﹣3t)=﹣t2+t,‎ 如图3,当点P在点M下方时,即t<0或t>3时,‎ PM=t2﹣2t﹣3﹣(t﹣3),‎ ‎∴S=PM×QF=(t2﹣3t)=t2﹣t ‎ ‎